整体处理、巧思妙解
整体处理、巧思妙解
――例谈初中数学应用题教学中“整体思想”的培养
枝江市顾家店中学罗均钢443215
摘要：整体思想是系统思想中的整体原则在数学教学中的反映，运用整体思想能够引导学生从整体上认识问题、思考问题，抓住问题的本质所在，使问题化繁为简、化难为易，有利于培养学生思维的灵活性、敏捷性、创新性.
关键词：整体思想整体设元整体代入整体处理
在数学教学中，“整体思想”是一种值得关注的重要的数学思想，它是通过对研究对象整体形式、结构、特征进行分析和研究，在此基础上对研究对象进行整体把握、整体处理的一种解题策略.运用“整体思想”引导学生从整体上认识问题、思考问题，抓住问题的本质所在，使问题化繁为简、化难为易，达到培养学生思维的灵活性、敏捷性、创造性之目的.“整体思想”的表现形式很多，如：整体代入、整体设元、整体构造、…等，其应用也相当广泛，无论是在数式运算、方程与不等式、还是函数图象、几何图形等方面，都有着广泛的应用。尤其是近几年来，各地在中考试题中，对运用“整体思想”解决问题的能力的考察也受到了更多的关注。本文侧重从初中数学应用题教学中如何培养学生运用“整体思想”解决相关问题，谈一些肤浅的体会，求教于各位同行.
一、大胆设元、整体处理
所谓“大胆设元、整体处理”，是指当问题中的未知量较多，且已知与未知之间的关系较为复杂，问题中的等量关系明显少于未知量的个数时，我们可以大胆地设立未知数，使某些未知数只是“参与”或“过渡”，而对于我们所关注的部分未知数采用“集成”的办法，作为一个整体来处理，从而使问题得以解决的方法.
例1.中秋节来临，小明的妈妈给了小明25元钱，让小明到附近超市去买月饼.小明到超市后发现超市有蛋黄、果仁、豆沙三种月饼，张阿姨买了3个蛋黄、2个果仁、1个豆沙月饼共付款22元；李叔叔买了2个蛋黄、3个果仁、4个豆沙月饼共付款30.5元.小明想买三种月饼各2个，他带的钱够用吗？
分析：本题中涉及三个未知量，即三种月饼的单价，但显然只能找到两个等量关系，即未知数的个数多于方程的个数，若按常规思维，试图求出三种月饼的单价各是多少，显然是行不通的.怎么办？事实上，问题要求的是三种月饼各买两个的总价，而并不需要求出三种月饼的单价，于是可以从整体出发来考虑.
解：设蛋黄、果仁、豆沙月饼的单价分别为x元、y元、Z元，则有：
3x+2y+z=22 ①
2x+3y+4z=30.5 ②
①+②，得 5（x+y+z）=52.5
∴ x+y+z=10.5 2x+2y+2z=21（元）
∵ 21＜25,∴小明带的钱够用。
在上面的解题过程中，虽然设立了三个未知数，但是“设而不求”，而是把“x+y+z”作为一个整体来处理,使问题得到了解决.
例2.便民超市购进一批节能灯，原计划每只节能灯按进价加价40%标价出售．但是，按这种标价卖出这批节能灯的90%时，超市为了加快资金周转，以打7折（即按标价的70%）的优惠价，把剩余的节能灯全部卖出．
（1）剩余的节能灯以打7折的优惠价卖出，这部分是亏损还是盈利？请说明理由．
（2）按规定，不论按什么价格出售，卖完这批节能灯必须交税费300元（税费与购进节能灯用的钱一起作为成本），若实际所得纯利润比原计划的纯利润少了15%．问便民超市购进这批节能灯用了多少钱？
分析：本题中要求购进这批节能灯时用了多少钱，通常情况下，应考虑到先求出购进节能灯的数量和每只节能灯的进价各是多少，但明显只能找到一个等量关系，能否用整体思想来处理呢？若设超市购进这批节能灯的进价为a元/只，数量为b只。则要求的即为“ab”,于是列出方程后，可以将“ab”视为一个整体来处理即可.
解（1）设超市购进的这批电器的进价为a元/每件，数量为b件.则剩余的部分电器按7折优惠卖出后，每件电器所获得的利润为：
a×（1+40%）×70%－a=0.98a－a=－0.02a＜0
∴卖出的这部分电器是亏损.
（注：也可设每只节能灯的进价为单位“1”，则剩余部分电器7折优惠后，每只节能灯的销售价为：1×（1+40%）×70%＝0.98＜1.∴卖出的这部分电器是亏损）
（2）依题意得：
[a（1+40%）－a] ×b×90%+[a（1+40%）×70%－a]×b×10%－300
＝{[a（1+40%）－a] ×b－300} ×（1－15%）
解之得，ab=2500.
