20100831正学中学2010级高一初高中数学衔接教材(1)

什么是数学

经典定义：数学是研究数量关系和空间形式的科学。----恩格斯；

新的一种说法：数学是研究空间形式和数量关系的科学；是研究客观世界的模式和秩序的科学；是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。----《新课标》；从另一个角度看数学：1、数学是一种语言，是一切科学的共同语言；2、数学是一把钥匙，是一把打开科学大门的钥匙；3、数学是一种工具，是一种思维的工具；4、数学是一种智慧，一种反映人的能力和发展水平的智慧；5、数学是一门艺术，是一门创造性艺术；6、数学是一种文化，是人类的文化一部份。

数学的魅力：1、诱人的猜想；2 、神奇的预言；3、美妙的和谐；4、惊人的简洁；5、传神般抽象；6、精准的严谨；7、应用的广泛 ---- 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。

关于高中数学学习

首先告诉同学们的是，数学是易学的，因为数学是一个清楚的公理化体系，是讲道理的，是特别有规则和规律的。只要我们在刚入学的时候，不要有“松口气”的想法，再加上恰当的学习方法，循序渐进的学，一定可以学好。

其次告诉同学们的是，数学又是难学的，如果学习方法不当，不按规则去学、去想，犹如没有学好加法就学乘法，那就会处处碰壁，这绝不是危言耸听！

高一同学要学好数学的障碍主要有两个方面，一是初高中的衔接问题，再就是学习方法问题。举个简单的例子：解一元二次不等式，要用到因式分解，而因式分解的方法有十字相乘法和公式法，用起来比较顺手的是十字相乘法，如果不会分解因式，就会影响到解方程，影响到解不等式，很有可能对后面的学习造成很大的障碍。

★▲了解初中数学与高中数学的差异，做好衔接

1．环境与心理的差异

对高一新生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体……。另外，有些同学把初中的那一套思想移植到高中来，他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，所以认为读高中也不过如此，高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。有这种思想的同学是大错特错的。因为与高考相比，中考的题目并不具有很明显的选拨性，只要多做题，很有可能就得高分。但高考就不同了，高考的题目具有很强的选拨性和综合性，如果心存侥幸，想在高三时再发奋一、二个月就考上大学几乎是不可能的。

2.教材内容的差异

初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单，体现了“浅、少、易”的特点。高中数学从内容上整体数量较初中剧增（教材包括必修5本书，还有选修），在知识的呈现、过程和联系上注重逻辑性；在数学语言在抽象程度上发生了突变；高一教材开始就是集合、函数概念及相关证明、逻辑关系等，概念多而抽象，符号多，知识难度加大，且习题类型多，解题方法灵活多变，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。所以说高中数学知识广泛，一方面是对初中的数学知识推广和引伸，另一方面是对初中数学知识的完善和加宽。如：初中学习的角的概念只是“00180~0”范围内的，而高中呢，将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法，（ =6种）；② 四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答：

=3种）。在初中，方程210x +=无实数解，对一个负数开平方无意义，但在高中规定了12-=i ，

就使－1的平方根为±i ，即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。

3.教法的差异

初中数学内容少，知识难度不大，教学要求较低，因而教学进度较慢，对于某些重点、难点，教师可以有充裕的时间反复讲解、多次演练，来弥补不足。但是进入高中后，数学教材内涵丰富，教学要求不断提高，教学进度相应加快，课时减少，尤其是，新课改下，我们高一数学只有5课时，每节课容量远大于初中数学，比较注意知识的发生过程，倾重于对学生形成数学思想方法的渗透和完善数学思维品质的培养。

4.学习方法的差异

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解一元一次方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，考试时一般均可对号入座取得好成绩。因此，部分学生习惯于围着教师转，满足于知识的接受，缺乏学习的主动性。而到了高中，数学学习主要是方法的学习，要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思维方法，做到举一反三，触类旁通。

俗话说得好：知彼知己，百战不殆。我们对初高中的差异清楚了，这就要求我们：不能停留在初中阶段的学习状态和学习方法，不能总是老师牵着走或赶着走，同学们应该积极主动地学习，变“要我学”为“我要学”。

★▲如何学好高中数学

高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，即：不仅要“收获鱼”还要“掌握渔”。

第一、重视数学的学习，高一的课程内容不得懈怠

我想大家都明白数学的重要性吧。要知道，高考的成与败很大程度上取决于数学成绩的高与低（在高考中数学满分150）。尤其是高一数学，经验告诉我们，高中阶段的数学学习规律是：“三年发展看高一，高一关键在‘一上’”。打好高一的数学基础，特别是开好“一上”即高一上学期高中数学学习的“头”，对于顺利完成高中三年的数学学习，打好自己终生发展的基础极为重要。

高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点。也是整个数学的主线，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法（同学们知道有哪些数学思想方法呢？在小学和初中学过的有：转化与划归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等），这些都是高考的重点，高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的很大一部分。另外，函数这条主线将延续到大学的数学中，大学几乎所有的理工科专业都开设了高等数学，当然也有文科的高等数学，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，很多课程都是把函数作为研究对象。另外，函数有丰富的实际背景。例如，出租车的计价、邮局寄包裹的计费都是分段函数的实际应用；考古学中也应用到了指数函数的性质；简谐振动的数学模型就是三角函数；平抛运动抽象为数学模型就是二次函数。可见函数的学习是多么重要！

第二、养成良好的数学学习习惯，主要注意以下几个环节

1.预习环节

课前预习能提高听课的针对性。高中数学与初中数学一个明显的不同是知识内容的―量‖上急剧增加了，课堂容量加大了，进度很快，经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，预习十分重要，应该在老师讲课之前通过自学，对有关知识做到心中有数，完成课后的相关练习。在预习过程中不理解的地方做个记号，这样听课效率就会高很多，等于对知识的二重加深，不至于上课一知半解。

