微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富_钮海习题解答
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +
=),(，求)
,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y
x
xy y x f +
=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(
2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=
)
,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?=
3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22
-+-=y x y x f
（2）;)
1ln(4),(222y x y x y x f ---=
（3）;1),(22
2222c
z b y a x y x f ---=
（4）.1),,(2
2
2
z
y x z y x z y x f ---++=
解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D
（2）
{
y y x y x D ,10),(22<+<=
（3）
????++=),(2
2222b y a x y
x D
（4）{}
1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D
4．求下列各极限： （1）2
21
01lim
y x xy y x +-→→=11
00
1=+- （2）2ln 0
1)1ln(ln(lim
02
2
)0
1=++=
++→→e y
x e x y y x
（3）41
)42()42)(42(lim 42lim
000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x
（4）2)
sin(lim )sin(lim
202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x
5．证明下列极限不存在：
（1）;lim 0
0y
x y x y x -+→→ （2）22
22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim
00
20-=-+=-+→→=→x x x
x y x y x x x y x ；
如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim
00
20==-+→→=→y y
y x y x y y x y
x
所以极限不存在。
（2）证明： 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0(
则1lim )(lim 44
0222220
0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 2440222220
20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点：
（1）x
y x
y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。
解 （1）为使函数表达式有意义，需02≠-x y ，所以在02=-x y 处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。 习题1—2 1．（1）x
y
y x z +=
21x y y x z -=??；21y
x x y z -=??. (2)
)]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x
z
-=-=?? )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y
z
-=-=?? (3)
121)1()1(--+=+=??y y xy y y xy y x
z
, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y 求偏导得
,1)1ln(1xy
x
y xy y z z +++=?? ]1)1[l n ()1(]1)1[l n (xy
xy xy xy xy xy xy z y z
y ++++=+++=??; (4))(221332
3y x x y x x
y x x y
x z +-=+-
=??,
;1
13
2
2y x x y x x y
z +=
+=??
(5)x x z
y z u
x x z y u x z y x u z y
z y z y
ln ,ln 1,21-=??=??=??-; (6)z
z y x y x z x u 21)(1)(-+-=??-, z z y x y x z y u
21)(1)(-+--=??-, z
z y x y x y x z u 2)
(1)
ln()(-+--=??; 2.(1)
0,1,0,,=====yy xy xx y x z z z x z y z ;
(2) ),(2sin ),(2sin by ax b z by ax a z y x +=+=
)(2cos 2),(2cos 2),(2cos 222by ax b z by ax ab z by ax a z yy xy xx +=+=+=.
3 2
222,2,2x yz f z xy f xz y f z y x +=+=+=,,2,2,2z f x f z f yz xz xx ===
0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0(=-==yz xz xx f f f .
4
)2
(2cos ),2(2cos 2),2(2sin ),2(2sin 2t
x z t x z t x z t x z tt xt t x --=-=-=--=
0)2
(2cos 2)2(2cos 22=-+--=+t
x t x z z xt tt .
5.(1) x y
x e x y z 2-=, x y y e x z 1=,=dz +-dx e x
y x y 2 dy e x x y
1
;
(2) )ln(21
22y x z +=
,2
2y x x z x +=,22y x y z y
+=,dy y x y dx y dz 2222x x +++=; (3)2
222)(1y x y x y x y z x +-=+-
= , 222)
(11
y x x x
y x z y +=+= ,22y x xdy ydx dz ++-=;
(4) ,1
-=yz x yzx
u x zx u yz y ln =,x yx u yz z ln =, =du xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1++-.
6. 设对角线为z,则,22y x z +=
2
2
y
x x z x +=
,2
2
y
x y z y +=
, =
dz 2
2
y
x ydy xdx ++
当1.0,05.0,8,6-=?=?==y x y x 时,2
2
8
6)
1.0(805.06+-?+?=
≈?dz z =-0.05(m).
7. 设两腰分别为x 、y,斜边为z,则,22y x z +=
2
2
y
x x z x +=
，2
2
y
x y z y +=
, =
dz 2
2
y
x ydy xdx ++,
设x 、y 、z 的绝对误差分别为x δ、y δ、z δ,
当1.0,1.0,24,7=≤?=≤?==y x y x y x δδ时, 2524722=+=z
2
2
24
71
.0241.07+?+?≤
≤?dz z =0.124,z 的绝对误差124.0=z δ
z 的相对误差
≈?z z %496.025
124.0=. 8. 设内半径为r ，内高为h ，容积为V ，则
h r V 2π=,rh V r π2=,2r V h π=,dh r rhdr dV 22ππ+=,
当1.0,1.0,20,4=?=?==h r h r 时,
)(264.551.0414.31.020414.3232cm dV V =??+????=≈?.
习题1—3
1.
