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线代作业纸答案

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第一章 行列式

一、填空

1. 按自然数从小到大为标准次序,则排列3421的逆序数为 5 ,32514的逆序数 为 5 .

2.四阶行列式中含有因子a a 2311的项44322311a a a a -,42342311a a a a .

3.按定义,四阶行列式有!4项,其中有12项带正号,有12项带负号.

4.在函数x

x x x

x

x f 2

1

1

12)(---=中,3x 的系数是2-. 5. =c

b

a

c b

a

2

2

2

1

11

))()((b c a c a b ---.

6.设2

10

132

1

13

---=D ,A ij 为元素a ij 的代数余子式)3,2,1,(=j i ,则=-+33231342A A A 37. 二、选择

1. 四阶行列式

a b a b b a b a 4

43322

1

100

00000

0的值等于( D )

(A ) b b b b a a a a 43214321- (B ) b b b b a a a a 43214321+

(C ) ))((43432121b b a a b b a a -- (D ) ))((41413232b b a a b b a a --

2.设1

211123111

211)(x x x x x f -=

,则x 3

的系数为 ( C )

(A )2 (B )1 (C )1- (D )2- 3.在五阶行列式)det(a ij 中,下列各项中不是)det(a ij 的项为 ( A ) (A )a a a a a 5552214331 (B )a a a a a 5412452331- (C )a a a a a 5145342312 (D )a a a a a 3352251441

4.行列式1

11111111

1111111--+---+---x x x x 的值为 ( D )

(A )0 (B )2

2

)1()1(-+x x (C )2

x (D )4

x

三、计算

1.2605232112131

412- 21

r r +=====2

60523212

605141

2

0=(因有两行相同)

2.ef cf

bf

de cd bd

ae

ac ab

--- 123

r a

r d r f

÷=====÷÷e

c b e c b e c b adf ---123

c b

c c c e

÷=====÷÷abcdef 111111111--- 21

31

r r r r +=====+abcdef abcdef 40

20200111=- 3.

d c b a 1

001100110

01--- 12

r ar +=====d c b a

ab 1

001

100

110

10---+1

c =====d

c a ab 1011

01--+

32 c dc +=====0

1011

1-+-+cd c ad a ab 3

r =====cd

ad ab +-+111ad cd ab +++=)1)(1( 四、证明

1.32

2

)(11122b a b b a a

b ab a -=+

证 1112222

b b a a b ab

a +13

23

c c c c -=====-1002)

(222

22b b a b a b b ab b a ----122

c c -=====1

20)(222

b b a b b ab b a --- 3)(b a -=

2.

0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

222222222222222

=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

=++++++++++++22

222

2

2

2

22222222)3()2()1()3()

2()

1()3()2()1()3()2()1(d d d d c c c c

b b b b a a a a 43322

1

c c c c c c

-=====--5

232125

23

21

25232125232122

222

++++++++++++d d d d c c c c

b b b b a a a a

4332

c c c c -=====-02

2122212221222122

222

=++++d d c c

b b a a (因有两列相同)

3.01111

2

1

10000

0100

001a x a x a x a a a a a a x

x x n n n n n

n ++++=------

证: 递推法,按第一列展开,建立递推公式

1

011)1(0

21-*

---+=++x x

a xD D n n n =0022)1(a xD a xD n n n +=-++

又 n a D =1,于是

=+1n D 0a xD n +110()n x xD a a -=++0112a x a D x n ++=-

= =011

11a x a x a D x n n n

++++-- .011

1a x a x

a x a n n n n ++++=--

五、计算

1.x

a a a

x a a a x D n =

解x

a a a x a a

a x D n =121[(1)]

n

r r r r x n a +++=====

÷+- ])1([a n x -+x

a a a

x a 111

=====]

)1([a n x -+a

x a

a a

x a

--

1].)1([)(1a n x a x n -+-=-

2.1

1

1

1)()1()()1(1

11

1

n a a a n a a a n a a a D n n n n

n

n n ------=

---+,提示:利用范德蒙德行列式的结果

解 :将行列式上下翻转,即为范德蒙德行列式,若再将行列式左右翻转,由于上下翻转与左右翻转交换次数相等,故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变.于是,利用范德蒙德行列式的结果,可得

n

n n

n a n a n a a

n a n a D

)1()(11111

+--+--=

+∏+≤<≤-=11).(n i j j i 3.n

n

n

n

n d c d c b a b a D

1

1

112=

,其中未写出的元素都是0

解: n D 22222

n n

r r c c ?=====?)