2.听课环节

学生的学习主要在课堂，要学好数学，提高数学能力，关键在于提高听课效率。

①首先应做好课前的准备，要把课本、笔记本、草稿纸等等放在桌子上，上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象。

②听课重点听分析、思维方法，要全神贯注。全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。——耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问是否对自己有所启发；眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情、手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想；心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的；口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论；手到：就是在听、看、想、说的基础上标注课本的重点，记下老师的讲课要点以及自己的感受或有创新的思维见解。若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂上所学一切内容便会在自己头脑中留下深刻印象。

③作好笔记，记笔记是学习过程中的重要环节，它对提高学习效益和学习效果有不可低估的

作用。俗话说“好记性不如烂笔头”。在听课的同时把本节课的重点、难点、典型的例题与教师在课堂中拓展的课外知识及习题记录下来，以备课后复习时用。有些同学上课埋头苦抄，光记不听，有些同学则只听不记，这两种都是极端的错识方法。因此请同学们一定要注意提高课堂效率。

3.作业环节

先看笔记后做作业，作业要独立完成。能否坚持如此，常常是好习惯与差习惯的最大区别。发下去的作业，不是只注意勾勾叉叉，考试不是关注考多少分，而是对错题要做研究，找出错误的根源，并认真订正。另外，在准确把握住基本知识和方法的基础上要做一定量的练习题（数学还必须做一定量的课本以外练习题），因为没有一定量的练习就不能形成技能，数学离不开做题。无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通性通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

4.复习环节

及时复习，强化对基本概念、知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。课下首先要做的不是做作业，而是及时复习，不留疑点。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书、笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题、分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)，尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，使当天上课内容巩固下来，该记的内容一定把它背熟，包括概念、图形、性质及规律和数学小结论等，认真独立完成作业，勤于思考，多问些为什么。（比如，遇到一个函数你就问自己4个问题：①这个函数的定义域、值域是什么？②这个函数的是不是单调函数？如果是，单增还是单减；如果不是，有没有单调区间？③这个函数有没有最大最小值，如果有，是多少？如果没有，某一特定区间上的最大最小值是多少？④这个函数是奇函数还是偶函数？是奇或偶，或者非奇非偶？）

另外，建议“小跨度，多反复”。可以每周复习一次，每个单元再复习一次。在复习时翻阅做过的作业和周练，看看错题是否已经会解。还不能解决的应及时请教老师、同学。以免积少成多，影响后续学习，切忌“耻于上问”，而是要做到“不耻下问。要知道：会学会问，你才会具有“学问”。

5.总结环节

归纳总结是必不可少的，总结的时候，应充分利用教材每章后面的复习小结，可以从基本知识和例题、习题进行总结，要多方位地去探索新旧知识之间的内在联系，从数学知识中提炼，概括出解决问题的一般方法，形成比较有序、完整的知识结构。不定期地要对做过的习题进行总结，总结出所做过的题目的规律性以及蕴含的思想方法, 往往许多题的方法其实是一样的，牢记通性通法。知识串成线，做到由厚变薄，由薄到厚。

比如：初中代数知识内容核心就是数、式、方程、函数。从方程的知识来讲，由一元一次方程、一元二次方程到高次方程、分式方程、无理方程构成一个知识系统。无理方程可通过两边乘方或换元化为有理方程；分式方程可通过去分母或换元化为整式方程；高次方程可通过降次（因式分解或换元）化为低次（一元一次、一元二次方程）方程；而一元一次方程、一元二次方程有程序化（或曰公式化）的求解方法，所以在方程的大家庭里最基础最重要最根本的是一元一次、一元二次方程，它的解法要求要充分理解，熟练掌握；对于分式方程和无理方程，则关键在于掌握把它们化归为（或转化为）整式方程或有理方程的方法。同样，解方程组的基本思想是消元——化多元为一元。“消元”和“降次”就成了解方程和方程组的基本思想。“抓基础，重转化”，在知识系统中学习和掌握知识，是学习数学的科学高效方法。

6.反思环节

经常在做题后进行一定的“反思”。做完题之后，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。做到知识成片，问题成串。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。也就是说，通过反思，形成自己的通性、通法，就可以事半功倍，也就掌握了学习数学的技巧。用专业的语言说，就是提高了学生的数学化能力，使其运用知识，解决问题的能力能够远距离迁移。

7.改错环节

一定要重视改错工作，做到错不再犯。具体措施可以建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出，以便对症下药；如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为不再犯这种错误的预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误

就将形成一处隐患，一个“地雷”，迟早要惹祸。

8.合理规划，步步为营.

学习过程中，学生可自己支配的时间是不多的，怎么利用好这些时间，是迅速进步的一个关键；另外，还要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划。例如：第一学期的期末，自己计划达到班级的什么程度，第一学年，达到年级的什么程度，如此等等。此外，还要循序渐进，防止急躁，更要持之以恒。同时学习也是一种责任。

第三、及时了解、掌握常用的数学思想和方法

注意数学思想方法的总结，数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想方法融于数学知识体系中，因此适时对数学思想方法做出归纳、概括是十分必要的。函数与方程、等价转换、数形结合、分类讨论是数学的基本思想，配方、换元、归纳猜想、类比等是常用的数学方法。在解题过程中还经常用到一些数学思维策略，比如化繁为简，正难则反，化生为熟等等。在平时学习中要多思、多问、多练、多总结，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

