第一章 行列式
一、填空
1. 按自然数从小到大为标准次序,则排列3421的逆序数为 5 ,32514的逆序数 为 5 .
2.四阶行列式中含有因子a a 2311的项44322311a a a a -,42342311a a a a .
3.按定义,四阶行列式有!4项,其中有12项带正号,有12项带负号.
4.在函数x
x x x
x
x f 2
1
1
12)(---=中,3x 的系数是2-. 5. =c
b
a
c b
a
2
2
2
1
11
))()((b c a c a b ---.
6.设2
10
132
1
13
---=D ,A ij 为元素a ij 的代数余子式)3,2,1,(=j i ,则=-+33231342A A A 37. 二、选择
1. 四阶行列式
a b a b b a b a 4
43322
1
100
00000
0的值等于( D )
(A ) b b b b a a a a 43214321- (B ) b b b b a a a a 43214321+
(C ) ))((43432121b b a a b b a a -- (D ) ))((41413232b b a a b b a a --
2.设1
211123111
211)(x x x x x f -=
,则x 3
的系数为 ( C )
(A )2 (B )1 (C )1- (D )2- 3.在五阶行列式)det(a ij 中,下列各项中不是)det(a ij 的项为 ( A ) (A )a a a a a 5552214331 (B )a a a a a 5412452331- (C )a a a a a 5145342312 (D )a a a a a 3352251441
4.行列式1
11111111
1111111--+---+---x x x x 的值为 ( D )
(A )0 (B )2
2
)1()1(-+x x (C )2
x (D )4
x
三、计算
1.2605232112131
412- 21
r r +=====2
60523212
605141
2
0=(因有两行相同)
2.ef cf
bf
de cd bd
ae
ac ab
--- 123
r a
r d r f
÷=====÷÷e
c b e c b e c b adf ---123
c b
c c c e
÷=====÷÷abcdef 111111111--- 21
31
r r r r +=====+abcdef abcdef 40
20200111=- 3.
d c b a 1
001100110
01--- 12
r ar +=====d c b a
ab 1
001
100
110
10---+1
c =====d
c a ab 1011
01--+
32 c dc +=====0
1011
1-+-+cd c ad a ab 3
r =====cd
ad ab +-+111ad cd ab +++=)1)(1( 四、证明
1.32
2
)(11122b a b b a a
b ab a -=+
证 1112222
b b a a b ab
a +13
23
c c c c -=====-1002)
(222
22b b a b a b b ab b a ----122
c c -=====1
20)(222
b b a b b ab b a --- 3)(b a -=
2.
0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
222222222222222
=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
证
=++++++++++++22
222
2
2
2
22222222)3()2()1()3()
2()
1()3()2()1()3()2()1(d d d d c c c c
b b b b a a a a 43322
1
c c c c c c
-=====--5
232125
23
21
25232125232122
222
++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a
4332
c c c c -=====-02
2122212221222122
222
=++++d d c c
b b a a (因有两列相同)
3.01111
2
1
10000
0100
001a x a x a x a a a a a a x
x x n n n n n
n ++++=------
证: 递推法,按第一列展开,建立递推公式
1
011)1(0
21-*
---+=++x x
a xD D n n n =0022)1(a xD a xD n n n +=-++
又 n a D =1,于是
=+1n D 0a xD n +110()n x xD a a -=++0112a x a D x n ++=-
= =011
11a x a x a D x n n n
++++-- .011
1a x a x
a x a n n n n ++++=--
五、计算
1.x
a a a
x a a a x D n =
解x
a a a x a a
a x D n =121[(1)]
n
r r r r x n a +++=====
÷+- ])1([a n x -+x
a a a
x a 111
=====]
)1([a n x -+a
x a
a a
x a
--
1].)1([)(1a n x a x n -+-=-
2.1
1
1
1)()1()()1(1
11
1
n a a a n a a a n a a a D n n n n
n
n n ------=
---+,提示:利用范德蒙德行列式的结果
解 :将行列式上下翻转,即为范德蒙德行列式,若再将行列式左右翻转,由于上下翻转与左右翻转交换次数相等,故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变.于是,利用范德蒙德行列式的结果,可得
n
n n
n a n a n a a
n a n a D
)1()(11111
+--+--=
+∏+≤<≤-=11).(n i j j i 3.n
n
n
n
n d c d c b a b a D
1
1
112=
,其中未写出的元素都是0
解: n D 22222
n n
r r c c ?=====?)