1(20

-n n n

n n

D d c b a )1(2)(--=n n n n n D c b d a

即有递推公式

n D 2)1(2)(--=n n n n n D c b d a

又11111

1

112c b d a d c b a D -==

,利用这些结果递推得

n D 2 )(n n n n c b d a -=.)()(1

1111∏=-=-n

k k k k k c b d a c b d a

4.n

n a a a D +++=

11

1

1111112

1

,其中021≠n a a a

解 12212332311

0000100010

010001

1n n n n n

a a a c c a a D c c a a a a -----=====

---+

11121312111

1121

100000100000100

00001

000

11

()(1)n n n

i i n

n i i

a a a a a a a a a a a a ------===+=+∑∑

5.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组???

??=++=++=++0

200321

3.21321x x x x x x x x x μμλ有非零解?

解: 方程组的系数行列式必须为0

121

11

11

μμλ

=D 32

r r -=====)1(0

111

1--=λμμμλ

故只有当0=μ或1=λ时,方程组才可能有非零解.

当0=μ,原方程组成为

????

?=+=++00

31

321x x x x x λ 显然1,1,1321-=-==x x x λ是它的一个非零解. 当1=λ,原方程组成为

???

??=++=++=++0

200321

3.21321x x x x x x x x x μμ 显然1,0,1321==-=x x x 是它的一个非零解. 因此,当0=μ或1=λ时,方程组有非零解.

第一章 练习题

1.3

8

1

141

102

---

解: 利用对角线法则

3108)1(2)1()4(1811)1()1(03)4(2??-?-?--?-?-??+-?-?+?-?=D

4-=

2.

y

x

y

x x y

x y y x y x

+++

解: 利用对角线法则

)(2)()()()(33333y x y x y x yx y x y x yx y y x x D +-=--+-+++++=

3.7

1100251020214214

解: 12

r r D ?=====-7110025104214

2021

2131410

r r r r -=====--7

1102021504

2702

021----

42

r r ?=====

4

27020215071102

02

1----32

42157

r r r r +=====

+045

9008517007

1102021=

4.4

321532154215431

543254321 解: 从最后一行开始,后行减去前行

1

1

1

4111411141

1

1

411115

4321----=D 12,,5

i c c i -====== 0

00510

05010500

15000

14

3211---- 5

121

5

i i c c =+=====∑0

0050005000500

05

000043213----1875)5(34=-?=

5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式

c

b a d b a d

c a

d c b d c b a d c b a d c b a

++++++++3

3

3

3

2

222

解: D 41

4()

r r r a b c d +=====÷+++1

111

)(3333

2

222

d c b a d c b a d c b a

d c b a +++ 把行列式的最后一行依次与前面的行交换,共交换三次得

3

3332222

1111)(d c b a d c b a d c b a

d c b a D +++-=))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-=

6.证明

n

a a a 1

011121

)1

(2132∑

=-=n

i i

n a a a a a ,其中 021≠n a a a 证: 化行列式为下三角形行列式

D 11

2,

i i

n

r r a i n -

====== n

a a

b *

0002

n a a ba 32=

其中,∑

=-=n

i i

a a

b 211

,于是).1(2132∑=-=n i i n a a a a a D

7.=n D )det(a ij ,其中j i a ij -=

解: 032130

1

2

2101

1210 ------=

n n n n n n D n 1

1221

n n n n r r r r r r ----=====-- 1

1

11111111111

210--------

n n

12

n n c c c c +=====+ .2)1()1(1

12001

2201

32121----=---------n n n n n n n

8.求满足下列方程的实数z y x ,,:

11

000100

011=z y x z y x

解: 将D 按第一行展开得,,02

2

2

=++z y x 解得.0===z y x

9. 问λ取何值时,齐次线性方程组???

