确定二次函数的表达式
2.3 确定二次函数的表达式 学习目标: 经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究． 学习重点: 能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题． 学习难点: 用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误． 学习过程: 一、做一做： 已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规 律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式, 你能得出什么结论?与同伴交流. 二、试一试： 两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗? 表示方法优点缺点 解析法 表格法 图像法 三者关系 【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围． 【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大． （4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
二次函数表达式三种形式练习题
二次函数表达式三种形式 一．选择题（共12小题） 1．（2015?永春县校级质检）把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（） A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1 2．（2014?XX模拟）将y=（2x﹣1）?（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（）A．B． C．D． 3．（2015秋?XX校级期中）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（） A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x2 4．（2015秋?XX校级月考）一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4 5．（2015秋?禹城市校级月考）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
6．（2014秋?岳池县期末）顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（） A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2 7．（2014秋?招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（） A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4 8．（2013秋?青羊区校级期中）若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2 9．（2013秋?江北区期末）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（） A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10．（2014?XX县校级模拟）如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的 值等于（） A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14 11．（2015?XX模拟）二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125B．4 C．2 D．0 12．（2015?宜城市模拟）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（） A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣
二次函数表达式三种形式的联系与区别
二次函数表达式三种形式的联系与区别 二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。 一、一般式：)0(2≠++=a c bx a y x 优点：二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c ，三系数一目了然。 缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴 二、顶点式：)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y b a b x 优点：很容易看出顶点坐标和对称轴 缺点：不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 三、交点式：))((2 1x x x x a y --= 优点：很容易看出图像与x 轴的交点坐标（x 1，0）和（x 2 ，0） 缺点：（1）不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 （2）当图像不与x 轴相交时，此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 （1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理） a ac a a ac a a c a x a b a x a b a x a b a c bx a y b a b x b a b x a b a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++ =+ =++=++（
（2）顶点式转化为一般式 展开整理即可 c bx a a ac bx a a ac a bx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b x b a b x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2( （3）交点式转化为一般式 展开，利用韦达定理整理可得 二次函数)0(2≠++=a c bx a y x 与x 轴有两交点（x 1，0）和（x 2，0） 则x 1 和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ] )([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得： a c a b x x x x =-=+2121 代入得： c bx a a c x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([] )([ 三种表达式视情况而定； （1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示； （2）知道顶点坐标，常用顶点式来表示； （3）如果知道图像与x 轴的交点坐标，常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。
二次函数的四种表达式求法推导
二次函数的四种表达式求法推导 （1）如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为c bx ax y ++=2 ，把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a 、b 、c 。 （2）二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为（h ，k ），则二次函数的表达式为： k h x a y +-=2)( 推导如下： a b ac a b x a a b ac a b x a a c a b a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 44)2(]44)2[(] 4)2[(] )2()2([)(2 22 2 222222222-+ +=-++=+-+=+-++=++ =++= 则a b a c k a b h 44,22 -=-= 顶点式的变形： 设二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像交x 轴于点A ),(1o x 和B )0,(2x ，则a b x x - =+21 ，a c x x = ?21 点A 、B 的距离为d ， a ac b a ac b a c a b x x x x x x x x d 444)(4)()(22222 12212 1212-= -=--=?-+=-=-= 2 2222 22222222224 1 )2(]41)2[(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(ad a b x a d a b x a a ac b a b x a a c a b a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y -+=-+=--+=+-+=+-++=++ =++= 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：)]()[(00d x x x x y +--= （3）二次函数两根式：如果二次函数的图像与x 轴交于点)0,()0,.(21x x 和，则二次函数的表达式为：
确定二次函数的表达式习题
确定二次函数的表达式习 题 Final revision on November 26, 2020
5.5确定二次函数的表达式 一．选择题： 1．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（） A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32(1)x +－2 2．已知二次函数y ax bx c =++2的图象过点（1，－1），（2，－4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（） A ．x =-3 B ．x =-1 C ．x =1 D ．x =3 3．一个二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（） A ．y x x =--+222 B ．y x x =-+222 C ．y x x =-+221 D ．y x x =--222 4．已知：抛物线y x x c =-+26的最小值为1，那么c 的值是（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 二．填空题： 5．已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是 6．对称轴是x =-1的抛物线过点M （1，4），N （－2，1），这条抛物线的函数 关系式为________________. 7．已知二次函数y x bx c =++2的图象过点A （1，0），B （0，4），则其顶点坐 标是________________. 8．已知二次函数，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，它有最大值－1，则其函数 关系式为________________. 9．抛物线y x =-+382向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是___________. 三．解答题： 10．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（―1，―2），且过点（1，10） 11．根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10); (2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).