1(20
-n n n
n n
D d c b a )1(2)(--=n n n n n D c b d a
即有递推公式
n D 2)1(2)(--=n n n n n D c b d a
又11111
1
112c b d a d c b a D -==
,利用这些结果递推得
n D 2 )(n n n n c b d a -=.)()(1
1111∏=-=-n
k k k k k c b d a c b d a
4.n
n a a a D +++=
11
1
1111112
1
,其中021≠n a a a
解 12212332311
0000100010
010001
1n n n n n
a a a c c a a D c c a a a a -----=====
---+
11121312111
1121
100000100000100
00001
000
11
()(1)n n n
i i n
n i i
a a a a a a a a a a a a ------===+=+∑∑
5.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组???
??=++=++=++0
200321
3.21321x x x x x x x x x μμλ有非零解?
解: 方程组的系数行列式必须为0
121
11
11
μμλ
=D 32
r r -=====)1(0
111
1--=λμμμλ
故只有当0=μ或1=λ时,方程组才可能有非零解.
当0=μ,原方程组成为
????
?=+=++00
31
321x x x x x λ 显然1,1,1321-=-==x x x λ是它的一个非零解. 当1=λ,原方程组成为
???
??=++=++=++0
200321
3.21321x x x x x x x x x μμ 显然1,0,1321==-=x x x 是它的一个非零解. 因此,当0=μ或1=λ时,方程组有非零解.
第一章 练习题
1.3
8
1
141
102
---
解: 利用对角线法则
3108)1(2)1()4(1811)1()1(03)4(2??-?-?--?-?-??+-?-?+?-?=D
4-=
2.
y
x
y
x x y
x y y x y x
+++
解: 利用对角线法则
)(2)()()()(33333y x y x y x yx y x y x yx y y x x D +-=--+-+++++=
3.7
1100251020214214
解: 12
r r D ?=====-7110025104214
2021
2131410
r r r r -=====--7
1102021504
2702
021----
42
r r ?=====
4
27020215071102
02
1----32
42157
r r r r +=====
+045
9008517007
1102021=
4.4
321532154215431
543254321 解: 从最后一行开始,后行减去前行
1
1
1
4111411141
1
1
411115
4321----=D 12,,5
i c c i -====== 0
00510
05010500
15000
14
3211---- 5
121
5
i i c c =+=====∑0
0050005000500
05
000043213----1875)5(34=-?=
5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式
c
b a d b a d
c a
d c b d c b a d c b a d c b a
++++++++3
3
3
3
2
222
解: D 41
4()
r r r a b c d +=====÷+++1
111
)(3333
2
222
d c b a d c b a d c b a
d c b a +++ 把行列式的最后一行依次与前面的行交换,共交换三次得
3
3332222
1111)(d c b a d c b a d c b a
d c b a D +++-=))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-=
6.证明
n
a a a 1
011121
)1
(2132∑
=-=n
i i
n a a a a a ,其中 021≠n a a a 证: 化行列式为下三角形行列式
D 11
2,
i i
n
r r a i n -
====== n
a a
b *
0002
n a a ba 32=
其中,∑
=-=n
i i
a a
b 211
,于是).1(2132∑=-=n i i n a a a a a D
7.=n D )det(a ij ,其中j i a ij -=
解: 032130
1
2
2101
1210 ------=
n n n n n n D n 1
1221
n n n n r r r r r r ----=====-- 1
1
11111111111
210--------
n n
12
n n c c c c +=====+ .2)1()1(1
12001
2201
32121----=---------n n n n n n n
8.求满足下列方程的实数z y x ,,:
11
000100
011=z y x z y x
解: 将D 按第一行展开得,,02
2
2
=++z y x 解得.0===z y x
9. 问λ取何值时,齐次线性方程组???
