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2016秋九上期末专题训练:相似三角形性质的运用(含答案)

2016秋九上期末专题训练:相似三角形性质的运用(含答案)

专题训练(八)相似三角形性质的运用

1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3∶4,则△ABC与△DEF的面积之比为()

A.4∶3B.3∶4

C.16∶9D.9∶16

2.如图,AB∥CD,AO

OD=2

3,则△AOB的周长与△DOC的周长比是()

A.2 5

B.3

2

C.4

9

D.2

3

3.如图,在□ABCD中,E是AD边上的中点,连接B E,并延长BE交CD延长线于点F,则△EDF与△BCF的周长之比是()

A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5

4.两个相似三角形对应中线的比2∶3,周长的和是20,则两个三角形的周长分别为() A.8和12B.9和11

C.7和13D.6和14

5.如图,在△ABC中,AD∶DB=1∶2,DE∥BC,若△ABC的面积为9,则四边形DBCE 的面积为________.

6.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则AD

AB=________.

7.已知:△ABC∽△A′B′C′,AB=4cm,A′B′=10cm,AE是△ABC的一条高,AE=4.8cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长.

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型(供参考)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一:相似三角形的判定与性质: 例1、如图,△PCD 是等边三角形,A 、C 、D 、B 在同一直线上,且∠APB=120°. 求证:⑴△PAC ∽△BPD ;⑵ CD 2 =AC ·BD. 例2、如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合),在AC 上取一点E ,使∠ADE=45°(1)求证:△ABD ∽△DCE ; (2)设BD=x ,AE=y ,求y 关于x 函数关系式及自变量x 值范围,并求出当x 为何值时AE 取得最小值? (3)在AC 上是否存在点E ,使得△ADE 为等腰三角形?若存在,求AE 的长;若不存在,请说明理由? 例3、如图所示,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,连接DE ,F 为线段DE 上一点,且∠AFE=∠B :1)求证:△ADF ∽△DEC ; 2)若AB=4, 3 3=AD ,AE=3 ,求AF 的长。 考点二:射影定理: 例4、如图,在Rt ΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,CD=4cm,AD=8cm,求AC 、BC 及BD 的长。 例5、如图,已知正方形ABCD ,E 是AB 的中点,F 是AD 上的一点,且AF=1 4 AD ,EG ⊥CF 于点G , (1)求证:△AEF ∽△BCE ; (2)试说明:EG 2 =CG ·FG. 例6、已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD>AB ),将纸片折叠一次,使点A 与点C 重合,再展开,折痕EF 交AD 边于E ,交BC 边于F ,分别连结AF 和CE . (1)求证:四边形AFCE 是菱形;(2)若AE=10cm ,△ABF 的面积为24cm 2 ,求△ABF 的周长; (3)在线段AC 上是否存在一点P ,使得2AE 2 =AC ·AP ?若存在,请说明点P 的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由. 考点三:相似之共线线段的比例问题: 例7、已知如图,P 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点,过P 的直线与AD 、BC 、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H. 求证:PG PH PF PE = 例8、如图,点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点,连接CP 并延长,交AD 于点E ,交BA 的延长线于点F .(1)求证:PC 2 =PE ?PF ;(2)若菱形边长为8,PE=2,EF=6,求FB 的长. 例9、如图,CD 是Rt △ABC 斜边上的高,E 为AC 的中点,ED 交CB 的延长线于F . 求证:BD ?CF=CD ?DF . 例10、如图:已知在等边三角形ABC 中,点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的 点,且BD=CE ,直线CD 与AE 相交于点F .(1)求证:DC=AE ;(2)求证:AD 2 =DC ?DF . 例11、如图,E 是矩形ABCD 的边BC 上一点,EF ⊥AE ,EF 分别交AC ,CD 于点M ,F ,BG ⊥AC ,垂足为G ,BG 交AE 于点H .(1)找出与△ABH 相似的三角形,并证明;(2)若E 是BC 中点,BC=2AB ,AB=2,求EM 的长. 例12、如图,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ,CG 与AD 相交于点N .求证:(1)AE=CG ;(2)AN ?DN=CN ?MN . 例13、如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,点M 在CD 上,DH ⊥ BM 且与AC 的延长线交于点E .求证:(1)△AED ∽△CBM ; (2)AE ?CM=AC ?CD . 例14、如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 的中点,ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .(1)求证:FD 2 =FB ?FC ; (2)若G 是BC 的中点,连接GD ,GD 与EF 垂直吗?并说明理由. 例15、如图,四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形. (1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗?说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数. 考点四:相似三角形的实际应用: 例16、如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成矩形零件,使一边在BC 上,其余两个顶点分别在边AB 、AC 上. (1)若这个矩形是正方形,那么边长是多少? (2)若这个矩形的长PQ 是宽PN 的2倍,则边长是多少? 例17、已知左,右并排的两棵大树的高分别是AB=8m 和CD=12m ,两树的 根 A B C D F