第四、学习数学的几个要求和建议

1．培养数学运算能力，书写工整美观

高考数学试题运算量往往较大，并且不允许用计算器，同时高考改卷要求非常严格，造成一些学生（特别是平时的运算能力或书写较差的学生）数学成绩比自己预想的差了很多。因此在高中遇到的有关计算问题，必须自己亲自口算、心算、用笔算，因为目前高考并不让使用计算器，运算能力是高考重点考察的能力之一；同时一定要训练书写工整，安排美观。一定要在高中阶段的每一次考试中，尽量减少因为运算和书写原因丢分。

2．提高阅读能力和动手实践能力

比如，我们必修课本中，有一些阅读与思考，探究与发现以及信息技术应用和实习作业，要求同学们多阅读、多实践。在以后的研究性学习中，同学们应该珍惜这样的学习机会，积极投入，想办法，学会查资料，自己寻求结果，同时培养自己的自学能力和创新能力。

3．解题过程要规范化

有一些同学平时爱偷懒，解题只追求答案的一个正确结果，或者只写最后的得数，书写不规范，这样在考试中丢分很严重，你要明白，你做的题必须要别人看得懂。我想，只要按照老师的示范和要求，就一定能够做到。

4．摆正心态，无论是作业还是测验，都应该独立完成

5.数学作业规范要求

①每次作业要及时独立完成，写明日期，标明课本页数及习题题号。作业整洁，字迹端正，每题的题号写仔细，每题之间空一行，解（证）题严密，步骤完整，做错的题目要及时订正（要在下一次作业时完成订正工作）。

②代数题：每页一折为二；几何题：每页平均分为3份，靠左侧的三分之一专供作图，靠右侧的三分之二写解题过程）。

③对于一些文字证明、求解题，要改写成“已知”、“求证”（或“求”）、“证明”（或“解”）并作出必要的图，作图一律用铅笔、直尺（或三角尺）等作图工具。

④应用题可不抄原题外，其余都要抄；如系补充题，一律要抄原题，试题要抄原题，并写“解”、“原式＝”，应用题要写“解”、“答”。

⑤对作业批改后，教师划出的错误或不要部分，应用其它颜色的笔订正在原题适当的部位，打“×”号的题目，一律认真重做。

⑥不合规范要重做，因请假未做的回校后要补做补交。

俗话说：学习有法，学无定法，方法因人而异，就是要在数学学习中学会数学，正如“在游泳中学会游泳”。那么，就让我们充满激情地投入到数学学习中吧，现在中考成绩已不是什么资本，同学们又站到同一起跑线上，谁先适应高中生活谁就会先取得成功，也会更加自信，当你找到了适合自己的学习方法的时候，高一数学肯定没有想象的那么难，高中数学也就水到渠成、顺理成章了，在高考中你一定会取得满意的成绩。相信自己吧，经常对自己说：我能行！

最后祝同学们尽快适应高中生活，在高中的学习中旗开得胜！

数学学科初高中教材衔接建议

一、初高中教材的差异

从新课程初中新教材看，它们对知识的展现是“问题情境——抽象出数学问题——建立模型——解释与应用”的过程，这有利于学生经历探究知识的发生、发展过程，理解数学知识的来龙去脉，建构自己的认知结构。但是，教材对许多概念采用描述性定义，对不少数学定理没有论证；教材坡度较缓、直观性强。

高中教材知识内容较初中剧增；知识的呈现注重逻辑性、抽象性。如高一教材开始就是集合、映射、函数及逻辑关系等，概念多而抽象，符号多，定义、定理严格，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维明显提高，知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。

二、目前初高中衔接表现出的主要问题

1．初中内容的不适当删减（23）、降低要求（9），导致学生“双基”无法达到高中教学要求；2．初中不适当地“抢戏”，导致“夹生饭”、“注入式”教学（学生思维能力达不到要求）；

3．高中不顾学生的基础，任意拔高教学要求，繁琐的、高难度的运算充斥课堂。

删除的内容

1．立方和公式与立方差公式

2．因式分解中的十字相乘法、分组分解法

3．含有字母的方程

4．三元一次方程组

5．根式的分母有理化、最简根式, 根式化简

6．画频率分布直方图

7．可化为一元二次方程的分式方程( 只要求化为一元一次方程的分式方程)，分式乘方

8．无理方程

9．高次方程

10．二元二次方程组

11．一元二次不等式

12．一元二次方程根的判别式

13．韦达定理

14．换元法

15．平行线等分线段定理，平行的传递性

16．平行线分线段成比例定理，梯形中位线（教材中有但中考不考）

17．截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理

18．空间直线、平面的位置关系

19．圆内接四边形的性质

20．轨迹定义

21．圆的有关定理：垂径定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理

22．相切作图，正多边形的有关计算，等分圆周，三角形的内切圆

23．三角函数中的同角三角函数的基本关系式

降低要求的内容

1．有理数混合运算强调最多三步，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力弱；

2．多项式相乘仅要求一次式相乘，无除法；

3．因式分解只要求提取公因式法、公式法（平方差、完全平方），直接用公式法不超过两次；4．根式的运算要求低；

5．绝对值符号内不能含有字母；

6．配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，而在二次函数中也不要求用配方法，求顶点、最值，只要求用公式求，且又不要求记忆公式和推导（中考试卷中会给出公式）；

7．几何中大大减少定理的数量，删除繁难的几何证明，淡化几何证明的技巧；

8．反证法，初中只要求通过实例，体会反证法的含义，了解即可；

9．辅助线，中考只要求添加一条辅助线。

三、初高中衔接建议

1．抓对知识实质理解的教学。数学的概念、定义、公式、法则、定理等都是数学的基础知识，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程。要改变教学中重结论、轻过程的做法，重视展示知识的产生背景、形成过程和方法探索过程，不仅使学生掌握知识和方法的本质，还提高应用的灵活性。