??=-++=+-+=+--0
)1(0)3(2042)1(321
3.21321x x x x x x x x x λλλ有非零解?
解: 方程组的系数行列式必须为0
λλλ----=
111
132
4
2
1D 13
r r ?=====4
21132111-----λλλ 21
312(1)
r r r r λ-=====--2
)1(4301210111λλλλλ
--+-----2
)1(431
21λλ
λλ
--+----
=
21c c +=====2
331λ
λλλλ----)3)(2(---=λλλ 故32,0或=λ,并且当0=λ时,21-=x ,12=x ,13=x ;
当2=λ时,21-=x ,32=x ,13=x ;当3=λ时,11-=x ,52=x ,23=x ;均是原方程组的非零解. 因此,当
32,0或=λ时,方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算 (一)
一.填空
1.设????? ??=321a a a A ,()123B b b b = ,则AB =11121321
22233132
33a b a b a b a b a b a b a b
a b a b ??
? ? ???
; BA =112233()a b a b a b ++;()T AB =11
21311222321323
33a b a b a b a b a b a b a b a b a b ?? ? ? ???;T T A B =112233a b a b a b ?? ? ? ???
;
T T B A = 11213112
223213
23
33a b a b a b a b a b a b a b a b a b ??
? ? ???
. 2. 设121A x ??=
?-??,210y B ??= ???
,若BA AB =,则=x 1 ;=y 2 .
3. 设A 为3阶方阵,且2-=A ,则2A = 4 ;=-T A 2 16 ;*
A = 4 .
4. 设101A λ??=
???,则k
A =101k λ?? ???
.
5. 设101020101A ?? ?= ? ???
,而2n ≥为正整数,则1
2n n A A --= 0 (零矩阵) .
6. 已知3
A E =,则1
A -=2
A .
二.选择
1. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =,其中E 为n 阶单位矩阵,则必有( D ). (A ) ACB E = (B )CBA E = (C) BAC E = (D )BCA E =
2. 设A 、B 均为n 阶方阵,满足0AB =,则必有 ( C ) (A ) 0A =或0B = (B )0BA = (C) 0A =或0B = (D )0A B +=
3. 设A 、B 都是n 阶方阵,则下列命题中正确的是 ( D ) (A )若0≠A 且0≠B ,则0≠AB . (B )若A 、B 都是对称阵,则AB 是对称阵. (C)若AB 不可逆,则A 、B 都不可逆. (D )若AB 可逆,则A 、B 都可逆.
三.计算与证明
1. 设111111111A ?? ?=- ? ?
-??, 123124051B ??
?=-- ? ???,求32AB A -及T
A B .
解:32AB A -1111233111124111051???? ???=--- ??? ???-????1112111111?? ?-- ? ?-??21322217204292-??
?=-- ? ?-??
111123111124111051T A B ???? ???=--- ??? ???-????058056290??
?=- ? ???
2. 13121400121134131402??
?
-?? ? ? ?--??
?-??
6782056-??= ?--?? 3. ()11121311
2
312
2223213
23
333a a a x x x x a a a x a a a x ???? ??? ??? ???????
()1111212313
121222323
131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ??
?
=++++++ ?
???
222
111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++
4. 设,A B 为n 阶方阵,且A 为对称阵,证明T
B AB 也是对称阵. 证明:已知:T
A A =
则 ()()T T T T T T T T
B AB B B A B A B B AB === 从而 T
B AB 也是对称阵.
第二章 矩阵及其运算 (二)
一.填空
1. 设1121A ??=
???,1101B -??= ???,A O C O B ??
= ???
,则 =C -1 .
2. 设12
00n a a A a ??
?
?= ? ?
?
?
,(120n a a a ≠ ). 则1A -=12
1
0101n a a a ?? ? ? ?
