整式的乘法和分解因式导学案

整式的乘法和分解因式导学案

15.1 整式的乘法 第一课时 同底数幂乘法

学习目标

⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用.

⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力.

⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心. 学习过程：

一、预习与新知： ⒈阅读课本P 141-142

（2）3

2 表示几个2相乘？23表示什么？5a 表示什么？m a 呢？

（3）把22222????表示成n a 的形式. ⒉请同学们通过计算探索规律.

（1）()())

(2

2222222224

3

=?????=?

(2)35 ?4

5= )(5=

（3）

7)3(-?6

)3(-= ())(3-= （4）)

(?

?

? ??=??? ?????? ??1011011013

（5）3a ?4a = =()

a

⒊计算（1）32?4

2和7

2 ； （2）5

2

33?和7

3

（3）3a ?4a 和7a (代数式表示)；观察计算结果，你能猜想出m a ?n

a 的结果吗？

问题：（1）这几道题目有什么共同特点？

2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？ ⒋请同学们推算一下m

a ?n

a 的结果？

同底数幂的乘法法则： . 二、课堂展示：

（1）计算 ①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④x x x x ?+?2

2 （2）计算 ①1

1010+?m n ②57x x ? ③9

7m m m ?? ④-4

444?

⑤()3

922-? ⑥12222

+?n n

⑦ y y y y ???425 ⑧5

32333??

三、随堂练习：（1）课本P 142页练习题 （2）课本P 148页15.1第1①②，2① 四．巩固练习

（1）x 5

·（ ）=x 8 （2）a ·（ ）=a 6

（3）x · x 3（ ）= x 7 （4）x m

·（ ）＝x 3m

2.填空：

（1）8×4 = 2x

，则 x = ；（2）3×27×9 = 3x

，则 x = .

3.计算: (1) x n

· x

n+1

(2) 35

(－3)3

(－3)2 (3) －a ·(－a)4(－a)3

(4) 32×(－2)2n

(－2)（n 为正整数）

(5) x p

(－x)2p

(－x )

2p+1

(p 为正整数) (6) (x+y)3 · (x+y)4

(7) (x －y)2

(y －x)5

( 8) ()()

()124

3

222+-+++n m b a b a b a

五达标练

1.计算：①10432b b b b ??? ② ()()8

7

6

x x x -?- ③()()()5

6

2

x y y ---- ④()()()3

6

4

5

p p p p ?-+-?-

15.1整式的乘法

第二课时 幂的乘方

学习目标

⒈理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质.

⒉经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力.

⒊培养学生合作交流意识和探索精神，让学生体会数学的应用价值. 学习过程： 一.预习导学：

1填空①同底数幂相乘 不变，指数 。②=?32a a =?n m 1010 ③

()()

=-?-6

7

33 ④=??3

2a a a

⑤()

)(22

2

3= ())(x x =5

4 ())(223100

=

2.计算：①23a a ? ②55x x + ③()63a a -? ④()33x

3.计算①()3

2

2和6

2

②()34

2

和122 ③)

(3

210和610

问题：①上述几道题目有什么共同特点？ ②观察计算结果，你能发现什么规律？ ③你能推导一下)(

n m

a

的结果吗？请试一试

二.课堂展示：1计算①()3

510

②()3

n x ③()

7

7x -

2下面计算是否正确，如果有误请改正.

①()

63

3x x

= ②2446a a a =?

3选择题：①计算()

[

]

)(=-5

2x

（A ）7x （B ）7x - （C ）10x （D ）10x - ②16a 可以写成（ ）

（A ）88a a + （B ）28a a ? （C ）()8

8a

（D ）()2

8a

三.随堂练习 ①课本P 143页练习②课本P 148页习题15.1第1，2题. 四．巩固练习

1.下列各式正确的是（ ） （A ）()

52

322

=（B ）7772m m m =+（C ）55x x x =?（D ）824x x x =?

2.填空： (1) （103

）

3

= ； (2) （x 3）2

= ；

(3) –（x m

）5

= ； (4)（a 2

）3

·a 3

= (5) [–（y 3

）]2

= ；(6) [(a －b)3]4

= . 3.计算 ①()4

7p

；②()7

32x

x ? ；③()()4

33

4a a

-

④ n 10101057??

4.已知：a m =3 ；b n =3 ，用a ，b 表示n m +3和n m 323+

5.已知168123=??

?

??n

求n 的值

6..计算:

(1)()

[

]3

2b a - (2)()[]{}54

3a - (3) 23()y - (4) 342

(2)

a b -(5)()

[

]6

22-

7.求下列各式中的x ①6

2

4+=x x ②167143-=??

?

??x

§15.1 整式的乘法

第三课时 积的乘方

一.预习导学： 学习过程：

一．预习导学: ⑴阅读教材P 143-144页

⑵填空：①幂的乘方，底数 ，指数 ②计算：()

=3

210 ()=5

5b ()=-m

x 2

③)()(53

15==

x ；)()(n m mn x ==

⑶计算①()3

32?和3332? ；②()2

53?和2253? ；③()

2

2ab 和()2

22

b

a ?（请观察比较结果,

你有什么发现?请写出来.）

④怎样计算()

4

32a ？说出根据是什么？

⑤请想一想：()=n

ab

二．课堂展示：

⑴下列计算正确的是（ ）. （A ）()42

2ab ab

= （B ）()42222a a -=-

（C ）()3

33

y x xy =- （D ）()333

273y x xy =

⑵计算：①(

)3

24

y x ? ②()3

2b ③()

2

32a ④()4

3x -⑤()3

a -

三．随堂练习：⑴课本P 144页练习⑵课本P 148页习题15.1第三，四题 四．巩固练习

⑴计算：①3

25353??

? ??-???? ??- ； ②()42xy - ； ③()n

a 3 ;

④ (

)

3

23ab

- ； ⑤2008

2008818?

?

?

???

⑵下列各式中错误的是（ ） （A ）()

123

422

= （B ）()33

273a a -=-（C ）()844

813y x xy =（D ）()33

82a a -=-

⑶与(

)[]23

23a

-的值相等的是（ ）

（A ）1218a （B ）12243a （C ）12243a -（D ）以上结果都不对 [4]计算：①(

)

2243b a ②3

3221??

? ??y x ③()33n -

④()

a a a 2

3

4-+- ⑤()

()

2009

2008

425.0-?-

[5]一个正方体的棱长为2102?毫米，①它的表面积是多少？②它的体积是多少？

[6]已知：823=+n m 求：n m 48?的值（提示：823=，422=）

五．达标练习 1.填空：

(1) （103）3 = ； (2) （x 3）2

= ；

(3) –（x m ）5 = ； (4) （a 2）3·a 3

= ；

(5) [–（y 3）]2 = ； (6) [(a －b)3]4

= . 2.计算：

(1) 23()y - (2) 342(2)a b - (3) 23()m m ?- (4) 32

()()x x x -?-?

(5) 232()a a a ?? (6) 323(3)x x -? (7) (－x 2

y )3

·(－3xy 2

z ) (8) 333

(2)9ab a b -+

§15.1 整式的乘法 第四课时 幂的运算综合练习

⒊ 培养良好的数学构建思想和辨析能力和一定的思维批判性.学习 学习过程： 一．预习导学:

⑴叙述幂的运算法则？ （三个）

⑵谈谈这三个幂运算的联系与区别？ 二.课堂展示：

⑴计算：()(

)

103

22

2

2x x

x x --?-?-（请同学们填充运算依据）

解：原式=(

)10

6

2

2

2x

x

x x --??- （ ）

=106222x x -++ （ ）

=10102x x - （ ） =10

x - （ ）

⑵下列计算是否有错，错在那里？请改正.

①()22

xy xy = ②()442

123y x xy =

③(

)

62

3497x x

=- ④33

234327x x -=??

?

??-

⑤2045x x x =? ⑥ ()

52

3x x =

⑶计算：(

)()3

23

2

23

y x y

x ?

三.随堂练习：

A 组

⑴若811

x x x

m m =+-则m 的值为（ ）

（A ）4 （B ）2 （C ）8 （D ）10 ⑵下列各式中错误的是（ ） （A ）32x x x =?- （B ）(

)

62

3x x

=- （C ）1055m m m =? （D ）()32

p p p =?-

⑶3

221??

?

??-y x 的计算结果是（ ） （A ）3621y x -

（B ）3661y x - （C ）3681y x - （D ）368

1

y x ⑷计算：①3

3

+?n x

x ②3

254??

?