相似三角形的性质练习(中档题)

一.选择题(共7小题) 1.(2014?肥东县模拟)已知△ABC的三边长分别为,,2,△A′B′C′的两边长分别是1和,如果△ABC与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长应该是() A .B . C . D . 2.(2014?石城县校级模拟)两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm,它们的面积之差为32cm2,那么小三角形的面积为() A .10cm2B . 14cm2C . 16cm2D . 18cm2 3.(2014?孝感一模)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值为() A .B . 5 C . 或5 D . 无数个 4.(2013?成都模拟)(新颖题)△ABC∽△A1B1C1,且相似比为,△A1B1C1∽△A2B2C2,且相似比为,则△ABC与△A2B2C2的相似比为() A .B . C . 或 D . 5.(2013秋?蚌埠期中)如图,DE∥BC,S△ADE=S四边形BCED,则AD:AB的值是() A .B . C . D . 6.(2012秋?慈溪市校级期中)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,若△ABC∽△BDC,则CD=() A .2 B . C . D .

7.(2012秋?蓬江区校级期中)如图,已知△ADE∽△ABC,则下列选项正确的是() A .∠AED=∠ B B . C . D . 二.填空题(共20小题) 8.(2015?上海模拟)已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2:3,△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3:5,那么△ABC与△A2B2C2的相似比为. 9.(2015?宝山区一模)两个相似三角形的相似比为2:3,则它们的面积之比为.10.(2015?石河子校级模拟)若△ABC∽△DEF,且相似比,当S△ABC=6cm2时,则S△DEF= cm2. 11.(2015?崇明县一模)两个相似三角形的面积比1:4,则它们的周长之比为. 12.(2015?临淄区校级模拟)如图,在正方形ABCD中,M是BC边上的动点,N在CD 上,且,若AB=1,设BM=x,当x=时,以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似. 13.(2015春?石家庄校级期中)如图,△AED∽△ABC,其中∠1=∠B,则AD: =:BC=:AB.

九年级数学下册相似三角形的性质同步测试(新版)新人教版

九年级数学下册相似三角形的性质同步测试(新版)新人教 版 1. 已知△ABC ∽△DEF ,若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4,则△ABC 与△DEF 的面积之比为( D ) A .4∶3 B .3∶4 C .16∶9 D .9∶16 2. 如图27-2-41,AB ∥CD ,AO OD =23 ,则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D ) 图27-2-41 A.25 B.32 C.49 D.23 3.两个相似多边形的面积比是9∶16,其中较小多边形的周长为36 cm ,则较大多边形的周长为( A ) A .48 cm B .54 cm C .56 cm D .64 cm 4.如图27-2-42,在△ABC 中,点D , E 分别是AB ,AC 的中点,则下列结论不正确的是( D ) A .BC =2DE B .△ADE ∽△ABC C.AD AE =AB AC D .S △ABC =3S △ADE 【解析】 ∵在△ABC 中,点D ,E 分别是边AB ,AC 的中点,∴DE ∥BC ,DE =12 BC ,∴BC =2DE ,故A 正确;∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,故B 正确;∴AD AE =AB AC ,故C 正确;∵DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∶BC =1∶2,∴S △ABC =4S △ADE ,故D 错误. 图27-2-42 图27-2-43 5.如图27-2-43,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为( B )

