拓扑学第五章 连通性

第五章 连通性

普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：

例： 设2E 的一个子集（曲线）有,A B 两部分构成，其中

1{(,sin )(0,1)}A x x x

=∈

{(0,)11}B y y =-≤≤

如右图，细线为A ，粗线为B ，我们很难判断它们是否连通的。

▲有两种描述图形连通的方法： 1）、利用集合是否相交来判定；

2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。

前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。 在上例中，X 是连通的，但是，不是道路连通的。

§5-1 连通空间

先看一个例子：

考虑R 上的两个子集(0,1)与[1,2)。它们是不交的，（即交为空集）。但是，它们的并为(0,2)却构成了一个“整体”；

而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。 原因是：(0,1)的一个聚点1，属于[1,2)，而不属于(1,2)。 为此，给出一个“分离”的概念。

定义1 设A 和B 是拓扑空间X 的两个非空子集，如果A B ?=?与A B ?=?，则称A 与B 是分离的。

定义2 称拓扑空间X 是连通的，如果X 不能表示为两个非空分离集合的并。 ●显然，连通与下面几种说法是等价的。

① X 不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X 没有既开又闭的非空真子集； ④ X 中只有X 和?是既开又闭的。

上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。

例1 （1）(,)f R τ是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。

（2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。 （3）1E 空间是连通的。

结论（3）是明显的。但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，1E 常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此，有必要去证明一下。

证明的思路：1E 中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则1E 是连通的。 以下是证明：

不妨设A 是1E 的非空真闭集，于是只要证明A 不会是开集。

设A 的下确界为a ，上确界为b 。因为A 是闭集，则有,a A b A ∈∈。

又设x A ?，不妨假定x a <（对于x b >情形可作类似的讨论），由于(,)x a A ?=?，即a 不是A 的内点，从而A 不是开集。证毕。

下面讨论连通空间的性质。

定理1 连通空间在连续映射下的象也是连通的。

证明： 设X 连通，:f X Y →连续，我们要证明()f X 也连通。

不妨设()f X Y =（否则也可以考虑:()f X f X →）。又设B 是Y 的既开又闭的非空子集，则

1()f B -是X 的既开又闭的子集（这是根据连续映射的性质）。

又由于1

()f

B -非空，并且X 是连通的，故只要1()f B -X =（不可能为?），因为映射是满射，

从而B Y =，这说明Y 的既开又闭的非空子集只能有Y 。于是，Y 是连通的。 例2 单位圆1

S 是连通的。

因为1E 是连通的，且有映射1

1

2:,()i x

f E S f x e π→=，有11

()f E S =。

例3 设1A E ?，则A 连通 ? A 是区间。 例3可作为定理1的推论。

推论1 连通空间上的连续函数取到一切中间值（即，象集是区间）。

事实上，这个推论适于R 上的映射，而对于其他的拓扑空间，应该有“序”的概念。所以只作理解即可。

即，设X 连通，1

:f X E →，根据例3。推论立证。

引理1 若B 是X 的既开又闭子集，A 是X 的连通子集，则或者A B ?=?，或者A B ?。 证明：显然A B A ??。由于A 是连通的，则A 不可能存在既开又闭的子集A B ?，则要么