??-y x

③ (

)

n

c

ab 233

- ④(

)()[]3

22

223x x

--

B 组

⒈计算：⑴432a a a a ?? ⑵()()()2

5

6

x x x -?-?- ⑶()

[

]3

2a --

⑷(

)[]3

2

23xy

- ⑸()[]3

2

4

1x x -?-- ⑹()()

4

3

1212+?+x x

⒉一个正方形的边长增加了3厘米，它的面积就增加39平方厘米，求这个正方形的边长？

⒊阅读题：已知:52=m 求：m

32和m

+32

解：()125522

33

3===m m

405822233=?=?=+m m

利用你发现的规律解决下列问题 已知：73=n 求：n 43和n +43

学习目标:

⒈ 学生对教材的三个部分：同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方有一个正确的理解，并能够正确的运用.

⒉ 学生在已有的知识基础上，自主探索，获得幂的运算的各种感性认识，进而在理性上获得运算法则.

§15.1 整式的乘法 第五课时 单项式乘以单项式

学习目标

⒈理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算.

⒉经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力.

学习重点：单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习难点：单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习过程： 一.预习导学： ⑴P 144-145页

⑵什么是单项式？次数？系数？

⑶现有一长方形的象框知道长为50厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？若长为a 3厘米，宽为b 2厘米，你能知道它的面积吗？请试一试？

⑷利用乘法结合律和交换律完成下列计算.

①()()2

3

43p p -- ②()??

? ??--3

21

1

7a

a ③

b a

c ab 2227? ④(

)()

y xz z xy 2243? ⑤?

?

? ??-?z y x y x 62353432

⑸观察上式计算你能发现什么规律吗？说说看.

单项式乘以单项式的法则： 4.计算：

1. 5y ·（－4xy 2

） 2. )3()5(4

2a b a -?-

3. (－x 2

y )3

·(－3xy 2

z ) 4. (3x )4()3

2x y -?

5. (－2a)2

3

)3(a -? 6. 3

20082008

3

1

(? 7. )3

1

()43)(32(32332y x x yz x ?-- 8. 223x x x x ?+?

9. 244243)2()(x x x x x -++?? 10. 2 (a 7

233332)5()3()a a a a ?+-?

5.一家住房的结构如图，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地板砖的价格是每平方米a 元，则购买所需地砖至少多少元？

y y 2

x x 4

2

§15.1 整式的乘法 第六课时 单项式乘以多相式

学习目标

⒈让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算.

⒉经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力.

学习重点：单项式与多项式相乘的法则. 学习难点：整式乘法法则的推导与应用. 学习过程： 一.预习导学：

⑴叙述去括号法则？

⑵单项式乘以单项式的法则是：

⑶计算：①()()2

35x x - ②()()x x --3

③??

?

?????

??xy xy 5231 ④??? ??-?-mn m 3152

⑷写出乘法分配律？ ⑸利用乘法分配律计算：

①??

?

??+-1323233x x x ②()1326-+n m mn

⑹有三家超市以相同的价格n （单位：元/台）销售A 牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是：x ，y ，z 请你用不同的方法计算他们在这一年内销售这钟空调的总收入？你发现了什么规律？

单项式乘以多项式的法则：

二.课堂展示：⑴计算：(

)()

32

2

532ab ab

a

--

⑵化简：()

222210313xy y x x y xy x -?-??

?

??-?- ⑶解方程：()()3421958--=-x x x x

三．随堂练习：⑴课本P 146页练习⑵课本P 149页习题15.1第七题 四．小结与反思

四．达标检测：

［1］下列各式计算正确的是（ ） （A ）(

)23422

21

2321132x y x x x xy x +-=??

? ??

-

--

（B ）()()

113

2

2

++-=+--x x x x x

（C ）()221252214

5y x y x xy xy x n n -=????

??--

（D ）()()

2

2

2

2

2

2

5515y x y x x xy --=--

［2］计算：①(

)

83253

22

+-x x x ；②??

?

?????? ??-232211632xy xy y x

③(

)??

?

??

-?-xy y x xy 51532

2 ④()()()()3326510103102103??-???

3.先化简再求值：(

)(

)

x x x x x x 312

2

2

---- 其中2-=x

§15.1 整式的乘法

第七课时多项式乘以多项式

学习目标

⒈让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算. ⒉经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，培养学生计算能力. ⒊发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯. 学习重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 学习难点：多项式与多项式的乘法法则的应用. 学习过程：

一.预习与新知：

⑴叙述单项式乘以单项式的法则？

⑵计算;①(

)

12

+-x x x ②()y x xy xy 225351+??

?

??-

⑶在硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如图所示的四部分标上字母， 则面积为多少？

n

a

①

⑷请把矩形沿竖线剪开分成如图所示的两部分。则前部分的面积为多少？

后部分的面积是多少？两部分面积的和为多少？

n a ②

b ⑸观察图①和图②的结果你能得到一个等式吗？说说你的发现?

⑹如果把矩形剪成四块，如图所示，则：

图①的面积是多少？ n ② 图②的面积是多少？

图③的面积是多少？ a ④ 图④的面积是多少？ 四部分面积的和是多少？

观察上面的计算结果：原图形的面积；第一次分割后面积之和；第二次分割后面积之和相等吗?用式子表示？你能发现什么规律吗?试一试 （观察等式左边是什么形式？观察等式的右边有什么特点？）

多项式乘以多项式的法则： 二.课堂展示：

⑴计算;①()()32-+x x ②()()1213+-x x

注意：应用多项式的乘法法则时应注意;211x x x x ==?+;还应注意符号.

⑵计算：① ()()y x y x 73+- ②()()y x y x 2352-+

⑶先化简，再求值：()()()()y x y x y x y x 4232---+-其中：1-=x ；2=y

三.随堂练习：⑴课本P 148练习第1，2题 ⑵课本P 149习题15.1第9，10题 达标检测 ⑴计算()()122

5-+x x 的结果是（ ）

（A ）2102

-x （B ）2102--x x （C ）24102-+x x （D ）25102

--x x

⑵一下等式中正确的是（ ）

（A ）()()3

2

232y xy x y x y x +-=-- （B ）()()2

4412121x x x x +-=-+

（C ）()()2

2

943232b a b a b a -=+- （D ）()()2

2

93232y xy x y x y x +-=-+

⑶先化简，再求值：()()()()2

2

2

2

5533b a b a b a b a -++-++-其中8-=a ；6-=b ；

§15.2.1平方差公式

学习目标

1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示。

2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法。 一、回忆： ()()m n a b ++= 二、自主学习 合作探究

1、 赛一赛，看谁做得最快：计算

A.（1）(1)(2)x x --= （2）(1)(2)x x ++= （3）(25)(25)x x +-= ． （4）(3)(3)x x -+--= ． （5）(21)(21)x x -+--= ． （6）(23)(23)x y x y +-= ．

B. （1）(1)(1)x x -+= （2）(5)(5)x x -+= （3）(23)(23)x x -+=

（1）想一想：A 组练习与B 组练习有什么不同？ （2）讨论B 组的题目特点。

左边： 右边： 2、 结论： 平方差公式：

两数和与它们的差的积，等于 ．

()()a b a b +-= ．

这个公式左边的多项式有什么特征：（从项数、符号、形式分析）_______________ 公式右边是______________这个公式你能用语言来描述吗？ 用符号相同数的平方减符号相反的数的平方。

2．你能用图形来验证它的正确性吗?

用符号相同数的平方减符号相反的数的平方

(三)应用新知 例1：计算

（1）（3b + 2）（3b —2） （2）（b+2a ）（2a －b ） （3）(-x +2y)(-x -2y).

例2:计算

(1).102×98 (2).(y+2)(y －2)－(y －1)(y+5)

1.你准备好了吗？请对照平方差公式完成以下练习：

（1）(3)(3)x x +- = - ＝

（2）(23)(23)a a +-= - ＝

（3）(3)(3)a b a b +- = - ＝ （4）(12)(12)c c +-= - ＝ （5）11

(2)(2)22

x x +

-= - ＝ 2.测一测：请直接写出结果

（1）(3)(3)m m +-= ．（2）(4)(4)a a +-= ． 3 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是

（1）(x +1)(1+x )； （2）(a +b )(b －a )；

（3）(－a +b )(a －b )； （4）(x 2－y )(x +y 2

)；

（5）(－a －b )(a －b ) （6）(c 2－d 2)(d 2+c 2

) 4.利用平方差公式计算：

(1)(5+6x )(5－6x ); (2)(x －2y )(x +2y ); (3)(－m +n )(－m －n ). 5.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1). (y+2)(y －2)=y 2－2 (2). (－3a －2)(3a+2)=9a 2

－4 6.运用平方差公式计算：

(1). (a+3b)(a －3b) (2). (3+2a)(－3+2a) （3）51×49

7.计算：①（x －ab ）（x ＋ab ） ②（12＋b 2

）（b 2

－12） ③a m －b n ）（b n ＋a m

） ④ （3x ＋0.5）（0.5－3x ） ⑤ )3

243)(4332(

m

n n m +-+ ⑥[x+(y+1)] [x-(y+1)] ⑦(a+b+c) (a+b-c) ⑧(a+b+c) (a-b-c) ⑨(x+3) (x-3) (x 2+9) (x 4

+81)

§15.2.2 完全平方公式

学习目标：

1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。 2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。 一、温故知新： 1、提出问题，创设情境 （1）计算：

(a ＋b)(a ＋b ＝ ． (m+2)(m+2)= ． (p －1)(p －1)= ． 自主学习 合作探究

2、根据乘法公式进行计算，你能发现什么规律

(1)（ p+1）2

= (p+1)(p+1)= (2)）（2-y 2

=___________________

(3) ）（b a 2+ = (4)）

（b a 2-=____________________ 3、结论：

完全平方和公式：2

()

a b += ①

两数和的平方，等于它们的 加上它们 的2倍。 猜想: _______________________)

(2

=-b a ②

比较①、②两个公式：

计算结果只有___________与______________符号不同 计算结果:右边中间项的符号都与左边___________符号相同

4．你能用图形验证：(a ＋b)2

=a 2

＋2ab ＋b 2

及(a －b)2

=a 2

－2ab ＋b 2

吗?