??=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321

3.21321x x x x x x x x x λλλ有非零解?

解: 方程组的系数行列式必须为0

λλλ----=

111

132

4

2

1D 13

r r ?=====4

21132111-----λλλ 21

312(1)

r r r r λ-=====--2

)1(4301210111λλλλλ

--+-----2

)1(431

21λλ

λλ

--+----

=

21c c +=====2

331λ

λλλλ----)3)(2(---=λλλ 故32,0或=λ,并且当0=λ时,21-=x ,12=x ,13=x ;

当2=λ时,21-=x ,32=x ,13=x ;当3=λ时,11-=x ,52=x ,23=x ;均是原方程组的非零解. 因此,当

32,0或=λ时,方程组有非零解.

第二章 矩阵及其运算 (一)

一.填空

1.设????? ??=321a a a A ,()123B b b b = ,则AB =11121321

22233132

33a b a b a b a b a b a b a b

a b a b ??

? ? ???

; BA =112233()a b a b a b ++;()T AB =11

21311222321323

33a b a b a b a b a b a b a b a b a b ?? ? ? ???;T T A B =112233a b a b a b ?? ? ? ???

T T B A = 11213112

223213

23

33a b a b a b a b a b a b a b a b a b ??

? ? ???

. 2. 设121A x ??=

?-??,210y B ??= ???

,若BA AB =,则=x 1 ;=y 2 .

3. 设A 为3阶方阵,且2-=A ,则2A = 4 ;=-T A 2 16 ;*

A = 4 .

4. 设101A λ??=

???,则k

A =101k λ?? ???

.

5. 设101020101A ?? ?= ? ???

,而2n ≥为正整数,则1

2n n A A --= 0 (零矩阵) .

6. 已知3

A E =,则1

A -=2

A .

二.选择

1. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =,其中E 为n 阶单位矩阵,则必有( D ). (A ) ACB E = (B )CBA E = (C) BAC E = (D )BCA E =

2. 设A 、B 均为n 阶方阵,满足0AB =,则必有 ( C ) (A ) 0A =或0B = (B )0BA = (C) 0A =或0B = (D )0A B +=

3. 设A 、B 都是n 阶方阵,则下列命题中正确的是 ( D ) (A )若0≠A 且0≠B ,则0≠AB . (B )若A 、B 都是对称阵,则AB 是对称阵. (C)若AB 不可逆,则A 、B 都不可逆. (D )若AB 可逆,则A 、B 都可逆.

三.计算与证明

1. 设111111111A ?? ?=- ? ?

-??, 123124051B ??

?=-- ? ???,求32AB A -及T

A B .

解:32AB A -1111233111124111051???? ???=--- ??? ???-????1112111111?? ?-- ? ?-??21322217204292-??

?=-- ? ?-??

111123111124111051T A B ???? ???=--- ??? ???-????058056290??

?=- ? ???

2. 13121400121134131402??

?

-?? ? ? ?--??

?-??

6782056-??= ?--?? 3. ()11121311

2

312

2223213

23

333a a a x x x x a a a x a a a x ???? ??? ??? ???????

()1111212313

121222323

131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ??

?

=++++++ ?

???

222

111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++

4. 设,A B 为n 阶方阵,且A 为对称阵,证明T

B AB 也是对称阵. 证明:已知:T

A A =

则 ()()T T T T T T T T

B AB B B A B A B B AB === 从而 T

B AB 也是对称阵.

第二章 矩阵及其运算 (二)

一.填空

1. 设1121A ??=

???,1101B -??= ???,A O C O B ??

= ???

,则 =C -1 .

2. 设12

00n a a A a ??

?

?= ? ?

?

?

,(120n a a a ≠ ). 则1A -=12

1

0101n a a a ?? ? ? ?

? ? ? ??

?

3. 设A 为三阶可逆矩阵,且1

123012001A -??