答：超市购进这批节能灯用了2500元.
例3.随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长.
（1）尹进2011年的月工资为多少元？
（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把这两种工资书全部捐献给西部山区的学校.请问，尹进总共捐献了多少本工具书？（宜昌市2011年中考题）
分析：本题的第一问学生一般都能解决，但要解决第二问，确实有些困难.因为涉及的未知量有尹进第一次购买的甲、乙两种工具书的数量，甲、乙两种工具书的单价，总共有4个未知量，而能找到的等量关系只有3个，对于缺乏整体思想的学生而言，是很难找到解决问题的突破口的.
解:（1）设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为x,则,2000（1＋x）2＝2420．解得，x1＝0.1 , x2＝－2.1（不合题意，舍去）
∴尹进2011年的月工资为2420×(1＋0.1)=2662元.
（3）设甲种工具书单价为m元，第一次选购y本.设乙种工具书单价为n元，第一次选购z本.则由题意，依题意得
m＋n＝242，①
ny＋mz＝2662，②
my＋nz＝2662－242．
由②＋③，整理得，（m＋n）（y＋z）＝2×2662－242，④
将①代入④得, 242（y＋z）＝2×2662－242，
∴ y＋z＝21． 21+2＝23.
答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本.
上面的解法中，正是在对问题的本质进行充分分析后，采用了“大胆设元、设而不求、整体处理”的思想方法，如将“m+n=242”整体代入，而将“y+z”作为一个整体来处理，正是因为有了这样的解题策略，才使问题得到了巧妙的解答.
二．关注本质、整体设元
所谓“整体设元”，是指在解应用题的过程中，对问题的本质进行充分剖析后，从整体的
角度进行思考，尽可能地减少未知数的个数，使问题得到简捷的解法.
如前面的例2，能否只设一个未知数来解呢？若设超市购进这批节能灯用了x元，由于每只节能灯按进价加价40%后标价，若按标价全部售出，则毛利润为成本的40%，即40%·x （元），纯利润为：（40%·x-300）元.而事实上只按标价售出了90%，其余的10%打7折后全部售完,由于每只节能灯的售价打7折，所以这部分节能灯的利润也要打7折.这样所获得纯利润为：（40%·x·90%+40%·x·10%·70%-300）元.依题意得：
（40%·x-300）×（1－15%）＝40%·x·90%+40%·x·10%·70%-300
解之得，x＝2500.即超市购进这批节能灯用了2500元.
总之，在应用题的教学中，教师要引导学生分析已知和未知之间的关系，有目的、有意识渗透整体思想，训练学生的创新思维，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
参考资料：李玉琪《中学数学教学与实践研究》高等教育出版社 2006年6月第一版
作者简介：罗均钢，男，现年52岁。中学一级教师，从事初中数学教育教学工作32年。宜昌市、枝江市教育学会会员，枝江市首届骨干教师，枝江市优秀学科教师。曾有多篇论文在宜昌市、枝江市级获奖。
巧思妙解
巧思妙解 例谈比较类选择题的解答技巧 广东省兴宁市第一中学刘凯华 典型例题 明末清初的思想家黄宗羲、顾炎武、王夫之三人被称为进步思想家，主要是因为他们 ①反对君主专制独裁，主张“人民为主” ②主张“工商皆本”，强调经世致用 ③主张推翻帝制，建立人民主权的国家 ④对儒学思想进行了总清算，创建了新的思想体系 A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④ 解法点拨 （1）读题联史 上述试题考查内容为明清之际的活跃思想局面，其出现的原因主要有：经济：商品经济发展，资本主义萌芽产生；阶级：工商业者阶层扩大，要求反封建束缚。政治：阶级矛盾、民族矛盾尖锐；君主专制空前强化并走向腐朽。思想：理学日益僵化，八股取士，文字狱等扼杀个性，摧残思想，还有西学东渐，近代西方科技传入中国。其主要代表人物有：李贽、黄宗羲、顾炎武、王夫之等。其主要特点有：反传统、反教条；反封建专制；带有一定的民主色彩；反映资本主义萌芽时代的要求。其主要影响有：进步性：构建起有时代特色的思想体系，使我国传统文化重新焕发生机；一定程度上反映了资本主义萌芽要求，具有明显的民主性和进步性，产生了一定的思想启蒙作用，对近代民主思想产生一定影响。局限性：没有提出新的社会制度，未能形成完整的思想体系；没有从根本上突破儒学（理学）的范畴，没有动摇封建统治的理论基础。其中，特别值得注意的是，明末清初的三大进步思想家指的是黄宗羲、顾炎武、王夫之，李贽不属于此列，三者的共同主张有：抨击君主专制制度；反对重农抑商，提出工商皆本；主张经世致用。 （2）技巧点拨 上述试题属于比较类选择题，其含义指的是：把具有可比性的事件、人物、现象（如著作、典章制度、观点、主张、内容、经济成果、因素、条件）等放在一起或把同类历史现象在不同的历史时期的表现放在一起，通过分析、归纳、比较，找出异（不同）同（相同）点的题型。其主要类型有：类比性（即同类相比较）和对比性（不同类或性质相反的事件、人物等进行比较）等。其特点是：在题干中常用“相同”、“共同”、“相似”、“共性”、“不同”、“差异”、“个性”等问句。其解题方法为：根据题干要求，结合所学知识和有关常识、根据评价历史人物、事件的方法、标准，进行比较，找出两者的相同点或不同点，从被选项中找出正确答案。 迎刃而解 运用上述解题方法并结合所学知识，明末清初三大进步思想家的共同主张有：政治上反对君主专制，经济上主张工商皆本，思想上主张经世致用，故①②正确。其局限性为：没有提出新的社会制度，未能形成完整的思想体系；没有从根本上突破儒学（理学）的范畴，没有动摇封建统治的理论基础，故③④错误。所以，A项为正确答案。 经典再练 关于明末清初三位进步思想家的共同点有（） ①都是传统儒学的背叛者②都反对君主专制 ③主张都反映了资本主义萌芽时期的要求④都直接推动了后来的资产阶级革命 A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③
