- 1 -
专题1:立体表面的最短路线问题 班级_____ 姓名_____________ 学号______ 评分_________
【经验分享】 1.数学思想:转化思想(将立体图形转化为平面图形然后再运用“两点之间,线段最短”求解。)
2.几何变换:可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换,把两条或多条线段和最短的问
题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。 3.图形构造:构造直角三角形,利用勾股定理求解。 【归类探究】
类型一:正方体问题
例1:如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的
外表面爬到顶点B 的最短距离是_______________ 类型二:长方体问题 例2:如图,一只蚂蚁从长、宽、高分别为4,2,1的长方体顶点A 出发,沿长
方体的表面爬到对角顶点C 1处,则最短路线长为______________
变式1:如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5,
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ,需要爬行的最短距离是 。
类型三:台阶问题
例3:如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm
和1cm ,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想到B
点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A 点出发,沿着台阶面爬到B
点,最短线路长为_____________ 类型四:圆柱问题
例4:有一圆形油罐底面圆的周长为24m ,高为6m ,一只老鼠从距底面
1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为_________
变式1:有一圆柱形油罐,已知油罐底面圆周长是12m ,高AB 是5m ,
要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子,正好到达A 点的正上方B 处,问梯子最
短长度为___________
变式2:桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底面周长18厘米,在杯口
内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时,突然发现了蜜糖。问小虫至少爬
厘米才能到达蜜糖所在的位置。
类型五:圆锥问题
例5:如图,圆锥的高SO=202cm ,母线SA=30cm ,一只蚂蚁由A 点出
发绕侧面一周还回到A 点,蚂蚁爬行的最短路线的长是____ cm.
变式1:如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm , 假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物,那么它爬
行的最短路程是 .
变式2:如图,圆锥底面半径为3dm ,母线为5dm ,AB 为底面直径,C 为
底面圆周上一点,∠COB=150°,D 为VB 上一点,VD= .现有一
只蚂蚁沿圆锥表面从点C 爬到D .则蚂蚁爬行的最短路程是 ________
A B C C A B A 1B 1D
D 1
C 121
- 2 - 【练习巩固】
1.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处,它爬行
的最短路线是( ) A .A ?P ?B B .A ?Q ?B C .A ?R ?B D .A ?S ?B
2.如图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点
B 处,则它爬行的最短路径是 。
3.如图是一个棱长为60cm 的立方体ABCD-EFGH ,一只小虫在棱EF 上且距F 点10cm 的P 处,它要爬到C 点,则需要爬行的最短距离是____________
4.如图,一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都
为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点,
最少要用__________秒钟.
5.如图,点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只
蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行,所走最短路程是 cm 。
6.如图,点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点A 沿
其表面爬到点B 的最短路程是________________cm
7.如图,点A 的正方体左侧面的中心,点B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,
一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是___________
8.如图是一个长方体木块,
已知AB=3,BC=4,CD=2,
假设一只蚂蚁在点A 处,它要沿
着木块侧面爬到点
D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是
9.如图,长方体的长为15cm ,宽为10cm
,高为20cm ,点B
在棱CD 上CB=5cm .一
只壁虎要沿长方休的表面从A 点爬到B 点,需要爬行的最短路径是____________cm 。
10.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm .A 和B
是这个台阶上两个相对的端点,点A 处有一只蚂蚁,想到点B 处去吃可口的食物,
则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 ________ cm
11.如图,一圆柱体的底面周长为24cm ,高AB 为9cm ,BC 是上底面的直径.一只蚂
蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,则蚂蚁爬行的最短路程是______
12.如图,有一圆柱体高为10 cm ,底面圆的半径为4 cm ,AA 1、BB 1为相对的两条
母线,在AA 1上有一个蜘蛛Q ,QA=3 cm ;在BB 1上有一只苍蝇P ,PB 1=2 cm ,蜘蛛
沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇,则最短路径长是 cm (结果用带π和根号的
式子表示)
13.如图,是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF 长为10cm .母
线OE (OF )长为10cm .在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣,且FA=2cm ,一只
蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点.则此蚂蚁爬行的最短距离为
cm .
B B