2．比较(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2及(a －b)2=a 2－2ab ＋b 2

这两个公式，它们有什么不同?有什么联系?

3.要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2=a 2±b 2

。 例1 运用完全平方公式计算

1.（4m+n ）2

2. (y －3)2

例2 运用完全平方公式计算 1.

1022

2. 992

3. (－

2

1x －3y)2

1.下列多项式相乘，哪些可用平方差公式？怎样用公式计算？ （1）(a+b)(-b+a) （2） (ab+1)(-ab+1)

（3） (-2xy+z)(-2xy-z) （4）(a2-3bc)(3bc+a2) （5) (a+b)(b-c) （ 6) (a+b)(-a-b) 2..运用完全平方公式计算 （1）2

(2)

x y += （2）2(3)m n -=

（3） (y+6)2

= （4）2

(23)x y -=

（5）2

(2)2

b a +

= （6）(－2m+5)2 = 3.直接写出结果：

①. x 2

＋______＋25＝（x ＋______）2

；

②. ( )２＝m 2

－8m ＋16；

③. 2

)3

2(b

a -＝_______________； ④.（3m ＋2n ）2

＝______________； ⑤. 2)3

2

5.1(b a -＝_____________；

4.计算：

①. （3mn －5ab ）2 ②. （－4x 3－7y 2）2 ③. （5a 2－b 4）2

④. （y －3）2－2（y ＋2）（y －2） ⑤.(x －2y )2＋2(x ＋2y )(x －2y )＋(x ＋2y )2

5、先化简，再求值：

22(35)(53)x y y x --+ 其中2004x =， 1

2004

y =-

6.用适当的方法计算：

①．2)2

140( ②.20052－4010×2006＋2006

2

7.拓展延伸

1、已知：5a b +=，6ab =，求22a b +的值。

2、计算：已知12a a

+=，

求2

2

1

a a +

的值

§15．3．1 同底数幂的除法

学习目标：经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法 学习过程：

Ⅰ．提出问题，创设情境

1．叙述同底数幂的乘法运算法则．

2．问题：一种数码照片的文件大小是28K ，一个存储量为26M （1M=210

K ）?的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？ Ⅱ．自主探究，发现规律： 探究一：

请同学们做如下运算：

1．（1）28×28 （2）52×53 （3）102×105 （4）a 3·a

3

2．填空：（1）（ ）·28

=216

（2）（ ）·53

=5

5

（3）（ ）·105

=10

7

（4）（ ）·a 3=a 6

3.思考：（1）216

÷28

=（ ） （2）55

÷53

=（ ） （3）107

÷105

=（ ） （4）a 6÷a 3

=（ ）

上面的式子有何特点？观察指数间的关系，你的发现是：

语言叙述： ． 符号表示： ． 讨论：为什么这里规定a ≠0 ? 独学：

1．计算：（1）x 8

÷x 2

（2）a 4÷a （3）（ab ）5÷（ab ）2

2．计算：

（1）（x+y ）7÷(x+y)3 (2) －a 6÷3)(

－a (3) 710÷102

?310

探究二：

先分别利用除法的意义填空，再利用a m ÷a n =a m-n

的方法计算，你能得出什么结论？?

（1）32÷32

=（ ）

（2）103÷103

=（ ）

（3）a m ÷a m

=（ ）（a≠0）

结论：规定： a 0

=1（a≠0） Ⅲ．反馈练习：

1.随堂练习（课本p160 页1、2、3.题）

2.计算：

（1） 7

x ÷5

x （2） 8

m ÷7

m (3) 10

)

(a -÷7)(a - (4) 5)(xy ÷3)(xy

3.下面的计算对不对？如果不对，说明理由并改正．

（1）6x ÷2x =3x （2）46÷46=6 （3）3a ÷a =3

a (4 ) 4

)(c -÷2

)(c -= －2c (5) 10

x ÷2x ÷x =10x x ÷=10x

2.计算：

（1）13

1533÷ （2）473

4

3

4）（）（-÷- （3）214

y y

÷

（4）)()(5

a a -÷- （5）2

5

)()(xy xy -÷- （6）n n

a a 210÷（n 是正整数）

3.计算：

（1）2

5)a a ÷-（ （2）2

52

323

）

（）（-÷ （3）2

5)()m n n m -÷-（ （4）)()(224y x xy -÷- (5)2

3927÷ 4.说出下列各题的运算依据，并说出结果.

（1）2

3

x x ? （2）2

3

x x ÷ （3）2

3)(x （4）2

3)(xy

（5）

m m

x x x 2243)()?-÷-（ （6）[]

3

26)()(x y y x -÷-

5.写出下列幂的运算公式的逆向形式，完成后面的题目.

=+n m a =-n m a =mn a =n n b a

.(1)已知4,32==b

a

x x ，求b

a x

-. (2)已知3,5==n m

x x

，求n m x 32-.

（3）.若8127931122=÷?++a a ，求a 的值. 6.已知 1

23

-x =1, 则 x = ________.

1.计算：

(1)35)()(xy xy ÷ (2)236t t t ÷÷ (3)453p p p ÷?

(4))()()(46x x x -÷-÷- (5) 112-+÷m m a a (m 是正整数)

(6)[]

3512)(x x x ?-÷ (7)x x x x x ?÷?÷431012

(8)32673)()(x x x ÷ (9)279)3()3(2

52?÷-?-

(10) 2

25)()()()(n m n m m n n m -÷-?-÷-

（11）2

32232432)()()(y x y x y x ?-÷

6.解关于x 的方程：133

3

-+=÷+x x x x m m .

§15.3.2单项式除以单项式

学习过程：

一．提出问题，创设情境

“嫦娥一号”成功奔月，实现了中国人登月的千年梦想。月球是距离地球最近的天体，它与地球的平均距离约为3.8×8

10千米。如果宇宙飞船以

11.2?4

10米/秒的速度飞行，到达月球大约需要多少时间？ 你是怎样计算的？ 二．自主探究，发现规律： 探究：

1、由上述计算，你能找到计算：（38

a ）÷（24

a ）的方法吗？ 试一下：（38

a ）÷（24

a ）=_______________________ 2、再试：（1） （63

a 4

b ）÷（32

a b ）=___

（2）（143

a 2

b x ）÷（4a 2

b ）=_______________________ 3、思考：单项式除以单项式的法则，在小组内内讨论，写在下面： 单项式除以单项式，_________________________________________

4、想一想：单项式除以单项式的程序是怎样的？

三 自主解决：

（1）283x 2y ÷73x y （2） —56a 3b c ÷154

a b 四．反馈练习：

1.课本162页练习1， 2 2．计算：

(1) =÷y y 2

4 (2) b b a ÷2= (3) 2

2336ab b a ÷=

（4）a b a ÷-3

＝ （5）(

)3

3

3742x

y

x ÷-= （6）323

7(3)a b a b ÷-＝

（7）b a c b a 4

3

5

155÷-= （8）=-÷-)()(4

x x （9）=-÷-)4()8(a ab （10）=-÷-)3()2(2

2

x y x

3、小医生诊所：下列计算错在哪里？应怎样改正？

（1）（123a 3b c ）÷（6a 2b ）=2a b （2）（5p 4q ）÷（23p q ）=22p 3

q

4.计算：

（1） （10a 3b ）÷（52b ） （2）（—124s 6t ）÷（22s 3

t ）

（3）4

)(ab ÷3

)(ab - （4）33a ÷（66a ）?（—24

a

（5） （6?810）÷（3?510） （6）2

4)(7)(28y x y x +÷+ 5.计算：

（1） 53

221()(2)2

x y x y -

÷ （2）34()()m n n m -÷- （3）

2

3

4

3

12)2b a b a ÷?（ （4）5

2

()()()a b a b a b -÷-?- 6 . 拓展延伸：若m

x

n y ÷

4

13

x y = 42x ，则m=_____,n=_____。

§15.3.3 多项式除以单项式

学习目标

1、掌握多项式除以单项式的法则，并能熟练地进行多项式除以单项式的计算。

2、渗透转化思想，培养学生的抽象、概括能力，以及运算能力． 一、温故知新：（组内交流） 1.单项式除以单项式法则是什么? 2.单项式乘以多项式法则是什么? 2、计算：

⑴__________a 2b a 42=÷ ⑵__________223=-÷??