第15届“海门之窗网”杯小学生巧思妙解玩数学模拟卷二年级试卷
第15届“海门之窗网”杯小学生巧思妙解玩数学模拟卷 二年级试卷 姓名 准考证号 得分 一、填空题。（第2、3、8、10题每题3分，其余每题2分，共28分） 1.计算，直接写出得数。 （1）98＋99＋100＋101＋102＝（ ） （2）25×125×4×8＝（ ） 2.找规律填数。 （1）81，（ ），49，36，（ ） （2） 8 12 16 13 （ ） 23 18 24 30 （3） 3.数出下面各有多少个指定的图形。 （1） （2） （3） （ ）条线段 （ ）个三角形 （ ）个正方形 4. 一个蛋糕要分给11个小朋友吃，每个小朋友吃1块，问如果竖直切，最少要切（ ）刀。如果妈妈要将一块豆腐切成14块，妈妈最少要切（ ）次. 5.下面算式中的每个汉字各代表多少？ （1） 精彩奥运 精＝（ ） （2） 9 好 好＝（ ） 奥运 彩＝（ ） －习 6 习＝（ ） ＋ 奥运 奥＝（ ） 惯 4 惯＝（ ） 2 0 0 8 运＝（ ） －习习 2 1 6.阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了（ ）个小朋友。 61 7 3 40 760 8 90 232 8 4 200 160 20 5 60 450 6 30
A B C D E F 7.根据下面两幅图，请你推想一下，3个的重量等于（ ）个的重量。 8.今年爸爸29岁，妈妈27岁，小玉2岁。当三人的岁数和是70岁时，爸爸（ ）岁，妈妈（ ）岁，小玉（ ）岁。 9.小林要沿着数字按从小大的顺序从1走到7，他共有（ ）种不同的走法。 10.在下面括号里写出从上一个钟面到下一个钟面所经过的时间 11.从五位数48975中划去3个数字（先后顺序不改变）。剩下的2个数字组成的最大两位数是（ ），剩下的2个 数字组成的最小两位数是（ ）。 12.6个小朋友围在一起做“传花”游戏，从A 开始按箭 头方向向下一个人传花。传花时按顺序报数，当报到50时，花在（ ）手上。 二、操作与探索。（每题6分，共24分） 13.只移动一根火柴棒，使得等式成立。 （1） 改后的算式是：（ ） （2） 改后的算式是：（ ） 7 6 5 5 4 3 4 3 2 1 12 12 12 12 经过 ( ) 经过 ( ） 经过 (
2015巧思妙解模拟试卷答案
奥数答案 一年级一、填空题：(每空3分，12小空，共36分）1．4； 2．10 3．18 4．9 5．46 6．19 ①7. 3 8. △= 12，○= 4 ，□= 16。 9．12秒 10．3个 二、选择题：（每小题2分，5小题，共10分）11．② 12．③ 13．② 14．① 15．D或4 16. ③ 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分）17．把右边5个图形中的第一和第三个圈起来。 18．能 19．
20． 21． 4+7=11 四、解决问题：（共31分） 22.4 23.24页。 24. 24岁；55岁。 25.亮亮的爸爸是工人；明明的爸爸是老师；刚刚的爸爸是解放军。 26.（1）2+5=7，10-6=4； （2）2+5=7，10-4=6； （3）5+2=7，10-6=4； （4）5+2=7，10-4=6； （5）4+6=10，7-5=2； （6）4+6=10，7-2=5； （7）6+4=10，7-5=2； （8）6+4=10，7-2=5。
二年级 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1．3,2 2．白猫 3．11个 4．15个 5．108级 6．2分钟 7．7+1-4=4 8．76020 20607 9．22 10．48 11.桔子。 二、选择题：（每小题2分，5小题，共10分） 1．① 2．③ 3．② 4．① 5．③ 6．③ 三、操作题：（每小题5分，3小题，共10分） 1. （2）（3） 2. 先竖着切三刀，分成7块，在横着切，分成14块，就可以每人一份了。 3. 4.（1）（1 +2+3-4）×5 = 10 （2）（1+2）×3-4+5 = 10 （3）（1+2）÷3+4+5 = 10 5.愉= 1 块= 9 学=3 习=6
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2.4 线性相关中的巧思妙解 线性相关题型在高考试题中具有计算复杂、运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ） A.（2，2）点 B.（1.5，0）点 C.（1，2）点 D.（1.5，4）点 基本解法:(1)设所求的直线方程为y ?=bx+a ，其中a 、b 是待定系数。 （2）计算平均数x ，y ； （3）求a ，b ； （4）写出回归直线方程。 (5)验证A.B C D 那些点所求直线上. ?????????-=--=---=∑∑∑∑====. , )())((1 2 2 1 121 x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 其中x =n 1 ∑=n i i x 1，y = n 1 ∑=n i i y 1 ，a 为回归方程的斜率，b 为截距。 对于本题4,5.1==y x ,所以b=2,a=1, y ?=2x+1，过(1.5,4)点,故选D 巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x ,
