高等数学 课后习题答案第十一章

习题十一

1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0

L P x y x =?其中P (x ,y )在L 上连续．

证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段， 则

L ：12

x a b t b y t

=?≤≤?

=?，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故

()()()221

d ,d d 0d 0

d b b L

b b

a P x y x P a,t t P a,t t t ??

=

?=

?= ???

?

?

?

2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d b L a

P x y x P x,x

=

??

，

其中P (x ,y )在L 上连续．

证：L ：0

x x a x b

y =?≤≤?

=?，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．

故()(),d ,0d b

L a P x y x P x x

=??

3．计算下列对坐标的曲线积分：

(1)(

)2

2

d -?L

x

y

x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

(2)d L

xy x

? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；

(3)d d L y x x y

+?，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π

2的一段弧；

(4)

()()2

2

d d L

x y x x y y

x y

+--+?

，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；

(5)2

d d d x x z y y z

Γ+-?，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；

(6)()3

2

2

d 3d ++-?x x zy x y z

Γ

，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；

(7)d d d L

x y y z

-+? ，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，

(0,0,1)；

(8)(

)()2

2

2d 2d L

x

xy x y xy y

-+-?，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．

解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，

()()2

22

2

2

4

350

01

156d d 3

515L

x

y

x x x x x x ??-=-=-=-

??????

(2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为

图11-1

cos 0π

sin x a a t t y a t

=+?≤≤?

=?

L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )

故

()()()()()

12

π200

π3

2

ππ32

2

3d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2

L

L L a xy x xy x xy x

a a t a a t t x

a

t t t

a t t t t

a

=

+

'=?++=

-+=-+

=-

?

??

??

?

?

?

(3)()π

20π

2

20

π

220

d d sin sin cos cos d cos 2d 1

sin 220L

y x x y R t R t R tR t t

R

t t

R t +=

-+????=??=??

??=?

?

?

(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．

故 ()()()()()()2

2

2π2

02π

2

2

d d 1cos sin sin cos sin cos d 1

d 2πL

x y x x y y

x y

a t a t a t a t a t a t t

a a t

a

+--+=+---????=

-=-?

?

?

(5)

()()()2

π

2

20

π

3

2

2

π

3320

332

d d d sin sin cos cos d d 131ππ

3

x x z y y z

k

k a a a a k

a

k a k a Γ

θθθθθθ

θθ

θθ+-=?+?--=

-??=-????=

-???

(6)直线Γ的参数方程是32=??

=??=?

x t

y t z t

t 从1→0．

故()032210

3

1

041

27334292d 87d 1874

874

t t t t t t t t t

Γ

??=?+??+-???=

=?=-

??

(7)AB BC C A Γ=++(如图

11-2所示

)

图11-2

1:0

y x

AB z =-??

=?，x 从0→1

()0

1

d d d 112AB

x y y z dx -+=

--=-?????

?

．

:1x BC y z

=??

=-?，z 从0→1

()()()101

1

20d d d 112d 12232

B C

x y y z z dz

z z

z z -+=

--+-????=

-?

?=-??

??=?

?

?

:1y C A z x

=??

=-?，x 从0→1

[]1

d d d 1001CA

x y y z dx -+=

-+=?

?．

故

()()d d d d d d 31212

2

L

A B B C C A

x y y z x y y z

-+=

++-+=-+

+=

?

?

?

?

(8)

(

)()()1

2

2

4

2

11

2

3

5

4

1

222d 224d 1415

L

x x x

x

x x

x x x

x x x

x

--??=-?+-????

=

-+-=-

??

4．计算()()d d L x y x y x y

++-?，其中L 是 (1)抛物线y 2

=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；

(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x =2t 2+t +1,y =t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．

解：(1)L ：2x y y y

?=?

=?，y ：1→2，故

()()(

)()()2

2

2

12

3

2

1

2

4321d d 21d 2d 111232343

L

x y x y x y

y y y y y y y

y y y

y y y ++-??=+?+-???

=++??

=++??

??=???

(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2

故()()()()()2

1

2

1

2

2

1

d d 32332d 104d 5411L

x y x y x y

y y y y y y y

y y ++-=-+?+-+?