?

?

?

ab b a

⑶m(a+b)=_______________ ⑷m(a+b+c)=___________________ ⑸____________)1(2

=+-

y xy x

二、自主学习 合作探究

探究： 请同学们解决下面的问题： (1)__________)(=÷+m mb ma ;

_________=÷+÷m mb m ma

(2)()________=÷++m mc mb ma ;__________=÷+÷+÷m mc m mb m ma (3)________)(2

2

x x xy y x ÷+-;_________2

2

=÷+÷-÷x x x xy x y x 通过计算、讨论、归纳，得出多项式除单项式的法则

多项式除单项式的法则:_____________________________

用式子表示运算法则： ． 三 思考：

m mc m mb m ma m mc mb ma ÷+÷+÷=÷++)(

如果式子中的“＋”换成“－”，计算仍成立吗?

四 ． 新知运用： 计算:

421263)3a a a a -+÷(1)（

解：原式＝

43322221357)(7)x y x y x y x y -+÷-(2)（

解：原式＝

22(3)[()(2)8]2x y y x y x x +-+-÷

解：原式＝

五．反馈练习： 1、计算：

⑴a a a a 6)6129(324÷++ ⑵x x ax 5)155(2÷+

⑶mn mn mn n m 6)61512(2

2÷-+ ⑷)3

2()4612(2

3

35445y x y x y x y x -

÷+-

⑸2

3

3

2

2

3

4

)2()20128(xy y x y x y x -÷-- 2、计算：

（1）(

)

x x x x 361592

4÷+- （2）(

)2

2

35881624x x x x ÷+-

（3）(

)mn mn n m 615122

2÷+ （4）()

xy xy y x y x

2643223

÷-+

3、已知一个长方形的周长为35ab-14a,现在的把它的周长缩小7a 倍,问变化后的周长是多少?

六．拓展延伸：

一个多项式与单项式b a 2

3-的积是2

23

3

1b a b a -

，求该多项式。

学习过程： 一.预习导学：

§15.4.1因式分解—提公因式法

学习目标：

1、经历从分解因数到分解因式的类比过程.

2、了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系．

3、会用提公因式法分解因式。 学习过程： 一、温故知新：

1、单项式与多项式相乘，就是用 去乘 的 ，再把所得的积相加。如：

()

13252-+ab b a ab = ．

2、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 去乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加。如：()()b x a x ++= ．

3、整式乘法的平方差公式：()()b a b a -+=

4、整式乘法的完全平方公式：()2

b a += ，()2

b a -= ．

二、自主学习 合作探究 探究一：因式分解的定义 （1）计算下列各式：

①(x+1)（x －1）= ；②(y －3)2＝__________； ③x (x+1)＝ ； ④m (a ＋b ＋c )＝ ． （2）根据上面的算式填空：

①1x 2

-＝( )( )；②y 2－6y ＋9＝( )2； ③x 2+x ＝ ；④ma ＋mb ＋mc ＝ ； 思考：1、上面（1）与（2）中各式有什么区别与联系？ 2、（1）中由整式乘积的形式得到多项式的运算是_____________. （2）中是由多项式得到整式乘积形式。

把一个 化成几个 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式______,也

叫做把这个多项式____________。 3、因式分解与整式的乘法有什么关系？

因式分解与整式的乘法是 的变形 三、新知运用：

1．下列各式从左到右的变形，哪是因式分解

（1）4a (a ＋2b )＝4a 2

＋8ab ； （2）6ax －3ax 2

＝3ax (2－x )； （3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)；

（4）x 2－3x ＋2＝x (x －3)＋2．

（5）36ab a b a 1232?= （6）??

? ??+

=+x a b x a bx 反思：1、分解因式的对象是__________,结果是____________的形式。 2.分解后每个因式的次数要 （填“高”或“低”）于原来多项式的次数。

探究二：因式分解的方法： 1、公因式的概念．

⑴一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a ，b ，c ，宽都是m ，用两个不同的代数式表示这块场地的面积.

① _______________________,②__________________________ ⑵填空：

①多项式mc mb ma ++有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。 ②x x 3

2

3+有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。

③62+x 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。 ※多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式。

2．提公因式法分解因式

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 ，从而将多项式化成两个 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 四．自主探究：

1．把c b

a b a 3

23128+分解因式。

分析：如何确定公因式

（1）系数：若各项系数是整系数，取系数的 ；

（2）字母因数：一是取 的字母因式（也可是多项式因式）；二是取各相同字母因式的指数取次数 的． 解：原式＝

2．把2a （b+c ）－3(b+c)分解因式。 分析：这两个式子的公因式是 解：原式＝

反思：如何检查因式分解是否正确？和你小组的成员交流一下．

五．反馈练习

1.课本第167页练习题1．2．3．

2、下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 （填序号） ． ①(

)2

22

2

1y x y x -?=- ②()()y x y x y x

-+=-22

③(

)()

22

2

24

4

y x

y

x y x -+=- ④ ()2222y xy x y x ++=+

3、若分解因式()()n x x mx x ++=-+3152

，则m 的值为 。 4、把下列各式分解因式

①y x 9xyz 122- ②2a （y －z ）－3b(z －y)

六．解法指南

当多项式的首项是负数时，如何做？

例：把下列多项式分解因式：x x x 8422

3

---

解：原式＝－（x x x 8___4___22

3）(在横线中填入适当的符号) ＝－ （ ） 1、把下列多项式分解因式：

（1）3229126a a b ab -+- （2）32

312x xy -+

2、利用因式分解计算：

（1） 21×3.14+62×3.14+17×3.14 （2）10

11

2(2)+-

3．把下列多项式分解因式：（注意解题格式） （1）

2n n x x +- （2）2()()n n a b a b ++-+

解：原式= 解：原式=

（3）()()x x y y x y +-+ （4）2

(3)(26)a a ---

（5）)(5)(a b b a x -+- （6）2

(2)(2)m a m a -+-

§15.4.2因式分解-公式法（1）

学习目标：

1、会运用平方差公式分解因式。

2、灵活地运用平方差公式或已学过的提公因式法进行分解因式 一、温故知新：

1、提出问题，创设情境

（1）什么是因式分解？我们已经学过的因式分解的方法有什么？

（2）判断下列变形过程，哪个是因式分解？

①(x ＋2)(x －2)=2

4x -②()()2

43223x x x x x -+=+-+

2、根据乘法公式进行计算：

(1)（x ＋3）(x －3)= _____ (2)(2y ＋1)(2y －1)= ____ 3、猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？ （1）29x -= (2)2

41y -= (3)2

2

a b -=

思考：以上三个多项式有什么共同特点？

三、自主学习 合作探究

(一)想一想:观察下面的公式: 2

2a b -＝（a ＋b ）（a —b ）

这个公式左边的多项式有什么特征：（从项数、符号、形式分析）_________________ ____

公式右边是__________________这个公式你能用语言来描述吗？___________

公式中的a 、b 代表什么？__________________

(二)动手试一试：

1、判断下列各式哪些可以用平方差公式分解因式，并说明理由。 ①2

2

x y + ②2

2

x y - ③2

2

x y -+ ④22

x y -- 2、你能把下列的数或式写成幂的形式吗？

(1)2

4x =( )2 (2)2

2

x y =( )2(3)2

0.25m =( )2

3、你能把下列各式写成22

a b -的形式吗？

(1)21a - (2)224x y - (3) 220.25x y - (4)2

16121m -

(三)应用新知

1、你能将下列各式因式分解吗？（对比公式，注意公式中的a 与b 分别表示什么） 22a b -＝（a ＋ b ） （ a — b ）

（1）4x 2

－9 =(

)2-()2=（ __＋ ___ ）

（ ___ — ___ ） a 2 — b 2

=（ a — b ） （ a ＋ b ）

（2） ()()2

2

x y x y +--=(______＋_______)(______—______) 2、下面的式子你能用什么方法来分解因式呢？请你试一试 （1） y x 4

4- （2）ab b a -3

思考如下问题：①如何处理指数为4次的二项式？ ② 将y x 4

4-分解为（22x y +）（22

x y -）就可以了吗？ ③将a 3

b-ab 分解因式能直接运用平方差公式吗？

解：（1）原式＝

（2）原式＝

四．反馈练习：

1、下列各式中，能用平方差分解因式的是( )