妙解：x =n 1∑=n i i x 1，y =n 1∑=n i i y 1 4,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可. 例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示： 年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？ 基本解法: 利用回归分析 x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点．观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以尝试用直线进行拟合． 设回归直线方程为bx a y +=?，则由相关数据计算得：5.199711==∑=n i i x n x ，25.254011==∑=n i i y n y ，7.94)(12 2 1=--=∑∑==n i i n i i i x n x y x n y x b ，186623-=-=x b y a ， 所以回归直线方程为x y 7.94186623?+-=，从而 ?+?-=7.944186623总y 11676)2003200220012000(≈+++（人），即为所求． 巧思：由于求解先性回归方程时公式难记运算量又大,容易出错,我们还可以从新发病的增长率入手 1996年到1997年新发病的增长率为 (2491-2400)/2400≈3.792％； 1997年到1998年新发病的增长率为 (2586-2491)/2491≈3.814％； 1998年到1999年新发病的增长率为 (2684-2586)/2586≈3.790％． 由此可见，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，
2015三年级巧思妙解试卷
第十届“海门之窗”杯巧思妙解玩数学竞赛（模拟卷） 三年级试题 准考证号码 姓名 得分 指导老师 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1.按规律填数：1,2,5,13,34，（ )。 2.在除法算式A ÷9=B ……C 中，B 、C 都是一位数，A 最大是（ ） 3.三（1）班共有学生50人，做完语文作业的有38人，做完数学作业的有41 人，每人至少完成一种作业。两种作业都完成有（ )人。 4.已知□+□+□=O +O ，?+?=□+□+□，O +□+?=40， 那么?=（ ），O =（ ），□=（ ）。 5.被除数和除数相差95，商是5，余数是3。被除数是( ),除数是( )。 6.妈妈15年前的年龄和女儿13年后的年龄相同，妈妈35岁时女儿（ ）岁。 7.鸡兔同笼，鸡比兔多25只，一共有脚176只，那么鸡有（ ）只，兔有 （ ）只。 8.3个菠萝的质量等于一个梨和1个西瓜的质量，1个菠萝和3个梨的质量等于 1个西瓜的质量，那么（ ）个梨的质量等于1个西瓜的质量。 二、选择题：(每小题3分，5小题，共15分） 1.由1,2,3,4,5,6,7,8可以组成多少个两位数？ ① 64 ② 56 ③ 8 2.在所有的四位数中，个位数字之和是34的数共有（ ）个 ① 4 ② 10 ③ 12 3.下面三块正方体六个面，都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种 颜色，请观察推想，红色的对面的颜色是（ ） ① 黑色 ② 白色 ③蓝色 4.一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过8天可以把整个池塘全部遮住。问睡黑 黄 白 绿 红 黄 绿 黑 蓝
莲要遮住半个池塘需要（）天。 ① 4 ② 6 ③ 7 5.小可和其他五个小朋友围成一个圆圈，圆圈中间放着50个乒乓球，小朋友们按顺序依次拿乒乓球，每人每次拿四个，直到把乒乓球拿完为止（最后剩下不足4个就拿完）。若小可第二个拿，他拿到（）个乒乓球。 ① 8 ② 10 ③ 6 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分） 1.在下面由火柴棒摆成的算式中，请移动一根火柴棒，使算式成为等式。 2.下面每个汉字代表几？ 2 奥数成功办 × 3 奥数成功办 2 3.将1~16这16个数分别填入下图的16个方格内，使每行、每列、两条对角线上四个数字的和都相等。
