高斯积分节点表

高斯积分点表

N = 2

节点权重

-0.5773502691896250 1.0000000000000000

0.5773502691896250 1.0000000000000000

N = 3

节点权重

-0.7745966692414830 0.5555555555555550

0.0000000000000000 0.8888888888888880

0.7745966692414830 0.5555555555555550

N = 4

节点权重

-0.8611363115940520 0.3478548451374530 -0.3399810435848560 0.6521451548625460

0.3399810435848560 0.6521451548625460

0.8611363115940520 0.3478548451374530

N = 5

节点权重

-0.9061798459386640 0.2369268850561890 -0.5384693101056830 0.4786286704993660

0.0000000000000000 0.5688888888888880

0.5384693101056830 0.4786286704993660

0.9061798459386640 0.2369268850561890

N = 6

节点权重

-0.9324695142031520 0.1713244923791700 -0.6612093864662640 0.3607615730481380 -0.2386191860831960 0.4679139345726910

0.2386191860831960 0.4679139345726910

0.6612093864662640 0.3607615730481380

0.9324695142031520 0.1713244923791700

N = 7

节点权重

-0.9491079123427580 0.1294849661688690 -0.7415311855993940 0.2797053914892760 -0.4058451513773970 0.3818300505051180

0.0000000000000000 0.4179591836734690

0.4058451513773970 0.3818300505051180

0.7415311855993940 0.2797053914892760

0.9491079123427580 0.1294849661688690

节点权重

-0.9602898564975360 0.1012285362903760 -0.7966664774136260 0.2223810344533740 -0.5255324099163290 0.3137066458778870 -0.1834346424956490 0.3626837833783620

0.1834346424956490 0.3626837833783620

0.5255324099163290 0.3137066458778870

0.7966664774136260 0.2223810344533740

0.9602898564975360 0.1012285362903760

N = 9

节点权重

-0.9681602395076260 0.0812743883615744 -0.8360311073266350 0.1806481606948570 -0.6133714327005900 0.2606106964029350 -0.3242534234038080 0.3123470770400020

0.0000000000000000 0.3302393550012590

0.3242534234038080 0.3123470770400020

0.6133714327005900 0.2606106964029350

0.8360311073266350 0.1806481606948570

0.9681602395076260 0.0812743883615744

N = 10

节点权重

-0.9739065285171710 0.0666713443086881 -0.8650633666889840 0.1494513491505800 -0.6794095682990240 0.2190863625159820 -0.4333953941292470 0.2692667193099960 -0.1488743389816310 0.2955242247147520

0.1488743389816310 0.2955242247147520

0.4333953941292470 0.2692667193099960

0.6794095682990240 0.2190863625159820

0.8650633666889840 0.1494513491505800

0.9739065285171710 0.0666713443086881

N = 11

节点权重

-0.9782286581460570 0.0556685671161736 -0.8870625997680950 0.1255803694649040 -0.7301520055740490 0.1862902109277340 -0.5190961292068110 0.2331937645919900 -0.2695431559523440 0.2628045445102460

0.0000000000000000 0.2729250867779000

0.2695431559523440 0.2628045445102460

0.5190961292068110 0.2331937645919900

0.7301520055740490 0.1862902109277340

0.8870625997680950 0.1255803694649040

0.9782286581460570 0.0556685671161736

节点权重

-0.9815606342467190 0.0471753363865118 -0.9041172563704740 0.1069393259953180 -0.7699026741943040 0.1600783285433460 -0.5873179542866170 0.2031674267230650 -0.3678314989981800 0.2334925365383540 -0.1252334085114680 0.2491470458134020

0.1252334085114680 0.2491470458134020

0.3678314989981800 0.2334925365383540

0.5873179542866170 0.2031674267230650

0.7699026741943040 0.1600783285433460

0.9041172563704740 0.1069393259953180

0.9815606342467190 0.0471753363865118

N = 13

节点权重

-0.9841830547185880 0.0404840047653158 -0.9175983992229770 0.0921214998377284 -0.8015780907333090 0.1388735102197870 -0.6423493394403400 0.1781459807619450 -0.4484927510364460 0.2078160475368880 -0.2304583159551340 0.2262831802628970

