导数中恒成立问题端点效应分析

先求充分、再证必要（端点分析）

导数不等式恒成立问题中求解参数范围的一种简便算法

可能适用类型：

①不便于参变分离；

②参变分离后的函数形式比较复杂

解题步骤：

①移项，将所有变量移到一边，使不等式右侧为0；

②计算端点处函数值，验证端点处函数值是否为0，若为0，则可继续往下走，否则此题不适合使用端点分析法；

指数型端点效应

例1（10年新课标全国1卷）设函数2()1x f x e x ax =---,若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

例2（07年全国20题）设函数()x x e e x f --=，若对所有0≥x 都有()ax x f ≥成立，求实数a 的取值范围

例3对任意0≥x ，不等式12+≥+-ax e xe x x 恒成立，求实数a 的取值范围例4（14课标2理）已知函数()x

e e x

f x x 2--=-（1）讨论()x f 的单调性

（2）设()()()x bf x f x g 42-=，当0>x 时，()0>x g 求b 的最大值

例5（10年全国卷）设()x e x f --=1，当0≥x 时，()1

+≤ax x x f ，求a 的取值范围练习：（10新课标文科）设函数()()

21ax e x x f x --=，若当0≥x 时，都有()0≥x f ，求a 的取值范围

对数型端点效应

例6已知函数()()()1ln 1--+=x a x x x f ，若当()+∞∈,1x 时，()0>x f ，求a 的取值范围.

例7已知函数()()R a a ax x x x f ∈+-=2

ln ，当1>x 时，关于x 的不等式()0

例8设函数()()()x mx x f +-=1ln 1，若当10<

例9已知函数()()

()R a x x a x f ∈--=ln 12，若()0≥x f 在[)∞+，1恒成立，求实数a 的取值范围.

例10已知函数()()

R a x x a x x f ∈--=,ln 2，当1≥x 时，()0≤x f 求实数a 的取值范围.例11设函数()()()

R a x x a x x f ∈-++=,1ln 2，若()0,0>>?x f x 成立，求a 的取值范围

例12已知函数()()R a a x ax x f ∈--=ln ，若()x ax x f ln <在()∞+，1恒成立，求实数a 的取值范围

例13（06全国2）设函数()())1ln(1++=x x x f ，若对所有的0≥x ，都有()ax x f ≥成立，求实数a 的取值范围

例14：设函数()()()0,'),1ln ≥=+=x x xf x g x x f （，其中()x f '是()x f 的导函数，若()()x ag x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围

例15.（15年北京理18）已知函数()x

x x f -+=11ln

（1）略（2）求证：当()1,0∈x 时，()???

? ??+>323x x x f ；（3）设实数k 使得()???

? ??+>33x x k x f 对()1,0∈x 恒成立，求k 的最大值

例16.已知函数()[)+∞∈+-=,1,1ln 2

x x x x x f （1）证明()()2

1-≥x x f ：（2）若()()2

1-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围。三角型端点效应

例17.设函数()x x f sin =，若()ax x f ≤在[)∞+，0上恒成立，求实数a 的取值范围

例18（武汉高三重点中学联考）已知函数()x x x f sin +=，设()()1'

-=x f x g ，若()21ax x g +≥在[)∞+，

0恒成立，求实数a 的取值范围例19设函数f (x )＝x e x －a sin x cos x (a ∈R ，其中e 是自然对数的底数).

(1)当a ＝0时，求f (x )的极值；

(2)若对于任意的x ∈[0，π2

]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间(0，π2

)上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.

区间端点的函数值恰好是不等式恒成立时的临界值是这类问题的显著特征。

作业：例1：（14年陕西21）设函数()()ln 1f x x =+，()()()0g x xf x x '=≥，其中()f x '是()f x 的导函数。

（1）()()1g x g x =，()()()()1n n g x g g x n N ++=∈，求()n g x 的表达式；

（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）设n N +

∈，比较()1n

i g i =∑与()n f n -的大小，并加以证明。

例2：(湖北本小题满分14分)

已知函数f (x )=ax +b x +c (a ＞0)的图象在点（1,f (1)）处的切线方程为y =x -1.(Ⅰ)用a 表示出b ,c ;

(Ⅱ)若f (x )x ln ≥在[]∞+，1上恒成立，求a 的取值范围；(Ⅲ)证明：1+1

2+1

3+…+1

n ＞㏑(n+1)+()21n n +)(n ≥1).