???=

-??=-??=???

(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1

：1x y y

=??

=?，y ：1→2；L 2：2

x x y =??

=?，x ：1→4；

故

()()()()()1

2

12

22

1

1

d d 101d 1d 212

L x y x y x y

y y y y y y y ++-=+?+-?

?????=

-=-??

??=

???

()()()()()()2

4

1

4

4

21

1

d d 220d 1

2d 22272

L x y x y x y

x x x x x x ++-=++-??

?????=+=+??

??=

???

从而()()()()()1

2

d d d d 1

27

14

22L

L L x y x y x y

x y x y x y

++-=+++-=

+

=??

?

(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故

()()(

)()()()1

2

2

1

3

2

1

4320

d d 32412d 10592d 1059243232

3

L

x y x y x y

t t t t t t t

t

t t t

t t t t ++-??=++++--???

=

+++??=+++??

??=

???

5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．

解：依题意知 F =kxi +kyj ，且

L ：cos sin x a t y a t

=??

=?，t ：0→π

2

()()

()()

π

20

2

2

π

20

π2

2

2

2

2

d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 222

2

L

W kx x ky y

ka t t kb t b t t

k b a

t t

k b a

t k b a

=

+=-+?????-=

--??

=

?

??

?

-=

?

?

?

(其中k 为比例系数)

6．计算对坐标的曲线积分： (1)d L

xyz z

?，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；

(2)(

)()()2

2

2

2

2

2

d d d L

y

z

x z

x

y x

y

z -+-+-?，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，

方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分．

解:(1)Γ：2221x y z y z ?++=?

=?

即2221

x z y z ?+=?

=?

其参数方程为：cos 22x t y t

z t =??

??=??

?=?

? t ：0→2π

故：

2π0

2π2

2

02π2

02π0

d cos d 2

2

2

sin cos d 4sin 2d 161cos 4d 162

π

16

xyz z t t t t t

t t t t t t

t

Γ

=

?

?

?==-==

??

?

(2)如图11-3所示．

图11-3

Γ=Γ1+Γ2+Γ3．

Γ1：cos sin 0

x t

y t z =??

=??

=? t ：0→π

2，

故

()()()()()1

2

2

2

2

2

2

π

2220

π3

3

20

π3

20

d d d sin sin cos cos d sin

cos d 2sin d 2423

3

y

z

x z

x

y x

y

z

t t t t t t t t

t t

Γ-+-+-??=

--???

=-+=-=-?

=-

??

?

?

又根据轮换对称性知

()()()()()()1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d d d 3d d d 4334

y

z

x z

x

y x

y

z

y

z

x z

x

y x

y

z

Γ

Γ-+-+-=-+-+-??

=?- ?

??=-??

7．应用格林公式计算下列积分：

(1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()2

22d d cos 2sin e

sin 2e x

x L

x y x y x xy x y x x y ++--?

，其中L 为正向星形线

()222

3

3

30x y

a a +=>；

(3)()()3

2

2

2

d d 2cos 12sin 3+--+?L

x y xy

y x y x x y

，

其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π

2,1)

的一段弧；

(4)()()2

2

d d sin L

x y

x y x y --+?

，L

是圆周y =

上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；

(5)()()d d e sin e cos x x L

x y y my y m +--?，

其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax

上半部分的路线（a 为正数）．

图11-4

解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，

Q =3x +5y -6，3

Q

x

?=?，

1

P

y

?=-?，由格林公式得

()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432

212

L

D D

D

x y

x y x y Q P x y x y x y

x y +-

++-????

-= ?????

=

==???=?????

??

(2)P =x 2

y cos x +2xy sin x -y 2e x

，Q =x 2

sin x -2y e x ，

则2cos 2sin 2e

x

P

x x x x y y

?=+-?，

2

cos 2sin 2e

x

Q

x x x x y x ?=+-?．

从而P

Q y

x

??=

??，由格林公式得．

()()2

2

2d d cos 2sin e

sin 2e d d 0

++--????

-=

?????