=??+??+??=dx
dz z f dx dy y f dx dx x f dx du ++2)(1z xy z y +?+ax ae z xy z x
2)
(122
)(1z xy z xy +-)1(2+?ax a =222)]1(2[y x z ax axy axz z y ++-+=ax
ax e
x ax x a e ax 22422)1()
1()1(++++. 2.x f x f x z ????+????=??ηηξξ=443
222
4arcsin 11y x x y x x
+?+----ξξη=
)
)(1()ln(1arcsin 42
2
2
2
444
4
2
23y x y x y x x y
x y x x +--+-
+--
y f y f y z ????+????=??η
ηξξ=443
2224arcsin 11y x y y x y
+?+----ξξη=)
)(1()ln(1arcsin 42
2
2
2
444
42
23y x y x y x y y x y x y +--+-
+--.
3. (1)
x
u ??=212f ye xf xy +, y u ??=212f xe yf xy
+-.
(2)
x u ??=11f y ?, y u ??=2121f z f y x +?-,z u
??=22f z
y ?-.
(3)
x
u
??=321yzf yf f ++,y u ??=32xzf xf +,z u ??=3xyf .
(4)
x u ??=3212f yf xf ++y u ??=3212f xf yf ++,z u
??=3f .
4 .(1)
1yf x
z
=??,21f xf y z +=??, ()112
1112
2f y y f y x f y x
z =?=??=??, ()12111121111112)(yf xyf f f x f y f y
f y f yf y y x z ++=+?+=??+=??
=
???, ()2212112
2221121121212
22)(f xf f x f x f f x f x y f y f x f xf y y
z ++=+?++?=??+??=+??=??(2)
2122xyf f y x
z
+=??,2212f x xyf y z +=??, ()
x f xy yf x f y xyf f y x
x z ??++??=+??=??22
1
221222222 22
2
2
123
114
2222212122112442)2(22)2(f y x f xy f y yf xy f y f xy yf xy f y f y +++=?+?++?+?=.
()
y
f xy xf y f y yf xyf f y y y x z ??++??+=+??=???22121212
22222
12
2
2
223
113
21222212212112152222)2(22)2(2f y x yf x f xy xf yf x f xy f xy xf x f xy f y yf ++++=?+?++?+?+=
()
y f x y f xy xf f x xyf y y
z ??+??+=+??=??2
2112212
2222 22
4
123
112
2
1222212212111442)2()2(22f x yf x f y x xf x f xy f x x f xy f xy xf +++=?+?+?+?+=
5 y
u
x u t y y u t x x u t u y u x u s y y u s x x u s u ??+
??-=????+????=????+??=????+????=??2123,2321
, 222)(4323)(41)(
y u y u x u x u s u ??+????+??=??,222)(4123)(43)(y
u y u x u x u t u ??+????-??=??, 2222)()()()(
y
u x u t u s u ??+??=??+??∴. 6 (1) 设)
(),,(z y x e
z y x z y x F ++--++=, )(1z y x x e F ++-+=,)
(1z y x y e F ++-+=,
)(1z y x z e F ++-+=,
1-=-=??z x F F x z ,1-=-=??z
y F F y z
xz
y x y x z
y x y
x z y
x x F y
x z y x z z y x F x 2))(21
(sec tan
,
tan ),,()2(2
3
222
22
222
2
2
2
2
2
22---------
=---=设
=222
2
2
2
tan
y
x xz
y
x z y
x x -+
---
2
2
2
sec y
x z -,
)2())(21(sec tan
23
2
22
22
222
22
2yz y x y x z
y x y x z y x y F y --------=
- =
222
2
2
2
tan
y x yz y
x z y
x y --
--2
2
2
sec
y
x z -,
-
=1z F 2
2
2
22sec y
x z
y x --2
21
y
x -=2
2
2
tan
y
x z --,
=??x z 2
222
22222csc cot y
x z y
x xz
y x z y x x F F z x --+---=-,
=??y z .csc
cot
2
2
2
2
22
2
2
2
y
x z y x yz y
x z y
x y F F z
y ---
--=-
(3) 设xyz z y x z y x F 22),,(-++=,x yz F x -
=1 y
xz
F y -
=2z
xy F x -=1, =??x
z
z x F F -=
xy
xyz xyz yz --,=??y z
z y F F -=xy
xyz xyz xz --2.
(4) 设y z z x y z z x z y x F ln ln ln ),,(+-=-=
,y F z F y x 1,1==z z
x F z 12--=, =??x z z x z F F z x +=-,=??y z )
(2
z x y z F F z y +=-, 7.设)32sin(232),,(z y x z y x z y x F -+--+=,),32cos(21z y x F x -+-=
)32cos(42z y x F y -+-=,)32cos(63z y x F z -++-=,
∴
=??x z
31=-z x F F ,=??y z 3
2=-z y F F ,
∴
+
??x z =??y
z
1. 8.设2121,,),,(),,(φφφφφb a F c F c F bz cy az cx z y x F z y x --===--=,
=??x z
211φφφb a c F F z x +=-,=??y z ,2
12φφφb a c F F z y +=- ∴ +??x
z
a
c y z b =??. 9. (1)方程两边同时对x 求导得
?????=+++=,
0642,22dx dz
z dx dy y x dx dy y x dx dz 解之得???????+=++-=1
3,)13(2)16(z x dx dy z y z x dx dy
(2) 方程两边同时对z 求导得
??