? ? ? ??
?
3. 设A 为三阶可逆矩阵,且1
123012001A -??
?=- ? ?-??,则A *=
123012001---??
?- ? ???
4. 设100220345A ??
?
= ? ???,则=-*1)(A 10A ;=*-)(1A 10
A .
5.设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,且a A =,b B =,O A C B O ??=
?
??
,则=C (1)mn
ab -. 6.设A 为3阶矩阵,且A =
12
,则1*
(2)5A A --=16- . 二.选择题
1. 设A 为n 阶可逆矩阵,*
A 为A 的伴随矩阵,则必有( A ) (A ) 1
-*
=n A
A (
B ) A A =*
(C ) n
A A =* (D ) 1-*=A A
2. 设A 、B 都是n 阶方阵,则下列等式中正确的是 ( D )
(A )BA AB = (B )T T T B A AB =)( (C )1
11)(---=B A AB (D )BA AB =
3. 已知A 为n 阶方阵,且满足关系式0432
=++E A A ,则()
=+-1
E A ( C )
(A )1
A E -+ (
B )
12E A +
(C ) 1
2
E A -- (D )4A E +
三.计算与证明
1. 求下列方阵的逆阵
(1) 52002
10000120
11??
?
?
?- ???
解:115221A ??= ???,1111225A --??= ?-??,221211A -??= ???,1
22121113A -??= ?-??, 1120
025
001200
33110033A --??
?- ? ?= ?
?
?-
??
?
. (2) 121342541-??
?- ? ?-??
解:2A =, 故1A -存在 . 1
1A A A -*=2101313221671-??
? ?=-- ?
?--??
.
2. 解下列矩阵方程
(1) 2
5461321X -????
=
? ?
????
解:1
25461321X --????= ? ?????35461221--????= ???-????22308-??
= ???
.
(2)211113210432111X -??-??
?= ? ??
? ?-??
解:1
211113210432111X --??-?? ?= ? ??? ?-??2218
2533-??
?= ?-- ???. (3) 0
1010
01431
00001201
00
1010120
X -??????
? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-?
??
??? 解:1
1
010143100100201001001120010X ---??????
? ???=- ? ???
? ???
-??????210134102-?? ?
=- ? ?-?? (4) 设,AX B X +=其中01011111,20,10153A B -????
????=-=????????---????
求.X 解:由,AX B X +=得 ()E A X B -=
故 1().X E A B -=- 而 2
133
12
13
31
1330()10E A -?? ?
-=- ? ?-??
所以 2
1
33
2
13
31
1330113112
020.05
311X --??????
? ? ?=-= ? ? ? ? ? ?---?????
? 3. 设1
P AP -=Λ, 其中1411P --??= ???, 1002-??Λ= ???
, 求11
A .
解:1P AP -=Λ故1A P P -=Λ所以11111
A P P
-=Λ
3P = 1411P *??=
?-??
1141113P -??= ?-?? 而 11
11
1110100202--????Λ== ? ?????
故11
111
41410331102113
3A ?? ?--????= ? ???
- ?????-- ?
??27312732683684??= ?--??
. 4. 设A 为n 阶方阵,并且满足2
20A A E --=, 证明:A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A . 解:由已知得:E E A A =-?
)(21,故A 可逆,且)(2
1
1E A A -=- 又E E A E A 4)3)(2(-=-+, 故E A 2+可逆,且)3(4
1
)
2(1
E A E A --=+-.
5. 设0k
A =(k 为正整数),证明
121()k E A E A A A ---=++++
证明: 由 0k
A =
有 21()()k E A A A E A -++++-
2121k k k E A A A A A A A --=++++---- E =
因此 121
()k E A E A A A --
-=++++
第二章 练习题
1.设A 为4阶方阵,1
,3
A =求134A A *--. 解:1
1
1,3
A A A
A *
--==
11111
343433
A A A A A *----∴-=?-=-
4
13
11
(3)81A =-=?243.=
2. 已知????
? ??--=130210005A ,求1-A .