=??? x

x L

D x y

x

y x xy x y x x y Q P x y x y

(3)如图11-5所示，记O A ，AB ， B O

围成的区域为D ．（其中 B O

=-L ）

图11-5

P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2

2

62cos P xy y x

y

?=-?，2

62cos Q

xy y x

x

?=-?

由格林公式有：

d d d d 0L O A A B

D Q P P x Q y x y x y -++????-+=

= ?

????

?

??

故

π2

1

22001

2202

d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π

4++=

+=++

+??=+-+?? ???

?

?=-+ ??

?

=

?

???

?

??L

O A A B

O A A B

P x Q y P x Q y

P x Q y P x Q y

O x y y y y y y

(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．

图11-6

由格林公式有

d d d d ++????

-+=- ????

??

??L AB BO

D Q P P x Q y x y x y

而P =x 2

-y ，Q =-(x +sin 2

y )．

1

?=-?P y

，1

?=-?Q

x

，即，

??-

=??Q

P x

y

于是()d d d d 0+++++=

+=?

?

?

?L

AB

BO

L AB BO

P x Q y P x Q y

从而

()()()()()()()2

2

2

2

2

2

112

20

1

1

300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 2

64L

L B A O B

P x Q y x y x

y x y x y x y

x y x y x

y x y y x x

y x y y +=

--+=-+

--+-+=

-+

+????

=+-+????????=-

+?

????

?

(5)L ，OA 如图11-7所示．

图11-7

P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ，

e cos x

P y m

y

?=-?，e cos x

Q

y

x

?=?

由格林公式得：

2

2

d d d d d d d d 1

π22π8

L O A

D D

D

Q P P x Q y x y x y m x y

m x y a m m a +????

-+=

?????

=

=??

=?? ?

??=?

????

??

于是：

()()[]2

20

20

2πd d d d 8πd 0e

sin 00e cos 08π0d 8π8+=

-+=-+??-??-=-

=

?

?

??

L

O A a

x

x

a m a P x Q y P x Q y

m a x

m m m a x

m a

8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x =a cos 3t ，y =a sin 3t ； (2)双纽线r 2=a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2=2ax ． 解：(1) ()()()()()2π32

2π2π2

4

2

2

22

2π

2

02π2

2π2

02

d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4

3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8

L

A y x a t a t t

t a t t t a

t t t

a t

t t a t

t t t t a

t t t a

=

-=-?-==

?=--=--+??

=+????

=?

?

?

?

??

?

(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得

cos x a θ

=

sin y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．

于是面积为：

[]π

2

4π4π

2

4π

4

2

12d d 2

cos 2d sin 22

L

A x y y x

a a

a

θθ

θ--=?

-=

=

=?

?

(3)圆x 2

+y 2

=2ax 的参数方程为

cos 02π

sin x a a y a θθθ

=+?≤≤?

=?

故()()[]()2π

2

2π0

21d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2

πcos sin L

A x y y x

a a a a a θ

θθθ

θθ

θ=-=-=+=?-?

??

9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()

()()

1,10,0d d x y x y --?；

(2)()()()

()

3,42

3

221,2d d 663x y

xy y

x y xy +--?；

(3)(

)

()

1,22

1,1d d x

y x x y

-?沿在右半平面的路径；

(4)

(

)

()

6,81,0?沿不通过原点的路径；

证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1

P Q y

x

??==-??，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是

()()()()1

1,100,00d 0

d d x

x y x y ==--??

(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2

123P

xy y

y

?=-?，

2

123Q xy y

x

?=-?，有P

Q

y x ??=

??，所以积分与路径无关．

取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则

()()(

)()

()()[]3,42

3

221,24

3

2

214

3

232

1

2d d 663d d 63966434864236

x y

xy y

x y xy y x

y y x y y x x +--=

+--=+??--??=???

(3)

2

y P x

=

，

1Q x

=-

，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且2

1P

y

x

?=

?，2

1Q

x

x

?=

?，在右半平

面内恒有P

Q

y x ??=

??，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则

(

)

()

()2

1,22

1

1,1d d d 1

1x

y x x y

y -=

=--??