2．要重视新旧知识的联系。对于学生在初中数学中已经学习过的概念、图形，要作一些整理工作，使之系统化、条理化。在教学过程中，要充分利用学生头脑中已有的概念和形象（衔接点）加以提升。比如函数定义的讲解，可从初中函数定义（衔接点）出发，结合初中所学具体函数加以回顾，再运用映射的观念给这些函数以新的解释，在此基础上对函数重新定义，使新定义的出现水到渠成，易于理解，同时比较新、旧定义，发现原有定义的局限性，又使学生认识得以深化，新知得以掌握和巩固。

3．针对抽象的高中数学内容的教学，应从高一学生实际出发，采取“低起点、小梯度、多训练、分层次”的方法，将教学目标分解成若干递进层次逐层落实。在速度上，放慢起始进度，逐步加快教学节奏。在知识导入上，多由实例和已知引入。在难点知识讲解上，从学生理解和掌握的实际出发，对教材作必要处理和知识铺垫，注意教学内容和方法的衔接。

4．改革教学方法，提高教学质量。新课程强调改变学生的学习方式，倡导学生在教师的指导下互相交流、主动参与。新课改的经历将促使学生思维活跃，积极发言，但要防止部分学生学习不够扎实、数学书面表达混乱、计算能力薄弱、几何推理论证不严谨和没有形成良好的学习方法等问题的出现。

初高中数学衔接教材

第一部分 数与式的运算

第一节 绝对值

1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例、解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；

①若1，

即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1，∴x ＜0；

②若31<≤x ，不等式可变为(1)(3)4x x --->，

即1＞4，∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，

即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为：

|P A |＋|PB |＞4．

由|AB |＝2可知：

点P 在点C (坐标为0) 的左侧、或点P 在点D (坐标为4) 的右侧．故x ＜0，或x ＞4． 练 习

1．填空题：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >

（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±

3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

第二节 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222

()2a b a ab b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 33a b +＝22()()a b a ab b +-+；

（2）立方差公式 33a b -＝22()()a b a ab b -++； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1、计算：22

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222(1)(1)x x x ??-+-??=242(1)(1)x x x -++=61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=6

1x -． 例2、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222

a b c ++的值．

解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 例3、已知2310x x -+=，求331x x +的值． 解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴x x 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x x x x x .

说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本

题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

例4、已知0=++c b a ，求 111111()()()a b c b c c a a b +++++的值．

解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0

∴原式=ab b a c ac c a b bc c b a +?++?++?333()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ①

abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+ abc c b a 3333=++∴ ②， 把②代入①得原式=33-=-abc

abc 说明：注意字母的整体代换技巧的应用．

练 习

1．填空题：

（1）

221111()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

12

x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213

m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

（3）若

112x y -=，则33x xy y x xy y +---的值为 ( ) （A ）35 （B ）35- （C ）53- （D ）53

3. 计算：

（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)4

1101251)(2151(22n mn m n m ++-

（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 4．已知11120,19,21202020

a x

b x

c x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值． 第三节 二次根式

0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式

子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而212x ++，

22x y +

1．二次根式的性质：（1a ==,0,,0.

a a a a ≥??-

（30,0)a b =≥≥ （4）)0,0(≥≥=b a b

a a b

说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的

取值分类讨论．

2．分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积

不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，

与与，… 等等．一般地，与，与

b 与b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公

0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

3. 最简根式：如果一个根式符合下列三个条件：1）被开方数的指数和根指数是互质数； 2）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 3）被开方数不含分母. 那么，这个根式叫做最简根式.

例1、将下列式子化为最简二次根式：

（1 （2； （30)x <； （41)x ≥.

解：（1=

（2）原式；

（3220)x x x ==-<；

(4) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->?-+-=?---=≤≤?

.

例2、(3．

(3

(3

例3、试比较下列各组数的大小：

（1 （2

解：（1

1=

==，

1

10，

又>

（2）∵

===

又 4＞22， ∴6＋4＞6＋22，

例4、化简：20042005?．

解：20042005+?＝20042004??

＝2004

??????＝20041?

例5、化简：（1 （21)x <<．

解：（1）原式===2=2=．

（2）原式1x x

=-， ∵01x <<， ∴11x x >>， 所以，原式＝1x x

-．

例6、已知

x y ==22353x xy y -+的值 ．

解：∵2210

x y +==+=，

1

xy =

=， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=?-=． 说明：二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分

解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(

)或被开方数有

分母(．形式() ，转化为 ―分母中有根式‖的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(

，其中2+2-)．

例7、设x y =，求33x y +的值．

解：77 14,1x y x y xy ==+=-?+== 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

练 习

1．填空题：

（1＝ ；

（2(x =-x 的取值范围是 ；

（3）= ；

（4）若x = ．

2．选择题：

=成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x << 3

．若

b =a b +的值． 4．比较大小：2

－4（填―＞‖，或―

＜‖）．

5. 化简或计算：

(1)

(2)

； (3)

（4）625-.

6．设

x y ==，求代数式22

x xy y x y +++的值． 7．设x =4221x x x ++-的值． 第四节 分式

1．分式的意义：形如

A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B

为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质：A A M B B M ?=?； A A M B B M ÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式：像a

b c d

+，2m n p m n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例1、化简

11x x x x x

-+- . 解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--?+-+-+++--+ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++====-?-+--+++--? 例2、若54(2)2

x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)

A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=??=? 解得 2,3A B ==．

例3、（1）试证：

111(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910

+++??? ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++

n n n n n n n n +--

==+++ ∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立． （2）解：由（1）可知

1111223910+++??? 11111(1)()()223910=-+-++- 1110=-＝910

． （3）证明：∵1112334(1)

n n +++??+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+， 又n ≥2，且n 是正整数， ∴1n ＋1

一定为正数， ∴1112334(1)n n +++??+ ＜12

． 例4、设c e a

=

，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0，

∴(2e －1)(e －2)＝0， ∴e ＝12

＜1，舍去， 或e ＝2． ∴e ＝2． 3. 多项式除以多项式：做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式?商式+余式 .