???=++=++0
222,01z dz dy y dz dx
x dz dy
dz dx 解之得
???????--=--=.,y
x x
z dz
dy y
x z
y dz dx
(3) 方程两边同时对x 求偏导得
??
??
???+??-??=??+??+??=,s i n c o s 0,c o s s i n 1x v v u v x u x u e x v v u v x u x u e u u 解之得???????+--=??+-=??.]
1)cos (sin [cos ,1)cos (sin sin v v e u e v x v v v e v x u u u
u 同理方程两边同时对y 求偏导得
?????????+??-??=??+??+??=,s i n c o s 1,c o s s i n 0y v v u v y u y u e y
v v u v y u y u e u u 解之得???????+-+=??+--=??.]
1)cos (sin [sin ,1)cos (sin cos v v e u e v x v v v e v x u u u
u
习题1－4
1． 求下列函数的方向导数
o
P l
u ??
（1）()()2,1,1,0,1,1,3202
2-=++=l P z y x u
解：
220
==??P P x
x
u
440
0==??P P y
y
u
060
==??P P z
z
u
)62,61,6
1(0-
=l
.6
2)6
1(*46
1*
20
-=-+=??∴
P l
u
（2）);1,1,2(),1,1,1(,)(0-==l P x
y u z
解：
,1)()(0
21-=-=??-P z P x y x y z x u
,1)1()(0
1==??-P z P x
x y z y
u
,0)l n ()(0
==??P z P x
y x y z
u
)61,6
1,
6
2(
-
=l
.6
16
1*16
2*)1(0
-=+-=??∴
P l
u
（3）l P y x u ),1,1(),ln(02
2+=与ox 轴夹角为
;3
π
解：
,120
022=+=
??P P y x x x u
,120
02
2=+=
??P P y x y y
u
由题意知,3
πα=
则,6
πβ=
)2
3
,
21()6
c o s ,3(c o s 0
==π
πl .2
3123*121*
10
+=+=??∴
P l
u （4）.),14,4,9(),2,1,5(,1010P P l P P xyz u ==
,20
==??P P yz
x
u
,100
0==??P P xz
y
u
,50
==??P P xy
z
u
),12,3,4(=l ),13
12
,133,134(0=∴l
.13
981312*5133*10134*20
=++=??∴P l u
2． 求下列函数的梯度gradf
（1）);(cos()sin(),(2
2
xy y x y x f +=
解：
,*)sin()2(*)cos(222y xy xy y x x
f
-=??
),2(*)sin(*)cos(222xy xy x y x y
f
-=?? (=∴g r a d f )s i n ()c o s (22
2
2
xy
y y x xy -,)sin(2)cos(2
2
2
xy xy y x x -) (2).),(y
x
e x
y y x f =
解：),1(11)(2x y e x y e x y e x
y x f y x
y x y x -=+-=??
),11()(12y x e y
x e x y e x y f y x
y x y x -=-+=?? (=∴gradf )1(1x y e x y x
-，)1
1(y
x e y x
-）
。 3． 一个登山者在山坡上点)4
3
,1,23(--
处，山坡的高度z 由公式2225y x z --=近似，其中x 和y 是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。 解：
,32)4
3
,1,23()4
3,1,23(=-=??-=-=x
x z
,44)4
3
,1,23()4
3
,1,23(=-=??-=-=y
y
z
∴按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。
4． 解：
)21)(1(),21)(1(y x x y
T
x y y x T --=??--=?? 沿方向)16
1,91()3
1
,41(--=-gradT
5． 解：设路径为)(x f y =，在点),(y x 处)8,2(y x gradT --=
)(x f y =在),(y x 点的切向量为),
1(dx
dy =τ g r a d T 平行于切向量
τy
dy
x dx 82,-=
-∴4cx y =? 因为过4
2),2,1(x y -=∴
习题1-5
1、求曲线2,1,1t z t
t y t t x =+=+=
在对应于1=t 点处的切线及法平面方程。 解：当1=t 时，1)1(,2)1(,21
)1(===z y x ，
}2,1,41
{}2,)1(,)1(1)1(1{)}1(),1(),1({1
2
2''')1,2,2
1
(-=+-+?-+?===t t t t t t t t z y x 故所求切线方程为：
21124121-=--=-z y x ，即: 8
142121-=--=-z y x 法平面方程为：0)1(2)2()2
1
(41=-+---z y x 即: 11682=+-z y x
2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程
（1）?????=+=+2
22
222z y y x 在点)1,1,1( 解 ：将方程两端对x 求导，得
???????=+=+022022dx dz z dx dy y dx dy y x ???????=-=?z x dx dz y x dx dy 在)1,1,1(M 处)1,1,1(-=T 故所求的切线方程为：11
1
1-=--=-z y x 法平面方程：1=+-z y x
（2）???=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-
解法1：将方程两端对x 求导，得
??????