?=- ? ?-??,则A *=

123012001---??

?- ? ???

4. 设100220345A ??

?

= ? ???,则=-*1)(A 10A ;=*-)(1A 10

A .

5.设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,且a A =,b B =,O A C B O ??=

?

??

,则=C (1)mn

ab -. 6.设A 为3阶矩阵,且A =

12

,则1*

(2)5A A --=16- . 二.选择题

1. 设A 为n 阶可逆矩阵,*

A 为A 的伴随矩阵,则必有( A ) (A ) 1

-*

=n A

A (

B ) A A =*

(C ) n

A A =* (D ) 1-*=A A

2. 设A 、B 都是n 阶方阵,则下列等式中正确的是 ( D )

(A )BA AB = (B )T T T B A AB =)( (C )1

11)(---=B A AB (D )BA AB =

3. 已知A 为n 阶方阵,且满足关系式0432

=++E A A ,则()

=+-1

E A ( C )

(A )1

A E -+ (

B )

12E A +

(C ) 1

2

E A -- (D )4A E +

三.计算与证明

1. 求下列方阵的逆阵

(1) 52002

10000120

11??

?

?

?- ???

解:115221A ??= ???,1111225A --??= ?-??,221211A -??= ???,1

22121113A -??= ?-??, 1120

025

001200

33110033A --??

?- ? ?= ?

?

?-

??

?

. (2) 121342541-??

?- ? ?-??

解:2A =, 故1A -存在 . 1

1A A A -*=2101313221671-??

? ?=-- ?

?--??

.

2. 解下列矩阵方程

(1) 2

5461321X -????

=

? ?

????

解:1

25461321X --????= ? ?????35461221--????= ???-????22308-??

= ???

.

(2)211113210432111X -??-??

?= ? ??

? ?-??

解:1

211113210432111X --??-?? ?= ? ??? ?-??2218

2533-??

?= ?-- ???. (3) 0

1010

01431

00001201

00

1010120

X -??????

? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-?

??

??? 解:1

1

010143100100201001001120010X ---??????

? ???=- ? ???

? ???

-??????210134102-?? ?

=- ? ?-?? (4) 设,AX B X +=其中01011111,20,10153A B -????

????=-=????????---????

求.X 解:由,AX B X +=得 ()E A X B -=

故 1().X E A B -=- 而 2

133

12

13

31

1330()10E A -?? ?

-=- ? ?-??

所以 2

1

33

2

13

31

1330113112

020.05

311X --??????

? ? ?=-= ? ? ? ? ? ?---?????

? 3. 设1

P AP -=Λ, 其中1411P --??= ???, 1002-??Λ= ???

, 求11

A .

解:1P AP -=Λ故1A P P -=Λ所以11111

A P P

-=Λ

3P = 1411P *??=

?-??

1141113P -??= ?-?? 而 11

11

1110100202--????Λ== ? ?????

故11

111

41410331102113

3A ?? ?--????= ? ???

- ?????-- ?

??27312732683684??= ?--??

. 4. 设A 为n 阶方阵,并且满足2

20A A E --=, 证明:A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A . 解:由已知得:E E A A =-?

)(21,故A 可逆,且)(2

1

1E A A -=- 又E E A E A 4)3)(2(-=-+, 故E A 2+可逆,且)3(4

1

)

2(1

E A E A --=+-.

5. 设0k

A =(k 为正整数),证明

121()k E A E A A A ---=++++

证明: 由 0k

A =

有 21()()k E A A A E A -++++-

2121k k k E A A A A A A A --=++++---- E =

因此 121

()k E A E A A A --

-=++++

第二章 练习题

1.设A 为4阶方阵,1

,3

A =求134A A *--. 解:1

1

1,3

A A A

A *

--==

11111

343433

A A A A A *----∴-=?-=-

4

13

11

(3)81A =-=?243.=

2. 已知????

? ??--=130210005A ,求1-A .

解: ???

?

??=2211A O O A A 5

1

1

11-

=-A

=???? ??----==

*

-132********

1

22

A A A ??