(A)224x y + (B)22-x (C)224x y -+ (D)22

4x y -- 2、把下列各式因式分解：

（1）2

2

25x y -

解：原式=x

2

-（ ）2 =（ ）（ ）

（2）224a b - 解：原式=a

2

-（ ）2=（ ）（ ）

（3）2

2

49m n -=

解：原式=m

2

-（ ）2=（ ）（ ）

（4）2

2

916x y -

解：原式=（ ）2-（ ）2=（ ）（ ） （5）222564x y - （6）22

49m n -

（7）222516b a - （8）2

29m n +-

3．因式分解：

(1) 22

49x y - (2) –9x 2

+4

(3)y y x 42- (4) 164+-a

（5）36（x+y ）2

－49（x －y ）2

（6）4

2

4

2

55b m a m - 4．因式分解：

(1) 12

2

-y x (2)2

2

)()(y x y x --+

(3)2

2

)(4)(9y x y x --+ (4)1232

-x

（5）35x x - (6)33205ab b a +-

（7）

2220

951b a - （8）

（x －1）+b 2

（1－x ）

2、试说明：若a 是整数，则()2

211a +-能被8整除。

3、利用因式分解简便计算：

（１）22171429- （２）24485245152

2?-?

§15.4.2因式分解-公式法（2）

学习目标：

1、会运用完全平方公式分解因式。

2、灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式。 一、温故知新：

1、提出问题，创设情境

（1）我们已经学过的因式分解的方法有什么？

（2）根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，?分析和推测运用完全平方公式分解因式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ （3）分解因式：y y x 42- 解：原式＝

2、根据乘法公式进行计算：

(1) ）（3x 2+= ______________ (2)）（2-y 2=________________

(3) ）（b a 2+ = _________ (4)）

（b a 2-=__________ 3、猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？

（1）9x 6x 2++=_____________(2)442

+-y y =___________

你会想到什么公式？

二、自主学习 合作探究 探究一:

1、观察上面3中各式的左、右两边有什么共同特点？

左边的特点：______________________________________, 右边的特点：_______________________________________. 试用公式表示：_______________________________________

这个公式你能用语言来描述吗？____________________公式中的 a 、b 代表什么？_________________________ 温馨小提示：

整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．即：

222)(2b a b ab a ±=+± （注意符号的对应）

公式特点：多项式是一个 式，其中有两个数的 还有这两个数的 或这两个数

的 数．

2、我们把形如

b ab 2a 22++和_________的式子叫___________

探究二：下列各式是否是完全平方式？如果不是，请说明理由。 （1）a 2

－4a ＋4；（2）x 2

＋4x ＋4y 2

；（3）4a 2

＋2ab ＋

4

1b 2

； （4）a 2

－ab ＋b 2

；（5）x 2

－6x －9；（6）a 2

＋a ＋0.25．

反思：判断一个式子是否是完全平方式应从几个方面思考？ 三 思考与钻研：

1：你能将下列各式因式分解吗？

⑴924162++x x ⑵y 24y 42-+-x x

思考：1.它们是完全平方公式吗？

2． ⑴中的a 、b 分别是什么？ 3．⑵中的负号怎么处理？

分析：在（1）中，16x 2=（4x ）2，9=32，24x=2·4x ·3，所以16x 2

+14x+9是一个完全平方式，即

写出完整过程：

解：⑴原式＝

⑵原式＝

2：分解因式：

⑴y 23y 6a 32a ax x ++ ⑵

36y b)a 12b a 2++-+x （）

（ 思考：1、在⑴中有公因式3a ，应怎么办？

2、 ⑵中可将 看作一个整体，应用完全平方公式？ 解：⑴原式＝

⑵原式＝

反思：因式分解应按怎样的步骤？ 四．反馈练习：

1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？

4a 4a 2+- a 241+ 1b 44b 2-+ b 2ab a 2++

2、若k k x +-62是一个完全平方式，那么k= 。

3、利用公式2

2

2

)(2b a b ab a ±=+±将下列各式因式分解 （1）122++x x

分析：对比公式，其中___________,==b a

解： 122

++x x =

=+?+2

2

)()(

2）（

）（2)(

a a

b b （2）4962

+-x x

分析：对比公式，其中___________,==b a

解：4962

+-x x =

=+?-2

2

)()(

2）（

）（2)(

a a

b b （3）2

2

2510y xy x ++

分析：对比公式，其中___________,==b a 解：

2

22510y xy x ++==+?+2

2

)()(

2）（）（

2

)(

a a

b b （4）2

21664x

ax a ++

解：原式=x 2

＋2?（ ）（ ）＋（ ）2

=（ ）2

（5）2

2

49284a ab b -+ （6）4

1242

+

+x x

4.把下列各式因式分解：（相信自己，我是最棒的！！）

⑴962-+-x x ⑵1102524+-x x

⑶（m +n ）2－6（m +n ）+9. ⑷－4xy －4x 2－y 2

;

⑸2x 3y 2－16x 2y +32x ⑹4(2a ＋b )2

－12(2a ＋b )＋9；

5．将下列多项式因式分解：（山登绝顶我为峰！！）

（1）()()2

44x y x y ++++ （2）2

2331212ab a a +-

（3）ab b a 4)(2

-+ （4）m mx mx 4842

-+-

6．拓展延伸（胜利诞生于坚持不懈！！）

已知正数a 、b 、c 是三角形三边的长，而且使等式(

)()22

0a c ab bc -+-=成立，试确定

三角形的形状。

新人教版八年级上册数学导学案：因式分解—公式法(第2课时)

新人教版八年级上册数学导学案：因式分解—公式法（第2课时） 学习目标1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过 程，理解公式中字母的意 2、会用完全平方公式法对多项式进行因式分 解。 3．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式. 重点：用完全平方公式分解因式. 难点：能灵活应用提公因式法、公 式法分解因式，且把多项式的每一 个因式都分解到不能再分解. 时间 分配 导课3分、探索新知10分、典例示范10分小结2分、巩固15分 学习过程 学案（学习过程）导案（学法指导）一.提出问题，创设情景 问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方 法，?分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？ 能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 问题2：把下列各式分解因式． （1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 二、探索新知 1、下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）x2-6x-9 （4）a2+a+0.25 方法总结：凡是可以写成a2+2ab+b2或a2-2ab+b2这 样形式的多项式，都可以用完全平方公式分解因式，即可 以把它们化为(a+b)2或(a-b)2的形式。因此，我们把形 如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式 . 2、完全平方公式： 文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 a2+2ab+b2＝（a+b）2 a2-2ab+b2＝（a-b）2 导课： 通过问题导入。 所设置的问题也是前面 学习的乘法公式。 让学生分析、讨论、总 结，最后总结方法，必 要时教师可适度引导。 完全平方公式其实就是 乘法公式的逆运算。

第十五章_整式乘除与因式分解_全章导学案

第十五章整式乘除与因式分解 §15.1 整式的乘法 第 同底数幂乘法 学习目标 ⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力. ⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心. 学习重点：同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点：同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程： 一、预习与新知： ⒈⑴ 阅读课本P 141-142 （2）3 2 表示几个2相乘？2 3表示什么？ 5a 表示什么？m a 呢？ （3）把22222????表示成n a 的形式. ⒉请同学们通过计算探索规律. （1）()()) (2 2222222224 3 =?????=? (2)35 ?45= )(5= （3） 7)3(-?6 )3(-= ())(3-= （4）) (? ? ? ??=??? ?????? ??1011011013 （5）3 a ?4 a = =() a ⒊计算（1）3 2?4 2和72 ； （2）5233?和73 （3）3a ?4a 和7a (代数式表示)；观察计算结果，你能猜想出m a ?n a 的结果吗？ 问题：（1）这几道题目有什么共同特点？ （2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？

⒋请同学们推算一下m a ?n a 的结果？ 同底数幂的乘法法则： 二、课堂展示： （1）计算 ①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④x x x x ?+?2 2 （2）计算 ①1 1010+?m n ②57x x ? ③9 7m m m ?? ④-4 444? ⑤()3 9 22-? ⑥12222 +?n n ⑦ y y y y ???425 ⑧5 32333?? 三、随堂练习：（1）课本P 142页练习题 （2）课本P 148页15.1第1①②，2① C 组 1.计算：①10 432b b b b ??? ②()()8 7 6 x x x -?- ③()()()5 6 2 x y y ---- ④()()()3 6 4 5 p p p p ?-+-?- 2.把下列各式化成()n y x +或()n y x -的形式. ① ()()4 3 y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---2 3 ③() ()12+++m m y x y x 3.已知9x x x n m n m =?-+求m 的值. 四．小结与反思