例5、计算)3()3(24x x x -÷- 解：39

39

333300

300342222

442--+----++-+++-x x x x

x x x x x x ∴x x x x x 39)3()3()3(224-+--?-=-，即=-÷-)3()3(2

4x x x 2224339333x x x x x x --+--=--. 练 习

1．填空题：

对任意的正整数n ，1(2)

n n =+ (112n n -+)； 2．选择题： 若223

x y x y -=+，则x y ＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）65

3．正数,x y 满足222x y xy -=，求

x y x y

-+的值． 4．计算1111...12233499100++++????．

习 题 一

A 组

1．解不等式： (1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；

(3) 116x x -++>．

２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．

3．填空题：

（1）1819(2(2＝________；

（22，则a 的取值范围是________；

（3

=________． B 组

1．填空题：

（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b

-=+- . （2）若2220x xy y +-=，则22

22

3x xy y x y ++=+ .

2．已知：11,23x y ==的值．

C 组

1．选择题：

（1= （ ）

（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<

（2）计算 （ ）

（A （B （C ） （D ）2．解方程2

2112()3()10x x x x

+-+-=． 3．已知1453,211221923234+--=-+--=x x x B x x x x A . 求：22B A ÷.

4．计算：1111132435911

++++???? ． 5．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++????++ ＜14

． 第二部分 分解因式 1．因式分解的意义：把一个多项化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解是一种恒等变形.

这一概念的特点是：1）多项式因式分解的结果一定是积的形式；2）每个因式必须是整式（单项式或多项式）；3）各因式要分解到不能再分为止.

2．因式分解与整式乘法的区别和联系：整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形.

3．因式分解的一般步骤：把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行.

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解；

（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止（本部分在实数范围内研究因式分解）.

4. 因式分解的主要方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解配方法、求根法及待定系数法等．因式分解中常常需要整体代换.

第一节 提取公因式法、公式法与分组分解法

1. 公式法：依据式子结构特点逆用乘法公式进行恒等变形的方法.

例1、分解因式： (1) 34381a b b -

(2) 76a ab - . 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．

解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．

(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 22222222()()()()

()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+

2. 分组分解法：把多项式分成若干个组来分解因式的方法叫做分组分解法. 分组分解法的关键在于如何分组，分组的目的主要是：1）分组后能提取公因式；2）分组后能直接运用公式. 分组过程中有时需先恰当的拆项和添项达到分组目的.

例2、把2105ax ay by bx -+-分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可继续提取公因式．

解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学们不妨一试．

例3、把2222()()ab c d a b cd ---分解因式． 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解．

解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+

2222

()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+ 说明：由例2、例3可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

例4、分解因式：（1）32933x x x +++； （2）2222428x xy y z ++-．

解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．

另解：32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+＝2

(3)(3)x x ++．

（2）22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-. 练 习

分解下列因式：（1）x 4＋64x ； （2）（x 2＋4）2－16x 2； （3）x 5－x 3＋x 2－1；

（4）)8()2(2y x xy ---； （4）a 4－5a 2b 2＋4b 4； （5）a 2＋2ab ＋b 2＋2ac ＋2bc ＋c 2 .

第二节 十字相乘法

十字相乘法：二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即

a =a 1a 2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c = c 1c 2，把a 1，a 2 ，c 1，

c 2排列如右图，按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2x + a 2c 1x=bx .即它

正好等于二次三项式ax 2+bx+c 的一次项bx ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x+c 1与a 2x+c 2之积，即ax 2+bx+c =（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）.

注意：适用情形是二次三项式或可化为二次三项式的代数式.

例1、分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；

（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）． （2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．

（3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --

（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 例2、分解因式：222456x xy y x y +--+-．

解：（1）22

2456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-． 另解：222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----

=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．

说明：该题进行因式分解的关键是将代数式整理为关于x 的二次三项式（先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列），再十字相乘法分解.同样若先整理为关于y 的二次三项式，也可十字相乘法分解.

练 习

分解下列因式：（1）x 2－14x ＋40； （2）x 4－15x 2＋26； （3）（x ＋y ）2－（x ＋y ）－2；

（4）22)2(20)2)(1(4)1(7+-+-+-y y x x ； （5）x 2＋y 2－x ＋y －6－2xy ； （6）7)(3)1(222---+-x x x x .

第三节 其它因式分解的方法

1. 求根公式法：若关于x 的方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

注意：适合关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解，是十字相乘法的一种补充.

例1、把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 解：（1）令2

21x x +-=0

，则解得11x =-

21x =-， ∴221x x +-

=(1(1x x ????--+--????

=(11x x ++． （2）令2244x xy y +-=0

，则解得1(2x y =-+

，1(2x y =--，

∴2244x xy y +-

=[2(1][2(1]x y x y ++．

思考：1）二次三项式在实数范围内一定能够分解因式吗？你能够快速判断吗？你又能够快速判断二次三项式是完全平方式吗？

2）若一个方程有实根0x ，则该方程整理为等号的一端为0，那么另一端分解因式，一定有一个什么因式？

2．配方法：将二次三项式配成两个完全平方式的差，再利用平方差公式分解因式的方法叫做配方法.配方后将二次三项式化为两个平方式的差，然后用平方差公式分解．配方法同样适合二次三项式的因式分解，是求根公式法分解因式的具体化.