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线性相关中的巧思妙解 线性相关题型在高考试题中具有计算复杂、运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ） A.（2，2）点 B.（1.5，0）点 C.（1，2）点 D.（1.5，4）点 基本解法:(1)设所求的直线方程为y ?=bx +a ，其中a 、b 是待定系数。 （2）计算平均数x ，y ； （3）求a ，b ； （4）写出回归直线方程。 (5)验证A.B C D 那些点所求直线上. ?? ? ???? ? ? -=--=---=∑ ∑∑ ∑====. , )())((1 2 2 1 12 1 x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 其中x = n 1 ∑ =n i i x 1 ，y = n 1 ∑=n i i y 1 ，a 为回归方程的斜率，b 为截距。 对于本题4,5.1==y x ,所以b =2,a=1, y ?=2x +1，过(1.5,4)点,故选D 巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x , 妙解：x = n 1 ∑ =n i i x 1 ，y = n 1 ∑=n i i y 1 4,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可. 例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所
巧思妙解高考数学题
巧思妙解高考数学题[转载] 1.（Ⅰ卷，文21）已知函数. （1）证明：曲线y= f（x）在x = 0处的切线过点（2，2）； （2）若f（x）在x = x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围. 【参考答案】 （1）. 由得曲线y= f（x）在x = 0处的切线方程为 .由此可知曲线y= f（x）在x= 0处的切线过点（2，2）. （2）由得 ①当 --1≤ a ≤-1时，没有极小值； ②当或时，由得 故x0 =x2 .由题设知， 当时，不等式无解； 当时，解不等式得. 综合①②得的取值范围是. ·巧思· ①（1）中，利用“k切= k PQ”（P、Q为定点、切点），根据“两点决定一条直线”， 可以避免求出切线方程，而“直截了当”地证明。 ②（2）中，利用三次函数的中心对称性，先将f（x）化为“中心式”，求出对称中 心（- a，c）；再利用x 3系数为正的三次函数的极大值点和极小值点分别在“中心点” 的左、右，便得x0 ＞- a。 ③将方程f ’（x0）= 0中含x0的项配平方，得到（x0+ a）2，“0＜x0+ a＜3 + a”便 就有了作用；再将含a的项合并，得到2a（1-x0），“x0＞1”也就有了作用……如此，可避免解方程和分类讨论。 ·妙解· （1）设P（2，2），切点Q（0，12a- 4）.k切= 3 - 6a = k PQ切线PQ.
（2）f（x）可化为（x + a）3 + b（x + a）+c曲线y = f（x）关于点（- a，c）对称x0＞- a. 题设f’（x0）=3（x02 + 2ax0+1 - 2a）= 00＜（x0+ a）2= a2 + 2a -1＜(3 + a）2，且2a（1- x0）= x02 + 1＞0（x0＞1）a＜0a∈（-2.5，--1）即为所求. 【评注】 ①（1）中，证明过一已知点、斜率也已知的直线必过另一定点，不等于一定要先求出直线方程、再将坐标代入检验；解题要做到“能省则省”、能不“绕弯子”则尽量不“绕弯子”。 ②（2）的求解过程，体现了命题的本意：为何函数式中x2的系数用3a而不用a？为何条件是“x0∈（1，3）”而不是“x0∈（0，3）”或“x0∈（2，3）”等？可谓“首尾呼应”、“问答相称”。 ③二次函数的图像（抛物线）是轴对称图形，三次函数的图像（S形线）是中心对称图形；前者的定义域分为两个单调区间，后者的定义域为一个单调区间或分为三个单调区间；教师可补充介绍后者的性质。 2.（Ⅰ卷，理21、文22）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 -的直线与C交于A、B两点，点P满足. (1)证明：点P在C上； （2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 【参考答案】 (1)F（0，1），的方程为，代入并化简得 . 设，则
最新巧思妙解高考数学题目
巧思妙解高考数学题 目
巧思妙解2011年高考数学题（上海卷） 1.（理20,文21）已知函数f（x）=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.（1）若ab＞0，判断函数f（x）的单调性； （2）若ab＜0，求f（x+1）＞f（x）时x的取值范围. 【参考答案】 （1）当a＞0，b＞0时，任意x1,x2∈R, x1＜x2,则 f（x1）-f（x2）=a（2x1-2x2）+b（3x1-3x2）. ∵2x1＜2x2，a＞0a（2x1-2x2）＜0， 3x1＜3x2，b＞0b（3x1-3x2）＜0， ∴f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在R上是增函数. 当a＜0,b＜0时,同理,函数f（x）在R上是减函数. （2）略 ·巧思· ①利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”，情况1的结论便显而易见。 ②利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”，情况2的结论便显而易见。 ·妙解· 若a＞0，b＞0，则a·2x和b·3x在R上递增 f（x）在R上递增； 若a＜0，b＜0，则a·2x和b·3x在R上递减 f（x）在R上递减.