用十字相乘法因式分解导学案

因式分解——十字相乘法导学案 【学习目标】 （1）了解“二次三项式”的特征； （2）理解“十字相乘”法的理论根据； （3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。 【学习过程】 一 、温故知新 （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二、探求解决：（2）把x 2+3x+2分解因式 分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项 (+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数 ---------- 十字交叉线 2x + x = 3x 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2) （3）按（2）中的方法把652 ++x x 分解因式 。 三、例题分析： 例1 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x 顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。 练习1： x 2-8x+15= ； 练习2： x 2+4x+3= ； x 2-2x-3= 。 小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 例２ 试将 -x 2-6x+16 分解因式 提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。 x x 12? x ??7? x 1 -

例3 用十字相乘法分解因式： （1）2x 2-2x-12 （2） 12x 2-29x+15 提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。 四、巩固训练 1．把下列各式分解因式： （1）1522--x x = ； (2) =-+1032x x 。 2．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3．=--3522x x (x －3) (__________)。 4 ．分解因式： （1）22157x x ++； (2) 2384a a -+； (3) 2576x x +- (4) 261110y y -- ５．把下列各式因式分解： (1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2 (3)x 4-8x 2+16 （4）2ax 2+6ax+4a 6.先阅读学习，再求解问题： 材料：解方程：=-+1032x x 0。 解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0 ∴x+5=0或 x-2=0 由x+5=0得x=-5 由x-2=0得x=2 ∴x=-5或 x=2为原方程的解。 问题：解方程：x 2-2x=3。

2017因式分解导学案.doc

【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=

3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．

【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值

人教版数学八上《 整式的乘法学案(无答案)(vip专享)

本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。内容由一线名师原创，立意新，图片精，是非常强的一手资料。 《整式的乘法》 学习目标 ⒈ 学生对教材的三个部分: 同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方有一个正确的理解，并能够正确的运用. ⒉ 学生在已有的知识基础上，自主探索，获得幂的运算的各种感性认识，进而在理性 上获得运算法则. ⒊ 培养良好的数学构建思想和辨析能力和一定的思维批判性. 学习重点: 理解三个运算法则. 学习难点: 正确使用三个幂的运算法则. 学习过程: 一.预习与新知: ⑴叙述幂的运算法则？（三个） ⑵谈谈这三个幂运算的联系与区别？ 二.课堂展示: ⑴计算: ()()1032222x x x x --?-?-（请同学们填充运算依据） 解: 原式=()10 6222x x x x --??- （ ） =106222x x -++ （ ） =10102x x - （ ） =10x - （ ） ⑵下列计算是否有错，错在那里？请改正. ①()22xy xy = ②()442123y x xy = ③()623497x x =-

④33234327x x -=?? ? ??- ⑤2045x x x =? ⑥()523 x x = ⑶计算: ()()3 2322 3y x y x ? 三.随堂练习: ⑴计算: ①33+?n x x ②3 254??? ??-y x ③ ()n c ab 23 3- ④()()[]3 22223x x -- ⑵下列各式中错误的是（ ） （A ）32x x x =?- （B ）()623 x x =- （C ）1055m m m =?（D ）()32p p p =?- ⑶3221?? ? ??-y x 的计算结果是（ ） （A ）3621y x - （B ）3661y x - （C ）3681y x - （D ）3681y x ⑷若811 x x x m m =+-则m 的值为（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）8 （D ）10 C 组 ⒈计算: ⑴432a a a a ?? ⑵()()()256x x x -?-?- ⑶()[]32a -- ⑷()[]3223xy - ⑸()[] 3241x x -?-- ⑹()()431212+?+x x ⒉一个正方形的边长增加了3厘米，它的面积就增加39平方厘米，求这个正方形的边长？ ⒊阅读题: 已知:52=m 求: m 32和m +32 解: ()125522333===m m 405822233=?=?=+m m ⒋已知: 73=n 求: n 43和n +43

整式的乘法教学设计

15.1.4.1 整式的乘法（一）教学设计 单项式与单项式相乘 ——谢海喜 教学目标： 知识与技能： 掌握整式的乘法的法则，会进行单项式与单项式的乘法的运算，熟练地进行整式的计算与化简。 过程与方法： 通过自主探索、自主发现、自主体验来真正理解法则的来源、本质和应用。 情感态度与价值观： 通过对单项式与单项式的乘法法则的探索、猜想、体验及应用，感受学习的乐趣。 教学重点: 单项式与单项式相乘的法则。 教学难点： 迅速准确地进行整式的乘法运算及运算过程中的系数与符号问题。 教学方法： 先学后教，当堂训练。 教学用时: 1课时。 教学过程： （一）通过复习，导出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式。 算一算： =?422 =?32x x ()=2310 ()=32x ()=22b ()=-3 23a 公式：()()。，，n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===+ （二）新授。 <一>出示自学目标： 1、复习乘法的运算律。 2、了解单项式乘法的法则的来历，掌握法则。 3、学会运用单项式乘法的法则进行计算。出示自学提纲。

<二>出示自学提纲： 1、乘法运算律有哪些？ 2、同底数幂乘法的法则是什么？ 3、单项式乘法的法则是如何推导出来的，用到哪些知识？ 4、单项式乘法的法则内容是什么？ 5、单项式乘法要注意哪些问题？ <三>通过自学教材P 144~145页内容，和同学们讨论或自主完成下列题目。 自学检测： 1、计算下列各题： （1）()()243b ab -?- （2）()()y x x 2325? （3）()()236a ay -?- （4）236 53b b ? 2、填空： （1）()()x a ax 22?= （2）（ ）()3522y x y x -= （3）()()()=-?-?-3433y x y x （4）22216??? ???-abc b a = （5）()() =-?-52323243b a b a （6）=??--11215n n n y x y x <四>通过学生做题反应的情况，酌情讲解教材上的例题。 <五>引导学生自主探究、归纳出单项式与单项式相乘的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 <六>依据单项式与单项式相乘的法则，所有学生自主单独完成下列题目。 当堂检测： 1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）532743a a a =? （2）1243532x x x =? （3）()2221553m m m -=-? 2、填空： （1）=?2552x x （2）=?323 22a ab （3）=?xyz y x 1655232 （4）()()=?-?23 2243x xy y x 3、计算下列各题： （1）??? ??-?322834yz x xy （2）?? ? ??-???? ??c b a b a 332331273

因式分解全章导学案

沧港中心学校导学案课题多项式的因式分解 学生姓名评卷情况 主备人杨玲审核人 科目七年级数学备课时间20XX年3月27日 方程、简化计算等方面都常用因式分解。3、理解因式分解是多项式乘法的逆变形。 学习重点: 因式分解的概念。 学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 一、复习回顾: 问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些? (1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:： (2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式： (3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)= 二、自主学习: 1、计算： （1）23= ?（2）（m+4）（m－4）=__________； （3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________； （5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。 2、若a=101,b=99,则22 a b -=___________；若a=99,b=-1,则22 2 a a b b -+=_______； 若x=-3,则2 2060 x x += 小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。 思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？ 三、合作探究:

四、课堂检测 1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 2x-3x+1=x(x-3)+1 ；(2) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3) 2m(m-n)=22m-2mn；(4) 42x-4x+1= ()2 21 x-； (5) 32a+6a=3a（a+2）；（6） ()() 243223 x x x x x -+=-++ (7) 2 2 2 11 2 k k k k ?? ++=+ ? ??；(8) 3 18a bc=32a b·6ac。 3、下列说法不正确的是( ) A. a b -是22 a b -的一个因式 B. xy是2 23 x y xy -的一个因式C.22 2 x xy y -+的因式是x y +和x y - D. 22 2 a a b b ++的一个因式是a b + 4、计算：(1) 2 87+87×13 (2) 22 10199 - 5、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 家长签字：

1.4.3整式的乘法三导学案

课题： 1.4.3整式的乘法（3） 课型 探究型 主备人 袁文平 审核人 初一数学组 上课时间 教师评价 班级 姓名 座号 第 组第 号 组内评价并签名： 学习目标：理解多项式乘法法则，会利用法则进行简单的多项式乘法运算。 学习重点：多项式乘法法则及其应用。 学习难点：理解运算法则及其探索过程。 学法指导：花6分钟时间认真阅读课本第14-15页，按顺序完成探究一、二、三、探究四由能力较强的学生完成，课内巩固训练请留到课内完成。 探究一、课前训练： （1）-3a 2b+2b 2+3a 2b-14b 2 ＝ ，（2）－n a a a ??3 = ； （3）3a 2b ·2 ab 3 ＝ ， （4）36)()(y y -÷-= ； （5）－)35(22a a a +＝ ， （6）3 )(a a -?-= 。 探究二、探索练习： 【探索】按下面两种方法求大长方形的面积 方法一、分别求出四个小长方形面积S 1=________;S 2=_______; S 3=_______,S 4=____________.大长方形的面积等于四个小长方的面积之 和表示为：S= S 1+ S 2+ S 3+S 4= ； （2）大长方形的长为 ，宽为 ，S=长×宽=______ _. 【猜想】以上两种方法计算出来的结果是相等的，由此得到的等式是______________________. 【归纳】由上面的问题可发现：多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 以另一个多项式的每一项，再把所得的积 。 用字母可以表示为：（a+m ）(b+n)=______________________________________________.