A B ?=?，要么A B A ?=，即A B ?。

定理2 若有一个连通的稠密子集X ，则X 连通。 证明：思路：证明X 的既开又闭子集只有X 和?。

设A 是X 的连通稠密子集，且B 是X 的既开又闭子集。如果B ≠?，则必有A B ?≠?。由引理1，有A B ?。

于是，X A B B =?=，从而B X =。因此，X 的既开又闭子集只有X 和?。 推论2 若A 是X 的连通子集，且A Y A ??，则Y 连通。

注释：这是因为A 是Y 的稠密子集，由定理2，立得推论。 ●下面的定理给出判断连通性的一个常用法则。

定理3 如果X 有一个连通覆盖U （即U 中每个成员都是连通的），并且X 有一连通子集A ，

A 与U 中每个成员都相交，则X 连通。 定理意义的解释：U 中每个成员都是连通集，

它们构成X 的覆盖，它们之间不一定都有交，但是存在一个X 的子集A ，A 与

它们都相交。

证明： 证明思路：X 的既开又闭子集只有X 和?。

设B 是X 的既开又闭子集，A 是X 的一连通子集。根据引理1，要么A B ?=?，要么

A B ?。

如果A B ?=?，则U ?∈U ，因U A ?≠?，所以 U ?B ，并且由引理，必有U B ?=?（注：U 是连通子集），则

()()U U B U B U B ∈∈=?=?=? U

U

又，如果A B ?，则U ?∈U ，U B U A ???≠?，由引理，必有U B ?，则 U U B ∈? U

又，

U U X ∈= U

，故有X B ?，即X B =。

证毕。

例4 我们可以利用定理3的方法去证明2E 是连通的。

记1

{(,)}x B x y y E =∈，显然，1

2

x

x E

E B

∈=

。

即1{}x x E B ∈是2E 的覆盖，而x ?，x B 是连通的（∵1

E 连通） 故1{}x x E B ∈是2

E 的连通覆盖。

记1

{(,0)}A x x E =∈，则A 连通，,x x A B ??=?。由定理3知，2

E 连通。

利用归纳法，可以证明n

E 连通。 定理4 连通性是可乘的。

证明： 设,X Y 都是连通空间，则{{}}X y y Y ?∈是X Y ?的连通覆盖。取x X ∈，则{}x Y ?连通，且与每个{}X y ?都相交。由定理3知，X Y ?连通。

证毕。

§5-2 连通分支与局部连通空间

连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念。

定义3 拓扑空间X 的一个子集称为X 的连通分支，如果它是连通的，并且不是X 其他连通子集的真子集。

注释：说A 是X 的一个连通分支，即，若X 的子集B A ?，且B A ≠，则B

一定不连通。也

A

u 1 u 2 u 3

u 4 u 5

就是说，连通分支是极大连通子集。

如果X 是连通的，则它只有一个连通分支，即X 自身。 命题1 连通分支是闭集。

证明： 设A 是X 的一个连通分支，由定理2，A 也是连通的。由A 的极大性推出A A =。因此，A 是闭集。

例如，在1E 中，(,)a b 区间是连通的，则[,]a b 也是连通的。

定义4 拓扑空间X 称为局部连通的，如果x X ?∈，x 的所有连通邻域构成x 的邻域基。

注释：关于“局部连通的”有多种定义表达形式。

粗略地说：局部连通性就是每一点处都有一个“任意小”的连通邻域。

“对于x X ∈，x 的每一个邻域U ，存在x 的一个连通邻域V ，使得V U ?，此时称x 处局部连通的；如果X 的每一点x 都是局部连通的，称X 是局部连通的”。

这一解释可以从定义4直接推出。 ●连通与局部连通的关系： （1）局部连通的空间不一定是连通的。

例如，R 的子空间[1,0)(0,1]-?是不连通的，但它是局部连通的。 （2）连通的空间未必是局部连通的。

例如，设是2R 的子空间：X A B =?，其中 {(,)0,11}A x y x y ==-≤≤ 1

{(,)01,sin }B x y x y x

=<≤=

这里X 被称为“拓扑学家的正弦曲线”，事实上，可以看出

X B =。

因为，B 是在连续映射1()(,sin )f x x x

=下的区间(0,1]的象，故B 是连通的。

又X B =（即A 是B 的极限点或称聚点集合），故X 也是连通的。而X 在A 的每一点p 处都不是局部连通的，因而，X 不是局部连通的。

命题2 局部连通空间的连通分支是开集。

证明：设X 局部连通，A 是X 的一个连通分支，x A ?∈，x 有一连通邻域V 使得V A ?，所以x 是A 的内点。因此，A 为开集。

§5-3 道路连通性（弧连通性）

一、关于道路（或弧）的概念

道路是“曲线”概念的抽象化。

曲线可以看作点的运动轨迹。如果将运动的起点、终点时刻分别记为0和1，则运动就是闭区

间[0,1]到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的象。

拓扑学中把这个连续映射称作道路或弧。

定义5 设X 为拓扑空间，从闭区间[0,1]到X 的一个连续映射:[0,1]f X →称为X 中连接点(0)f 到(1)f 的弧或道路。(0)f 和(1)f 分别称为道路f 的起点和终点（统称端点）