导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒

函数不等式恒成立问题经典总结

函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，；令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(

关于不等式恒成立问题的几种求解方法

关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;

导数中的恒成立和存在性问题

导数中的恒成立和存在性问题

技巧传播 1．恒成立问题的转化：()a f x >恒成立max ()a f x ?>；()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤； 2．能成立问题的转化：()a f x >能成立min ()a f x ?>；()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤； 3．恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ； 另一转化方法：若x D ∈，()f x A ≥在D 上恰成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =， 若x D ∈，()f x B ≤在D 上恰成立，则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =； 4．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥； 5．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则max max ()()f x g x ≤； 6．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则max min ()()f x g x ≥； 7．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则min max ()()f x g x ≤； 8．若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方； 9．若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方；

处理恒成立问题基本方法

处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一．恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。 二．处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ①变量分离思路处理； ②利用函数的性质，图象思路处理。 若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。 在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。

≥∈--∈∴≥=-- =+∴≥-Q 21 例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ） 2 5 A. 0 B. -2 C. - D.-3 2 111 解析：由于x (0,],a 21115 ()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值 2225 ,故选2 方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C ≠≥≤≥≥∈?≥≤≤∈?≤若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： >≠??<≤∈220 若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{ 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈?≥∈≥∈?≥Q Q Q 22max 22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增 f(x)t -2at+1 a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1] 即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0 f x f x

第18讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立问题备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》 达标检测 [A 组]—应知应会 1．已知函数f (x )＝x ＋4 x ，g (x )＝2x ＋a ，若?x 1∈????12，1，?x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2 【解析】选A.由题意知f (x )min ??? ?x ∈????12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A. 2．(2020·吉林白山联考)设函数f (x )＝e x ????x ＋3x －3－a x ，若不等式f (x )≤0有正实数解，则实数a 的最小值为________． 【解析】原问题等价于存在x ∈(0，＋∞)，使得a ≥e x (x 2－3x ＋3)，令g (x )＝e x (x 2－3x ＋3)，x ∈(0，＋∞)，则a ≥g (x )min ，而g ′(x )＝e x (x 2－x )．由g ′(x )>0可得x ∈(1，＋∞)，由g ′(x )<0可得x ∈(0，1)．据此可知，函数g (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为g (1)＝e.综上可得，实数a 的最小值为e. 3．(2020·西安质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1，＋∞)均成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)因为f ′(x )＝1 x ， 所以f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，所以切线的方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即所求切线的方程为y ＝x －1. (2)易知对任意的x ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，g (x )＞0. ①当a ≥1时，f (x )≤g (x )≤ag (x )； ②当a ≤0时，f (x )＞0，ag (x )≤0，所以不满足不等式f (x )≤ag (x )； ③当0＜a ＜1时，设φ(x )＝f (x )－ag (x )＝ln x －a (x －1)，则φ′(x )＝1 x －a ，

用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案

用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。

3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.

4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．

5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．

关于函数恒成立问题的解题策略

关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想．

导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量）

求解恒成立问题的常见方法

求解恒成立问题的常见方法 摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词：恒成立；参数；解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。 解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。 解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴00（或f（x）

≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。 二、在给定区间上恒成立问题 例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。 解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ） 令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5 ∴-（x+ ）<-5∴a≥-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。 分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围 解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调 ∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立， 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0） ∴a≥0或a≤-4 方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等

导数之恒成立问题

应用导数研究函数的恒成立与存在性问题 例已知函数()()()21,ln 12 f x x x g x x a =+=+-. （1）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x =，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x >，求实数a 的取值范围； （3）若对任意[]0,2x ∈，恒有()()f x g x >，求实数a 的取值范围； （4）若对任意[]12,0,2x x ∈，恒有()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （5）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （6）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围； （7）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （8）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围；

(1)恒成立问题 ①. ①x①D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ①. ①x①D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma xg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,① F(x)min >0； ①. ①x①D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,① F(x) ma x <0； (2)存在性问题 ①. ①x0①D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A； ①. ①x0①D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),① F(x) ma x >0； ①. ①x0①D,使得f(x0) g(x2)成立,则f(x)min > g(x)ma x； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in > g(x)m in； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)max > g(x)max.

导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)

学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。

5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．

法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.