231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)

公式法（一） 【目标导航】 能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解． 【复习导入】 把下列各式分解因式： 1．－4m3＋16m2－26m； 2．(x－3)2＋(3x－9)； 3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1； 4（2011福建福州）分解因式：225 x-=. 5．y2－25 【合作探究】 1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点： 2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式： 【合作探究】 练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ (1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2； (4)－x2－y2；(5) 1 4 a2b2－1；(6) x4－y4. 例1 把下列多项式分解因式 (1) 4x2－9； (2) (x＋p)2－(x＋q)2； (3) 16－ 1 25 m2； (4)－(x＋2)2＋16(x－1)2． 例2 把下列多项式分解因式 (1) x4－y4； (2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－ 9x= ． (3)－ 1 4 xy3＋0.09xy； (4)a2－b2＋a－b； (5)(p－4)(p＋1)＋3p. 练习：把下列多项式分解因式 (1) a2－ 1 25 b2； (2) 9a2－4b2； (3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因 式所得的结果是（） (A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4） (C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2） (4)－a4＋16； (5) m4(m－2)＋4(2－m) 例3 在实数范围内分解因式 (1) x2－2； (2) 5x2－3. 例4(1) 计算：9972－9 (2)设n是整数，用因式分解的方法说明： (2n＋1)2－25能被4整除． (3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31， 你能求出x、y的值吗？ 【课堂操练】 1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b). 2．分解因式:4x2－9y2= ； 3x2－27y2= ； a2b－b3= ； 2x4－2y4= . 3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（） A. x2＋y2 B. x2＋y4 C. x2－y4 D. x2－2x 4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解 因式的结果，这个多项式是（） A. 4a2－b2 B.4a2＋b2 C. －4a2－b2 D. －4a2＋b2 5．分解因式： (1)9a2－ 1 4 b2； (2)2x3－8x； (3)(m＋a)2－(n－b)2. 【课后巩固】 1.把下列各式分解因式： (1) 9(m＋n)2－(m－n)2 (2) p4－16 (3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2

《因式分解》导学案

《因式分解》导学案 【复习目标】 1. 了解因式分解的意义。 2. 区别因式分解与整式乘法。 3?掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法（直接用公式不超 过两 次），十字相乘法，分组分解法。 4.能选择适当方法实行因式分解。 【复习难点】能选择适当方法实行因式分解 【教学过程】 4、分解因式 ① x 2+7x-xy-7y ② a 2-b 2-2a+l 三、归纳总结。因式分解的一般步骤: 、 课前热身 1、 计算 ① a(x+y+z) ②(a+b)(a-b) 一.因式分解 1、 因式分解： _______ 2、 因式分解与整式乘法 的关系 ____________ 二、旧知回顾 1＞分解因式 ① 3a 2-a ② 3x 2-6x 2y+3xy ③(x+y)2-3(x+y) 二、因式分解的方法 1、提公因式法 公因式： ____________ 2、公式法 2、分解因式 ?a 2-4 ②(X -1)2-9 ③(a+b) 2-6 (a+b) +9 ①平方差公式 ②完全平方公式 3、十字相乘法 3、分解因式 ?X 2 -2X -8 ② X 2-5X +6 ③ X 2+3X -18 4、分组分解法 ③ m 2-n 2+2m-2n （―）填空题: 2、分解因式 ① ax+ay+az ② a 2-b 2

四、反馈检测

1、 分解因式：16x 2 -9y 2 = ______________________ 2、 分解因式：a 3 +2a 2 +a = _______________________ （二）选择题 3、 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（） A a （x +y ） = ax + ay B x 2 -4x + 4 = x （x-4） +4 C 10x 2 -5x =5x(2x -1) D x 2 -16 +3x = (x +4)(x -4) +3x 能用提公因式法分解因式的是（ B x 2 +2x D x 2 -xy +y 2 (5) a 2 (x _ y) 一 b 】(x - y) (8) x 2- 2xy + y 2+ 2x - 2y + 1 7、已知a 、b 、c 是ZiABC 的三边的长，且满足 a 2 +2b 2 +c2 —2 比+ c ） = 0 ,试判断此三角形的形状。 五. 收获与体会 5?下列各式中, A x 2 -y C x 2 +y 2 （三）解答题 6、分解因式 (1) 2m(a~b)-3n(b-a) (2) x 3-9X . ⑷ 3 (x —y) 3 —6 (y —x) (6) x 4 - 2x 2+l (7) x 2 —7xy+12 y 2

新鲁教版六年级数学下册《整式的乘法(1)》导学案

6.5 整式的乘法(一) 一、学习目标与要求： 1、经历探索单项式乘法法则的过程，在具体情境中了解单项式乘法的意义，理解单项式乘法法则 2、会利用法则进行单项式的乘法运算 3、理解单项式乘法运算的算理，发展有条理的思考能力和语言表达能力 二、重点与难点： 重点：单项式乘法法则及其应用 难点：理解运算法则及其探索过程 三、学习过程： 复习巩固：运用幂的运算性质计算下列各题： (1)(－a 5)5 (2) (－a 2b)3 (3) (－2a)2(－3a 2)3 (4) (－y n )2 y n-1 探索发现： 一、探索单项式乘法法则 1、如图，你能不能表示出两幅画的面积 (说明：两张纸的大小是一样的，第一幅画 的大小与纸的大小相同，第二幅上下个留有18x 米的空白) (1)第一幅画的画面面积是_____________米2； (2)第二幅画的画面面积是____________米2 2、说说你的方法，并思考上面的结果能不能表达的更简单？说说你的理由 3、类似地，你能把下面的算式表达的更简单吗？ (1)2332a b ab ? (2) 2()xyz y z ? 4、你能说出上面的运算属于什么运算吗？_____________，你能归纳一下这种运算的方

法吗？ 5、经历了上面的探索过程，请在下面写出单项式乘法法则： ___________________________________________________________________________________ 二、巩固与练习 例1 计算(请利用单项式乘法法则进行计算，并归纳计算的注意事项或者技巧) (1) 21(2)()3xy xy ? (2) 23(2)(3)a b a -?- 22(3)7(2)xy z xyz ? 巩固练习： 1、计算： (1) 32(5)(2)x x y ? (2) 2(3)(4)ab b -?- (3) 2325()()58x y xyz ? (4) 38(210)(810)??? (5) 232(2)(4)x y xy ?- (6) 23223()()xy z x y -?- 2、一种电子计算机每秒可做9410?次运算，它工作2510?秒，可做多少次运算？ 3、一家住房的结构如图示，房子的主人打算把卧室以外的部分 全都铺上地砖，至少需要多少平方米的地转？如果某种地砖的 价格是a 元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ 4、122153())m n n a b a b a b m n ++-??=+若(求的值?,

45.3.2因式分解公式法(第1课时)

14．3．2公式法导学案（第1课时） 备课时间： 主备：张洪波 高永爱 审核：高永爱 使用时间： 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？ 分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下 形式：

结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式： （1）24a =（ ）2；（2）40.16a =（ ）2；（3）221.21a b =（ ）2； 例1：分解因式：（１）；249x -； （２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式． 总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是 的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ； （2）3a b ab -； 【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解： （1）22125 a b -； （2）2294a b -； （3）24x y y -；