。 注释： 道路或弧是指映射f ，而不是它的象。象集([0,1])f 是X 中的曲线。两者不是同一个概念，有区别。

定义6 对于X 中任意两点,x y ，都存在X 中的道路:[0,1]f X →,(0)f x =,(1)f y =，则称X 为道路连通的。

例：1E 是道路连通的。因为对于任意1

,x y E ∈，定义道路

1:[0,1]f E →, ()()f t x y x t =+-?，[0,1]t ∈

▲ 1E 中任一区间也是道路连通的。 定理5 若则X 一定是连通的。

证明： 设X 是道路连通的，01,x x X ?∈,则有X 中的道路f ，使得0(0)f x =,1(1)f x =.于是01,x x 在X 的同一连通子集([0,1])f 中，从而它们属于同一连通分支。

由于01,x x 的任意性，故X 只有一个连通分支，即X 连通。

★ 注：定理5说明：

道路连通 ? 连通， 但是连通 ?（未必）道路连通

例如，在前面讨论过的例子中，2R 中图形1

sin ,(01)y x x

=<≤记为B ，Y 上闭区间[1,1]-记为A 。我们知道X A B B =?=，且B 是连通的，则B 也是连通的（即X 连通）。

但是，A 中任一点与B 中任一点不能用道路连接，即X 不是道路连通的。

定理6 道路连通空间的连续映象是道路连通的。

证明：设X 是道路连通的，:f X Y →连续，01,()y y f X ?∈，取1

10011(),()x f

y x f y --∈∈。

由于X 道路连通，故有道路F ，使得(),0,1i F i x i ==，于是f F 是()f X 中的道路，且

(),0,1i f F i y i == 。这即证明了()f X 是道路连通的。

二、道路连通分支

在拓扑学中规定它的点之间的一个关系～：

若点x 与y 可用X 上的道路连接，则说与y 相关，记做x y （弧连通的）。 可以证明，～是一个等价关系。

定义7 拓扑空间X 在等价关系～下分成的等价类，称为X 是道路连通分支，简称道路分支。 根据定义7，下面的结论是显然的：

（1）x X ?∈，x 仅属于X 的某一个（唯一的）道路分支。 （2）X 的每个道路连通子集包含在某个道路分支中。 （3）X 是道路连通的 ? 它只有一个道路分支。 （4）拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。

附录：代数拓扑学中常见概念介绍

（一）关于流形概念

球面、环面以及我们所熟悉的其它曲面，它们往往比平面复杂得多。

但是，从局部上分析，有些曲面上的每一点近旁都有一块区域同胚与平面。具有这种局部欧氏特性的拓扑空间成为流形。

定义1 一个Hausdorfrf 空间X 称为n 维（拓扑）流形，如果X 的任一点都有一个同胚于n E 的开邻域。

★二维流形称为曲面。如2E ，2

S （球面），2T （环面），平面和M?bius 带都是曲面。 ★没有边界点（全是内点）的紧致连通曲面称为闭曲面。 研究曲面分类问题是代数拓扑的一项重要内容。

（二）关于同伦与基本群概念

同伦与基本群概念也是研究曲面分类中提出的概念。

在拓扑学中，利用道路概念替代曲线，道路本身是一种映射。同伦是一种描述连续映射变形（道路收缩变形）的概念。

定义2 设,f f '是[0,1]X →的两个道路，且f 和f '都以0x 为起点，以1x 为终点。如果存在连续映射:[0,1][0,1]F X ?→使得对于每一个[0,1]s ∈和[0,1]t ∈，