?=++=?+?+010222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x ????????-=+-=?+?1dx
dz dx dy x dx
dz z dx dy
y 当01
1≠-==
x y z y J 时，有
z y x z z x J dx dy --=--?=111，z
y y
x x y J dx dz --=
--?=111
}1,0,1{,,1,,1)
1,2,1()1,2,1()
1,2,1-=??
????----=???
???=---z y y x z y x z dx dz dx dy 故所求的切线方程为：???
??=+-=--0
211
11y z x
法平面方程：0)1()2(0)1(=-++?+--z y x 即：0=-z x
解法2：将方程组两端求微分：得???=++=++00
222dz dy dx zdz ydy xdx
∴曲线在点)1,2,1(-处的切向量为
3. （题略）
解：（1）令 F （x ，y ，z ）=arctg
x y -z, )(,2
1)(,21)(0'0'0'
P F P F P F z y x =-== -1，曲面在点P 0的切平面方程为：-0)4)(1()1(21)1(21=--+-+-πz y x ，即： x - y - 2z -2
π
=0；
法线方程为：
142
11211--
=-=--π
z y x ，即：2
41111π
-=--=-z y x ；
（2）令z
x
y z z y x F ln ),,(--=
则x F x 1-=，1-=y F ，z
F z 1
1+=
曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：}2,1,1{+--=n
故所求的切平面方程为：0)1(2)1()1()1()1(=-+-?-+-?-z y x 即： 02=-+z y x 法线方程为：
2
1
1111-=
--=--z y x
（3）令F （x ，y ，z ）=2z
x +2z
y -8，)(,2ln 4)(,2ln 4)(0'
0'
0'
P F P F P F z y x -===-
16ln2，曲面在点P 0的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0，
即：x-y-4z=0，法线方程为：
2ln 1612ln 422ln 42--=-=-z y x ，即：4
1
1212--=-=-z y x
4、解：y x x z +=??1
，y x y z +=??1 }3
1,31{}1,1{)2,1()2,1(=++=?∴y x y x z 又∵抛物线x y 42=在(1,2)点处的切线斜率为：
1)
2,1(=dx dy
∴抛物线x y 42=在(1,2)点处偏向x 轴正向的切线方向为}1,1{,1)2,1(=??
?
???????=dx dy T
∴???
???=21,210T
??
???????????=21,2131,31)2,132626
2=+= 习题1-6
1（题略）. 解：由 ,024=-=??x x
f
024=--=??y y f ,有 x=2, y=-2, 即P 0(2, -2)为 f(x,y) 的驻点,
又,2,0,22222
2-=??=???-=??y
f
y x f x f D （P 0）=4>0,)(022P x f ??=-2 故P 0 (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8.
2（题略）.
解：由 ????
???+-=??--=??01862039632
令令x y y
f y x x f 有???=+-=--09301322x y y x 驻点：(5,6)和)6,1(-
x x f 622=?? 222=??y
f
62-=???y x f ()0243612)
6(26)
6,5()
6,5(2)6,5(>=-=--?=?x x ，而306)6,5()
6,5(2
2==??x x
f
∴),(y x f 在点(5,6)取得极小值88)6,5(-=f 又∵()0243612)6(26)6,1()
6,1(2
)6,1(<-=-=--?=?---x x
∴),(y x f 在点)6,1(-不取得极值
3、求22y x z -=在闭区域4422≤+y x 上的最大值和最小值
解：由???????=-=??==??0202y y
z x x
z
，得唯一驻点(0,0)
又∵在边界442
2
=+y x 即椭圆14
22
=+y x 上,22254y y x z -=-= 1),1(-∈y
由
0)
54(=-dy
y d ，得驻点：)1,1(0-∈=y ∴所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1) 相应的函数值为： 0 4 4 -1 -1 4、求抛物线2x y =和直线02=--y x 之间的最短距离。
解：设P(x ,y )为抛物线2x y =上任意一点，它到直线02=--y x 的距离为
2
2
--=
y x d ，d 最小当且仅当2d 最小
此问题即是求22)2(2
1
--=y x d 在条件x y =2下的最小值。 解法1（用拉格朗日乘数法） 设)()2(2
1
22x y y x L -+--=
λ 由???
??
?
???-=+-?--?=-?--?=0
0)1()2(2210
21)2(2212令令令x y L y x L x y x L y x λλλ，即?????=-=++-=---00202)21(2x y y x y x λλ得唯一驻点)41,21(
故由实际问题知抛物线2x y =和直线02=--y x 之间的最短距离在在，为：
8
2
7)4
1,21(min =
=d d 解法2（转化为无条件极值）
设抛物线2x y =上点),(2x x P ，它到直线02=--y x 的距离为
2
2
2
2
2--=
--=
x x y x d
∵d 最小当且仅当222)2(2
1
--=x x d 最小
设22)2(21
)(--=x x x f
∴0)21()2()(2令x x x x f -?--=' ?唯一驻点2
1=
x )2(2)21()2()2()21()21()(222+-+-=-?--+-?-=''x x x x x x x x f
[]
02
7
)
2(2)21()2
1
(2
122>=
+-+-=''x x x f ∴当2
1
=
x 时，)(x f 有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（∵唯一驻点） ∵2
122
12
2
--=
x x d =
8
2
7 故抛物线2x y =和直线02=--y x 之间的最短距离为
8
2
7 5、求抛物线22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任意一点为(x ,y ,z )，它到原点的距离为222z y x d ++=
此问题即是求2
2
2
z y x d ++=在条件???=+++=1
22z y x y x z 下的最大值和最小值。
令)1()(2
2222-+++-++++=z y x z y x z y x L μλ
由??