A .23 B .33 C .43 D .63 【解析】 作DF ⊥BC 于F , ∵边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线, ∴DE =2,BD =2,∠B =60°, ∴BF =1,DF =BD2-BF2=22-12=3, ∴四边形BCED 的面积为12DF ·(DE +BC )=12 ×3×(2+4)=33.故选B. 6.在△ABC 和△DEF 中,AB =2DE ,AC =2DF ,∠A =∠D ,如果△ABC 的周长是16,面积是12,那么△DEF 的周长﹨面积依次为( A ) A .8,3 B .8,6 C .4,3 D .4,6 【解析】 ∵AB =2DE ,AC =2DF ,∴ AB DE =AC DF =2,又∠A =∠D ,∴△ABC ∽△DEF ,且相似比为2,∴△ABC 与△DEF 的周长比为2,面积比为4,又∵△ABC 的周长为16,面积为12,∴△DEF 的周长为16×12 =8,△DEF 的面积为12×14 =3. 7. 如图27-2-44,在△ABC 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且AE AB =AD AC =12 ,则S △ADE ∶S 四 边形BCED 的值为( C ) 图27-2-44 A .1∶3 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 8.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为3∶4,若△ABC 的周长为6,则△A ′B ′C ′的周长为__8__. 【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长=3∶4,∵△ABC 的周长为6,∴△A ′B ′C ′的周长=6×43 =8. 9.已知△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3,△DEF 的周长为1,则△ABC 与△DEF 的面积之比为__9∶1__. 【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3,△DEF 的周长为1,∴△ABC 与△DEF 的相似比是3∶1,∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9∶1. 图27-2-45 10.如图27-2-45,在△ABC 中,DE ∥BC ,DE 分别交边AB ,AC 于D ,E 两点,若AD ∶AB =1∶3,则△ADE 与△ABC 的面积比为__1∶9__.

中考相似三角形经典综合题

中考相似三角形经典综合题 1、如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C 向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。设运动时间为t秒. (1)求线段BC的长; (2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围: (3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上,点F的对应点是F1,E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF= 3 3 QG? 2、在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA. (Ⅰ)如图①,求点E的坐标; (Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′. ①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标; ②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).

3、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为ι秒.(1)当ι=7时,点P与点Q相遇; (2)在点P从点B到点C的运动过程中,当ι为何值时,△PCQ为等腰三角形? (3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位. ①求s与ι之间的函数关系式; ②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将△ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直 线PC上,求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积. 4、如图,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=k·AE,AC=k·AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N. (1)探究∠ANB与∠BAE的关系,并加以证明. (2)若△ADE绕点A旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中(1)的结论是否发生变化?如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形,并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系. 5.如图,已知一个三角形纸片ABC,BC边的长为8,BC边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M为AB一动点(点M与点A B 、不重合),过点M作MN BC ∥,交AC于点N,在AMN △中,设MN的长为x,MN上的高为h. (1)请你用含x的代数式表示h. (2)将AMN △沿MN折叠,使AMN △落在四边形BCNM所在平面,设点A落在平面 A B C E M D N

相似三角形的性质 (第2课时)

相似三角形的性质(第2课时) 一、教学目标 1.掌握相似三角形的性质定理2、3. 2.学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题.3.进一步培养学生类比的教学思想. 4.通过相似性质的学习,感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1.教学重点:是性质定理的应用. 2.教学难点:是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用. 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具. 六、教学步骤 [复习提问] 叙述相似三角形的性质定理1. [讲解新课]

让学生类比“全等三角形的周长相等”,得出性质定理2. 性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比. ∽, 同样,让学生类比“全等三角形的面积相等”,得出命题. “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定,待证明后再强调是“相似比的平方”,以加深学生的印象. 性质定理3:相似三角形面积的比,等于相似比的平方. ∽, 注:(1)在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方,这个点学生容易掌握,但反过来,由面积比求相似比要开方,学生往往掌握不好,教学时可增加一些这方面的练习.(2)在掌握相似三角形性质时,一定要注意相似前提,如:两个三角形周长比是,它们的面积之经不一定是,因为没有明确指出这两个三角形是否相似,以此教育学生要认真审题. 例1 已知如图,∽,它们的周长分别是60cm和72cm,且AB=1 5cm,,求BC、AB、、. 此题学生一般不会感到有困难.