(4)

P =

，Q =

P

Q y

x

??=

=

??在除原点外恒成立，故曲线积

分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从

(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则

(

)

(

)

6

86,81

1,08

1

529

x y

=

+

?=+?

=??

?

10．验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x ,y )的全微分，并求这样的一个函数u (x ,y )：

(1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；

(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．

2

P Q y

x

??==??，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．

()()()()()

(),0,000

2

2

2

2

d d ,22d d 222222

2

x y x

y

y

u x y

x y x y x y x x y

x y x

y xy x

y

xy =

+++=

+

+??

=++????=

++

??

?

(2)P =2xy ,Q =x 2

, 2P

Q x

y

x

??=

=??，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全

微分．

()()()

,2

0,02

00

2

2d d ,0d d x y x

y u xy x x y

x y x x y

x y

=

+=

+

=??

?

(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2

316??=+=

??P

Q

x xy y x ，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y

是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，

()()()

()()

(),22320,03

2003

2

2

d ,38812

e 0d d 812e

412e 12e 12

x y y x

y

y

y

y

u x x y x y x y x x y y x y

x

x y y x y x y y =

++++=

+

++=++-+??

?

(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2

sin y ，

2sin 2cos P

x y y x

y

?=-+?，2cos 2sin Q

y x x y

x

?=-?，

有P

Q

y x ??=??，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，

()()()()()

(),22

0,02

00

2

2

d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y x

y u x y

x y x y y x y x x y x x y

y x x

y y x x y

=

++

-=

+

-=+??

?

11．证明：2

2

d d x x y y

x y ++在整个xOy 平面内除y 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．

证：

22

x

P x y =

+，2

2

y Q x y

=

+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，

并且．

()

2

2

2

2??-=

=

??+P Q xy

y

x

x y

，(x ,y )∈G

因此22

d d x x y y

x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．

由()

()22

2222

22

d d 11ln 22d x y x x y y

d

x y x y x y

++??=

=+??++??

知

()()

221ln ,2

u x y x y =

+．

12．设在半平面x >0中有力()3

k

F xi yj r =-

+构成力场，其中k

为常数，r =

，证明：

在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为．

3

3

d d L

k k W x x y y

r

r

=

-

-

?

其中

3

kx P r

=-

，

3

ky Q r

=-

，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶

连续偏导数，并且

5

3(0)

P kxy Q x y

r

x

??==

>??

因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关． 13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y

x y z ∑??与二重积分有什么关系？

解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ

故()()d d d d ,,,,0R x y R x y

x y z x y ∑∑=±????

当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分： (1)2

2

d d x

y z x y

∑

??，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；

(2)d d d d d d z x y x y z y z x

∑

++??，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限

内的部分的前侧；

(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++???????

???????，其中f (x ,y ,z )为连续函

数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；

(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x

∑++??

，其中Σ是平面x =0,y =0,z =0,x +y +z =1所围成的空间区域的整

个边界曲面的外侧；

(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---??

，其中Σ

为曲面z =与平面z =h (h >0)所

围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；

(6)()()2

2d d d d d d +++-??

y y z x z x x y

y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表

面，取外侧为正向；

解：(1)Σ

：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．

(

((

)()(

)

()()()22

22

2π

4

2

2

2π2

2

222220

2π220

0354*******d d d d d cos sin d 1

sin 2d 8

1d d 1cos4216

1

2422π1635xy

D R R R

x y z x y x y

x y

r r r

R R r r R R R

R r R R R r R r ∑θ

θθθθ

θθ=-=-=-??+--???=-

--?

=-?-+--????

??

??

??()7

2220

7

72π105

R

R r R

??-????=

(2)Σ如图11-

8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，

图11-8

故d d 0

z x y ∑=??，Σ在yOz 面上的投影

D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ

可表示为：

x =

(y ,z )∈D yz

，

故30

0d d d d 3yz

D x y z y z

z y

y

∑==

=????

?

?

?

Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ

可表示为：

y =(x ,z )∈D xz

，

故

30

d d d d 3xz

D y z x z x

z x

x

∑

=

=

=?????

?

?