【评注】 ①利用定义判断或证明固然很好，如能利用某些性质解决问题，则更显得轻松、方便。 ②上述单调函数的性质经常用到，教师应向学生补充讲解，使之牢固掌握、灵活运用。 ③“奇函数的和还是奇函数，偶函数的和还是偶函数”，“奇函数与偶函数的积是奇函数”，“奇数个奇函数的积是奇函数，偶数个奇函数的积是偶函数，”这些性质也应当能够掌握。 2.（文22）已知椭圆C：（常数m＞1），P是曲线C上的动点，M 是曲线C的右顶点，定点A的坐标为（2,0）. （1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标； （2）若m=3,求∣PA∣的最大值和最小值； （3）若∣PA∣的最小值为∣MA∣，求实数m的取值范围. 【参考答案】 （1）略 （2）m=3,椭圆方程为.设P（x，y），则 ∣PA∣2 ==（-3≤x≤3）.
人教版数学高一古典概率模型中的巧思妙解
古典概率模型中的巧思妙解 古典概型在高考试题中具有一定的灵活性、机动性.一般对随机事件的考察，常常结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1.甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个， 甲、乙二人一次各抽取一题，问：甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？ 解：甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90； 基本解法：利用分类计数原理 只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24；只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24；甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30； 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是15 1390302424=++. 巧思：基本解法利用的是分类计数原理，从正面入手，考虑情况比较多，“正难则反”，不妨 换个角度，考虑其反面即利用其对立事件反而会简单明了。 妙解：利用对立事件 事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件. 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12； 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1513152190121=-=-. 例2.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品,如果从中一次取3件， 求3件都是正品的概率? 解: 基本解法：这种抽取可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x ,y ,z ）记录结 果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但（x ,y ,z ），（x ,z ,y ），（y ,x ,z ），（y ,z ,x ），（z ,x ,y ），（z ,y ,x ），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120， 按同样的方法，事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56， 因此P (B )= 120 56≈0.467． 巧思：对于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺 序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.上面就是按无顺序抽样进行的，那有顺序抽样是否会简单一些呢？
第13届海门之窗网杯小学生巧思妙解玩数学
第13届“海门之窗网”杯小学生巧思妙解玩数学 一年级试卷 姓名准考证号得分 一、填空题。(第1、2题每题3分，第4题4分，其余每题2分，共28分) 1. 数一数。 （）个长方形（）个正方形（）个三角形 2.已知：△+△=16；△+□=10；○+△+□=20。那么：△=（）；□=（）；○=（）。 3.把一根绳子对折，再在对折好的绳子中间剪三 刀，这时绳子断成（）段。 4.将1、2、3、4、5这五个数填入右图的空格里， 使得横行、竖行三个数相加的和都是10。 5.今年小红4岁，姐姐12岁。当两人的年龄合起来18岁时，小红（）岁。 6.小林家住在六楼，他从一楼走到三楼要2分钟。照这样的速度，他从一楼走到六楼一共需要（）分钟。 7.小明、小飞和小军比身高。小明说：“我比小飞矮。”小飞说：“小军比小明高。”小军说：“小飞比我高。” 从三人的对话中可以知道，（）最高，（）最矮。 8.在一个不透明的黑袋子中装着5颗红珠子，4颗白珠子，至少摸出（）颗珠子才能确保有两颗白珠子。
9. 在“○”里填上“＋”或“—”，使等式成立。 2 9 = 4 10.超市规定：喝完啤酒后，3个空啤酒瓶可以换取1瓶啤酒。爸爸买了12瓶啤酒，实际上最多可以喝到（ ）瓶啤酒。 11.实验小学校园足球比赛共有5支球队参加，每支球队都要和其它4支球队各比赛一场。一共要踢（ ）场比赛。 12. 车库里停放着自行车和三轮车共7辆，一共有车轮19个。每辆自行车有2个轮子，每辆三轮车有3个轮子。车库里的自行车有（ ）辆，三轮车有（ ）辆。 二、实践与探索。(每题6分，共24分) 13. 根据图形的变化规律想一想，接着怎么画？想好后画下来。 14. 拿掉哪两根火柴棒，能够使下图变成3个长方形？将拿掉的两根火柴棒在图上划一划。 15. 将3 、 4、 5、 6、 7、8、9、10这八个数分别填入“□”里（每个数只能用一次），使下面的两个等式同时成立。 16. 小明家车库的灯只有一个开关按钮，按一下为开，按第二下为关。某一天停电，爸爸回家后在开关上按了两下，妈妈回家后
第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛四年级试题含答案资料
第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛四年级试题含答 案