求二次函数的表达式练习题(含答案)
二次函数的表达式 一、选择题 1.函数y =21 x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 =21(x －1)2+2 =21(x －1)2+21 =21(x －1)2－3 =21 (x +2)2－1 2.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都 A.在y =x 直线上 B.在直线y =－x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上 4.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2 +n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是 个 个 个 个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中 A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1) 图3 6.下列说法错误的是 A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0 B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大 C.在三条抛物线y =2x 2，y =－，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小 D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是 A.43 B.－43 C.45 D.－45 8.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21 ，y 2)， (－321 ，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为 >y 2>y 3 >y 3>y 1 >y 1>y 2 >y 2>y 1 二、填空题 9.抛物线y =21 (x +3)2的顶点坐标是______. 10.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______. 11.函数y =34 x －2－3x 2有最_____值为_____. 12.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______. 13.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______. 三、解答题 14.根据已知条件确定二次函数的表达式
(一)-求二次函数的表达式
专题训练(一) 求二次函数的表达式 ? 类型一 设一般式求二次函数表达式 若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 1．如图1－ZT －1，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点B (0，－2)，它和反比例函数y ＝－8 x 的图象相交于点A (m ，4)，则这个二次函数的表达式为( ) 图1－ZT －1 A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝x 2－x ＋2 C ．y ＝x 2＋x －2 D ．y ＝x 2＋x ＋2 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的变量x 和变量y 的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 0 1 5 … y … 7 －5 －8 －9 7 … (1)求此二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的顶点坐标和对称轴． 3．已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (2，－3)，C (0，－3)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设D 是抛物线上的一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积． ? 类型二 设顶点式求二次函数表达式 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式：y ＝a (x －m )2＋k (a ≠0)，其中点(m ，k )为抛物线的顶点坐标，对称轴为直线x ＝m .
4．若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)，则该二次函数的表达式是( ) A ．y ＝－(x －2)2－1 B ．y ＝－1 2(x －2)2－1 C ．y ＝(x －2)2－1 D ．y ＝1 2 (x －2)2－1 5．已知二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x ＝3时，有最大值4.求该二次函数的表达式． 6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和x 轴交于点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，顶点M 到x 轴的距离为2，求此抛物线的函数表达式． 7．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离为1，求抛物线的函数表达式． 8．如图1－ZT －2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为(3，0)，顶点C 的坐标为(1，4)． (1)求二次函数的表达式和直线BD 的表达式； (2)P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长的最大值． 图1－ZT －2 ? 类型三 设交点式求二次函数表达式 若给出抛物线和x 轴的交点，通常可设交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2 是抛物线和x 轴的交点的横坐标． 9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状大小、开口方向均和抛物线y ＝－2x 2相同，则该抛物线的函数表达式为( ) A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6
二次函数的四种表达式求法推导
爱上数学 提高素养 二次函数的四种表达式求法推导 整理于 2018.4.18 夜 (1)如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为 y = ax 2 + bx + c ，把已知三点坐标代入其中构造 三元一次方程组求 a 、b 、c 。 (2)二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则二次函数的表达式为： y = a ( x - h )2 + k 推导如下： y = ax 2 + bx + c = a (x 2 + b x + c ) aa = a [x 2 + b x + ( b )2 - ( b )2 + c ] a 2a 2 a a b 2 4a c - b 2 = a ( x + ) + 2a 4a 顶点式的变形： 设二次函数y =ax 2 + bx + c (a 0)的图像交 x 轴于点 A (x 1,o ) 和 B (x 2,0)，则 x 1 +x 2 =-b ， 1 2 1 2 a c x 1 ? x 2 = a 点 A 、B 的距离为 d ， =a (x + 2a ) -4ad 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：y =(x -x 0)[x -(x 0 +d )] a [(x + b )2 - b 2 + 2a 4a 2 c ] a =a [(x + 2a ) + 4ac - b 2 4a 2 4ac - b 2 4a d = x 2-x 1 = (x 2 - x 1) = (x 1 + x 2)2 -4x 1 ?x 2 = (-b )2 -4c aa y = ax 2 + bx + c = a (x 2 + b x + c ) aa b 2 - 4ac a 2 b 2 - 4ac = a [x 2 + b x + ( b )2 -( b )2 + c ] a 2 a 2 a a = a [(x + b )2 - b 2 + c ] 2a 4a 2 a b 2 b 2 - 4ac =a [(x + )2 - 2 ] 2a 4a 2 = a [(x + b )2 - 1 d 2 ] 2a 4 2a
