实变函数论课后答案第四章3

实变函数论课后答案第四章3

第四章第三节习题

1.若E 是有界可测集,()f x 在E 上几乎处处有限 ,则()f x 在E 上可测的充要条件是有一串在整个空间上连续的函数()n x Φ ,使

lim ()()n n x f x →∞

Φ= .a e 于E

证明:充分性是显然的,()n x Φ在1R 上连续,从而是可测的,及几乎处处有限,也必在E 上可测

必要性:由E 有界可测,()f x 在E 上几乎处处有限,故由Lusin 定理,?闭集1F E ?,

1(\)1m E F <,()f x 是1F 上的连续函数,又1E F -有界可测,由

Lusin 定

理,?闭集21\F E F ?,使121(\\)2

m E F F <

利用归纳法知,若

k

F 已选好,则

11

\k

k i

i F E F +=?? ,

11

1(\

\)1

k

i k i m E F F k +=<

+

且()f x 在1k F +上连续.

由于k ?,1

k

i i F = 仍是有界闭集,故由P116Th2的证明方法知f 可扩

充为1

R 上的连续函数()n x Φ,()()n x f x Φ=

于1

k

i

i F = 上

且k ?,1

1

1(\)(\)0

k

k i i i i m E F m E F k

∞→+∞

==≤≤

→ ,故1

(\)0i i m E F ∞

==

01

i

i x F ∞

=?∈ ,0

0()n n x ?=使0

n x F ∈ 则0

01

n i i x F =∈ 0

00()()

n x f x Φ

=

且当0()n n x ≥时,0

01

1

n n

i

i

i i x F F ==∈?

故1

000()|

()()n

i

i n n F x x f x =Φ=Φ= 故00lim ()()n n x f x →∞

Φ=

这就证明了01

i i x F E ∞

=?∈? 00lim ()()n n x f x →∞

Φ=

故从1

(\)0i i m E F ∞

== 知必要性成立

注意:本题的困难在于若直接这样用P116定理2,,n

n F E

???,

1(\)n m E F n

<

1

()n f C R ?∈,|()n n F f f x =

则n ?,1

1(\)(\)0i n i m E F m E F n

=≤<

→ 则1

(\)0

i i m E F ∞

== 01

i

i x F ∞

=?∈ ,0

001

,n n

i

i n x F F =?∈?

,但直接取()()()

n

n x f x f x Φ

==就不知是

否有0

00()()

n x f x Φ

=,当0n n >,因仅知当n x F ∈时()()

n f x f x =

,而()n f x 在

n i F -(0i >)时的性质不明,因为没有条件保证1n

n F F +?

而我们的前面证明是用到1

1

1

n

n i i i i F F +==? ,1()()n n x x f +Φ=Φ=于1

n

i i F = 上.

2.证明:有界闭集n E R ?上的任何连续函数是有界的 证明:反证,设f 在E 上无界,则n N ?∈,存在n x E ∈,|()|n f x n

>,

由E 有界知{}n x 是有界序列,故由聚点原理,存在0

n

x

R

∈和{}n x 的子列

{}k

n x 使得0k

n x

x → (k →∞)

由E 闭知0x E ∈,由f 在E 上连续知,f 在0x 连续

0lim

|()||lim ()||()|n n n n f x f x f x →∞

→∞

∞=== 得矛盾

故()f x 在E 上有界

注:也可用有限覆盖定理证之.

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