????
?????-++=-+=+-=++=++=⑤
令④令③令②令①令010*********
2z y x L z y x L z L y y L x x L z y x
μ
λμλμλμλ 由①-②得0))(2(1=-+y x λ 若1-=λ代入①，得0=μ，
再代入④，2
1
-=∴z <0, 不合题意
1-≠∴λ，有y x =
代入④，⑤由???=+=1222z x z x ，解得23
1±-==x y ， 32±=z
∴驻点为：)31,231,231(
1+-+-+-P 和)31,2
3
1,231(2------P ∴3591
1
2
22+=++=P P z y x d ，3592
2
2
22-=++=P P z y x d
由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为
359+和359-
6（题略）.
解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=h r H r 22
3
2
π
π+,
故:3V-)23(2
h H r +π=0 (1) 浮标表面积S(r,h,H)=)(2222222h r H r h r r rH ++=++πππ
令L(r,h,H)=)(222h r H r ++π+)23(3[2
h H r V +-πλ]
由)23(22)(22
2
222h H r h
r r h r H r
L
+-++++=??πλππ=0 （2）
22
222r h r rh h
L
πλπ-+=??=0 (3)
0322=-=??r r H
L
πλπ (4) 有32
=
r λ, 代入（3）有03222=-+h
r h , 故25=h r , r=25h,再由（2），有H=h,
h=
r
5
2, ( r ,
r
5
2,
r
5
2)为S(r,h,H)
唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,
2
5
=h r 时,材料最省。
7（题略） 解设BC=a, 则横截面积
S=
21(BC+AD)h=
2
1θθθctg h h
S
?-+ =a )h, ctg h +(a =)h 2hctg (2a ,湿周
θθθθs i n
2
s i n 2a 2C D a =) F (h ,h
c t g h h S h +?-=+=+= 由0sin 22=+--=??θθctg h
S h f (1)
0sin cos 212=-=??θ
θθf (2)
由(2)有1-2cos 0=θ,3
π
θ=
, 由(1), h=
4
3
S
, 即(
4
3
,3
S π
)为唯一驻点，故当3
π
θ=
,
h=4
3
S
时，湿周最小.
习题2-1 1、解：在任意一个面积微元σd 上的压力微元σρgxd dF =，所以，该平面薄片一侧所受的水压力??=
D
gxd F σρ
2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量??=
D
d y x Q σμ),(
3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以112
2
++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()
()1ln 1ln 2
2
++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得
()
()????≤≤≤≤≤≤≤≤++≤
++1
0101
01022
1ln 1ln y x y x d y x d y x
σσ
4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量
3
4
)384438()()(103210
22222=-+-=+=+=???
??-dy y y y dx y x dy d y x M y
y
D
σ
5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以???
?=1
10
10
),(),(x
y
dy y x f dx dx y x f dy
（2）积分区域如图2-1-3所示，所以?
???
=x
x y y
dy y x f dx dx y x f dy 2
/40
22
0),(),(2
（3）积分区域如图2-1-4所示，所以?
??
?+----=1121
0222
122
),(),(y y
x x x dx y x f dy dy y x f dx
（4）积分区域如图2-1-5所示，所以
???
?=e
e
x
e
y dx y x f dy dy y x f dx ),(),(1
ln 0
6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以
()
?
????=??? ??-=-==1
01
054/1134/310
55
6
5111432322x x dx x x x dy y x dx d y x x
x
D
σ （2）积分区域如图2-1-7所示，所以
15
64
)4(2122
2240
22
2
2
2
=-==?
?
???--dy y y dx xy dy d xy y D
σ （3）积分区域如图2-1-8所示，所以
1
10
2101
12110
1
111110110
1)()()()(----+-----+-+-++--+-+-=-+-=-+-=+=?????
?????e e dx e e e dx e ee dx
e e e dx e e e dy e dx dy e dx d e x x x x x x x x x
x
y x x x
y x D
y
x σ
（4）积分区域如图2-1-9所示，所以
613
832419)()(20232/222
022=??? ??-=-+=-+?????dy y y dx x y x dy d x y x y
y D
σ 7、解：
（1）积分区域如图2-1-10所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以a r ≤≤≤
≤-
0,2
2
π
θπ
，
故
()????
?=-a
D
dr r r f r d d y x f 0
22
sin)cos,(,π
πθσ
（2）积分区域如图2-1-11所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故 ?