例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1:200和1:500,求甲地图与乙地图的相似比和面积比. 教材上的解法是用语言叙述的,学生不易掌握,教师可提供另外一种解法. 解:设原地块为,地块在甲图上为,在乙图上为. ∽∽且,. . 学生在使用掌握了计算时,容易出现的错误,为了纠正或防止这类错误,教师在课堂上可举例说明,如:,而 [小结] 1.本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3. 2.重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题. 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7. 八、板书设计

相似三角形的性质(2)练习题

4.7相似三角形的性质(2) 1.判断题: (1)如果把一个三角形各边同时扩大为原来的10倍,那么它的周长也扩大为原来的10倍。 (2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍,那么它的三边也扩大为原来的9倍。 2. (1)已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2:3,则对应边上中线之比,周长比为 ,面积之比为。 (2)已知ΔABC∽ΔA′B′C′,且面积之比为9:4,则相似比,周长之比为 ,对应边上的高线之比。 3.把一个三角形变成和它相似的三角形,如果面积扩大为原来的100倍,那么边长扩大为原来的______倍。 4.两个相似三角形的一对对应边分别是3厘米和2 厘米, (1)它们的周长之差是6厘米,这两个三角形的周长分别是。 (2)它们的面积之和是26平方厘米,这两个三角形的面积分别是_____________。 例2:如图:将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半。已知BC=2,求△ABC平移的距离。 C F E

5.如图1,在△ABC 中,D 是AB 的中点,DE//BC , 则(1)S △ADE ﹕S △ABC = ; (2)S △ADE ﹕S 梯形DBCE = . 6.如图2,在△ABC 中,D 、F 是AB 的三 等分点,DE//FG//BC , 则(1)S △ADE ﹕S △AFG ﹕S △ABC = ; (2)S △ADE ﹕S 梯形DFGE ﹕S 梯形FBCG= . 7.在△ABC 中,DE//BC ,且△ADE 的面积等于梯形BCED 的面积,则△ADE 与△ABC 的相似比是_______。 8.在△ABC 中, DE// FG// BC ,且△ADE 的面积,梯形FBCG 的面积,梯形DFGE 的面积均相等,则△ADE 与△ABC 的相似比是_______;△AFG 与△ABC 的相似比是_______. 9.已知:如图,在△ABC 中,DE//BC ,EF//AB ,△ADE 和△EFC 的面积分别为4和9。 求:△ABC 的面积。 10.如图,平行四边形ABCD 中,AE :EB=1:2, (1)求△AEF 与△CDF 周长的比; (2)如果S △AEF=6 cm 2,求S △CDF 。 图2

相似三角形的综合应用-学生版

知识精要 1、比例线段及性质 (1)比例线段的概念 (2)比例性质:基本性质、更比性质、合比性质、等比性质、比例中项 2、三角形一边的平行线性质定理及其推论 3、相似三角形的判定及性质 (1) 相似三角形的判定方法:预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比,面积比等于相似比的平方。 4、三角形相似的基本模型: (1)平行型:如图,“A”型即公共角对的边平行,“X”型即对顶角对的边平行,都可推出两个三角形相似; 常见条件: ①//DE BC ,②::AD AB AE AC =,③AD AC AE AB ?=?,④ADE B ∠=∠ (2)相交线型:如图,公共角对的边不平行,即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况 只要配上一对角相等,或夹公共角(或对顶角)的两边成比例,就可以判定两个三角形相似. 常见条件:①AD AB AE AC ?=?②::AD AC AE AB =③ ADE C ∠=∠ (3)旋转型: 常见条件:已知△BAC ∽△DAE , 求证:△BAD ∽△CAE. (4)嵌入型: 已知△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∠DAE=45°.找出相似的三角形. E A B C D D C B A

已知△ABC 是等边三角形,∠DAE=120°.找出相似的三角形. 常见条件: ① 已知∠B=∠C=∠EDF ,找出相似的三角形. ② 已知∠B=∠C=∠EDF ,D 为BC 的中点,找出相似的三角形. (5)一线三等角: 常见条件:B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形:(相交线型推广) 常见条件:① ,2AC AD AB =?③2 BC BD BA =?④2CD AD BD =?