因此：00

d d d d d d 236π64

3π

2z x y x y z y z x

x x

∑++

??=????

==?=

????

(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为

cos α=

，cos β=

cos γ=

图11-9

由两类曲面积分之间的联系可得：

()()()()(

)

()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)

d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xy

D f x y z f y z x f

z x y

x y z x y z x y z s f y s f z x y

f x x y f y x y f z x y

f x f y f z x y f x x y

x y z x y x y x y ∑∑∑∑∑αβαβγ

γ

+++++

????????????=+++++=+++++=-+++?

?+??=-+=+-??--????????????d d 111

212

xy

D x y

==??=

????

(4)如图11-10所示：

图11-10

Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，

故()()1

2

3

4

4

1

10

d d 000d d d d 11

d d 124xy

D x

xz x y

xz x y

x x y

x y x x y x y ∑∑∑∑∑

∑

-=

+++=+++=--=

=

--??????????????

??

由积分变元的轮换对称性可知．

1

d d dzd 24xy y z yz x ∑

∑

=

=

????

因此．d d dyd d d 11

3248xz x y xy z yz z x ∑

++=?

=??

(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：

()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0

y z z x x y

y z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑Ω

Ω++---????

--?-=++ ??????

=

=????????

(6)记Σ所围的立方体为Ω，

P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有

()()()()()2

2000

0020

0204

d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2

a a

a a a a

a a y y z x z x x y

y xz x z P Q

R x y z x y z x y z x y x y z

x y x a y

x y y a x xy a a x ax a

∑

Ω

Ω+++-?????++= ??????

=+=+=+??=

+??????

=

+????

=???????????

????

15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量

3

d d d d d d d 432d d d π2π

33

k y z y z x P Q

x y z x y x y z ∑ΩΩ

Φ=

+????

+= ?????=

=

?=

???????? （由高斯公式）

16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：

(1)2

22

d d d d d d x y z y z x z x y

∑++??

，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立

体的表面的外侧；

(2)333

d d d d d d x y z y z x z x y

∑++??

，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧；

(3)

()()2

232d d d d d d 2xz y z z x x y

x y z xy y z ∑

++-+?? ，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2

，

0z ≤≤

的表面外侧；

(4)d d d d d d x y z y z x z x y

∑++?? ，其中Σ是界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2=9的整个表面的

外侧；

解：(1)由高斯公式()()2

2

2

4

d d d d d d d 2222d 6

d 6d d d 3a

a

a

x

y z y z x z x y

v

x y z v

x y z x v

x x y z

a

∑ΩΩ

Ω++=

++=++==????????

?????? 对称性

(2)由高斯公式：

()3

33

222

2ππ

4

5

d d d d d d d 3d 3d d sin d 12

π5

a

x

y z y z x z x y

P Q

R v x y z v

x y z

r r

a

∑Ω

Ω

θ

??++?????++=

??????

=++==??????????

?

(3)由高斯公式得

()()()2

2322

22

π2π2

2

2

024

π0

5

d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5

a

a

xz y z z x x y

x y z xy y z P

Q R v x y z v

z x y

r r r

r r

a

∑

Ω

Ωθ

????++-+?????++= ??????

=++=

?==

?????????

?

???

(4)由高斯公式得：

2

d d d d d d d 3d 3π3381π

x y z y z x z x y

P Q

R v x y z v ∑Ω

Ω

+

+?????++=

??????

==???=????????

17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：

(1)d d d y x z y x z Γ++?

，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2，x +y +z =0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；

(2)()()()2

2

2

2

2

2

d d d x y z y z x y z x Γ++---?

，其中Γ是用平面3

2x y z ++=

截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向；

(3)2

3d d d y x xz y yz z

Γ++?

，其中Γ是圆周x 2+y 2=2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取

逆时针方向；

(4)2

2d 3d d +-?

y x x y z z

Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是

取逆时针方向．

解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为

{

}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式

2

2d d d cos cos cos d d πy x z y x z

R Q Q P P R

s y z x y z x s

s a

a

Γ

∑∑

∑

αβγ++??????????

????

--=

++- ??? ? ????????????

???

=

-=-=-

=???????