解: ???
?
??=2211A O O A A 5
1
1
11-
=-A
=???? ??----==
*
-132********
1
22
A A A ??
??
?
?
??-71737271 ∴?
???????
?
?--
=???? ?
?=---717307271000511221
111
A O
O A A 3. 设223110121A ??
?=- ? ?-??
,解矩阵方程E AXA =*(其中*
A 是矩阵A 的伴随矩阵).
解:计算得1-=A ,并且A 可逆 因为A A AA A E E **
===-,
故由已知E AXA =*
得A EA A AXA ==*
所以A AX =-
解得E X -=
解:A BA BA A 61
=--
4. 设三阶矩阵A ,B 满足关系式BA A BA A +=-61
,且131
4
17A ?? ?
=
? ??
?
,求B .
A BA E A 6)(1=--
????
? ??=-=--123)(61
1
E A
B 5. 设A 为n 阶方阵,并且满足2
0A A E +-=, 证明:A 及E A -都可逆,并求1
-A 及1)(--E A . 解:由已知得:E E A A =+?)(,故A 可逆,且E A A +=-1
又E E A E A -=+-)2)((,
故E A -可逆,且)2()(1E A E A +-=-- .
6.设34432022O A O ?? ?
- ?= ? ?
??
, 求8A 及4A . 解: 34432022O A O ?? ?
- ?= ? ?
??
,令13443A ??= ?-?? 22022A ??= ??? 则1
2A O A O
A ??=
???
故8
18
2A O A O A ??=
???8
182A O O
A ??
= ???
8
8
888
16121210A A A A A ===
44
44
14426
450052022O A O A O
A O ??
??? ?==
? ??? ? ??
?
.
7.设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1
O A B O -??
???.
解 : 将1
O A B O -??
???分块为123
4C C C
C ??
???
其中 1C 为s n ?矩阵, 2C 为s s ?矩阵
3C 为n n ?矩阵, 4C 为n s ?矩阵
则n n s s O A B O ????
???
1234C C C C ?? ???E ==n
s E O O E ??
???
由此得到13344111
2
2n s AC E C A AC O C O
BC O C O BC E C B --?=?=?
=?=??=?=??=?=?(A 、B 均可逆)
故 1
11O A O B B O A
O ---????= ? ?
????
.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(一)
一、填空
1. 设A 为n 阶方阵,若有n 阶初等方阵s P P P ,,21,使 ),(),(21B E E A P P P s = ,
8. 设x 为n 维列向量,1=x x T
,令T xx E H 2-=,证明H 是对称阵,且T
HH E =.
证明:因为 H xx E xx E xx E H T T T T T T
=-=-=-=2)(2)2(,所以H 是对称阵.
又 ==2H HH
T
4)2)(2()2(2+=--=-E xx E xx E xx E T T T T T T xx xx xx 4))((-
+=-+=E xx x x x x E T T T 4)(4E xx xx T T =-44
则=-1
A
s P P P 21 .
2. 设A 是34?矩阵,且A 的秩)(A R =2,而???
?
?
??-=301020201B ,则=)(AB R 2 .
3. 设四阶方阵A 的秩)(A R =2,则其伴随矩阵*
A 的秩为)(*A R = 0 .
二.选择
1.从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,则A 、B 的秩的关系为( A )
(A) 1)()()(-≥≥A R B R A R (B) 1)()()(->≥A R B R A R (C) 1)()()(->>A R B R A R (D) 1)()()(-≥>A R B R A R 2.在秩是r 的矩阵中( C ) (A) 没有等于0的1-r 阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式
(C) 等于0的1-r 阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1-r 阶子式等于0
三.计算与证明
1.把矩阵化为行最简形矩阵
??
??
?
??
??---8701111121324321 解:????????
?
??-00
00
31100313010317001 2.用初等变换求解矩阵方程
B AX =,其中???
?