0.0000000000000000 0.2325515532308730

0.2304583159551340 0.2262831802628970

0.4484927510364460 0.2078160475368880

0.6423493394403400 0.1781459807619450

0.8015780907333090 0.1388735102197870

0.9175983992229770 0.0921214998377284

0.9841830547185880 0.0404840047653158

N = 14

节点权重

-0.9862838086968120 0.0351194603317518 -0.9284348836635730 0.0801580871597602 -0.8272013150697650 0.1215185706879030 -0.6872929048116850 0.1572031671581930 -0.5152486363581540 0.1855383974779370 -0.3191123689278890 0.2051984637212950 -0.1080549487073430 0.2152638534631570

0.1080549487073430 0.2152638534631570

0.3191123689278890 0.2051984637212950

0.5152486363581540 0.1855383974779370

0.6872929048116850 0.1572031671581930

0.8272013150697650 0.1215185706879030

0.9284348836635730 0.0801580871597602

0.9862838086968120 0.0351194603317518

节点权重

-0.9879925180204850 0.0307532419961172 -0.9372733924007060 0.0703660474881081 -0.8482065834104270 0.1071592204671710 -0.7244177313601700 0.1395706779261540 -0.5709721726085380 0.1662692058169930 -0.3941513470775630 0.1861610000155620 -0.2011940939974340 0.1984314853271110

0.0000000000000000 0.2025782419255610

0.2011940939974340 0.1984314853271110

0.3941513470775630 0.1861610000155620

0.5709721726085380 0.1662692058169930

0.7244177313601700 0.1395706779261540

0.8482065834104270 0.1071592204671710

0.9372733924007060 0.0703660474881081

0.9879925180204850 0.0307532419961172

N = 16

节点权重

-0.9894009349916490 0.0271524594117540 -0.9445750230732320 0.0622535239386478 -0.8656312023878310 0.0951585116824927 -0.7554044083550030 0.1246289712555330 -0.6178762444026430 0.1495959888165760 -0.4580167776572270 0.1691565193950020 -0.2816035507792580 0.1826034150449230 -0.0950125098376374 0.1894506104550680

0.0950125098376374 0.1894506104550680

0.2816035507792580 0.1826034150449230

0.4580167776572270 0.1691565193950020

0.6178762444026430 0.1495959888165760

0.7554044083550030 0.1246289712555330

0.8656312023878310 0.0951585116824927

0.9445750230732320 0.0622535239386478

0.9894009349916490 0.0271524594117540

节点权重

-0.9905754753144170 0.0241483028685479 -0.9506755217687670 0.0554595293739872 -0.8802391537269850 0.0850361483171791 -0.7815140038968010 0.1118838471934030 -0.6576711592166900 0.1351363684685250 -0.5126905370864760 0.1540457610768100 -0.3512317634538760 0.1680041021564500 -0.1784841814958470 0.1765627053669920

0.0000000000000000 0.1794464703562060

0.1784841814958470 0.1765627053669920

0.3512317634538760 0.1680041021564500

0.5126905370864760 0.1540457610768100

0.6576711592166900 0.1351363684685250

0.7815140038968010 0.1118838471934030

0.8802391537269850 0.0850361483171791

0.9506755217687670 0.0554595293739872

0.9905754753144170 0.0241483028685479

N = 18

节点权重

-0.9915651684209300 0.0216160135264833 -0.9558239495713970 0.0497145488949698 -0.8926024664975550 0.0764257302548890 -0.8037049589725230 0.1009420441062870 -0.6916870430603530 0.1225552067114780 -0.5597708310739470 0.1406429146706500 -0.4117511614628420 0.1546846751262650 -0.2518862256915050 0.1642764837458320 -0.0847750130417353 0.1691423829631430

0.0847750130417353 0.1691423829631430

0.2518862256915050 0.1642764837458320

0.4117511614628420 0.1546846751262650

0.5597708310739470 0.1406429146706500

0.6916870430603530 0.1225552067114780

0.8037049589725230 0.1009420441062870

0.8926024664975550 0.0764257302548890

0.9558239495713970 0.0497145488949698

0.9915651684209300 0.0216160135264833

节点权重

-0.9924068438435840 0.0194617882297264 -0.9602081521348300 0.0448142267656996 -0.9031559036148170 0.0690445427376412 -0.8227146565371420 0.0914900216224500 -0.7209661773352290 0.1115666455473330 -0.6005453046616810 0.1287539625393360 -0.4645707413759600 0.1426067021736060 -0.3165640999636290 0.1527660420658590 -0.1603586456402250 0.1589688433939540