??

?

?

??-71737271 ∴?

???????

?

?--

=???? ?

?=---717307271000511221

111

A O

O A A 3. 设223110121A ??

?=- ? ?-??

,解矩阵方程E AXA =*(其中*

A 是矩阵A 的伴随矩阵).

解:计算得1-=A ,并且A 可逆 因为A A AA A E E **

===-,

故由已知E AXA =*

得A EA A AXA ==*

所以A AX =-

解得E X -=

解:A BA BA A 61

=--

4. 设三阶矩阵A ,B 满足关系式BA A BA A +=-61

,且131

4

17A ?? ?

=

? ??

?

,求B .

A BA E A 6)(1=--

????

? ??=-=--123)(61

1

E A

B 5. 设A 为n 阶方阵,并且满足2

0A A E +-=, 证明:A 及E A -都可逆,并求1

-A 及1)(--E A . 解:由已知得:E E A A =+?)(,故A 可逆,且E A A +=-1

又E E A E A -=+-)2)((,

故E A -可逆,且)2()(1E A E A +-=-- .

6.设34432022O A O ?? ?

- ?= ? ?

??

, 求8A 及4A . 解: 34432022O A O ?? ?

- ?= ? ?

??

,令13443A ??= ?-?? 22022A ??= ??? 则1

2A O A O

A ??=

???

故8

18

2A O A O A ??=

???8

182A O O

A ??

= ???

8

8

888

16121210A A A A A ===

44

44

14426

450052022O A O A O

A O ??

??? ?==

? ??? ? ??

?

.

7.设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1

O A B O -??

???.

解 : 将1

O A B O -??

???分块为123

4C C C

C ??

???

其中 1C 为s n ?矩阵, 2C 为s s ?矩阵

3C 为n n ?矩阵, 4C 为n s ?矩阵

则n n s s O A B O ????

???

1234C C C C ?? ???E ==n

s E O O E ??

???

由此得到13344111

2

2n s AC E C A AC O C O

BC O C O BC E C B --?=?=?

=?=??=?=??=?=?(A 、B 均可逆)

故 1

11O A O B B O A

O ---????= ? ?

????

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(一)

一、填空

1. 设A 为n 阶方阵,若有n 阶初等方阵s P P P ,,21,使 ),(),(21B E E A P P P s = ,

8. 设x 为n 维列向量,1=x x T

,令T xx E H 2-=,证明H 是对称阵,且T

HH E =.

证明:因为 H xx E xx E xx E H T T T T T T

=-=-=-=2)(2)2(,所以H 是对称阵.

又 ==2H HH

T

4)2)(2()2(2+=--=-E xx E xx E xx E T T T T T T xx xx xx 4))((-

+=-+=E xx x x x x E T T T 4)(4E xx xx T T =-44

则=-1

A

s P P P 21 .

2. 设A 是34?矩阵,且A 的秩)(A R =2,而???

?

?

??-=301020201B ,则=)(AB R 2 .

3. 设四阶方阵A 的秩)(A R =2,则其伴随矩阵*

A 的秩为)(*A R = 0 .

二.选择

1.从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,则A 、B 的秩的关系为( A )

(A) 1)()()(-≥≥A R B R A R (B) 1)()()(->≥A R B R A R (C) 1)()()(->>A R B R A R (D) 1)()()(-≥>A R B R A R 2.在秩是r 的矩阵中( C ) (A) 没有等于0的1-r 阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式

(C) 等于0的1-r 阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1-r 阶子式等于0

三.计算与证明

1.把矩阵化为行最简形矩阵

??

??

?

??

??---8701111121324321 解:????????

?

??-00

00

31100313010317001 2.用初等变换求解矩阵方程

B AX =,其中???

?

? ??=????? ??---=520321,102123111B A

(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1

x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2

线性代数试题及答案.