? ??=????? ??---=520321,102123111B A
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2
线性代数(试卷一) 一、 填空题(本题总计20分,每小题2分) 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵,则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设A 为86?的矩阵,已知它的秩为4,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ _2___________. 6. 设A为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ,则=*A 7。若A为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模(范数)______________ 。 10。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题(本题总计10分,每小题2分) 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ,则(D) A.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D .r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ,则=A (A) A.8? B.8- C. 34?? D.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示,则( d ) A.)()(A R B R ≤ B.)()(A R B R < C.)()(A R B R = D.)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ,则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ,B 和C ,则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.1-3每小题8分,4-7每小题9分) 1。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 . 2.设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵,且2 1= A ,求* A A 2)3(1--. 3.求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3(答案略) 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ (正号) (2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- (3)原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8(答案略) 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- (2)按第一列展开: 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
线性代数考试练习题带答案 说明:本卷中,A -1 表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,(βα,)表示向量α与β的内积,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4,则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =( ) A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ,B ,C ,X 为同阶方阵,且A ,B 可逆,AXB =C ,则矩阵X =( ) A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0,则矩阵A -1 =( ) A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量,则( ) A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵,若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则( ) A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 西南大学线性代数作业答案 第一次 行列式部分的填空题 1.在5阶行列式ij a 中,项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2.排列45312的逆序数为 5 。 3.行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 . 4.行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5.行列式25 11 22 14--x 中,x 的代数余子式是 — 5 。 6.计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1.计算三阶行列式 3 811411 02--- 解:原式=2×(—4)×3+0×(—1)×(—1)+1×1×8—1×(—1)× (—4)—0×1×3—2×(—1)×8=—4 2.决定i 和j ,使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解:i =8,j =5。 3.(7分)已知0010413≠x x x ,求x 的值. 解:原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得:x 1=0;x 2=2 所以 x={x │x ≠0;x ≠2 x ∈R } 4.(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解,求λ。 解:()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5.用克莱姆法则求下列方程组: ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解:因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=)(r r r r r r D 所以方程组有唯一解,再计算: 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此,根据克拉默法则,方程组的唯一解是: 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 第一章 行列式 §1 行列式的概念 1. 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ,该排列为 排列。 (2) i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为偶排列,该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中, 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ,含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2. 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解: 该行列式的3!项展开式中,有 项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。 3. 证明:在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。 证明:n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。 4. 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多,则此行列式为0,为什么? 5. n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少? (提示:利用3题的结果) 6. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)2 011 411 8 3 --- (2)2 2 2 1 11a b c a b c 线性代数机算与应用作业题 学号: 姓名: 成绩: 一、机算题 1.利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。 (1)计算A +B ,A -B 和6A (2)计算()T AB ,T T B A 和()100 AB (3)计算行列式A ,B 和AB (4)若矩阵A 和B 可逆,计算1 A -和1 B - (5)计算矩阵A 和矩阵B 的秩。 解 输入: A=round(rand(5)*10) B=round(rand(5)*10) 结果为: A = 2 4 1 6 3 2 2 3 7 4 4 9 4 2 5 3 10 6 1 1 9 4 3 3 3 B = 8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3 (1)输入: A+B 结果为: ans= 10 10 6 10 12 2 4 5 11 12 13 14 9 12 6 10 20 12 1 4 14 9 10 12 6 输入: A-B 结果为: ans = -6 -2 -4 2 -6 2 0 1 3 -4 -5 4 -1 -8 4 -4 0 0 1 -2 4 -1 -4 -6 0 输入: 6*A 结果为: ans = 12 24 6 36 18 12 12 18 42 24 24 54 24 12 30 18 60 36 6 6 54 24 18 18 18 (2)输入: (A*B)' 结果为: ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入: B'*A' 结果为: ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入: (A*B)^100 结果为: ans = 1.0e+270 * 1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.6399 1.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.9499 2.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.4313 2.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.0268 2.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 (3)输入: D=det(A) 结果为: D = 5121 输入: D=det(B) 结果为: 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 线性代数作业提示与答案 作业(1) 一.k x x k x k x -====4321,0,, 二.??? ??? ???==--=++=24 13212 211,757975,767171k x k x k k x k k x 三.1.阶梯形(不唯一):????? ? ???? ??---140 10612 0071210 02301 ,简化阶梯形?????? ? ????? ????- 10000 02 1 100 00 01002 7 01 秩为4; 2.简化阶梯形为单位矩阵. 四.1.其系数矩阵的行列式值为 2 )1)(2(-+λλ(该方程组的系数矩阵为方阵,故可以借助于行列式来判定) 当12≠-≠λλ,时,方程组只有零解, 当2-=λ时,通解为=x ???? ? ?????111k ; 当1=λ时,通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-; 2.?? ?? ???? ??? ???? ? -++-- - -2200123 23012 1211~2 λλλλA , 当2-≠λ时,方程组有唯一解; 当2-=λ时,方程组有无穷解,通解为=x T T k ],,[],,[022111+. 作业(2) 一.1. =x 1,2,3; 2. !)(n n 11-- 3.-120 4. ()() !) 1(2 21n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12 二.1.1; 2.以第二列、第三列分别减去第一列,再把第二列、第三列分别加到第一列上,得到 333 33 32222221 11111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=23 2 3 3221 11c b a c b a c b a 3. 0; (注:行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆,而且计算过程中用的是等号) 4.12 2 2 +++γβα 作业(3) 一.1.c; 2. d ; 3.a 二.1.将第n ,,, 32列都加到第一列上,提出公因子∑=+ n i i a x 1 ,得到(∑=+ n i i a x 1 )1-n x . 2.由第二列起,各列均减第一列,按第二行展开,得)!(22--n . 3.由第1-n 行至第一行,相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上,得到 .)1(0 1 00001011 111 22 1 2) 1(n n n n n n --=-- 4.按第一列展开,得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+ 三.3)(=A R (注:用矩阵的行初等变换化为梯矩阵,数非零行即可.注意矩阵的表 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 华东理工大学 线性代数 作业簿(第七册) 学 院____________专 业____________班 级____________ 学 号____________姓 名____________任课教师____________ 5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1)??????????--=201034011A ; (2)?? ?? ? ?????=122212221A . 解:(1)由 1104301 2|A I |---=---λ λλλ 0)1)(2(2=--=λλ, 解得A 的特征值为: 2,1321===λλλ, 当121==λλ时, 解方程 ()0A I x -=, 由 210101420~012101000A I -???? ????-=-???? ????????, 得基础解系为 ???? ??????-=1211p , 故对应121==λλ的全部特征向量为 )0(1≠k kp ; 当23=λ时, 解方程 0)2(=-x E A , 由 3101002410010100000A I ~-???? ????-=-???? ????????, 得基础解系为 ???? ??????=1002p , 故对应23=λ的全部特征向量为 )0(2≠k kp . 解: (2) 由1222122 2 1|A I |--=--λλλλ 0)5()1(2=-+=λλ, 解得A 的特征值为: 5,1321=-==λλλ, 当12 1==λλ时, 解方程 ()0A I x +=, 由 22211122 2~00022 2000A I ????????+=???? ????????, 得基础解系为 ???? ? ?????-=0111p , ???? ? ?????-=1011p ,故对应121-==λλ的全部特征向量为 )0(212211≠+k k p k p k ; 当53=λ时, 解方程: (5)0A I x -=, 由 4221015242~011224000A I --???? ????-=--???? ????-????, 得基础解系为 ???? ??????=1113p , 故对应53=λ的全部特征向量为)0(3≠k kp . 2. 已知3阶矩阵A 的特征值为2,1,1-,235A A B -=,求B 的特征值. 解: 容易证明, 当λ是A 的特征值时, 则矩阵A 的多项式)(A f 必有特征值)(λf .设235)(A A A f B -==, 则B 有特征值: 4)1(-=f , 6)1(-=-f , 12)2(-=f . 3.设矩阵?? ?? ? ?????=100321z y x A , 且A 的特征值为3,2,1, 求z y x ,,. 解: 0]2))(1)[(1(10 321||=----=---= -x y z y x I A λλλλ λλ λ, 因为A 有特征值为3,2,1得: ???