0.0000000000000000 0.1610544498487830

0.1603586456402250 0.1589688433939540

0.3165640999636290 0.1527660420658590

0.4645707413759600 0.1426067021736060

0.6005453046616810 0.1287539625393360

0.7209661773352290 0.1115666455473330

0.8227146565371420 0.0914900216224500

0.9031559036148170 0.0690445427376412

0.9602081521348300 0.0448142267656996

0.9924068438435840 0.0194617882297264

N = 20

节点权重

-0.9931285991850940 0.0176140071391521 -0.9639719272779130 0.0406014298003869 -0.9122344282513260 0.0626720483341090 -0.8391169718222180 0.0832767415767047 -0.7463319064601500 0.1019301198172400 -0.6360536807265150 0.1181945319615180 -0.5108670019508270 0.1316886384491760 -0.3737060887154190 0.1420961093183820 -0.2277858511416450 0.1491729864726030 -0.0765265211334973 0.1527533871307250

0.0765265211334973 0.1527533871307250

0.2277858511416450 0.1491729864726030

0.3737060887154190 0.1420961093183820

0.5108670019508270 0.1316886384491760

0.6360536807265150 0.1181945319615180

0.7463319064601500 0.1019301198172400

0.8391169718222180 0.0832767415767047

0.9122344282513260 0.0626720483341090

0.9639719272779130 0.0406014298003869

0.9931285991850940 0.0176140071391521

(完整版)常用函数积分表(增强版)

1.∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx 2.∫(f(x)?g(x))dx=∫f(x)dx?∫g(x)dx 3.∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)?∫g(x)df(x) 4.∫a x dx=a x ln a +C，a≠1，a>0 5.∫x n dx=x n+1 n+1 +C，n≠?1 6.∫1 x dx=ln|x|+C 7.∫e x dx=e x+C 8.∫sin x dx=?cos x+C 9.∫cos x dx=sin x+C 10.∫sec2x dx=tan x+C 11.∫csc2x dx=?cot x+C 12.∫sec x tan x dx=sec x+C 13.∫csc x cot x dx=?csc x+C 14.∫(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a(n+1) +C，a≠0，n≠?1 15.∫dx ax+b =1 a ln|ax+b|+C，a≠0 16.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a2(ax+b n+2 ?b n+1 )+C，a≠0，n≠?1,?2 17.∫x ax+b dx=x a ?b a2 ln|ax+b|+C，a≠0 18.∫x (ax+b)2dx=1 a2 (ln|ax+b|+b ax+b )+C，a≠0 19.∫x2 ax+b dx=1 2a3 [(ax+b)2?4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C 20.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ax+b?2b ln|ax+b|?b2 ax+b )+C 21.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+2b ax+b ?b2 2(ax+b) )+C 22.∫x2 (ax+b)n dx=1 a3 (?1 (n?3)(ax+b)n?3 +2b (n?2)(ax+b)n?2 ?b2 (n?1)(ax+b)n?1 )+C，n≠

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv

附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

积分公式表

基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++? （17）2 211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+?

（18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =+ （20） ln |x C =+? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 小结： 1常用凑微分公式

常用基本初等函数求导公式积分公式.doc

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a

⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2

常用积分表

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ＝22 (23ax b C a - 14． 2x ? ＝2223 2(34815a x abx b C a -+

15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2 d ()x x ax b +?＝2 21ln 2x C b ax b ++ 26． 22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+?

不定积分表

Y 卷终 公式表注解四 基本不定积分表 序言： 微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。 本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。 本表收录公式16组，151式。 公式一 基本初等函数的不定积分18式： 反三角函数 上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。 公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式： 对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。 对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ??=- ?++?? ，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ????=-=-++ ? ?++??????。而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ??=+-+??+++?? ，然后利用第一个积分式即可得到结论。 对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得 到的。我们注意第一式中有 111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a ??==- ?+++??，积分即得。对于第二式依然可用分

常 用 积 分 公 式

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++

的积分 10 ．x ? C 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a -+ 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13 ． x ＝2 2(23ax b C a - 14 ． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -++ 15 ． ＝(0) (0) C b C b ? +>< 16 ． ? 2a b - 17 ． x ＝b 18 ． x ＝ 2a + （三）含有22 x a ±的积分