?
???=θ
π
θθθσsin 20
)sin ,cos (),(dr r r f r d d y x f D
8、解：
（1）积分区域如图2-1-12所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θ
θ
π
θ2cos sin 0,4
0≤
≤≤≤r ，
故
[]12sec tan sec )(4
040
cos sin 01402
1
2210
2
2
-===?=+????
?--
π
π
θθπθθθθθd dr r r d dy y x dx x
x
（2）积分区域如图2-1-13所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，
故
8
)(4
3
2
2
20
2
2a dr r d dx y x dy a
y a a
πθπ
=
=
+??
?
?
-
9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故
49)(1213
1221222=+-==?????
dx x x dy y
dx x d y x x x D
σ （2）积分区域如图2-1-15所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以10,2
0≤≤≤
≤r π
θ，故
()28)1(21arcsi n 2121)1(411212112112111110214102101044421
01
043
41042
1022202222-=???????
?-+=????
??--+-=???
?
??
---=--=?+-=++--?????????
ππ
ππππ
θσπ
r r r r d r dr dr r r dr r r
rdr r
r rdr r r d d y x y x D
（3）积分区域如图2-1-16所示， 故
433
2
2
2
232
2
14)3
2()()(a dy a y a ay dx y x dy d y x
a
a
y
a
y a a
D
=+-=+=+?
?
???-σ
（4）积分区域如图2-1-17所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以b r a ≤≤≤≤,20πθ，
故
()
33
2
20
2
12
23
2)(a b dr r d d y x b
a
D
-==+????πθσπ
10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：??==1
4
41D d S S σ，所以
240
2
40
22sin 0
40
2cos 2sin 24a a d a rdr d S a =-===??
?π
π
θ
π
θ
θθθ
大学高等数学微积分教案
第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3 的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0
中国大学先修课程《微积分》课程纲要
中国大学先修课程《微积分》课程纲要 一．课程目的： 1．让学生在中学微积分的基础之上对微积分学有一个比较高的认识； 2．培养学生尽可能早地了解与把握微积分的基本思想，掌握最核心、最有用、最生动的部分； 3．通过本课程，学生可以了解微积分是如何从朴素、自然变得复杂的原因，更加深刻地理解其数学本质，逻辑方面经受一次比较严格的训练，使得直觉与理性完美结合起来。二．授课对象： 高二年级学生中对微积分对数学感兴趣的同学。 三．授课时间： 用两个学期的时间，完成教材前四章的教学。内容分别是：第一章函数与极限，第二章微积分的基本概念，第三章积分的计算及应用，第四章微分中值定理与泰勒公式。 本学期从小高考结束开始上课，本学期完成第一章、第二章、第四章的教学，下学期完成第二章的教学。 上课时间安排在每周五下午4：00~6：00。 下学期时间安排待定。 四．评价方法： 考试由北京大学统一出题，本学期考试时间在7月份，具体时间待定。 本课程的考试结果经北京大学认定后，可以计入北京大学非数学专业学分。 五．教材： 北京大学物理系使用的课本《高等数学》上册(第二版，李忠、周建莹编著)。 六．授课教师： 王刚 七．课程内容 第一章：函数与极限 §1 实数； §2 变量与函数； §3 序列极限； §4 函数的极限；
§5 连续函数； §6 闭区间上连续函数的性质 第二章：微积分的基本概念 §1 微商的概念； §2 复合函数的微商与反函数的微商； §3 无穷小量与微分； §4 一阶微分的形式不变性及其应用； §5 微分与近似计算 §6 高阶导数与高阶微分 §7 不定积分 §8 定积分 §9 变上限定积分 §10 微积分基本定理 第三章：积分的计算及其应用 §1 不定积分的换元法 §2 分部积分法 §3 有理式的不定积分与有理化方法 §4 定积分的分部积分法与换元积分法则§5 定积分的若干应用 第四章：微分中值定理与泰勒公式 §1 微分中值定理 §2 柯西中值定理与洛必达法则 §3 泰勒公式 §4 关于泰勒公式余项 §5 极值问题 §6 函数的凸凹性与作图
大学高等数学教材
大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。
(2020年编辑)大学高等数学教材
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
大学全册高等数学知识点(全)
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲
高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念
理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点
的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 会求参数表示的函数的一阶导及二阶导 会用对数求导法：解决幂指函数的求
大学高等数学上考试题库及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.