相似三角形的性质与应用练习卷

相似三角形的性质及应用练习卷 一、填空题 1、已知两个相似三角形的相似比为3,则它们的周长比为 ; 2、若△ABC ∽△A ′B ′C ′,且 4 3 =''B A AB ,△ABC 的周长为12cm ,则△A ′ B ′ C ′的周长为 ; 3、如图1,在△ABC 中,中线BE 、C D 相交于点G ,则BC DE = ;S △GED :S △GBC = ; 4、如图2,在△ABC 中, ∠B=∠AED ,AB=5,AD=3,CE=6,则AE= ; 5、如图3,△ABC 中,M 是AB 的中点,N 在BC 上,BC=2AB ,∠BMN=∠C ,则△ ∽△ ,相似比为 , NC BN = ; 6、如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,S △ADE :S △BCE =4:9,则S △ABD :S △ABC = ; 7、两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ,则它们的对应角的平分线的比为 ; 8、如图5,在△ABC 中,BC=12cm ,点D 、F 是AB 的三等分点,点E 、G 是AC 的三等分点,则DE+FG+BC= ; 9、两个三角形的面积之比为2:3,则它们对应角的比为 ,对应边的高的比为 ; 10、已知有两个三角形相似,一个边长分别为2、3、4,另一个边长分别为x 、y 、12,则x 、y 的值分别 为 ; 二、选择题 11、下列多边形一定相似的为( ) A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 12、在△ABC 中,BC=15cm ,CA=45cm ,AB=63cm ,另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ,则最长边是( ) A 、18cm B 、21cm C 、24cm D 、19.5cm 13、如图,在△ABC 中,高BD 、CE 交于点O ,下列结论错误的是( ) A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、A D ·AC=A E ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 14、已知,在△ABC 中,∠ACB=900 ,CD ⊥AB 于D ,若BC=5,CD=3,则AD 的长为( ) A 、2.25 B 、2.5 C 、2.75 D 、3 15、如图,正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上, 其余两个顶点A 、D 在PQ 、PR 上,则PA :PQ 等于( ) A 、1:3 B 、1:2 C 、1:3 D 、2:3 16、如图,D 、 E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, AD BD =CE AE =3, 且∠AED=∠B ,则△AED 与△ABC 的面积比是( ) A 、1:2 B 、1:3 C 、1:4 D 、4:9 三、解答题 A B C D E G 图1 A B D E 图2 A B M 图3 A B C D E 图4 A B C D F 图5 G E A E C D O A P B C D Q R A B C D E

相似三角形的性质练习题

§18.3.3 相似三角形的性质 一、教学目标 1.利用前面几节的相关结论经过简单的推导得出相似三角形的各条性质; 2.运用相似三角形性质解决简单的问题。 二、教学重难点 教学重点:相似三角形的各条性质的掌握 教学难点:相似三角形性质中面积比的结论的得出。 三、教学过程设计 1、创设情境,设疑激趣 两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结果.例如,在图18.3.9中,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系? 2、探索研究,形成新知 △ABD和△A′B′D′都是直角三角形,而∠B=∠B′,因为有两个角对应相等,所以这两个三角形相似.那么 由此可以得出结论:相似三角形对应高的比等于相似比. (通过研究讨论,让学生借助已有的知识对新问题进行研究,培养学生的思考探索能力,同时让他们自己得出结论,感受成功的喜悦。) 思考 图18.3.11中,△ABC和△A′B′C′相似,AD、A′D′分别为对应边上 的中线,BE、B′E′分别为对应角的角平分线,那么它们之间有什么关系呢?

可以得到的结论是_________________________________________. 想一想:两个相似三角形的周长比是什么? 可以得到的结论是_________________________________________.(让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法进行研究,培养学生的推理能力。) 3、深入探究,得出结论 图18.3.10中(1)、(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形,它们都相似. (2)与(1)的相似比=________________, (2)与(1)的面积比=________________; (3)与(1)的相似比=________________, (3)与(1)的面积比=________________. 从上面可以看出当相似比=k时,面积比=k2.数学上可以说明,对于一般的相似三角形也具有这种关系. 由此可以得出结论:相似三角形的面积比等于________________________.(通过形象的图形比较,使学生直观地感知相似图形面积比与相似比之间的关系,便于被学生所接受。) 4、反馈练习,思维拓展 练习 (1)如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于多少? (2)相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为___________,对应角的角平分线的比为__________,周长的比为___________,面积的比为_____________. (3)如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比. (4)若两个相似三角形的最大边长为35cm和14cm,它们的周长差为60cm,则教大三角形的周长是多少?