0(,0)(),(0,),

F s f s F t x ==

1

(,1)()(1,)F s f s F t x '==

则称f 与f '是道路同伦的，F 称为f 与f '之间的一个道路同伦，记f f ' 。

解释：所谓f 与f '同伦，意味着f 可以“连续的”变为f '。

★

易

知，同伦关

系 是等价关系。X 的所有道路在 下分成的等价类称为X 的道路类。

从分析知，所谓f 与f '同伦，即X 上存在道路f 到f '的连续变形。

F

X

从道路变形角度看，球面上闭曲线可以连续的变形收缩成一点，而环面上则不可以。见下图。

这种差别可以反映闭曲面的不同几何特征。 ●关于道路的乘法和逆

设a 是拓扑空间点x 到y 的道路连接，b 是y 到z 的道路连接，定义道路a ，b 的乘法ab 是从x 到z 的道路连接。

（ab 是道路a ，b 的乘法）。 当a 从x 连接y ，则a

是从y 连接x 的道路，a 称为a 的逆。 于是，下属结论是正确的。

（1）若a b ，则a

b 。 （2）若a b ，

c

d ，且ac 有意义，则ac bd 。

●在拓扑空间X 上，利用上述定义的乘法和逆，以起点和终点均为0x X 的闭合道路为对象，在道路同伦类的集合上，乘法运算构成一个群，称为X 的基本群。

●代数拓扑学的一项重要内容即是研究基本群的性质（不同流形2

S ，2T 等上的基本群性质）。

点集拓扑学

点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划

关于连通在图论与拓扑学中的关系研究

第23卷第5期2009年9月甘肃联合大学学报(自然科学版) Journal of G ansu Lianhe University (Natural Sciences )Vol.23No.5Sept.2009 收稿日期:2009204215. 基金项目:甘肃省教育厅科研项目(0709B 204). 作者简介:罗明奇(19852),男,甘肃天水人,西北民族大学研究生,主要从事应用数学的研究. 文章编号:16722691X (2009)0520026203 关于连通在图论与拓扑学中的关系研究 罗明奇,马少仙,万淑慧,郭旭卫 (西北民族大学计算机科学与信息工程学院,甘肃兰州730030) 摘　要:本文主要通过在简单无向连通图中建立距离概念,构造出一个拓扑空间,在此拓扑空间上证明了图论中的连通可以推导出拓扑学中的连通;反之,证明了拓扑学中的连通也可以推导出图论中的连通;从而说明图论中的连通与拓扑学中的连通可以相互转化.关键词:连通;开集;邻域 中图分类号:O157.5 文献标识码:A 图论中所说的图是描述事物之间关系的一种手段.现实世界中,许多事物之间的关系可以抽象成点及其它们之间的连线,可以说图论是训练离散数学证明技巧的乐园,对培养学生的离散性思维具有很好的促进作用,再者,离散数学属于现代数学的范畴,可以说学好图论可以间接的使学生了解到现代数学知识.拓扑学是近代数学重要的基础分支学科,它是以研究图形在拓扑变换(一对一的,双方连续的映射)下的不变性质为特征.拓扑学的一些基本概念、方法、理论已经在其他数学分支如泛函分析,微分方程,微分几何等中广泛应用,甚至成为许多数学分支的一种通用语言.所以,无论对离散数学、拓扑学还是图论而言,它们都属于最基本的理论基础,对我们更进一步的学习都具有很好的铺垫.伴随着计算机科学技术的迅猛发展,作为支撑学科的离散数学和图论正变得越来越重要.图论的一个最新发展分支就是代数拓扑图论,所以建立连通在图论与拓扑学中的转化关系,对我们以后的更深层次的学习具有很大的帮助,同时对我们的离散数学教学也具有指导意义.连通是图论中的一个基础概念,图论研究的对象基本都是基于连通图;同时它也是拓扑学中的一个基石.本文主要通过在简单无向连通图中建立距离概念,构造出一个拓扑空间,在此拓扑空间上证明了图论中的连通可以推导出拓扑学中的连通;反之,证明了拓扑学中的连通也可以推导出图论中的连通;从而说明图论中的连通与拓扑学中的连通可以相互转化.从而,无论对图论还是拓扑学来说,都拓宽了各自的研究方法. 　基本理论观点 本文考虑的是简单无向连通图.定义1[1]　设G =(V ,E )是一个无向图,u ,v ∈V ,若结点u 和v 之间存在一条路,则称结点u 和v 是连通的. 定义2[1]　设G =(V ,E )是简单无向图,如果结点u 和v 是连通的,则min {w |w =连接u 与v 的路的长度}为结点u 与v 的距离,记为d (u ,v ),如果结点u 和v 是不连通的,则规定它们之间的距离d (u ,v )=∞. 由此定义知无向图G 中的结点的距离具有以下性质: 1)对任意u ,v ∈V ,d (u ,v )Ε0,d (u ,v )=0当且仅当当且仅当u =v (非负性); 2)对任意u ,v ∈V ,d (u ,v )=d (v ,u )(对称性) 3)对任意u ,v ,w ∈V ,d (u ,w )Φd (u ,v )+d (v ,w )(三角不等性). 定义3[2]　任意一点A ∈R 2,任意一点集E