《确定二次函数的表达式》习题
5.5确定二次函数的表达式 一．选择题： 1．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32(1)x +－2 2．已知二次函数y ax bx c =++2的图象过点（1，－1），（2，－4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（ ） A ．x =-3 B ．x =-1 C ．x =1 D ．x =3 3．一个二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（ ） A ．y x x =--+222 B ．y x x =-+222 C ．y x x =-+221 D ．y x x =--222 4．已知：抛物线y x x c =-+26的最小值为1，那么c 的值是（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 二．填空题： 5．已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是 6．对称轴是x =-1的抛物线过点M （1，4），N （－2，1），这条抛物线的函数关系式为________________. 7．已知二次函数y x bx c =++2的图象过点A （1，0），B （0，4），则其顶点坐标是________________. 8．已知二次函数，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，它有最大值－1，则其函数关系式为________________. 9．抛物线y x =-+382向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是___________. 三．解答题： 10．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（―1，― 2），且过点（1，10） 11． 根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10);
《确定二次函数的表达式》习题
5.5确定二次函数的表达式 一．选择题： 1．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（） A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32(1)x +－2 2．已知二次函数y ax bx c =++2的图象过点（1，－1），（2，－4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（） A ．x =-3 B ．x =-1 C ．x =1 D ．x =3 3．一个二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（） A ．y x x =--+222 B ．y x x =-+222 C ．y x x =-+221 D ．y x x =--222 4．已知：抛物线y x x c =-+26的最小值为1，那么c 的值是（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 二．填空题： 5．已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是 6．对称轴是x =-1的抛物线过点M （1，4），N （－2，1），这条抛物线的函数关系式为________________. 7．已知二次函数y x bx c =++2的图象过点A （1，0），B （0，4），则其顶点坐标是________________. 8．已知二次函数，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，它有最大值－1，则其函数关系式为________________. 9．抛物线y x =-+382向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是___________. 三．解答题： 10．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（―1，― 2），且过点（1，10） 11．根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10); (2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).
九年级下册《确定二次函数的表达式》随堂练习
2.3 确定二次函数的表达式 1. 抛物线y=a（x﹣1）2+4经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式。 2..已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．求抛物线的解析式 3..已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．求抛物线的解析式。 4. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．求抛物线的函数表达式。 5.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=，求抛物线的解析式。 6. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B、C．求抛物线的解析式。
参考答案： 1. 抛物线y=a（x﹣1）2+4经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式。 分析：将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式； 解：（1）将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4， 解得：a=﹣1， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； 2.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．求抛物线的解析式分析：根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），再整理即可， 解答：解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）． ∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1）， 即y=﹣x2+2x+3， 3.已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．求抛物线的解析式。 分析：由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可． 解答：解：∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0）， 根据题意，得， 解得， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． 4. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．求抛物线的函数表达式。 分析：把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解和设交点式（两点式）解答均可．； 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
二次函数表达式的确定方法