整式的乘法(单项式乘以单项式)导学案

整式的乘法 （单项式乘以单项式）导学案 学习目标：1.会熟练利用单项式乘单项式的法则进行相关运算； 2.通过对单项式法则的应用，培养观察、比较、归纳及运算的能力. 教学重（难）点：利用单项式与单项式相乘法则进行计算 学习过程： 一、复习回顾 1. 同底底数幂的乘法： 幂的乘方： 积的乘方： 2. 叫单项式。 叫单项式的系数。 3计算：① 22()a ＝ ② 32(2)-＝ ③ 23 1[()]2-＝ ④ -3m 2·2m 4 = 其中④题计算结果的系数是 。 二、新知探究 1、光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? 列式为： 该式的结果等于多少呢?（运用交换律和结合律） × =（ ）×（ ）=15× =1.5× 2、如果将上式中的数字改为字母，即ac 5·bc 2，这是何种运算？你能算吗? ac 5·bc 2=（ ）×（ ）×（ ）= 3、仿照第2题写出下列式子的结果 (1)3a 2·2a 3 = （ ）×（ ）= (2) -3m 2·2m 4 =（ ）×（ ）= (3)x 2y 3·4x 3y 2 = （ ）×（ ）× （ ）= (4)2a 2b 3·3a 3= （ ）×（ ）×（ ）= 4、观察第3题的每个小题的式子有什么特点？由此你能得到的结论是： 单项式与单项式相乘， 三、新知应用（写出计算过程） ①（13a 2）·（6ab ） ②4y· (-2xy 2) ③2 (5)(3)a b a -- ④（2x 3）·22

四、归纳总结： (1)通过计算，我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点： 一是先把各因式的__________相乘，作为积的系数； 二是把各因式的_____ 相乘，底数不变，指数相加； 三是只在一个因式里出现的________，连同它的________作为积的一个因式。 (2)单项式相乘的结果仍是 ． 推广:(-3x 2y) ·(-2x)2= 五、达标测试: 1、下列运算正确的是（ ） A.()()4435432y x xy xy -=-- B. ()122321535a a a =? C.()()232 101.0x x x -=-- D.()n n n 2101021102=?? ? ???? 2、计算 （1）2333(3)(2)a b ab c -- （2）() b a ab c c ab 3322123121???? ??-???? ??- （3）32532214332c ab c bc a ???? ??-???? ??- （4）()()c a ab b a n n 21313-???? ???-+ 4. 已知单项式82+y x b a 与单项式y x y b a -324的和是单项式,求这两个单项式的积. 5已知n m y x 2132+-与634---n m y x 的积与34y x -是同类项,求m 、n 的值

北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章精品导学案

第二章 《因式分解》 §2.1 分解因式 学习重点： 1．理解因式分解的意义. 2．识别分解因式与整式乘法的关系. 学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】 公式类：()()a b a b +-=2 ()a b += 2()a b -= （1）单?单：3a×4ab= （2）单?多：(35)a a b -= （3）多?多：(3)(2)x y x y -+= （4）混合乘：x （x-1）（x+1）= 二、独立探究问题：分解因式的概念 1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？ 2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式 3．掌握分解因式概念应注意： （1）被分解对象是 （2）分解因式的结果必须是几个的形式. （3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止. 4．及时反馈：完成书p45随堂练习 三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系 1．议一议 （1）由(1)(1)a a a +-=3 a a -的变形是运算. （2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想 分解因式与整式乘法有什么关系？ ()ma mb mc m a b c ++++因式分解整式乘法 .因式分解与整式乘法是的变形. 四、知识的运用 例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？ （1）x +1=x （1+ x 1）（2）()222424ab ac a b c +=+ （3）2 4814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=- （5）2 2 2 4(2)a ab b a b -+=-（6）2 (3)(3)9x x x +-=- 五、课堂小结 1．分解因式的概念： 2．分解因式应注意： 3．分解因式与整式乘法的关系 六、课堂过关 1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（） A ．x 2－x =x （x －1） B ．a （a －b ）=a 2－ab C ．（a +3）（a －3）=a 2－9 D ．x 2－2x +1=x （x －2）+1 2．下列各式分解因式正确的是（） A. 2 2 3633(2)a x bx x x a b -+=- B. ()2 2 xy x y xy x y +=+ C. 2 ()a ab ac a a b c -+-=-+- D. 2 2 963(32)abc a b abc ab -=- 3.（1）2 2 ()()a b a b a b +-=-的运算是 （2）3 2 2 2(2)x x x x -=-的运算是 4．计算下列各式： （1）（a +b ）（a －b ）=________. （2）（a +b ）2=________. （3）8y （y +1）=________. （4）a （x +y +1）=________. 根据上面的算式填空： （5）ax +ay +a =（）（）（6）a 2－b 2=（）（） （7）a 2+2ab +b 2=（）（）（8）8y 2+8y =（）（）

因式分解导学案

因式分解 【学习目标】 因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见考点介绍如下： 1．因式分解的意义； 2．直接提公因式分解； 3．直接利用公式因式分解； 4．提公因式后再用公式； 5．利用因式分解进行数字计算； 6．利用因式分解求值； 7．利用因式分解求解整除问题； 8．利用因式分解求解矩形、正方形问题； 9．利用因式分解求解实际问题； 【学习过程】 一、因式分解的意义 此类题大多以选择题的形式出现，求解时应严格的按照因式分解的定义和要求去分析、求解。 例1．下列各式的变形是因式分解的是（） A、3x（2x+5）=6x2+15x B、2x2－x+1=x（2x－1）+1 C、x2－xy=x（x－y） D、a2+b2=（a－b）（a+b） 析解：根据因式分解的定义和要求，可知选项A、B应先排除，而选项D的右侧虽是因式积的形式。但由平方差公式可知：其左侧应是a2－b2的形式，才能得（a－b）（a+b）。故该式是错误的。所以本题应选C。 练习： 下列各式的变形，哪一个是因式分解 A、x2－4x+7=x（x－4）+7 B、m（a+b）=m a+m b C、（n－m）（b－a）=（b－a）（m－n）

D 、a （a +b +c ）+b （b +c+a ）+c （c+a +b ）=（a +b +c ）2 二、直接提公因式分解 此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。 例2．因式分解：=__________。 析解：本题的公因式为x ，所以本题的结果为x （x －1）。 练习：分解因式：ma ＋mb 三、直接利用公式因式分解 求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。 例3．分解因式:a 2－1=_______。 析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解。其结果为： （a －1）（a ＋1） 练习：分解因式：四、提公因式后再用公式 此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选择有关公式求解。 例4．把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ） A (a+ab)(a －ab) B a (a 2－b 2) C a(a+b)(a －b) D a(a －b)2 析解：本题首先将公因式a 提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选C. 练习∶分解因式：五、利用因式分解进行数字计算 此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用因式分解求解。 例5．计算：2－22－23－……－218－219+220, 析解：我们注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。按此规律采用“逆序”的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。其结果为：6。 2x x -22 4x y -244x y xy y -+=

新北师大版八年级数学下册因式分解导学案】

第四章因式分解 第一节因式分解 (1)计算下列各式： ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空： ①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( ); ③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2 ⑤a3-a=( )( ) 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;那么在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。 一、因式分解的定义：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式。也可以叫做分解因式。 定义解析：（1）等式左边必须是 （2）分解因式的结果必须是以的形式表示； （3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解 为止。 二、合作探究 探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不

是分解因式？为什么？ （1）22 111x x x x x x ????- =+- ???? ??? （2）()22 2424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 解: （7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二：连一连： 9x 2 －4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2） －3a 2 －6a 4（a －b ）2 a 3 ＋2a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ） 三、提升训练 1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）. A ．a （a －b ）＝a 2 －ab ； B ．a 2 －2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2 －x ＝x （x －1）； D ．x 2 －y y ?1 ＝（x ＋y 1）（x －y 1） 2.连一连： a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a － b )

完全平方公式因式分解导学案

课题：14.3因式分解---公式法（2） 课型：_________授课时间_____________序号_____ 学习目标：1、探索并运用完全平方公式进行因式分解，体会转化思想。 2、会综合运用完全平方公式和提公因式法对多项式进行因式分解。 一、知识回顾 1、判断下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？如果是，运用了哪种方法？ 9)3)(3)(1(2-=-+a a a )1()2(2+=+x x x x )32)(32(94)3(2-+=-x x x 22)2(44)4(+=++x x x 2、完全平方公式：______________)(2=+b a ______________))(2(2=-b a 二、自主学习、探究新知 1、我们把形如222b ab a ++和222b ab a +-这样是两个数的___________加上或减去 _____________________的式子叫做__________________。 2、可以利用_____________________把形如__________________的多项式因式分解。 3、自学成果分享，下列多项式是不是完全平方式？ 44)1(2+-a a 241)2(a + 144)3(2-+b b 22)4(b ab a ++ 4、尝试分解，用完全平方公式因式分解 ___________12)1(2=++a a ____________168)2(2=++a a 三、例题精讲 运用完全平方公式进行因式分解 1、92416)1(2++x x 练 1442+-x x 2244)2(y xy x -+- 练222y x xy --- 2、22363)1(ay axy ax ++ 练3222a x a ax ++