拓扑学测试题

拓扑学测试题一 一、选择题（每小题2分，共10分） 下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。 设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（） 四、 商映射一定是闭映射或开映射. （） 五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）

六、 连通空间一定是局部连通空间. （） 七、 若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案 一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解 例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，

点集拓扑学练习题

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②

拓扑学在建筑中的应用

拓扑学在建筑中的应用 数学与系统科学学院 蒋玉莹 09304011

空间组织的清晰性 “对我们而言，清晰地解释每个项目的内在关系是十分重要的……以最简洁与直接的方式，而非通过图形或者形式来表现概念。评判一个方案是否简洁，概念必须得以清晰阅读。”（妹岛和世，2004） “通常，体量上的透明与轻巧并非最终目的，我们致力于将各构成部分以一种清晰的方式来组织。”（SANAA，2005） 妹岛和西泽是我接触建筑拓扑学首先出现在我眼前的两位建筑师。因为是首次接触到建筑拓扑学，所以评论家的观点对我有着非常重要的影响。评论家反复地将妹岛和西泽的建筑学冠以简洁、朴素（austerity）、纯粹几何的特征。话虽如此，在我看来还是该定义这些特征在他们作品中的含义。总的来说，热衷简洁的建筑师常被称为极简主义者（minimalist）。10多年前，Atan Allen就认为妹岛不应被归类为本质主义者的极简主义（essentialist minimalism），本质主义者们总想着去除作品中不必要的成分（component）以显现理想形式。实际上，妹岛和西泽都不能被称为极简主义者，如开篇的引言，他们并非像要构筑理想形式，而是要让概念——空间或者构成要素的组织——明晰。 这两位建筑师的作品也常被冠以“非物质性”（immateriality）、“轻巧”、“透明”。然而，就前两个特征而言，应该说他们的作品看起来是“非物质的”与“轻巧”的，而非真正的非物质。虽然常使用透明的玻璃，他们总是强调物质上的透明性并非他们设计的最终目的。“透明性意味着创造各种关系，它并非只是被看穿。透明性也意味着清晰性，不仅在视觉方面，更指概念方面。” 妹岛和西泽在一些访谈与出版物中表达过一些观点，其中，追求清晰的空间组织并清晰地展现出来是最明确的设计目的，这使得他们以简单方案的方式来做项目，只画线条，没有厚度，也没有对物质的期待，线条勾勒出空间轮廓、明确总平面。 在方案中，他们用“最简单与直接的方式”来组织基本的空间关系，从而呈现出关于拓扑学（topological issue）议题的基本组织形式：群集或分区（clustering or compartmentalisation）、集中或分散（concentration or dispersal）、紧凑或分裂（compactness or breakup）、缝隙或封闭（aperture or closure）、室外或室内、限制与联系、连续与断裂。他们想象的便是这些有关空间限定与关系的几何学基础议题，而非几何本身。妹岛和西泽作品可被看作是建筑拓扑学的指南手册。 群集与分区的非层级性特征 “在阿尔梅勒剧院，每一种材料，都给予同等的重视”。 “在日本传统建筑中，每一部分都有着相同的权重”。 “我们努力设计一个没有等级性的平面——从头到尾。我们的平面重视表现出自由的移动……光线散布在每个角落也表示从等级性中释放出来”。

完整word版点集拓扑讲义学习笔记

度量空间与连续映射2章第 它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． 度量空间与连续映射§2.1 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中, R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考. 察出发，抽象出度量和度量空间的概念 ，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R

不量尺寸的几何──拓扑学

不量尺寸的几何──拓扑学 拓扑学的由来 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论──不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应

具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是 错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想

点集拓扑学拓扑知识点

(点集拓扑学拓扑)知识点

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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要

拓扑学发展史

拓扑学发展史及其应用 【摘要】 【关键字】拓扑学、 【正文】 一、什么是拓扑学 拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起 源于希腊语Τοπολογ的音译。Topology 原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入， 当时主要研究的是出于数学分析的需要而产 生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研 究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变 量。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分 支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在 连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形， 形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许 割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。 学科方向 由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑 拓扑学 已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。 数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。[英topology] 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图

形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 拓扑学由来 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十

《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．

定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.