例2、分解因式2

616x x +-.

解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+??+--=+-

－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1 x y 图1．

2－5

(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-.

思考：本题还有其它方法，请大家试验．若将二次三项式配方后化成了两个平方式的和，说明该二次三项式能够分解因式吗？

3．拆、添项法：根据需要通过恰当的添项或拆项，把多项式分成若干部分，再分组进行因式分解的方法.

例3、分解因式3234x x -+

分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．

解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--

22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--

22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+- 说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成2

24x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．另外，也可先试验x = -1是3234x x -+=0的根，从而通过条拆项凑公因式x +1进行分解因式.

4．待定系数法：首先判断出分解因式的结果形式，然后设出相应的字母系数（待定系数）表示因式分解的结果，依据等式恒等求出字母系数，从而完成因式分解.

例4、分解因式3562

-+x x .

分析：易知这个多项式应该分解为两个一次因式，因而设))((63562q x p x x x ++=-+，再依据等式成立确定p 、q 的值，代入化简.

解：设))((63562q x p x x x ++=-+，

因为pq x q p x q x p x x x 6)(66))((635622+++=++=-+成立， 所以37,25635)(61-==???

?=-+=q p pq

q p ， 则)73)(52()37)(25(63562-+=-+=-+x x x x x x . 练 习

1．选择题：

（1）多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）

（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -

（2）已知多项式c bx x ++2

2分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）

（A ）1,3-==c b （B ）2,6=-=c b （C ）4,6-=-=c b （D ）6,4-=-=c b

2．分解因式： （1）x 2＋6x ＋8； （2）x 2－2x －1； (3) x 4＋3x 2y 2＋4y 4 ；

（4）22)2(20)2)(1(4)1(7+-+-+-y y x x ； （5）4(1)(2)x y y y x -++-； (6) x 4＋4 . 习 题 二

A 组

1．选择题：

（1）在下列各式中：① a-b= b-a ；② (a-b )2= (b-a )2；③ (a -b )2= - (b-a )2；④ (a-b )3= (b -a )3 ；⑤ (a-b )3= -(b-a )3；⑥ (a +b )(a-b ) = (-a +b )(-a-b ). 正确的等式有 （ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（2）把多项式)2()2(2

a m a m -+-分解因式等于 （ ）

（A ）))(2(2m m a +- （B ）))(2(2m m a --

（C ）m (a －2)(m －1) （D ）m (a －2)(m ＋1)

（3）化简(-2)1999+(-2)2000的结果是 （ ）

（A ）21999 （B ）-2 （C ）-21999 （D ）-1

2．分解因式：（1）31a +； （2）424139x x -+； （3）22222b c ab ac bc ++++.

3．计算下列各式：(1) 7.6×200.1 ＋ 4.3×200.1－1.9×200.1； (2) 1011－5×109 .

4．先化简，再求值.

(1) 已知312=-y x , xy =2, 求2x 4y 3－x 3y 4的值；(2) 已知4x 2 + 7x + 2 = 4,求－12x 2－21x 的值.

5．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）2

3x --； （3）2234x xy y +-；

（4）222(2)7(2)12x x x x ---+；（5）14)5)((-+--y x y x ；（6）)2()1(4)2)(1(33+--+-x x x x ．

B 组

1. 填空题：

（1）已知a 2－6a +9与|b －1|互为相反数，计算a 3b 3+2a 2b 2+ab 的结果是_________； (2) +16

2x （ ）2) (1=+；2y]) [()] (21[) (4122-+=-x x ； (3) 已知31=+

a a ，则221a

a +的值是 ； (4) 若n mx x ++2是一个完全平方式，则n m 、的关系是 .

2．不解方程组???=-=+1

362y x y x ，求32)3(2)3(7x y y x y ---的值. 3．ABC ?三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ?的形状．

4．若二次多项式2232k kx x -+能被x －1整除，试求k 的值.

5．分解因式：（1）x 2＋x －(a 2－a )；（2）2235294x xy y x y +-++-；（3）2222)(6)()(b a b a b a ----+；

（4）32232)2()2(a x a ab x b a x -----；（5）23++x x ；（6）xy y x xy ++++)1)(1)(1(； （7）1+x + x (x +1) + x (x +1)2 + … + x (x +1)n (n 为正整数) .

第三部分 解方程和一元二次方程的根与系数的关系

1．等式：用等号表示相等关系的式子.

2．含有未知数的等式叫方程；能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（在一元方程中也可叫做方程的根）；求得方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程.

3．如果两个方程的解相同，即两个方程中，第一个方程的解就是第二个方程的解，第二个方程的解也是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程.

4．方程同解原理有两条：（方程同解原理是解方程的根据）（1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程；（2）方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程.

初中数学学中基本的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程这三种类型. 而简单无理数方程、高次方程、分式方程、二元二次方程组都要转化为前三种类型的方程. 因此，解方程的基本思想是通过“平方”或“换元”或“因式分解”或“消元”等转化办法，把新方程化归为已经会解的方程求解.

第一节 整式方程的解

一、一元一次方程

1.解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为“1”.

2.一元一次方程ax =b 的解的情况：（1）当a ≠0时，ax =b 有唯一的解a

b x =；（2）当a =0，b ≠0时，ax =b 无解；（3）当a =0，b =0时，ax =b 有无穷多个解.