(整理)常用函数积分表(增强版)48790

1.∫sec2x dx=tan x+C 2.∫csc2x dx=?cot x+C 3.∫sec x tan x dx=sec x+C 4.∫csc x cot x dx=?csc x+C 5.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a2(ax+b n+2 ?b n+1 )+C，a≠0，n≠?1,?2 6.∫x ax+b dx=x a ?b a2 ln|ax+b|+C，a≠0 7.∫x (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+b ax+b )+C，a≠0 8.∫x2 ax+b dx=1 2a3 [(ax+b)2?4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C 9.∫x2 (ax+b)2dx=1 a3 (ax+b?2b ln|ax+b|?b2 ax+b )+C 10.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+2b ax+b ?b2 2(ax+b) )+C 11.∫x2 (ax+b)n dx=1 a3 (?1 (n?3)(ax+b)n?3 +2b (n?2)(ax+b)n?2 ?b2 (n?1)(ax+b)n?1 )+C，n≠ 1,2,3 12.∫dx x(ax+b)=1 b ln|x ax+b |+C，b≠0 13.∫dx x2(ax+b)=?1 bx +a b2 ln|ax+b x |+C 14.∫dx x2(ax+b)2=?a(1 b2(ax+b) +1 ab2x ?2 b3 ln|ax+b x |)+C 15.∫x√ax+bdx=2 15a2 (3ax?2b)(ax+b)32+C 16.∫x2√ax+bdx=2 105a (15a2x2?12abx+8b2)(ax+b)32+C 17.∫(√ax+b)n dx=2(√ax+b)n+2 a(n+2) +C，a≠0，n≠?2 18.∫x n√ax+b dx=2 a(2n+3)x n(ax+b)32?2nb a(2n+3) ∫x n?1√ax+bdx循环计算 19.∫√ax+b x dx=2√ax+b+b x√ax+b =2√ax+b?2√b arctanh√ax+b b +C 20. x ax+b = ?b √ax+b ?b +C，b<0 21. x√ax+b = √b |√ax+b?√b √ax+b+√b |+C，b>0

高等数学常用积分公式查询表

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

常用积分公式

第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法 130 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-=++? 特别， 2 11 d x c x x =-+? , 32 23 x x c =+ , x c =+ ⑶ 1d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a = +?, 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>, 特别， arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别，2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 22 11d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 22 11d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+

常用积分表,DOC

常用积分公式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． 4．? 5．6．7．8．? 9．10． 11．x ?＝22 (3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13．x ＝22 (23ax b C a -+ 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -++

2 15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 16 ． 2a b 17． 18．19．20．21．22．23．24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2 d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?

27．32d ()x x ax b +?＝2222 1 ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．22d ()x ax b +? ＝221d 2()2x x b ax b b ax b +++? （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分 29． ? 2 (4) C b ac +< 30． ? 31．?32．?33．?34．?35．?36．? 37．?1C a + 38．?2C a x -+ 39．x 2ln(2 a x C ++

4 40 ．x ? ＝2243(25ln(88 x x a a x C ++ 41 ．x ? C + 42 ．x x ? ＝422(2ln(88 x a x a x C +++ 43 ．x a C + 44． 45 ． 46． 47． 48 ．49．50．51．52．?C + 53．x ? 2ln 2 a x C -++ 54．x ?＝2243(25ln 88 x x a a x C -++ 55．x ?C

常用微积分公式大全

常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为， 故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.

分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：

(完整word版)基本积分表

基本积分表 1、? +=c kx kdx 2、?++=+c a x dx x a a 11 3、?+=c x dx x ln 1 4、?+=+c x dx x arctan 112 5、?+=-c x dx x arcsin 112 6、? +=c x xdx sin cos 7、?+-=c x xdx cos sin 8、??+==c x xdx dx x tan sec cos 12 2 9、??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、?+=c x xdx x sec tan sec 11、? +-=c x xdx x csc cot csc 12、?+=c e dx e x x 13、?+=c a a dx a x x ln 14、?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数 15、?+=c shx chxdx 其中2 x x e e chx -+=为双曲余弦函数

基本积分表的扩充 16、? +-=c x xdx cos ln tan 17、?+=c x xdx sin ln cot 18、?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1 sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

积分公式表

1) —dx cos x —V-dx sin x tan x C cot x C dx a x 1 ~2 ------- 2 dx x a 1 x a 2a ln|着* 1 C 参考医学 基本积分表 kdx kx C (k 是常 数) 1 x x dx C, (u 1 1 dx In | x | C x dx sin xdx cosx C secx tanxdx secx C (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (⑵ (13) (14) (15) (16) (17) cosxdx sinx C e x dx e x C a x dx - C , (a 0,且 a 1) In a shxdx chx C chxdx shx C cscx cot xdx cscx C 1arc tan