=----=----0 ]2)3)(31)[(31(0 ]2)2)(21)[(21(x y x y , 线性代数试题(附答案) 一、填空题(每题2分,共20分) 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解,且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵,且ο=+-E A A 232,则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基,且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=,若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ,则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵,则λ的取值范围是 。 二、单项选择(每小题2分,共12分) 1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 ( ) A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+( ) A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(( ) A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 ( ) A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题(每小题9分,共63分) 1.计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中 第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1.下列说法正确的是( C ) A.n 元齐次线性方程组必有n 组解; B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解; C.n 元齐次线性方程组至少有一组解,即零解; D.n 元齐次线性方程组除了零解外,再也没有其他解. 2.下列说法错误的是( B ) A.当0D ≠时,非齐次线性方程组只有唯一解; B.当0D ≠时,非齐次线性方程组有无穷多解; C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解,则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解,则0D =. 二、填空题 1.已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解, 则λ= 1 ,μ= 0 . 2.由克拉默法则可知,如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1.832623x y x y +=??+=? 解: 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-, 28212 63 D = =- 所以,125,62D D x y D D = ===- 2.123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解: 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---, 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----, 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以, 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3.21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解: 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=, 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--, 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以, 3121,0,1D D D x y z D D D = ===== 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) ______________________________________________________________________________________________________________ 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 0010 0100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 0011 0000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 11111 3263 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 101 1110 40 3 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). 本次作业是本门课程本学期的第3次作业,注释如下: 一、单项选择题(只有一个选项正确,共8道小题) 1. 设A为n阶方阵,且A2+A?5E=0,则(A+2E)?1=( )。 (A) A?E (B) A+E (C) 1 3 ( A?E ) (D) 1 3 ( A+E ) 正确答案:C 解答参考:A 2 +A?5E=0 ?A 2 +A?2E=3E?( A+2E )(A?E)=3E ?( A+2E ) ?1 = 1 3 (A?E) 2. 若n维向量α 1 ,α 2 ,?, α n 线性相关,β为任一n维向量,则( )。 (A) α 1 , α 2 ,?, α n ,β线性相关; (B) α 1 , α 2 ,?, α n ,β线性无关; (C) β一定能由α 1 , α 2 ,?, α n 线性表示; (D) α 1 , α 2 ,?, α n ,β的相关性无法确定。 正确答案:A 解答参考: 3. 设线性方程组{ 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 ?3 x 2 ?2 x 3 =1 }则此方程组。 (A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 有基础解系 正确答案:A 解答参考: 4. 设n维向量组α1,α2,?,αs,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有。 (A) s= n (B) s< n (C) s> n (D) s≥ n 你选择的答案:[前面作业中已经做正确] [正确] 正确答案:D 解答参考: 5. 设α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量,且4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a ,| γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ,则4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |= (A) a+b (B) ?a?b (C) a?b (D) b?a 正确答案:C 解答参考: 6. 设B,C 为4阶矩阵,A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ,且α 1 , α 2 , α 3 是线性方程组Ax=0 的解,则它们是 (A) 基础解系 (B) 线性相关的 (C) 线性无关的 (D) A,B,C都不对 你选择的答案:[前面作业中已经做正确] [正确] 正确答案:B 解答参考: 7. 设n维列向量α= ( 1 2 ,0,?,0, 1 2 ) T ,矩阵A=I?α α T ,B=I+2α α T ,则AB= (A) 0 (B) ?I (C) I (D) I+α α T 正确答案:C 解答参考: 8. 设矩阵A m×n的秩r(A)=m<,下述结论中正确的是> (A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 齐次方程组Ax=0只有零解 (D) 齐次方程组Ax=0只有零解 你选择的答案: D [正确] 正确答案:D 解答参考: 二、判断题(判断正误,共5道小题)西南大学线性代数作业答案
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第二学期线性代数第3次作业