3、求二次函数关系式 一．选择题（共8小题） 1．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（） A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0 2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（） A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜0 3．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（） A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0 4．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＞0 5．抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（） A．±1 B．0 C．1 D．﹣1 6．（已知点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（） A．﹣1 B．1 C．±1 D． 7．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（）A．y=（x+1）2+1 B．y=（x+1）2﹣1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1 8．将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）
二．填空题（共6小题） 9．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是_________．10．如果二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m=_________． 11．若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a_________b．（填“＞”“＜”或“=”）． 12．已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是_________． 13．抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为_________． 14．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为_________．三．解答题（共8小题） 15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．（1）求平移后抛物线的解析式； （2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积． 16．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点． （1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标． 17．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式． 18．已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式． 19．已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积． 20．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．
二次函数的四种表达式求法推导
二次函数的四种表达式求法推导 整理于2018.4.18夜 （1）如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为c bx ax y ++=2，把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a 、b 、c 。 （2）二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为（h ，k ），则二次函数的表达式为： k h x a y +-=2)( 推导如下： a b a c a b x a a b ac a b x a a c a b a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 44)2(] 44)2[(] 4)2[(] )2()2([) (2 222 222222222-++=-++=+-+=+-++=++=++= 则a b ac k a b h 44,22 -=-= 顶点式的变形： 设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像交x 轴于点A ),(1o x 和B )0,(2x ，则a b x x -=+21 ，a c x x =?21 点A 、B 的距离为d ， a ac b a ac b a c a b x x x x x x x x d 444)(4)()(2222212212121 2-=-=--=?-+=-=-= 2 22 22222222222241 )2(] 41)2[(] 44)2[(]4)2[(] )2()2([) (ad a b x a d a b x a a ac b a b x a a c a b a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y -+=-+=--+=+-+=+-++=++=++= 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：)]()[(00d x x x x y +--=
确定二次函数表达式
第二章二次函数 2.3 确定二次函数的表达式（一） 一、学生知识状况分析 学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识。并初步具备了敢于探究与实践，乐于合作交流，善于总结提升的良好习惯，自主学习的愿望强烈，主动发展的意识浓厚。 二、学习任务分析 本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点。本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，同时还要启迪学生的思维，引导和规范学生学习。 三、教学目标 1、知识目标： 经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。 2、技能目标： 会用待定系数法求二次函数的表达式。 3、情感目标： 能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，加强学生的理想教育，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，真正实现“和谐高效、思维对话”，培养数学的应用意识。 四、教学过程 本节课设计了六个教学环节：第一环节：小组讨论,引入课题；第二环节：问题思考；第三环节：合作学习；第四环节：巩固提高；第五环节：我的收获． 环节一：小组讨论,引入课题
如图 2-7 是一名学生推铅球时，铅球行进高度 y （m ）与水平距离 x （m ）的图象，你能求出其表达式吗？ 解：设函数表达式为：y ＝a(x-h)2＋k ，由图象得顶点是(4，3)。 则y ＝a(x-4)2＋3，图像经过点(10，0)，故0＝a(10-4)2＋3，a=12 1- 所以函数表达式为y ＝121- (x-4)2＋3 观察图象可得该表达式是一个二次函数，已知二次函数顶点坐标（4,3）和与x 轴交点（10,0）。联系之前所学二次函数顶点式方程y ＝a(x-h)2＋k 。其顶点坐标为（h ，k ），此时若已知顶点坐标与函数上除顶点为任意一点坐标，将它们代入方程y ＝a(x-h)2＋k ，则得到关于a 的一元一次方程，解出该方程，记得到题目所要求的函数表达式。 环节二：问题思考 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流. 让学生自行阅读课本42页例一和做一做，结合推铅球题目，思考确定二次函数的表达式需要几个条件，再与小组组员进行讨论。 学生可能得到的结果： 1、由刚刚题目得到已知二次函数顶点和除顶点外任意一点的坐标可以确定二次函数的表达式。 2、已知二次函数c ax y +=2上任意两点坐标，可求出该二次函数表达式。 3、已知二次函数与 y 轴交点的纵坐标，以及二次函数上任意两个点的坐标，可求出这个二次函数的表达式． 4、二次函数表达式c bx ax y ++=2有三个待定系数a ，b ，c ，如果有三个点的坐标代入表达式，则有关于待定系数a ，b ，c 的三个等式，由此可以解出a ，b ，c 的值，从而确定二次函数的表达式。 （此处学生总结出前三条即可，第四条不要求学生一定能总结出来） 环节三：合作学习 例一：已知二次函数 c ax y +=2 的图象经过点（2，3）和（-1，-3），求出 这个二次函数的表达式.