学习拓扑学的心得体会

学习《拓扑学》的心得体会 摘要：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。 关键词：数学学科；延伸；联系；严谨性 一、什么是拓扑学？ 我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。它的英文名是Topology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。 而在我们大学中主要主要学习两部分，一部分是一般拓扑学，另一部分是代数拓扑学。一般拓扑学分为了八章，分别是：集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、Tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、Baire空间和维数论。代数拓扑学分为了六章，分别是：基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、复叠空间分类、在群论中的应用。 二、学习拓扑学的意义 拓扑学本身是一门饶有兴味的学科，很多本科大学把它作为了大学生学习的必修课程，这样有利于培养学生的抽象思维能力，提高解决问题和分析问题的能力，为了让学生在学习中进一步掌握

数学游戏拓扑学

试一试吧，关于数学拓扑学的有趣游戏难题（37-46） 编者按：你知道多年的窗户玻璃为什么会变得上薄下厚吗？你有办法使曲别针自己勾在一起吗？你见过在水泥地上扔灯泡而不使灯泡摔破吗？ 这里的游戏，妙就妙在无论是谁，几乎都没法在这些游戏中取胜。这些游戏初看很简单，似乎很容易做，但是真正做起来，往往事与愿违，办不到。你会玩得很开心，并从回答为什么办不到中学到许多有趣的科学知识。 首先奉劝各位读者，不要把这里的游戏跳过去！不少人觉得数学枯燥无味，似乎看见数字就讨厌。我们在这一章里不讲什么加、减、乘、除，因为加减乘除四则运算只不过是数学的一部分，其实，数学内容范围很广，连打赌都是数学研究的范畴，这一点你也许没有想到吧。打赌就是计算事情发生的可能性，科学上叫做概率，它是数学的一个分支——统计学所研究的问题。 数学上有几个数学分支是完全不用数字的。以拓扑学为例，这是一门非常有趣的学科，它是专门研究物体形状的一门数学。拓扑学中有许多有趣的问题，比如一张只有一面的纸，不用浆糊，把一个纸环剪成两个套在一起的纸环，等等。实际上拓扑学对于大家来讲并不陌生，你们大概都玩过迷宫游戏和拼七巧板吧，这些就是拓扑学研究的范围。来吧，让我们一起到一个新的数学天地中去游玩吧。 游戏三十七你能让两枚曲别针不勾在一起吗？ 拿一张一元钱的钞票和两枚曲别针，把钞票卷成S 形。用曲别针短的那一头别住两层钞票，再用另一枚曲别针按同样的方法别住钞票的另一头。准备好了之后，两手分别抓住卷成S 形的钞票的两头，迅速把钞票拉直，两枚曲别针就会飞到空中自动勾在一起。 虽然原来钞票上的两枚曲别针并没有挨着，但钞票拉直后它们都奇妙地勾在一起了。这个现象在拓扑学上叫做曲线转移。原来那一元钱的钞票叠成的弧形，被拉直时，转移到曲别针上了。 如果你想把曲别针勾在一起的秘密弄个明白，你可以慢慢地把那一元钱的钞票拉直，也许会看出其中的奥妙。慢慢拉有时也能让曲别针勾在一起，但也有时勾不在一起。所以要想和别人玩这个游戏，一定得快拉。 游戏三十八一个古老的游戏。 这个游戏，几百年来迷惑了不少人，今天你要是玩这个游戏，可能还会有人与你打赌的。游戏看起来很简单，而它的原理却运用了拓扑学。 找一条内外两面颜色相同的腰带，把腰带内面向里对折。拿住对折处把它盘起来，盘起来的腰带当中呈一个S 形，内面形成一个S形，外面形成另一个S 形。在腰带内面的S 形当中插上一支铅笔，用一手抓住腰带的两端一拉，盘起来的腰带松开了，而铅笔仍然套在当中，现在你可以用魔术师的口气对观众说： “谁能象我刚才那样，使腰带套住铅笔吗？” 尽管你已经给大家作了示范表演，别人无论把铅笔插在哪里，盘起来的腰带拉直后，是无法套住铅笔的，铅笔总是跑到外面去了。下面就是这个游戏的窍门： 1、假如别人把铅笔插到腰带外面的S 中间，那你尽管抓好腰带的末端，腰带一松开，铅笔就出来了。 2、假如别人把铅笔插到腰带内面的S 中间，你就得把腰带的一端朝腰带原来卷紧的相反方向绕一圈，再抓住两头一拉，铅笔就自然地脱离圈套了。因为当腰带一端向相反方向转一圈时，原来朝里的一面，就变为朝外了，套住的铅笔自然就会脱出来了。 注意：碰到第二种情况时，就装着把腰带绕紧，否则人家会看出破绽。腰带用两面颜色一样的，就是这个原因（为了区分正反面，可把图画成两种不同颜色）。 游戏三十九你能把一张纸剪成两张吗？ 找一张旧报纸，用剪刀把报纸剪出一张5 厘米宽的纸条，把纸条的一头翻个面，然后和另一头粘在一起，形成一个扭曲的纸圈。沿着5 厘米宽的纸圈的中心线把纸圈剪开，你能剪出两个纸圈吗？ 剪完一圈，你会发现纸圈还是一个，不过比原纸圈长了一倍。这是什么原因呢？原来，这种扭曲的纸圈有一个奇妙的特点，它只有一个面，也就是没有正反面。这是千真万确的，不信你自己做一个这样的纸