(2)记为Σ为平面

3

2x y z ++=

被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ

的面积为4（是一个边

长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为

{

}cos ,cos ,cos αβγ==n ．

由斯托克斯公式

()()()(

)(

(

)(

)2

2

22

22d d d 2222d 22d 3

d 2

32492

x y z

y

z

x y

z x y z x y s z x s

x y z s Γ∑

∑∑++--

-?

++----=

--??=-+

+=-

=-?=-

?????

(3)取Σ：z =2，D xy ：x 2

+y 2

≤4的上侧，由斯托克斯公式得：

()()()2

2

2

3d d d d d 0d d d d 3d d 35d d 5π220π

-+

=

++--+=-+=-=-??=-???????

xy

D y x xz y yz z

y z z x x y

z z

x x y z x y

Γ∑∑

(4)圆周x 2

+y 2

+z 2

=9，z =0实际就是xOy 面上的圆x 2+y 2=9，z =0，取Σ：z =0，D xy ：x 2+y 2≤9由斯托克斯公式得：

()()()2

2

2d 3d d d d d d d d 000032d d d d π39π

+-=++---==

=?=???????

xy

D y x x y z

z

y z z x x y x y x y

Γ∑∑

18．把对坐标的曲线积分()()d d ,,L P x Q y x y x y +?化成对弧长的曲线积分，其中L 为： (1)在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线y =x 2从点(0,0)到点(1,1)；

(3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0,0)到点(1,1)．

解：(1)L

的方向余弦

πcos cos cos

42αβ===

，

故

()()

d d ,,d ,,L

L

P x Q y x y x y P x Q x y x y s

++=

?

?

(2)曲线y =x 2上点(x ,y )处的切向量T ={1,2x }

．其方向余弦为

cos α=

，

cos β=

故

()()

d d ,,d 2,,L

L

P x Q y x y x y P x xQ x y x y s

++=

?

?

(3)上半圆周上任一点处的切向量为??

?其方向余弦为cos α=cos 1x β=-

故

()()()()()d d ,,d ,,1L

L P x Q y

x y x y s

Q x y x y x +?=

+-??

?

19．设Γ为曲线x =t ，y =t 2，z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分

d d d P x Q y R z Γ++?化成对弧长的曲线积分．

解：由x =t ，y =t 2，z =t 3得

d x =d t ，d y =2t d t =2x d t ，d z =3t 2

d t

=3y d t ，d s t =

．

故d cos d d cos d d cos d x s y s z s

αβγ=

=

==

=

=

因而

d d d P x Q x R x s

Γ

Γ

++=

??

20．把对坐标的曲面积分

()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++??

化成对面积的曲面积分，其中：

(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．

解：(1)平面Σ：326x y ++=

上侧的法向量为n ={3，2，，单位向量为n 0={3

5

，

25，

5

}，即方向余弦为

3cos 5α=

，

2cos

5β=

，

cos 5

γ=

．

因此：()()()(

)d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y

x y z x y z x y z s

P Q R s P Q R ∑∑∑

αβγ++=++??

=

++

???

??????

(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2

-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1}

其方向余弦：cos α=

，cos β=

，

cos γ=

故

()()()(

)d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y

x y z x y z x y z s

P Q R s

∑∑∑

αβγ++=++=

??????

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学 课后习题答案第九章

习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312 cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是 tan sin ??==

∵ 22 22 ,, z z x y x a y b ?? =-=- ?? ∴ 22 22 z l a b ? ? =--= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y); (3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2) 22 () e x y -+ ; (5)z=xy(a－x－y),a≠0. 解：（1）解方程组 2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=? ? =-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6 在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. (2)解方程组 22 2 e(2241)0 2e(1)0 x x x y z x y y z y ?=+++=? ? =+= ?? 得驻点为 1 ,1 2 ?? - ? ??. 22 2 2 4e(21) 4e(1) 2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++ =+ = 在点 1 ,1 2 ?? - ? ??处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值 e 1 ,1 2 2 z??=- - ? ??. (3) 解方程组 2 2 (62)(4)0 (6)(42)0 x y z x y y z x x y ?=--=? ? =--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx=－2(4y-y2), Z xy=4(3－x)(2－y) Z yy=－2(6x－x2) 在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点. (4)解方程组 22 22 ()22 ()22 2e(1)0 2e(1)0 x y x y x x y y x y -+ -+ ?--=? ? --=?? 得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1， 在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0. 再讨论函数z=u e-u