大学微积分l知识点总结(一)
大学微积分I 知识点总结 【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式: 2 2 a b 2ab 3 abc c 3 3abc a b a 2 b 2 2 ' 2 当且仅当，a i b i 为常数，i 1,2,3...n 时取等号 2、函数周期性和对称性的常用结论 1、若 f (X+a ) =± f (X+b )，则 f (x )具有周期性；若 f (a+X )=± f (b-X )，则 f ( X )具有对 称性。 双向不等式: 扩展：若有y -b b 两侧均在ab > 0或ab < 0时取等号 且x 1 n 则的最大值为：Xl X2 ... X n n x 1 ?X 2?...?X n , X 2 ... x n p p 为常数 柯西不等式: ^设 a i 、a 2、...a n ， b i 、 b 2、..?b n 均是实数，则有: a 〔 b-] a 2 2 2 2 a n b n a i a 2 2 2 2 ... a n b| b ? bn 2 a i a 2??? a n n n
口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性 (1) 若f (x+a) =f (b+x)，贝U T=|b-a| (2) 若f (x+a) =-f (b+x)，则T=2|b-a| (3) 若f (x+a) =± 1/f (x),贝U T=2a (4) 若f (x+a)=【1-f (x)】/【1+f (x)】，则T=2a (5) 若f (x+a)=【1+f (x)】/【1-f (x)】，则T=4a 3、对称性 (1) 若f (a+x) =f (b-x)，贝U f (x)的对称轴为x= (a+b) /2 (2) 若f (a+x) =-f (b-x) +c，则f (x)的图像关于((a+b) /2，c/2)对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。 (1) 若f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a| 。 (2) 若f (x)的图像有两个对称中心(a，0)和(b，0)，(a^b)，则f (x) 必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a| (3) 若f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心 则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a| 3、三角函数 正弦sin 余弦cos 十「十n 正切tan b，0) ，( a^ b)，
大学数学微积分第1章练习题
2018-2019 大学数学(B1) 练习题 第一章 一、选择题 1. 下列函数中不是基本初等函数的是…………………………………………（ ） A. 反三角函数 B. 符号函数 C. 对数函数 D. 幂函数 2. 下列函数是无界函数的是……………………………………………………（ ） A.x y sin = B.x y arctan = C.x y 1 sin = D.3x y = 3. 下列各组函数中相等的是……………………………………………………（ ） A.2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B.0 )(,1)(x x g x f == C.1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D.2)(|,|)(x x g x x f == 4. 下列函数中为奇函数的是……………………………………………………（ ） A.)1ln()(2++=x x x f B.||)(x e x f = C.x x f cos )(= D.1 sin )1()(2--= x x x x f 5. 下列说法中正确的是…………………………………………………………（ ） A. 有界数列必定收敛 B. 收敛数列必定有界 C. 单调数列必定收敛 D. 收敛数列必定单调 6. 极限x x x x sin lim +∞ →的值为……………………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 7. 极限)21( lim 2 22n n n n n +++∞→ 的值为………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 8. 极限x x x 10 ) 1(lim -→-的值为 ……………………………………………………（ ） A ．1 B ．e - C ．e 1 D ．e 9. 极限x x x x 2)1( lim +∞ →的值为 ……………………………………………………（ ）
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
大学微积分l知识点总结(一)
大学微积分l 知识点总结 【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式： ab 2b a ≥+ ab 2b a 22≥+ 3abc 3c b a ≥++()n n 21n 21...a a a n a ...a a ≥+++ abc 3c b a 333≥++ 2b a 2b a ab b 1a 12 2 2+≤+≤≤+ b a b a b -a +≤±≤ ()n n 21n 21n 21n x ...x x y p p x ...x x x ...x x y ? ? ? ??+++=+++???=的最大值为：则为常数，且扩展：若有 柯西不等式：设a 1、a 2、...a n ，b 1、b 2、...b n 均是实数，则有： ()()()()()()()()() 22221222212n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++ ()时取等号 为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ 2、函数周期性和对称性的常用结论 1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ）， 则f （x ）具有对称性。 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性 （1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| （3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a （4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a （5）若f （x+a ）=【1+f （x ）】/【1-f （x ）】，则T=4a 3、对称性 （1）若f （a+x ）=f （b-x ），则f （x ）的对称轴为x=（a+b ）/2 （2）若f （a+x ）=-f （b-x ）+c ，则f （x ）的图像关于（（a+b ）/2，c/2）对称 引申()n n 2...1n 21a a a n a ...a a ≥+++双向不等式： 两侧均在a b ?0或ab ?0时取等号
大学微积分数学模拟题(含答案)
