与函数有关的压轴题 导学案 OK

九年级数学科导学案

教学目标：熟练函数与方程中的各个知识点，能运用所学的知识和适当的方法分步解决函数中的压轴题。

教学重点：熟练运用初中的相关知识（解直角三角形、函数、数形结合、四边形）解决与函数相关的综合问题

教学难点：如何通过题目中给出的条件逐步的解决所求问题。

方法与技巧：数形结合思想、方程思想(待定系数法)、转换思想(最大利润、最小成本、最优方案)、分类思想（二次函数与X轴交点问题）

【典型例题讲练】

重点例题：

例1、（2011?湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）由定点列式计算，从而得到b，c的值而得解析式；

（2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证；

（3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB∥=EF，那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点．

解答：解：（1）由题意得，

解得：b=2，c=﹣3，

则解析式为：y=x2+2x﹣3；

（2）由题意结合图形

则解析式为：y=x2+2x﹣3，

解得x=1或x=﹣3，

由题意点A（﹣3，0），

∴AC=，CD=，AD=，

由AC2+CD2=AD2，

所以△ACD为直角三角形；

（3）由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣），

∴MF=，BF=OB﹣OF=．

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣），

当P 1（0，﹣）时，由（1）知y=x 2﹣2x ﹣3=﹣3≠﹣， ∴P 1不在抛物线上．

当P 2（3，﹣）时，由（1）知y=x 2﹣2x ﹣3=0≠﹣， ∴P 2不在抛物线上．

综上所述：抛物线x 轴下方不存在点P ，使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形． 点评：本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．

例2、（2011?江苏泰州）在平面直角坐标系xOy 中，边长为a （a 为大于0的常数）的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ），顶点C 、D 都在第一象限。 （1）当∠BAO=45°时，求点P 的坐标；

（2）求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；

（3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由。 考点：正方形性质, 特殊角三角函数, 全等三角形,, 直角梯形． 分析⑴ 根据已知条件, 用特殊角三角函数可求.

（2）根据已知条件, 假设A 点坐标为（m,0）, B 点坐标为（0,n ）并作DE ⊥x 轴于E,PF ⊥x 轴于F, 用全等三角形等知识求出点D,P,E,F 坐标(用m,n 表示), 从而证出PF=OF, 进而∠POF=45°.因此得证.

（3）由（2）知∠OPF=45°,故0°≤∠OPA ＜45°,2

2

＜cos ∠OPA≤1, 在Rt △APF 中PF=PA·cos ∠OPA,从而得求.

解：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB 为正方形

OA =OB=a·cos45°=

22a ∴P 点坐标为（22a ，2

2a ） （2）作DE ⊥x 轴于E,PF ⊥x 轴于F, 设A 点坐标为（m,0）,B 点坐标为（0,n ）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO 在△AOB 和△DEA 中：

????

?=∠=∠?=∠=∠AD

AB DAE

ABO DEA AOB 90 ∴△AOB ≌和△DEA （AAS ） ∴AE=0B=n,DE=OA=m, 则D 点坐标为（m+n,m ）

∵点P 为BD 的中点，且B 点坐标为（0,n ） ∴P 点坐标为（

2n m +,2n m +）∴PF=OF=2

n

m + ∴∠POF=45°, ∴OP 平分∠AOB 。即无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；

（3）当A,B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上运动时，设PF 与PA 的夹角为α， 则0°≤α＜45° h=PF=PA·cosα=

2

2

a·cosα ∵0°≤α＜45° ∴

22＜cosα≤1 ∴2

1

a ＜h≤22a 例3、（2011?

达州）如图，已知抛物线与x 轴交于A （1，0），B （﹣3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的顶点为P ，连接AC ． （1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，且直线DC 与x 轴交于点Q ，求点D 的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在一点M ，使得S △MAP =2S △ACP ，若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，代入y=a（x﹣x1）（x﹣x2），求出二次函数解析式即可；

（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线DC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可；

（3）首先求出二次函数顶点坐标，S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，以及S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP=得出使得S△MAP=2S△ACP点M的坐标．

解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣x1）（x﹣x2），

∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，

∴y=a（x﹣1）（x+3），

又∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴a（0﹣1）（0+3）=3，

∴a=﹣3

∴y=﹣（x﹣1）（x+3），

即y=﹣x2﹣2x+3，

（2）∵点A（1，0），点C（0，3），

∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，OC⊥x轴，

∴△QOC∽△COA，

∴，即，

∴OQ=9，，

又∵点Q在x轴的负半轴上，

∴Q（﹣9，0），

设直线DC的解析式为：y=mx+n，则，

解之得：，

∴直线DC的解析式为：，

∵点D是抛物线与直线DC的交点，

∴，

解之得：（不合题意，应舍去），

∴点D（，

（3）如图，点M为直线x=﹣1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（﹣1，y），直线x=﹣1与x轴交于点E，

∴AE=2，

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点为P，对称轴为x=﹣1，

∴P（﹣1，4），

∴PE=4，

则PM=|4﹣y|，

∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，

=，

=，

=5，

又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，

S△AEP=，

∴+S△ACP=5﹣4=1，

∵S△MAP=2S△ACP，

∴，

∴|4﹣y|=2， ∴y 1=2，y 2=6，

故抛物线的对称轴上存在点M 使S △MAP =2S △ACP ， 点M （﹣1，2）或（﹣1，6）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

考点例题：

例4、（2011年广州24．14分）已知关于x 的二次函数y=ax 2

+bx+c(a ＞0)的图象经过点C(0,1)，且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0）

（1）求c 的值；

（2）求a 的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，当0＜a ＜1时，求证：S 1-S 2为常数，并求出该常数．

解：(1)将点C （0，1）代入2

y ax bx c =++得1c = （2）由(1)知2

1y ax bx =++，将点A （1，0）代入得

10a b ++=，∴ ()1b a =-+ ∴二次函数为()211y ax a x =-++

∵二次函数为()2

11y ax a x =-++的图像与x 轴交于不同的两点

∴0?>，而()()2

2

22

14214211a a a a a a a a ?=-+-=++-=-+=-????

