中国计量大学07-08-2高数(c)(2)考试试卷(A)含答案

中国计量学院200 7 ~200 8 学年第 2 学期 《高等数学(C)(2) 》课程考试试卷(A) 第 2 页 共 6 页

5、下列反常积分发散的有（ ） （A ）

2

1dx

x +∞

+?

； （B ）

1

?

（C ）

ln e

x

dx x

+∞

?

； （D ）0x e dx +∞-?。

6、设1

0(1,2,...)n a n n

≤<

=，则下列级数中一定收敛的是（ ） (A)

1

n

n a

∞

=∑； (B)

1

(1)

n

n n a ∞

=-∑；

(C)

n ∞

=； (D)

21

(1)

n

n n a ∞

=-∑。

7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ） (A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。

二、填空题：（每空3分，共21分）

1、若11

lim 2n n n

a a +→∞=，则幂级数20n n n a x ∞

=∑的收敛半径R=___________________。

2、=+-→→xy

xy

y x 93lim

0 。

3、设??

=

20

2),(x x

dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

4、微分方程

x

y

x y dx dy tan +=的通解为 。 5、级数

∑∞

=+1)

1(1

n n n 的和为 。 6、2

20

(

sin )x

t te dt '=?

____________________________。

7、差分方程12t t t y y t +-=的通解为 。 三、计算题（共计52分）

1

、0

?

（5分）

中国计量学院200 7 ~200 8 学年第 2 学期 《高等数学(C)(2) 》课程考试试卷(A) 第 4 页 共 6 页 4、求440y y y '''++=的通解 （6分）

5、 求微分方程 y y x

'

''= 满足初始条件0

0x y ==、1

1x y ='

=的特解 （6分）

6、 求函数2y

z x e =的全微分（6分）

中国计量学院200 7 ~200 8 学年第 2 学期 《高等数学(C)(2) 》课程考试试卷(A) 第 6 页 共 6 页 9、求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的

最大值和最小值。（6分）

四、简答题：（共6分） 级数

∑∞

=-1

1sin )1(n n ？，？n 收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗（6分） 中国计量学院200 7 ~ 200 8 学年第 2 学期 《 高等数学(C)(2) 》课程考试试卷（ A ）

参考答案及评分标准

开课二级学院： 理学院 ，学生班级： ，教师：杨艳 何满喜 吴德林

一、 选择题：（每题3分，共21分）

1、C ；

2、D ；

3、A ；

4、A ；

5、C ；

6、D ；

7、B ； 二、 填空题：（每空3分，共21分） 1

2、-1/6；

3、????

+20

2

/4

2

22

/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ；

4、sin

x y

Ce x

=； 5、1； 6、242sin(2)x x e ； 7、(2)2t t y C t =+-； 三、计算题：（共52分） 1

、

?

（共5分）

中国计量学院200 7 ~200 8 学年第 2 学期 《高等数学(C)(2) 》课程考试试卷(A) 第 7 页 共 6 页 令sin x t =

则

20

cos cos t tdt π

=?

?

20

1cos 22

t

dt π

+=

?

（+3分） 2111

(sin 2)022

4t t π

π=+= （+2分）

2、

1

x xe dx ?

（共5分）

1

0()x

x d e =? 10

10x

x

xe e dx =-? （+3分） 1= （+2分）

3、计算

??===D

x y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.（共6分）

解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以

D ： 1≤y ≤2

y ≤x ≤2 （+3分）

故：

??

???=-==21

2

1

3281

1

)22(][dy y y dy xydx xyd y

D

σ（+3分）

4、求440y y y '''++=的一般解 （共6分） 解：特征方程为r 2

+4r+4=0 所以，（r+2）2

=0

得重根r 1=r 2=-2， （+3分）

其对应的两个线性无关解为y 1=e -2x

,y 2=xe -2x

所以，方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x （+3分）

5. 求微分方程 y y x

'

''=

满足初始条件00x y ==、1

1x y ='=的特解 （共6分）

解：设y p '=，则原方程变为：

dp p dx x

= 分离变量解方程得：1p C x =

因此1y C x '= 将1

1x y ='

=代入上式中，得11C =，因此y x '= （+3分）

解方程y x '=得 2

212

y x C =

+ 将0

0x y

==代入上式中得：20C =

因此，原方程的特解为：2

12

y x =

（+3分） 6、 求函数2y

z x e =的全微分（共6分）

解：

2y z

xe x

?=? （+2分）

2y z

x e y

?=? （+2分） 因此 22y y dz xe dx x e dy =+ （+2分）

7、 设平面图形由曲线6xy =和5x y +=围成，求此图形绕x 轴旋转而成的立体的体积。（共6分）

解：由6

5xy x y =??

+=?

得交点（2,3），（3,2）

因此3

2

22

6[(5)()]x V x dx x

π

=--? （+3分） 1

3

π= （+3分）

8、求体积为8立方米而表面积最小的长方体的表面积。（共6分） 解：设长方体的三棱长分别为x ，y ，z 则xyz=8 构造辅助函数

F （x,y,z ）=2(xy+yz+xz)+(8)xyz λ- （+3分） 求其对x,y,z 的偏导，并使之为0，得：

中国计量学院200 7 ~200 8 学年第 2 学期 《高等数学(C)(2) 》课程考试试卷(A) 第 9 页 共 6 页 2(x+y) + λxy =0

与xyz=8联立，由于x,y,z 均不等于零 可得x=y=z=2

所以，体积为8而表面积最小的长方体的表面积为S=24平方米 （+3分）

9、求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上 最大值和最小值。（共6分）

解：由2

22

2(4)(1)0(42)(1)0

x y f xy x y x y f x x y x y '?=--+-=??=--+-=??得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ，（+2分） 又0)0,(,0),0(==x f y f

而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(23≤≤-=x x x y x f

令0)122(23='-x x 得4,021==x x

于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f （+2分）

),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f （+2分） 四、简答题：（共6分） 级数

∑∞

=-1

1sin )1(n n ？，？n 收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗（共6分） 解：这是交错级数，因为

11

11

sin

0,limsin

0,(3)1

sin

11~,lim 1.,sin .

1(+3)

n n n n n V V V n

n

n x n n n

+∞

→∞==><=+=∑∑所以且所以该级数收敛分又sinx 所以又级数发散从而发散所以原级数条件收敛.分