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案写在横线上） 1．函数 1 yx x 2 的定义域是。 2．lim x0 s in5 2x x 。 3．微分方程yxy0的通解是。 4．设 22 yax，则dy。 5．不定积分23 xxdx=。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题四个 选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选字母填在括号内） 1．设 xx2,01 2,01 f(x), x,1x2 在点x1处必定（） A．连续但不可导B．连续且可导 C．不连续但可导D．不连续，故不可导2．曲线yx在点x4处的切线方程是（） A． 1 yx1B． 4 1 yx 2 1 C． 1 yx1D． 4 1 yx 4 2 3．下列函数在区间[1,1]上满足罗尔定理条件的是（） A．1 2 x B． 1 2 1x C．xD． 3 x 4．设fx的原函数为sinx，则fx（） A．cosxB．sinxC．cosxD．sinx 5．设fx为连续函数，则下列等式中正确的是（） d A．f(x)dxf(x)B．f(x)dxf(x)C dx C．df(x)dxf(x)dxD．df(x)dxf(x)
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 3 lim1 xx 3x 1．求极限 。 2．求极限lim x0 x ex x xe 1 1 。 3．设函数 1 y1cosx 2 x ，求 dy dx 。 4．试讨论函数 x e1,x0 f(x), 2x,x0 在点x0处的连续性与可导性。yx 5．设方程xeey10确定隐函数yy(x)，求y x0。 6．求不定积分xcosxdx。 7．求不定积分 x dx x5 。 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 1．设 x e是fx的一个原函数，求 x efxdx。 2．过点2,0作曲线y 1 x 的切线，求切线方程。 3．某商店以每条100元的进价购进一批牛仔裤，设此种商品的需求函数为Q4002P（其中Q为需求量，单位为条；P为销售价格，单位为元）。问 应将售价定为多少，才可获得最大利润？最大利润是多少？
大学微积分(常见问题与解答)
辅导答疑 第一章微积分的基础和研究对象 1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？ 答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。 微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。 2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？ 答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。 《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。
大学数学微积分试卷
大学数学微积分试卷1 满分100分考试时间75分钟 一、 选择题（共4题，每题5分） 1.下列函数中当0→x 时,与无穷小x 相比是高阶无穷小的是（） (A) x sin ; (B) 2x x +; (C) x ; (D) x cos 1-. 2．若22()x f x dx x e C =+?，则=)(x f （） (A) x xe 22; (B) x e x 222; (C) x xe 2; (D) x e x x 2)1(2+. 3. 若1 0x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（） (A) m n >; (B) m n <; (C) m n =; (D) 无法确定. 4. 若D 为区域22116x y ≤+≤，则4d d D x y ??＝（）. （A ） 4π（B ）15π（C ）60π（D ）84π 二、填空题（共4题，每题5分） 1. =+→x x x x 5220sin lim 2. 已知)(x f 在点0x 可导，且42000 =--→)()(lim x f h x f h h ，则_______)(='0x f . 3. 设连续函数()f x 满足 310()1x f t dt x -=-?，则(7)f =. 4.交换积分的次序????-+=212010022y y y dx y x f dy dx y x f dy I ),(),(=_________________. 三、解答题（共6题，每题10分） 1.求极限30sin tan lim x x x x -→ 2.求导 3.设33z x y xy =-，求2,,z z z x y x y ??????? 4.求定积分()1 02xf x dx ''? x x y e arctan e arcsin +=
大学高等数学公式汇总大全(珍藏版)
大学高等数学公式汇总大全（珍藏版） 常用导数公式： 常用基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学大一第一学期ppt教材
第二章试题及答案 一、单项选择题： 1、爱国主义的基本要求不包括（）。 A.爱祖国的大好河山 B.爱自己的骨肉同胞 C.爱自己的本职工作 D.爱自己的国家 2、两千多年前的《诗经》提出“夙夜在公”，西汉的贾谊提出“国而忘家，公而忘私”，宋代的范仲淹提出“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”，明代的顾炎武提出“天下兴亡，匹夫有责”等，这些都体现了中华民族传统美德中（）。 A.爱国奉献，以天下为己任的内容 B.乐群贵和，强调入际和谐的内容 C.勤劳勇敢，追求自由解放的内容 D.求真务实，敬重诚实守信的内容 3、做新时期忠诚坚定的爱国者，除了需要培育强烈的爱国情感、保持民族自尊和自信，努力学习和工作、以实践行动和贡献履行爱国义务外，还需要（）。 A.拒绝接受其他国家的一切东西 B.全面接受中国古代的传统文化和道德 C.维护民族团结，促进祖国统一 D.从经济基础到上层建筑的一切领域都与西方接轨 4、爱国主义与个人实现人生价值的关系（）。 A.爱国主义阻碍个人实现人生价值 B.爱国主义是个人实现人生价值的力量源泉 C.爱国主义与个人实现人生价值无关 D.爱国主义有时会帮助个人实现人生价值 5、大学生是国家宝贵的人才资源，总是站在弘扬爱国精神的时代先列。在改革开放初期，大学生喊出了著名的爱国口号。这个充分体现他们爱国情怀的口号是（）。 A.为中华崛起而读书 B.天下兴亡，匹夫有责 C.振兴中华，从我做起 D.爱我中华，从我做起 6、以下关于爱国主义与爱社会主义具有一致性的说法，是针对（）的基本要求。 A.中华人民共和国公民 B.全体中华儿女 C.生活在祖国大陆的中国公民 D.生活在祖国大陆的一切人 7、在当代中国，爱国主义首先体现在（）。 A.对骨肉同胞的热爱上 B.对社会主义中国的热爱上
高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲
高等数学（同济大学教材第五版）复习提 纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求
第一章函数、极限与连续函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极
限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。
大学高等数学上考试题库(附标准答案)
大学高等数学上考试题库(附答案)
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《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学(同济大学教材第五版)复习
高等数学(同济大学教材第五版)复习 高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续 函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基 本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系
会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。
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