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高数第十一章习题

第十一章第一节曲线积分习题 一、填空题: 1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ,则Ｌ的质量Ｍ=_______________； 2、 ?L ds =_______________； 3、对________的曲线积分与曲线的方向无关； 4、 ? L ds y x f ),(=?'+'β α φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要求α ________β. 5、计算下列求弧长的曲线积分: 1、 ?+L y x ds e 2 2,其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、?Γ yzds x 2 ,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3、?+L ds y x )(2 2 ,其中Ｌ为曲线? ??-=+=)cos (sin ) sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ； 4、计算?L ds y ,其中Ｌ为双纽线 )0()()(2 22222>-=+a y x a y x . 三、设螺旋形弹簧一圈的方程为 t a x cos =,t a y sin =,kt z =,其中π20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ； 2、它的重心 . 答案一、1、?L ds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长； 4、<. 二、1、2)4 2(-+ a e a π ；2、9；3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a . 三、)43(3 22 22222k a k a a I z ππ++=；222 2436k a ak x π+=； 2222436k a ak y ππ+-=； 2 2222243) 2(3k a k a k z πππ++= . 第二节对坐标的曲线积分习题 一、填空题: 1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关； 2、设0),(),(≠+?dy y x Q dx y x P L ,则 =++??-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+?dy y x Q dx y x P L ),(),(?'+'β α φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应 于L 的____点； 4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________. 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、? L xydx ,其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； 2、?+--+L y x dy y x dx y x 22)()(,其中L 为圆周2 22a y x =+(按逆时针方向饶行)； 3、?Γ +-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4、 ?++ABCDA y x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ,)0,1(-C ,)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 . 三、设z 轴与重力的方向一致,求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、 沿抛物线2 x y =从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x 222 =+从点(0,0)到点(1,1). 答案 一、1、坐标； 2、-1； 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ?Γ ++ds R Q P )cos cos cos (γβα?Γ ++=. 二、1、;2 3a π - 2、π2-； 3、 2 1 ； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==.

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

高数典型例题解析

第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高数课后习题及答案 第二章 2.3

2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学试题库

高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高等数学课后习题答案第六章

习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(102231 0=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A

34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A (2)x y 1 =与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解 y 2 x 4 过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6

同济版高等数学课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a .

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：

高等数学下册 第十一章 综合练习题答案

第十一章自测题参考答案 一、填空题： 1.()?Γ ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量 2. ()??∑ ++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量 3. ????? ? ????-??D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()?? 10 1 ,dy y x f dx ， ()??-1 10,dy y x f dx ， 0 9. () ?-L ds x x y x P 22, 二、选择题： 1.C 2.C 3.A 4.A 5.D 三、计算题： 1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以? L ds x 2 = ? L ds y 2=?L ds z 2， 故? L ds x 2 = () ?++ds z y x 2 2231=3223 223131a a a ds a L ππ=?=?. 2.解 原式= ()[](){}?+---π 20sin cos 1cos 12dt t t t () ? +=π20 2 sin sin dt t t =π 20 2sin 2121?? ? ??-t t =π 3.解 记222:y x a z S --= ，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+ 原式= () dxdy y z x z y x a y x D 2 2 2 221??? ? ????+??? ????+--+ +?? =() ??--? --+ +D dxdy y x a y x a y x a 2 2 2 2221 注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知 ?? --D dxdy y x a x 2 2 2 =?? --D dxdy y x a y 2 22=0，所以 原式=??D dxdy a =2 a a π?=3 a π. 4.解 利用高斯公式 原式=()???Ω ++dxdydz z y x 2 其中Ω为S 所围成的空间区域。由Ω关于坐标平面的对称性知

同济版高等数学课后习题解析

同济版高等数学课后习题 解析 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b += ，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(2 1+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页