注：由 f[ (x)] '(x)dx f[ (x)]d (x)，此步为凑微分过程，所以第 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如, 务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 小结： 1常用凑微分公式 参考医学 (18) arc sin 仝 C a (19) _1_ _a^x 2< (20) / 2 2 x a In |x , x a (21) tan xdx ln | cosx | C (22) cot xdx ln |sinx| C (23) secxdx In | secx tanx| (24) cscxdx In | cscx cotx| C C 注：1、 从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 2 2 2 sin x cos x 1,tan x 1 2 2 sec x,sin 2x 2sin xcosx, cos x 1 cos2x sin 2x 1 cos2x 2

积分公式表,常用积分公式表

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11)

2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='?? ????? （2）()()() ()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 ) ()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f += 1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -= ；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时，

公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因 为，故（，）式右边的 是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：

基本积分公式

§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有.

是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数）

附录_简单积分表

简单积分表 A ．1含有a+bx 的积分 ()()()() () () 1 2 2 22 32 22 2 2 2 3 () (1)(1) 1.1 ln ||(1)2.ln ||113.2ln ||214.ln ||25.a b x C b a b x d x a b x C b xd x x a a b x C a b x b b x d x a b x a a b x a a b x C a b x b xd x a a b x C b a b x a b x x d x x a a b b a b x b a b x ααααα+?++≠-??++=? ?++=-??= - +++?? =+-++++??+?? ??=+++ ?+?? +=- - ++?? ???() () () () 3 2 2 2 2 ln ||16.ln 1 7.ln 1 18.ln a b x C d x x C x a b x a a b x d x b a b x C x a b x a x a x d x a b x C a a b x a x x a b x ++= ++++=- ++++= -+++??? A ．2

()( )()( ) ( ) ( )( 3 2 2 32 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2329.1521512810.1052211.3234812.151|| (0)13.2 arctan (0) b x a a b x x x C b b x a b x a a b x x x C b b x a xd x C b b x a b x a x d x C b C a d x C a -+= +-++=+-= +-+= +?-+>? =? +

【2017年整理】积分公式表,常用积分公式表

【2017年整理】积分公式表,常用积分公式表积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: ,x，，，，，，ftdt,fx(1) ,,,a，，,bx，，，，,,，，，，，，，，，，ftdtf,,bxbxf,,axax,,(2) ,,，，,ax，，bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a)a,a(3)若F(x)是f(x)的一个原函数，则 3、积分方法 ax，b,t;设: ，，，，1fx,ax，b 22x,asint;设: ，，，，2fx,a,x 22 ;设: x,asect，，fx,x,a 22x,atant ;设: ，，fx,a，x udv,uv,vdu，，3分部积分法: ,, 附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分，应分为与 .

当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式(4)、(5)为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 ( ， )式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数;指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分

积分公式表,常用积分公式表

1、基本积分公式: （1） JO/xw （C 为常数） ∫-? = ln ∣x ∣ 2、积分定理: (1) [f f (tdt ] =f (χ) = F (2) ∣[? f (t dt 〔 = f UX j b "(x )- f fe(x )V (x ) H'a (x ) 」 b b (3) 若F (x )是f(x )的一个原函数，则 a f (x)dx=F(x)a = F(b) 3、积分方法 1 f = . ax b ；设： ax b = t 积分公式表 ⑺ JSUI XdX= -CoSX + f = SillX + c (8) Jcsc 2 XdX= -CLgX ÷C 一 =I ffT ≡ arr sm r + r (10) I LdBl-r? tU V ?, M A W JJI-H =- arccosτ + c (11) 『dx --- 7 = arctgλ + C Jl+^ =-arcctgx + C (8 ) (3) ?af d? -S r J j ff cfa^ = —-— Λ^+1 ÷σ (& 工 _ 1) Λ+1 1 In a αir ÷c (負》O?说 HI) F(a)

2 f X i=J a 2 -x 2 ;设：x =asint f x = x 2 -a 2 ;设：x = aseC f X =、a 2 x 2 ；设:X =atan 3分部积分法： UdV = UV- Vdu 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记?可根据它们的特点分类来记? 公式（1）为常量函数O 的积分，等于积分常数 … 公式（2）、（ 3）为幕函数；'^ ■'的积分，应分为1与二 … l √l L4√L ------------- ，J -- 一 积分后的函数仍是幕函数，而且幕次升高一次 特别当…时，有J-"' .Γ?'' J-' 公式（4）、（ 5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 Lr ,故（「： ）式右边的丄L ；是在分 母，不在分子，应记清? 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变 U 当」时，有