二、一元二次方程

1. 一元二次方程解的判断方法和求根公式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法

可以将其变形为 2224()24b b ac x a a -+= …… ①. 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是： （1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根： x 1，

2 （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两相等实数根：x 1＝x 2＝－2b a

； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a

+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由“b 2－4ac ”来判定. 我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号―Δ‖来表示．

综上所述：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：1）当Δ＞0时，方程有两个不相等

的实数根x 1，22）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a ；3）当Δ＜0时，方程没有实数根. —— 一元二次方程的求根公式.

2. 解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程向一元一次方程转化（高次化低次），转化的方法主要为1）开平方法；2）使方程一边为0把另一边分解因式的方法. 小结如下：

注

意：

①配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握.配方时可以按下述方法进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同加一次项系数一半的平方.

②把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程.因为这是把方程降次的重要手段之一.

3. 解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法. 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数；直接开平方法是最基本的方法；公式法和配方法是最重要的方法，公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解；配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程，但配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）.

例1、方程（a 2-2a -3）x 2-(a -3) x +a = 0是关于x 的一元一次方程，求a 的值.

解：∵ 原方程是x 的一元一次方程，

∴ a 2-2a -3= 0且a -3 ≠ 0， 解得a = -1（a =3舍去）.

例2、选用恰当的方法解下列方程： (1) (3x -2)2 = (x +4)2 ； (2) 2x 2 - 4x -1 = 0；

(3) (x +1)(6x -5)=10； (4) 09322=-+x x ； （5）3y (y +2)=2(y +2) -5 .

解：（1）用开平方法，得3x -2 =x +4或3x -2= - (x +4)，∴x 1=3，212-=x .

注意：①解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但是如果不化为一般式就可以找到简便解法时也可以直接求解. ②方程两边同时开方时，只需在一边取正负号.

（2）用公式法，得2

622,1±=x .也可以配方得23)1(2=-x 求解. 注意：公式法可以用于解任何一元二次方程，应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，结果要进行化简。但是公式法作为一般方法，有时不是最简单的.

（3）用分解因式法，把（x +1）(6x -5)=10 整理得6x 2+x -15=0，

史上最全的初高中数学知识点衔接归纳

初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：

初高中数学衔接研究报告

初高中数学衔接研究报告

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初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求，造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关

键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。 3．近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 １．找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 １、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。

初高中数学衔接教材已整理精品

初高中数学衔接教材 1。乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; （2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； (２）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; （4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; （5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例１ 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? ＝242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- ＝61x -． 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值。 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 １.填空: （1）221111 ()9423 a b b a -=+( ); （２）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ） 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题： (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 （ ) （A)2 m （B ）214m (C ）213m （D ）2116m （２）不论a ,b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 ( ) (Ａ）总是正数 （B)总是负数 (Ｃ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 ２.因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。 １.十字相乘法 例1 分解因式: (1）ｘ２－3x ＋2； (２)x 2＋4x －12； (3）22()x a b xy aby -++; （4）1xy x y -+-．

初高中数学衔接必备教材(全)

初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值

1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４分式 1．2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的 １

初高中数学几何衔接

初高中衔接教材编排 第一部分相交线 1角的定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的两条边。表示方法符号：∠ 两条相交线出现四个角 2余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。 等角的余角相等，等角的补角相等 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角如图1，两条直线相交，构成两对对顶角。∠1与∠3为一对对顶角，∠2与∠4为一对对顶角。 图1 注意： 1.对顶角一定相等，但是相等的角不一定是对顶角。 2.对顶角必须有共同顶点。 3.对顶角是成对出现的。 在证明过程中使用对顶角的性质时，以图1为例， ∴∠1=∠3，∠2=∠4(对顶角相等)。 同位角：两条直线被第三条直线所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,我们把这种位置关系的角称为同位角. 互为同位角的有：∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7； 内错角：两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这样位置关系的 一对角叫做内错角.互为内错角的有：∠3与∠5,∠2与∠8 同旁内角：两条直线被第三条直线所截,在两条直线之间,并在第三条直线同旁的两个角称为同旁内角. 互为同旁内角的有：∠3与∠8,∠2与∠5 例题【基础题】请找出图中的同位角，内错角，同旁内角 例题、【基础题】如图，O是直线AB一点，∠BOD=∠COE=90o， 则（1）如果∠1=30o，那么∠2=，∠3= 。 （2）和∠1互为余角的有。 和∠1相等的角有。 例题【基础】32o的余角为，137o的补角是。 第二部分平行线 1．定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 2．特征在同一平面内【必须满足，这是一个难点】不相交 说明强调在一个平面内，是因为高中的时候会出现一条线和一个面，那么这个时候存在着线和这个面内的有些直线不平行的问题，这个有点难理解。 3．表示方法我们通常用‘／／’表示平行比如直线AB//CD 4.在同一平面内两条直线的关系有两种，平行和相交 相交的情况包括垂直.两条直线的夹角为90度，就称这两条直线垂直 垂线的性质经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线的长度。 5.平行线的画法 工具：直尺，三角板 4 32 1 O E D C B A A B

初中升高中数学衔接最全经典教材

初高中数学衔接教材 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接 第一部分如何做好初高中衔接 1-3页 第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页 第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点5-9页 第四部分分章节讲解 10-66页 第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ●第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很