线性代数(试卷一) 一、 填空题(本题总计20分,每小题2分) 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵,则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设A 为86?的矩阵,已知它的秩为4,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ _2___________. 6. 设A为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ,则=*A 7。若A为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模(范数)______________ 。 10。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k

二、选择题(本题总计10分,每小题2分) 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ,则(D) A.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D .r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ,则=A (A) A.8? B.8- C. 34?? D.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示,则( d ) A.)()(A R B R ≤ B.)()(A R B R < C.)()(A R B R = D.)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ,则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ,B 和C ,则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.1-3每小题8分,4-7每小题9分) 1。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 . 2.设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵,且2 1= A ,求* A A 2)3(1--. 3.求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3(答案略) 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ (正号) (2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- (3)原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8(答案略) 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- (2)按第一列展开: 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

线性代数考试练习题带答案(6)

线性代数考试练习题带答案 说明:本卷中,A -1 表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,(βα,)表示向量α与β的内积,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4,则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =( ) A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ,B ,C ,X 为同阶方阵,且A ,B 可逆,AXB =C ,则矩阵X =( ) A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0,则矩阵A -1 =( ) A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量,则( ) A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵,若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则( ) A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0

西南大学线性代数作业答案

西南大学线性代数作业答案

第一次 行列式部分的填空题 1.在5阶行列式ij a 中,项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2.排列45312的逆序数为 5 。 3.行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 . 4.行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5.行列式25 11 22 14--x 中,x 的代数余子式是 — 5 。 6.计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1.计算三阶行列式 3 811411 02--- 解:原式=2×(—4)×3+0×(—1)×(—1)+1×1×8—1×(—1)× (—4)—0×1×3—2×(—1)×8=—4 2.决定i 和j ,使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解:i =8,j =5。

3.(7分)已知0010413≠x x x ,求x 的值. 解:原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得:x 1=0;x 2=2 所以 x={x │x ≠0;x ≠2 x ∈R } 4.(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解,求λ。 解:()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5.用克莱姆法则求下列方程组: ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解:因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=)(r r r r r r D 所以方程组有唯一解,再计算: 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此,根据克拉默法则,方程组的唯一解是:

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数习题参考答案

第一章 行列式 §1 行列式的概念 1. 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ,该排列为 排列。 (2) i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为偶排列,该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中, 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ,含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2. 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解: 该行列式的3!项展开式中,有 项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。 3. 证明:在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。 证明:n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。

4. 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多,则此行列式为0,为什么? 5. n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少? (提示:利用3题的结果) 6. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)2 011 411 8 3 --- (2)2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数上机作业题答案

线性代数机算与应用作业题 学号: 姓名: 成绩: 一、机算题 1.利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。 (1)计算A +B ,A -B 和6A (2)计算()T AB ,T T B A 和()100 AB (3)计算行列式A ,B 和AB (4)若矩阵A 和B 可逆,计算1 A -和1 B - (5)计算矩阵A 和矩阵B 的秩。 解 输入: A=round(rand(5)*10) B=round(rand(5)*10) 结果为: A = 2 4 1 6 3 2 2 3 7 4 4 9 4 2 5 3 10 6 1 1 9 4 3 3 3 B = 8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3 (1)输入: A+B 结果为:

ans= 10 10 6 10 12 2 4 5 11 12 13 14 9 12 6 10 20 12 1 4 14 9 10 12 6 输入: A-B 结果为: ans = -6 -2 -4 2 -6 2 0 1 3 -4 -5 4 -1 -8 4 -4 0 0 1 -2 4 -1 -4 -6 0 输入: 6*A 结果为: ans = 12 24 6 36 18 12 12 18 42 24 24 54 24 12 30 18 60 36 6 6 54 24 18 18 18 (2)输入: (A*B)' 结果为: ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122

80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入: B'*A' 结果为: ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入: (A*B)^100 结果为: ans = 1.0e+270 * 1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.6399 1.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.9499 2.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.4313 2.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.0268 2.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 (3)输入: D=det(A) 结果为: D = 5121 输入: D=det(B) 结果为:

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

河北工业大学线性代数作业答案

线性代数作业提示与答案 作业(1) 一.k x x k x k x -====4321,0,, 二.??? ??? ???==--=++=24 13212 211,757975,767171k x k x k k x k k x 三.1.阶梯形(不唯一):????? ? ???? ??---140 10612 0071210 02301 ,简化阶梯形?????? ? ????? ????- 10000 02 1 100 00 01002 7 01 秩为4; 2.简化阶梯形为单位矩阵. 四.1.其系数矩阵的行列式值为 2 )1)(2(-+λλ(该方程组的系数矩阵为方阵,故可以借助于行列式来判定) 当12≠-≠λλ,时,方程组只有零解, 当2-=λ时,通解为=x ???? ? ?????111k ; 当1=λ时,通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-; 2.?? ?? ???? ??? ???? ? -++-- - -2200123 23012 1211~2 λλλλA , 当2-≠λ时,方程组有唯一解; 当2-=λ时,方程组有无穷解,通解为=x T T k ],,[],,[022111+.

作业(2) 一.1. =x 1,2,3; 2. !)(n n 11-- 3.-120 4. ()() !) 1(2 21n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12 二.1.1; 2.以第二列、第三列分别减去第一列,再把第二列、第三列分别加到第一列上,得到 333 33 32222221 11111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=23 2 3 3221 11c b a c b a c b a 3. 0; (注:行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆,而且计算过程中用的是等号) 4.12 2 2 +++γβα 作业(3) 一.1.c; 2. d ; 3.a 二.1.将第n ,,, 32列都加到第一列上,提出公因子∑=+ n i i a x 1 ,得到(∑=+ n i i a x 1 )1-n x . 2.由第二列起,各列均减第一列,按第二行展开,得)!(22--n . 3.由第1-n 行至第一行,相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上,得到 .)1(0 1 00001011 111 22 1 2) 1(n n n n n n --=-- 4.按第一列展开,得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+ 三.3)(=A R (注:用矩阵的行初等变换化为梯矩阵,数非零行即可.注意矩阵的表

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

华理线代作业答案第七册(可直接使用).doc

华东理工大学 线性代数 作业簿(第七册) 学 院____________专 业____________班 级____________ 学 号____________姓 名____________任课教师____________ 5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1)??????????--=201034011A ; (2)?? ?? ? ?????=122212221A . 解:(1)由 1104301 2|A I |---=---λ λλλ 0)1)(2(2=--=λλ, 解得A 的特征值为: 2,1321===λλλ, 当121==λλ时, 解方程 ()0A I x -=, 由 210101420~012101000A I -???? ????-=-???? ????????, 得基础解系为 ???? ??????-=1211p , 故对应121==λλ的全部特征向量为 )0(1≠k kp ; 当23=λ时, 解方程 0)2(=-x E A , 由 3101002410010100000A I ~-???? ????-=-???? ????????, 得基础解系为 ???? ??????=1002p , 故对应23=λ的全部特征向量为 )0(2≠k kp .

解: (2) 由1222122 2 1|A I |--=--λλλλ 0)5()1(2=-+=λλ, 解得A 的特征值为: 5,1321=-==λλλ, 当12 1==λλ时, 解方程 ()0A I x +=, 由 22211122 2~00022 2000A I ????????+=???? ????????, 得基础解系为 ???? ? ?????-=0111p , ???? ? ?????-=1011p ,故对应121-==λλ的全部特征向量为 )0(212211≠+k k p k p k ; 当53=λ时, 解方程: (5)0A I x -=, 由 4221015242~011224000A I --???? ????-=--???? ????-????, 得基础解系为 ???? ??????=1113p , 故对应53=λ的全部特征向量为)0(3≠k kp . 2. 已知3阶矩阵A 的特征值为2,1,1-,235A A B -=,求B 的特征值. 解: 容易证明, 当λ是A 的特征值时, 则矩阵A 的多项式)(A f 必有特征值)(λf .设235)(A A A f B -==, 则B 有特征值: 4)1(-=f , 6)1(-=-f , 12)2(-=f . 3.设矩阵?? ?? ? ?????=100321z y x A , 且A 的特征值为3,2,1, 求z y x ,,. 解: 0]2))(1)[(1(10 321||=----=---= -x y z y x I A λλλλ λλ λ, 因为A 有特征值为3,2,1得: ???=----=----0 ]2)3)(31)[(31(0 ]2)2)(21)[(21(x y x y ,