相似三角形知识点整理及习题(中考经典题)

相似三角形知识点整理 一、本章的两套定理 第一套(比例的有关性质): 涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点: 1.相似三角形定义: 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理: 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS (ASA ) HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,那么△ABC ∽A 2B 2C 2 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质:d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a (比例基本定理) b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质

相似三角形的性质定理

相似三角形的性质定理(2、3) 一、教学目标 1.掌握相似三角形的性质定理2、3. 2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题.3.进一步培养学生类比的教学思想. 4.通过相似性质的学习,感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 先学后教,达标导学 三、重点及难点 1.教学重点:是性质定理的应用. 2.教学难点:是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用. 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具. 六、教学步骤 [复习提问] 叙述相似三角形的性质定理1. [讲解新课] 让学生类比“全等三角形的周长相等”,得出性质定理2. 性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比. ∽,

同样,让学生类比“全等三角形的面积相等”,得出命题. “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定,待证明后再强调是“相似比的平方”,以加深学生的印象. 性质定理3:相似三角形面积的比,等于相似比的平方. ∽, 注:(1)在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方,这一点学生容易掌握,但反过来,由面积比求相似比要开方,学生往往掌握不好,教学时可增加一些这方面的练习. (2)在掌握相似三角形性质时,一定要注意相似前提,如:两个三角形周 长比是,它们的面积之经不一定是,因为没有明确指出这两个三角形是否相似,以此教育学生要认真审题. 例1 已知如图,∽,它们的周长分别是60cm和72cm, 且AB=15cm,,求BC、AB、、. 此题学生一般不会感到有困难. 例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1:200和1:500,求甲地图与乙地图的相似比和面积比. 教材上的解法是用语言叙述的,学生不易掌握,教师可提供另外一种解法.解:设原地块为,地块在甲图上为,在乙图上为.∽∽且,.

相似三角形性质练习题(一)

相似三角形性质练习题 一、选择题; 1、两个相似三角形的相似比为2:3,则这两个三角形的周长比等于( ) A 、2:3 B 、2:3 C 、4:9 D 、不确定 2两个相似多边形的一组对分别是3cm 和4.5cm ,如果它们的面积之和是78cm 2, 那么较大的多边形的面积是 cm 2 ( ) (A)44.8 (B)42 (C)52 (D)54 3、两个相似多边形的面积比是16∶81,其中较小多边形周长为24 cm,则较大多边形周长为( ) A.52 cm B.54 cm C.66 cm D.74 cm 已知:如图1,DE ∥BC ,AD: DB=1:2,则下列结论不正确的是( ) A 、12DE BC = B 、 19A D E AB C ?=?的面积的面积 C 、13 ADE ABC ?=?的周长的周长 D 、18 ADE ?=的面积四边形BCED 的面积 4、如果两个相似三角形对应角平分线的比为16:25,那么它们的面积比为( ) A .4:5 B .16:25 C .196:225 D .256:625 如果两个等腰直角三角形斜边的比是1∶2,那么它们的面积的比是( ) A .1∶1 B .1∶2 C .1∶2 D .1∶4 5.若ABC △的周长为20cm ,点D E F ,,分别是ABC △三边的中点, 则DEF △的周长为( ) A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 3 6、两个相似三角形的面积比为1:4,那么它们的对应中线的比为( ) A .1:2 B. 2:1 C.2:1 D. 1:2 7、在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ,那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的( ) A .1倍 B .2倍 C .3倍 D .4倍 8、如图,已知DE ∥BC ,CD 和BE 相交于点O ,DOE S ?∶COB S ?=4∶9, 则AE ∶EC 为( ) A 、2∶1 B 、2∶3 C 、4∶9 D 、5∶4