∴a 的取值范围是0a >且1a ≠

(3)证明：∵01a <<

x

y

P

D

B

C

O

A

∴对称轴为11

122a a x a a

--+=-

=> ∴11212a a

AB a a +-??=-=

???

把1y =代入()2

11y ax a x =-++得

()210ax a x -+=，解得1210,a

x x a

+==

∴1a

CD a

+=

∴12PCD PAB ACD CAB S S S S S S ????-=-=-

＝

11

22CD OC AB OC ??-?? ＝111111222a a

a

+-??-??＝1

∴12S S -为常数，这个常数为1．

例5、（2006年广州25．本小题满分14分）已知抛物线y=x 2

+mx-2m 2

(m≠0)．

(1)求证：该抛物线与X 轴有两个不同的交点； (2)过点P(0，n)作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B(点A 在点P 的左边)，是否存在实数m 、n ，使得AP=2PB?若存在，则求出m 、n 满足的条件；若不存在，请说明理由． 解：（1）△2

2

2

41[2]9m m m =-??-= ∵0m ≠ ∴△0>

∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点。

（2）由题意易知点A 、B 的坐标满足方程：

222x mx m n +-=，即22(2)0x mx m n +-+=

由于方程有两个不相等的实数根，因此△0>，即

22241[(2)]0940m m n m n -??-+>?+>………………….①

由求根公式可知两根为：

A x =

B x =

∴B A AB x x =-=

=

0B P PB x x =-==分两种情况讨论：

第一种：点A 在点P 左边，点B 在点P 的右边 ∵2AP PB = ∴3AB PB =

33m =?=……………….② ∴0m >……………………….③ 由②式可解得

0n =…………………………..④

第二种：点A 、B 都在点P 左边 ∵2AP PB = ∴AB PB =

0m =-

?=……………….⑤ ∴0m >……………………….⑥ 由⑤式可解得

2

209

n m =-

……….⑦

综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点P 存在，此时m 、n 应满足条件：

0m >，0n =或2

209

n m =-

。 难点例题：

例6、（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），抛物线对称轴l 与x 轴相交于点M ． （1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）设点P 为抛物线（x ＞5）上的一点，若以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P 的坐标；

（3）连接AC ．探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；

（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN 的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．

解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），

把点A（0，4）代入上式得：a=，

∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，

∴抛物线的对称轴是：x=3；

（2）由已知，可求得P（6，4），

由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，

又∵点P的坐标中x＞5，

∴MP＞2，AP＞2；

∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，

∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，

在Rt△AOM中，AM===5，

∵抛物线对称轴过点M，

∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，

即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；

故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），

过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；

把x=t代入得：y=﹣x+4，则G（t，﹣t+4），

此时：NG=﹣x+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+t，

∴S△ACN=NG?OC=（﹣t2+t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，

∴当t=时，△CAN面积的最大值为，

由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，

∴N（，﹣3）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及三角形面积的最大值问题．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

第22题图

N

M D

C

B

A 课堂练习（课后完成，广东各地历年函数压轴题） 1、（2008年广东中考试卷，22， 9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边

AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10

的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.

2、（2009年广东中考试卷，22， 9分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；

（2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置

时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ， 求此时x 的值.

3、（2010年广东中考试卷，22， 9分）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB ＝6，

BC ＝4，点F 在DC 上，DF ＝2.动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到

DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连结FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一条直线时，可得FMN ?，过FMN ?三边的中点作?PQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位／秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：

D

C

A

E

图9

图10

（1）说明FMN ?∽?QWP ； （2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，?PQW 为直角三角形？

当x 在何范围时，?PQW 不为直角三角形？

（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．

4、（2011年广东中考试卷，22， 9分）如图，抛物线14

17

452++-=x y 与y 轴交于A 点，

过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).

（1）求直线AB 的函数关系式；

（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB

于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，

MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.

课后巩固：（第一、二部分为必做题,必须认真独立完成;第三部分为选做题）

（一） 上次未过关知识训练

（二） 本次课知识巩固训练

1、(深圳市2008年22)如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2

>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝

3

1

． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

2、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以

AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．

（1）求∠DAB 的度数及A 、D

、C 三点的坐标；

（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ． （3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使?PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）

3、（广东肇庆）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252

+=上.

（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；

（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.

4、（10湖北黄冈）已知抛物线y=ax 2+bx+c 顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P

（x ，y ）向直线y=5/4作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. (1）求字母a ，b ，c 的值；

(2）在直线x ＝1上有一点(1,3/4),求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明

此时△PFM 为正三角形； (3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出

t 值，若不存在请说明理由.

（三） 思维发散和拓展训练

5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

信息反馈：

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老师寄语：

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家长签字：

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