线性代数期末试题(同济大学第五版)(附答案)

线性代数试题(附答案) 一、填空题(每题2分,共20分) 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解,且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵,且ο=+-E A A 232,则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基,且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=,若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ,则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵,则λ的取值范围是 。 二、单项选择(每小题2分,共12分)

1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 ( ) A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+( ) A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(( ) A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 ( ) A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题(每小题9分,共63分) 1.计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中

线性代数练习册习题及答案本

第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1.下列说法正确的是( C ) A.n 元齐次线性方程组必有n 组解; B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解; C.n 元齐次线性方程组至少有一组解,即零解; D.n 元齐次线性方程组除了零解外,再也没有其他解. 2.下列说法错误的是( B ) A.当0D ≠时,非齐次线性方程组只有唯一解; B.当0D ≠时,非齐次线性方程组有无穷多解; C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解,则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解,则0D =. 二、填空题 1.已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解, 则λ= 1 ,μ= 0 . 2.由克拉默法则可知,如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1.832623x y x y +=??+=? 解: 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-, 28212 63 D = =- 所以,125,62D D x y D D = ===-

2.123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解: 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---, 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----, 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以, 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3.21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解: 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=, 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--, 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以, 3121,0,1D D D x y z D D D = =====

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( )

线性代数习题集(带答案)

______________________________________________________________________________________________________________ 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 0010 0100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 0011 0000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 11111 3263 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 101 1110 40 3 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).

第二学期线性代数第3次作业

本次作业是本门课程本学期的第3次作业,注释如下: 一、单项选择题(只有一个选项正确,共8道小题) 1. 设A为n阶方阵,且A2+A?5E=0,则(A+2E)?1=( )。 (A) A?E (B) A+E (C) 1 3 ( A?E ) (D) 1 3 ( A+E ) 正确答案:C 解答参考:A 2 +A?5E=0 ?A 2 +A?2E=3E?( A+2E )(A?E)=3E ?( A+2E ) ?1 = 1 3 (A?E) 2. 若n维向量α 1 ,α 2 ,?, α n 线性相关,β为任一n维向量,则( )。 (A) α 1 , α 2 ,?, α n ,β线性相关; (B) α 1 , α 2 ,?, α n ,β线性无关; (C) β一定能由α 1 , α 2 ,?, α n 线性表示; (D) α 1 , α 2 ,?, α n ,β的相关性无法确定。 正确答案:A 解答参考: 3. 设线性方程组{ 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 ?3 x 2 ?2 x 3 =1 }则此方程组。 (A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 有基础解系 正确答案:A 解答参考: 4. 设n维向量组α1,α2,?,αs,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有。 (A) s= n (B) s< n (C) s> n (D) s≥ n 你选择的答案:[前面作业中已经做正确] [正确] 正确答案:D 解答参考:

5. 设α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量,且4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a ,| γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ,则4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |= (A) a+b (B) ?a?b (C) a?b (D) b?a 正确答案:C 解答参考: 6. 设B,C 为4阶矩阵,A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ,且α 1 , α 2 , α 3 是线性方程组Ax=0 的解,则它们是 (A) 基础解系 (B) 线性相关的 (C) 线性无关的 (D) A,B,C都不对 你选择的答案:[前面作业中已经做正确] [正确] 正确答案:B 解答参考: 7. 设n维列向量α= ( 1 2 ,0,?,0, 1 2 ) T ,矩阵A=I?α α T ,B=I+2α α T ,则AB= (A) 0 (B) ?I (C) I (D) I+α α T 正确答案:C 解答参考: 8. 设矩阵A m×n的秩r(A)=m<,下述结论中正确的是> (A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 齐次方程组Ax=0只有零解 (D) 齐次方程组Ax=0只有零解 你选择的答案: D [正确] 正确答案:D 解答参考: 二、判断题(判断正误,共5道小题)

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