最新《相似三角形》判定与性质测试卷

《相似三角形》判定与性质测试卷 一、细心填一填(共30分) 1.已知:如图,在ABC △中,DE ∥BC ,DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E ,:1:3AD AB =.若2DE =,则BC =_________. 第1题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.在□ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD,且AE 、BD 交于点F ,S △DEF :S △ABF =4:25,则DE :AB=_________. 3.已知789x y z ==,则x y z x z +++的值为 . 4.在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ,那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的 . 5.已知,,,a b c d 是成比例线段,且3,6,15,a cm b cm c cm d ===则= . 6.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O )20米的A 处,则小明的影子AM 长为 米. 7.如图,∠DAB=∠CAE,请你再补充一个条件___ (写一个即可)使得△ABC ∽△ADE. 8.在ΔABC 中,AB =4,BC =9,AC =8,在AC 上取一点M ,当AM 的长为 时,ΔAMB∽ΔABC. 9.如图,已知L 1//L 2//L 3,下列比例式中不成立的是 . (填序号及可) ① BC CE DF AD = ②AF BC BE AD = ③CE AD DF BC = ④CE BE DF AF = 第9题图 第11题图 第13题图 10.已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高,且AB=15cm ,BD=9cm ,则AD= ,CD= . 二、选择题 (每题3分,共30分) 11.如图,在Rt △ABC 中,AD ⊥BC 与D ,DE ⊥AB 与E ,若AD=3,DE=2,则AC=( ) A 、2 21 B 、215 C 、29 D 、15 12.下列三角形中,一定相似的是( ) A .两个等腰三角形 B .两个直角三角形 C .两个等边三角形 D .两个钝角三角形

最新中考相似三角形经典练习题及答案(1)

相似三角形分类练习题(1) 一、填空题 1、如图,DE是△ABC的中位线,那么△ADE面积与△ABC面积之比是________。 2、如图,△ABC中,DE∥BC,,且,那么=________。 3、如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,AD=8cm,DB=2cm,则CD=________cm。 4、如图,△ABC中,D、E分别在AC、AB上,且AD:AB=AE:AC=1:2,BC=5cm,则DE=________ cm。 5、如图,AD、BC相交于点O,AB∥CD,OB=2cm,OC=4cm,△AOB面积为4.5cm2,则△DOC面积为___cm2。 6、如图,△ABC中,AB=7,AD=4,∠B=∠ACD,则AC=_______。 7、如果两个相似三角形对应高之比为4:5,那么它们的面积比为_____。 8、如果两个相似三角形面积之比为1:9,那么它们对应高之比为_____。 9、两个相似三角形周长之比为2:3,面积之差为10cm2,则它们的面积之和为_____cm2。 10、如图,△ABC中,DE∥BC,AD:DB=2:3,则=______。 二、选择题 1、两个相似三角形对应边之比是1:5,那么它们的周长比是()。 (A);(B)1:25;(C)1:5;(D)。 2、如果两个相似三角形的相似比为1:4,那么它们的面积比为()。 (A)1:16;(B)1:8;(C)1:4;(D)1:2。 3、如图,锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O,则与△DOB相似的三角形个数是()。(A)1;(B)2;(C)3;(D)4。 共同 4、如图,梯形ABCD,AD∥BC,AC和BD相交于O点,=1:9,则=()。 (A)1:9;(B)1:81;(C)3:1;(D)l:3。 三、如图,△ABC中,DE∥BC,BC=6,梯形DBCE面积是△ADE面积的2倍,求DE长。