关于函数恒成立问题的解题

恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n +恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立， 设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0， 故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)． 2、二次函数型 例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+，适合；

利用导数解决恒成立能成立问题备课讲稿

利用导数解决恒成立能成立问题

利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） (1)恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 1．若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是 ______ ． 2．若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围 _________ ． 3．设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f （x 1）≥g（x 2）成立，则a 的取值范围为 _________ ． 4．若不等式|ax 3 ﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a 取值范围是 _________ ．

15．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知 ，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a 的范围是_________ ． 6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为_________ ． 7．三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是_________ ． 8．不等式x3﹣3x2+2﹣a＜0在区间x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是__ ． 9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=e x的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是_________ ．10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的 x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 _________ ．

导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

利用导数解决恒成立能成立问题

利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） (1)恒成立问题 若不等式A x f 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上min f x A 若不等式B x f 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上max f x B 1．若在x ∈[1，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是______ ． 2．若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围_________ ． 3．设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f （x 1）≥g （x 2）成立，则a 的取值范围为_________ ． 4．若不等式|ax 3﹣lnx|≥１对任意x ∈（0，1]都成立，则实数a 取值范围是_________ ． 15．设函数f （x ）的定义域为D ，令M={k|f （x ）≤ｋ恒成立，x ∈D}，N={k|f （x ）≥ｋ恒成立，x ∈D}，已知，其中x ∈[0，2]，若4∈M ，2∈N ，则a 的范围是_________ ． 6．f （x ）=ax 3﹣3x （a ＞0）对于x ∈[0，1]总有f （x ）≥﹣1成立，则a 的范围为_________ ． 7．三次函数f （x ）=x 3﹣3bx+3b 在[1，2]内恒为正值，则b 的取值范围是_________ ． 8．不等式x 3﹣3x 2+2﹣a ＜0在区间x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是__ ．

9．当x ∈（0，+∞）时，函数f （x ）=e x 的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k 的取值范围是_________ ． 10．设函数f （x ）=ax 3﹣3x+1（x ∈R ），若对于任意的x ∈[﹣1，1]都有f （x ）≥０成立，则实数a 的值为_________ ． 11．若关于x 的不等式x 2+1≥kx 在[1，2]上恒成立，则实数k 的取值范围是_________ ． 12．已知f （x ）=ln （x 2+1），g （x ）=（）x ﹣m ，若?x 1∈[0，3]，?x 2∈[1，2]，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数m 的取值范围是（） A ．[，+∞） B ．（﹣∞，] C ．[，+∞） D ．（﹣∞，﹣] 13．已知，，若对任意的x 1∈[﹣1，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），则m 的取值范围是（） A ．[0，] B ．[，0] C ．[，] D ．[，1] 二利用导数解决能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式A x f 成立,则等价于在区间D 上max f x A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式 B x f 成立,则等价于在区间D 上的 min f x B.如14．已知集合A={x ∈R|≤2}，集合B={a ∈R|已知函数f （x ）=﹣1+lnx ，?x 0＞0，使f （x 0）≤０成立}，则A ∩B=（）

函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)

恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 １、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >;()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为Ｍ ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在Ｄ上恰成立，等价于)(x f 在Ｄ上的最小值 A x f =)(min ,若 ,D x ∈B x f ≤)(在Ｄ上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . ４、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则 ()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方; 9、若不等式()()f x g x <在区间Ｄ上恒成立,等价于在区间Ｄ上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方; ?二、经典题型解析 题型一、简单型

高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)

1 第 讲 导数中的恒成立问题 时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 §1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 ，相应的切线 方程是 . §2.几种常见函数的导数 ①'C = ；②'()n x = ； ③'(sin )x = ； ④'(cos )x = ； ⑤'()x a = ； ⑥'()x e = ； ⑦'(log )a x = ；⑧'(ln )x = §3.导数的运算法则 （1）'()u v ±= . （2）'()uv = . （3）' ()u v = .(0)v ≠ §4.复合函数求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的 导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. §5.函数的极值 (1)极值定义： 极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值； 极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值. (2)判别方法： ①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极 值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极 值. 三、 方法培养

导数与不等式的恒成立问题

导数与不等式的恒成立问题 规范答题示专题 典例 (12分)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； (2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x ―→讨论m 确定f ′(x )的符号―→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1 ―――――→结合(1)知 f (x )min ＝f (0) ? ?? ?? f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1―→? ?? ?? e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1―→ 构造函数g (t )＝e t －t －e ＋1―→研究g (t )的单调性―→寻求? ???? g (m )≤0， g (－m )≤0的条件―→ 对m 讨论得适合条件的范围

评分细则 (1)求出导数给1分； (2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练 已知函数f (x )＝1 x －x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2， 证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2