“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。

11初高中数学衔接教材研究结题报告

“初高中数学衔接教材研究”结题报告 国本中学高中数学课题组 一、课题背景。 由于义务教育的需要，初中数学教材进行了大量削减或弱化，其中一部分是高中数学进一步学习的重要基础和必不可少的知识方法。作为新课程的高中数学教材，在初高中衔接方面局部比原来的教材要好些，但仍然不尽人意。 我们会经常听到学生或家长提到的一个问题：初中时数学学得很好，每次考试不下90分，到了高中怎么学习数学这么吃力呢？甚至经常徘徊在及格线附近，相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。这种现象应该说也是正常的，但是作为一名高中数学教师要了解学生数学能力的实际水平，衔接好初高中数学知识方法，并引导学生改变数学学习方法，尤其是高一的新生，教师应帮助他们完善学习方法，掌握学习数学的技能，以适应高中的大容量、快节奏的学习。因此做到初高中数学的有效衔接尤为重要。针对此类问题，我们认为要了解高中数学和初中数学有何不同从教材内容和要求到学习知识的能力需求分析：初中数学以常量数学教学为主，内容比较平面化，直观，针对某些知识还经常反复训练，机械模仿等。由于新课标强调的是学习的螺旋式上升，教材对知识章节的编排不够连贯，结构比较松散，教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念配置了足够的例题和习题。同时初中对抽象思维要求较低，况且初中升学门槛降低，学生的数学基础和能力下降较多，诸如：运算能力差，不会化简代数式，不会解方程组，不会准确画二次函数图像等等，这些对高中教学无疑增加了难度。相对初中数学，高中数学的知识内容丰富，思维要求高，题目难度大，抽象概括性强，灵活性综合性强。教材中概念的符号多，定义严格，论证要求高，抽象思维增多，注重数学思想方法的积累和应用。不仅要求学生运算能力，还要有逻辑推理能力，能运用一定的数学思想方法解决问题。比如：高一数学教材上期数学1，数学4涉及集合函数，三角，向量，内容多，符号多，概念多公式多，特别是函数的性质部分，这一连串的内容有许多难点，有些学生直到高中毕业也还是惧怕函数内容，还有不等式中，对二次项系数的分类讨论问题，很多学生容易忽略，缺乏分类讨论的意识。又如：高中解绝对值不等式方法：绝对值的定义，分类讨论，还有绝

(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)

目录 第一章数与式 1.1数与式的运算 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式 1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2二次函数的三种表达方式 2.2.3二次函数的应用 2.3方程与不等式 2.3.1二元二次方程组的解法 第三章相似形、三角形、圆 3.1相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形 3.2.1三角形的五心 3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆 3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理 3.3.2点的轨迹 3.3.3四点共圆的性质与判定 3.3.4直线和圆的方程（选学）

1.1数与式的运算 1.1.1 .绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即 a, a 0, |a| 0, a 0, a, a 0. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离. 例1解不等式：|x 1 x 3 >4. 解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ； ①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即2x 4 >4,解得X V0, 又x v 1 , 二x v 0； ②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即1> 4, 二不存在满足条件的x; ③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即2x 4 >4,解得x>4. 又x>3 二x>4. 综上所述，原不等式的解为 x V0, 或x>4. 解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A 之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的 距离|PB|，即|PB|= |x- 3|. 所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为 |RA| + |PB|> 4. 由|AB|= 2,可知 点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧. x V0,或x>4.P 丄 C L A 丄 B L D L---- x0134x V |x - 3| |x- 1| 图1. 1-1

(完整word版)初高中数学衔接教材(已整理精品)

初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1）221111 ()9423 a b b a -=+（ ） ； （2）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2 m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 2．因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

初升高暑假数学衔接教材(含答案)

初升高暑假数学衔接教材 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道

2018年浙江省初高中数学衔接教材

2018年浙江省初高中数学衔接教材 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2 2 3 3 ()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 第一讲 因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）2 2 ()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有 x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)． －1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4

(word完整版)初高中数学衔接练习题

初中升高中衔接练习题（数学） 乘法公式1．填空：（1）221111()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22 )168(m m =++ )； (3) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若2 12 x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213 m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 因式分解 一、填空题：1、把下列各式分解因式： （1）=-+652x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652x x __________________________________________________。 （5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。 （6）=+-18112x x __________________________________________________。 （7）=++2762x x __________________________________________________。 （8）=+-91242m m __________________________________________________。 （9）=-+2 675x x __________________________________________________。 （10）=-+22612y xy x __________________________________________________。 2、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x （5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ） A.只有（1）（2） B.只有（3）（4） C.只有（3）（5） D.（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5） 2、分解因式2 2338b ab a -+得（ ） A ()( )3 11-+a a B ()()b a b a 3 11-+ C ()()b a b a 3 11-- D ()()b a b a 3 11+- 3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ） A 、()( )2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()( )10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32 可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ） A 、10=a ，2=b B 、10=a ，2-=b C 、10-=a ，2-=b D 、10-=a ，2=b 5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102 其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式 1、()()3211262 +---p q q p 2、22365ab b a a +- 3、6422 --y y 4、8224--b b 提取公因式法 一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。

初中数学 初高中数学衔接教材 教案

初高中数学衔接教材 一、现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、初高中数学衔接目录： 前言 第一讲数与式的运算（两课时） 第二讲因式分解（两课时） 第三讲一元二次方程根与系数的关系（一课时） 第四讲不等式（两课时） 第五讲二次函数的最值问题（一课时） 第六讲简单的二元二次方程组（一课时） 第七讲分式方程和无理方程的解法（一课时） 第八讲直线、平面与常见立体图形（一课时） 第九讲直线与圆，圆与圆的位置关系（一课时）

黄冈中学初高中衔接教材含答案

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22 ()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a = ； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

初高中数学衔接教材(共28页)

初高中数学衔接教材 引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 第二讲 函数与方程 第三讲 三角形的“四心” 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222 ()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()a b a a b b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233 ()()a b a a b b a b -++=-； （3）三数和平方公式 222 2()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223 ()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 332 2()33a b a a b a b b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1） 221111 ()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2 m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 第一讲 因式分解

初高中数学衔接教材(已整理)word版含答案

初高中数学衔接教材 编者的话 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！