相似三角形性质及其应用练习题

相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质,能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段:斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,会用他们解决线段成比例的简单问题。 考查重点与常见题型 1. 相似三角形性质的应用能力,常以选择题或填空形式出现,如: 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2,则这两个三角形的对应高线之比是---------,对应中线之比是------------,周长之比是---------,面积之比是-------------,若两个相似三角形的面积之比是1∶2,则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------,对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------,周长之比是--------------, 2. 考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现,如: 如图,在Rt ΔABC 中,∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ,AC=6,BC=8, 则AB=--------,CD=---------, AD=---------- ,BD=-----------。, 3. 综合考查三角形中有关论证或计算能力,常以中档解答题形式出现。 预习练习 1. 已知两个相似三角形的周长分别为8和6,则他们面积的比是( ) 2. 有一张比例尺为1 4000的地图上,一块多边形地区的周长是60cm ,面积是250cm 2,则这个地区的实际周长-------- m ,面积是----------m 2 3. 有一个三角形的边长为3,4,5,另一个和它相似的三角形的最小边长为7,则另一个 三角形的周长为----------,面积是------------- 4. 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ,若它们的周长的差是60cm , 则较大的三角形的周长是----------,若它们的面积之和为260cm 2,则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5. 如图,矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于E ,若BE=4,DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12,则这两直角边在 斜边上的射影之比------------- 考点训练 1.两个三角形周长之比为95,则面积比为( ) (A )9∶5 (B )81∶25 (C )3∶ 5 (D )不能确定 2.Rt ΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,DE ⊥AC 于E ,那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于D ,下列等式中错误的是( ) (A )AD ? BD=CD 2 (B )AC ?BD=CB ?AD (C )AC 2 =AD ?AB (D )AB 2 =AC 2 +BC 2 4.在平行四边形ABCD 中,E 为AB 中点,EF 交AC 于G ,交AD 于F ,AF FD =13 则CG GA 的比值 是( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5 5.在Rt ΔABC 中,AD 是斜边上的高,BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是( ) (A )2 (B )3 (C )4 ( D )8

相似三角形的性质_练习题(有答案)word版本

18.6 相似三角形的性质同步课堂检测学 考试总分: 120 分考试时间: 120 分钟 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________ 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.王华晚上由路灯下的处走到处时,测得影子的长为,继续往前走到达处时,测得影子的长为,他的身高是,那么路灯的高度 A. B. C. D. 2.如图,在中,若,,若的面积等于,则的面积等于() A. B. C. D. 3.如图,中,,如果,,那么的值为() A. B. C. D. 4.如图,在中,,是边上的高,,,则 A. B. C. D.

5.如图,是斜边上的高,,,则的长为() A. B. C. D. 6.两个相似三角形的面积之比为,则这两个三角形的周长比为() A. B. C. D. 7.一个三角形的三边分别为,,,另一个与它相似的三角形中有一条边长为,则这个三角形的周长不可能是() B. C. D. A. 8.一个的面积被平行于它的一边的两条线段三等分,如果,则这两条线段中较长的一条是() A. B. C. D. 9.如图,中,,平分交于点,交于点,为的中点,交的延长线于点,,.下列结论①; ②;③;④,其中结论正确的个数有()

A.个 B.个 C.个 D.个 10.如图,、分别是边、上的点,,若,则的值为() A. B. C. D. 二、填空题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 11.相似三角形的判定方法 若(型(图)和型(图))则________. 射影定理:若为斜边上的高(双直角图形)图则 且________,________, ________. 12.如图,,,已知,,则图中线段的长 ________,________,________.

相似三角形的性质与判定练习题 含答案

相似三角形的性质与判定 副标题 题号一二总分 得分 一、选择题(本大题共7小题,共分) 1.如图,在中,点P在边AB上,则在下列四个条件中::; ;;,能满足与相似的条件是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对 进行判断. 【解答】 解:当,, 所以∽; 当,, 所以∽; 当, 即AC::AC, 所以∽; 当,即PC::AB, 而, 所以不能判断和相似. 故选D. 2.如图,在矩形ABCD中,,,将其折叠使AB落在对角线AC上,得到 折痕AE,那么BE的长度为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 根据对称性可知:,,又,所以 ∽,根据相似的性质可得出:,,在 中,由勾股定理可求得AC的值,,,将这些值代入该式求出BE的值.【解答】

解:设BE的长为x,则、 在中, , ∽两对对应角相等的两三角形相似 ,, , 故选:C. 3.如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测 得一根长为1m的竹竿的影长是,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图,他先测得留在墙壁上的影高为,又测得地面的影长为,请你帮她算一下,树高是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解:如图,设BD是BC在地面的影子,树高为x, 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而, , 树在地面的实际影子长是, 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得, , 树高是. 故选C. 此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的,所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,利用这个结论可以求出树高. 解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同. 4.如图,是在以点O为位似中心经过位似变换得到的,若 的面积与的面积比是16:9,则OA:为( ) A. 4:3 B. 3:4 C. 9:16 D. 16:9 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了位似变换、位似图形和相似三角形的性质的知识点,如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心先求出位似比,根据位似比等于相似比,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可 【解答】

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