第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛 四年级模拟试题 准考证号码姓名得分指导老师 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1.按规律填上适当的数。 5，2，8，4，12，8，17，16，（），（）。 2.几个同学交流自己家的门牌号，前六位同学家的门牌号分别是301，402，607，113，736，223。小梅发现她家的门牌号与前面每个门牌号恰好在同一数位有一个相同的数字。你知道小梅家的门牌号是（）。 3. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是180，而差比减数少8.如果被减数不变，减数减少16，差应变（）。 4.小明在计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864。这两个因数各是（）和（）。 5.小刚五次考试的平均成绩为93分（满分为100分），那么他每次考试的分数不得低于（）分。 6. 小明做错题时，把被减数百位上的3错写成8，把减数十位上的9错写成6，这样算得的差是806.正确答案是（）。 7. 一个等差数列的第5项是21，第8项是 63，那么它的第14项是（）。 8.如图，已知大正方形的边长为4，小正方形 的边长为3，那么阴影部分的面积为（）。 9.二进制数10110改写为十进制数为（）。
10.在四年级的100个学生中，68人订阅了《小学生数学报》，76人订阅了《小学生语文报》，其中仅订《小学生数学报》的有10人，则这100个学生中仅订《小学生语文报》的有（）人。 二、选择题：(每小题3分，5小题，共15分） 1. 有两袋糖，一袋有71粒，另一袋有39粒，每次从多的一袋中拿出4粒放入少的一袋里，拿（）次才能使两袋糖数目同样多。 A. 36 B.8 C. 6 D.4 2. 有一位工人把长18米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次需4分钟，共需要（）分钟。 A. 12 B.20 C. 24 D.32 3. 假期里有些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了120次电话，问有（）个同学相约互通了电话。 A. 10 B.12 C. 15 D.16 4. 用1，2，4，5四个数组成不同的四位数，把它们从小到大排列，第17个数是（）。 A. 4521 B.4512 C.4152 D. 2541 5. 数一数，下面图形中有（）个正方形。 A.9 B.10 C.11 D.12 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分） 1 . 速算巧算：99999×77778+33333×66666
2021年高考数学二轮复习 函数性质在运用中的巧思妙解专题检测(含解析)
2021年高考数学二轮复习函数性质在运用中的巧思妙解专题检测（含解 析） 1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ 1 3x＋2 013 －a，则f(log3 1 2 ) ＝________. 答案 1 2 015×2 014 解析由题意，可知函数f(x)为奇函数， 所以f(0)＝ 1 30＋2 013 －a＝0， 解得a＝ 1 2 014 ，所以当x≥0时， f(x)＝ 1 3x＋2 013 － 1 2 014 . 所以f(log32)＝ 1 3log 3 2＋2 013 － 1 2 014 ＝1 2 015－ 1 2 014 ＝－ 1 2 015×2 014 . 从而f(log31 2 )＝f(－log32) ＝－f(log32)＝ 1 2 015×2 014 . 2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝________. 答案337 解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2， 当－1≤x<3时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×2 010 6 ＝335. 而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝335＋2＝337. 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－2，2＋2]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________． 答案(－∞，－2] 解析设x<0，则－x>0. f(－x)＝(－x)2， 又∵f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－x2. ∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(2x)． ∴f(x＋t)≤2f(x)＝f(2x)?x＋t≤2x在[－2－2，2＋2]上恒成立， ∵x＋t≤2x?(2－1)x≥t， 要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t ?t≤－2即可． 4．(xx·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log a)≤2f(1)，则a的取值范围是
巧思妙解2011年高考数学题
巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷） 杨洪林 1.（题18）如图，在平面直角坐标系x O y中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. （1）当直线PA平分线段MN时，求k的值； （2）当k= 2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k ＞0，求证：PA⊥PB. 【参考答案】 （1）……. （2）……. （3）解法一将直线PA的方程y= kx代入，解得x=±.记μ=， 则P（μ,μk）, A（-μ, -μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为=，其方程为. 代入椭圆方程得（2 + k2）x2 -2μk2x–μ2（3k2 + 2）= 0, 解得x =或x = - μ .