点集拓扑学练习题及答案

点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④

《点集拓扑学》教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲 一、课程名称： 《点集拓扑学》 二、课程性质： 数学与应用数学专业限选课 先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等课程 三、课程的地位及教学目的 “点集拓扑学”是数学与应用数学专业的一门重要的专业提高课程，是数学学科《新三基》之一，“点集拓扑学”不仅本身在不断发展而且其理论和方法渗透到数学学科的其他分支中，对数学学科的发展起着基础性的作用。通过本门课的教学，使学生初步掌握“点集拓扑学”的基本内容、思想和方法，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研工作打下良好的基础。 四、课程教学原则与教学方法 本课程以精讲、自学和基本了解作为教学原则。精讲是指对“点集拓扑学”的基本理论、基本方法教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习并达到明晰的理解与巩固地掌握；自学是指对“点集拓扑学”的易于理解的内容学生在教师的指导下自学，达到使学生掌握相应的内容的同时培养学生的自学能力的目的；基本了解是指对“点集拓扑学”的一些内容经过教师的明晰的介绍学生应当较好的了解，并明了其应用，但不要求熟练掌握其逻辑论证。 采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。 五、总学时 68课时（含复习考试） 六、课程教学内容要点及建议学时分配 第一篇集合论初步（6课时）

一、教学目的 在本篇使学生掌握“关系”的概念及其基本性质，尤其掌握几个特殊“关系”。其次掌握“映射”与“关系”之间的联系。另了解“选择公理”有关的初步知识。要点如下： 1．集合的基本概念(自学) 2．集合的基本运算(自学) 3*．关系(2学时) 4*．等价关系(2学时) 5*．映射(2学时) 6*．集族及其运算(自学) 7．选择公理(时选学2课) 作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题。 第二篇拓扑空间与连续映射（精讲、22课时） 一、教学目的 本篇是点集拓扑学的基础理论部分，也是点集拓扑学的核心部分。使学生熟练掌握本章的基本理论、方法，对本章的数学思想要有深刻理解。要点如下：1*．度量空间与连续映射(2学时) 2*．拓扑空间与连续映射(4学时) 3*．邻域与邻域系(2学时) 4*．导集、闭集、闭包(4学时) 5*．内部、边界(2学时) 6*．基与子基(4学时)

点集拓扑学(1)

点集拓扑学~非同凡响畅想系列 注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 第一节：关系与映射 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,,Λc b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者