因此B（, ），于是直线PB的斜率k1 = == -. 因此k1 k= - 1，所以PA ⊥ PB. 解法二设P（x1, y1）,B（x2, y2）,则x1＞0, x2＞0, x1≠x2，A（-x1,-y1）,C（x1,0）. 设直线PB、AB的斜率分别为k1、k2，因为C在AB上，所以k2 === . 从而k1k+1=2k1k2+1 = 2··+ 1 =+ 1 = = = 0. 因此k1k = - 1，所以PA ⊥ PB. ·巧思· ①利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ⊥PB”就转化为“证明OA ⊥OD”。 ②将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。 ③利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k = k BC），必可得到k OA·k OD = -1 AB （条件都已用到）。 ·妙解· 设AB的中点D（a,b），A（a+ m,b+ n），B（a - m,b - n），则C（-a -m,0），OD ∥PB. 且（a + m）2 + 2（b + n）2= 4 =（a - m）2 +2（b - n）2am + 2bn = 0. k PA = = 2 k AC = 2 k AB = = - = - = -PA⊥PB. 【评注】 ①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。 ②将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为 凡”。 ③（1）中，根据“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”，便有：OQ=MQ（Q为MN 的中点）k= - k MN ==；（2）中，根据直线斜率的几何意义以及平行线等分线段
优化高考数学试题计算量的五种方法
优化高考数学试卷计算量的五种方法 计算能力是思维能力和运算技能的结合，是高考数学考查的四大能力之一，在代数、三角、立体几何、解读几何等内容中都有体现，高考中有以上的试卷都具有一定的计算量，所以通过研究试卷特点、了解算理、改进计算方法，减少高考试卷的计算是赢得考试成功的重要途径。本文结合近几年的高考试卷和自己的解题教案体会揭示如何优化高考数学中的计算量，给高三复习提供帮助。 一、 巧思妙解，避免计算 高考试卷一般都有多种解法，最多的甚至有近二十种方法，这些方法有繁有简，所以要通过对试卷进行分析和联想，用化归、构造或类比等方法寻求最佳解题策略。 例（全国新课程卷试卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） ．π ．π ．33π ．π 解读：很多考生在考试时由于图形难画，计算量大而无可奈何的放弃，但本题如果采用构造法则可以避免计算，由于连结正方体六个面的六条对角线，可以构成一个正四面体，所以这个四面体可以看成是棱长为的正方体面的对角线构成的，这时正方体内接于球，球的直径就是正方体的对角线长. 易知球的直径是3，故球的表面积为π． 评析：由正四面体联想到正方体突破了寻找球心和半径的障碍，避免了复杂计算，使解题快速准确。 例（全国新课程卷试卷）已知长方形四个顶点（，），（，），（，）和（，）.一质点从的中点沿与夹角为θ的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.设的坐标为（，）.若< <，则θ ．)1,3 1 ( ．)32,31( ．)21,52( ．)32,52( 解读：依题意可记各点的坐标如下：)0,1(0P ， )tan ,2(1θP ，)1,(22x P ，),0(33y P ，)0,(44x P ，由反射原理依次求得2x 、3y 、4x 后，再由214< 第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛 四年级模拟试题 准考证号码姓名得分指导老师 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1.按规律填上适当的数。 5，2，8，4，12，8，17，16，（），（）。 2.几个同学交流自己家的门牌号，前六位同学家的门牌号分别是301，402，607，113，736，223。小梅发现她家的门牌号与前面每个门牌号恰好在同一数位有一个相同的数字。你知道小梅家的门牌号是（）。 3. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是180，而差比减数少8.如果被减数不变，减数减少16，差应变（）。 4.小明在计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864。这两个因数各是（）和（）。 5.小刚五次考试的平均成绩为93分（满分为100分），那么他每次考试的分数不得低于 （）分。 6. 小明做错题时，把被减数百位上的3错写成8，把减数十位上的9错写成6，这样算得的差是806.正确答案是（）。 7. 一个等差数列的第5项是21，第8项是63，那么它的第14项是（）。 8.如图，已知大正方形的边长为4，小正方形的 边长为3，那么阴影部分的面积为（）。 9.二进制数10110改写为十进制数为（）。 10.在四年级的100个学生中，68人订阅了《小 学生数学报》，76人订阅了《小学生语文报》， 其中仅订《小学生数学报》的有10人，则这 100个学生中仅订《小学生语文报》的有 （）人。 二、选择题：(每小题3分，5小题，共15分） 1. 有两袋糖，一袋有71粒，另一袋有39粒，每次从多的一袋中拿出4粒放入少的一袋里，拿（）次才能使两袋糖数目同样多。 A. 36 B.8 C. 6 D.4 2. 有一位工人把长18米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次需4分钟，共需要（）分钟。 A. 12 B.20 C. 24 D.32 3. 假期里有些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了120次电话，问有（）个同学相约互通了电话。 A. 10 B.12 C. 15 D.16 4. 用1，2，4，5四个数组成不同的四位数，把它们从小到大排列，第17个数是（）。 A. 4521 B.4512 C.4152 D. 2541 5. 数一数，下面图形中有（）个正方形。 A.9 B.10 C.11 D.12 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分） 1 . 速算巧算：99999×77778+33333×66666 2.试一试作图，9个点最多可以连成多少条线，要求每条线上有3个点。最新第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛四年级试题含答案