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常微分方程答案一二章

习题1.2

4. 给定一阶微分方程2dy

x dx

=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解；

(3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件1

02ydx =?的解；

(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈ ；

(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；

(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223

y x c

y x ?=+?=+?只有唯一解，即

223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是

24y x =+；

(4). 把2y x c =+代入

2y d x =?

即得53c =，故满足条件

2ydx =?

的解是

25y x =+； (5). 图形如下：

-1.5

-1-0.500.51 1.5

1234567

5. 求下列两个微分方程的公共解：

242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--

解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得

()()2

2210y x x

y -++=

所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得

220

0010

k b k xk kx b k b k b k k -=?+--=??====?-=?或

所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。

8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：

(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。解：因为过点(),x y 的切线的横截距和纵截距分别为y

x y -

和y xy '-，故 (2). ()2

2y x y xy l y ??'-+-= ?'?

?；

(5). 2y xy x '-=。

习题2.1

1. 求下列方程的解：

(2). ()210y dx x dy ++=，并求满足初值条件0,1x y ==的特解；解：当0y ≠，分离变量，得

2111

dy dx y x =-+ 两边同时积分，得

ln 1ln 1x c y y x c

=++?=

++ 又0y =也是原方程的解，故()210y dx x dy ++=的通解是

1,ln 10c x c y ?

∈?

++=???

由初值条件0,1x y ==可得1c =，故所求特解是1

ln 11

y x =++。

(4). (1)(1)0x ydx y xdy ++-= 解：当0y ≠，分离变量，得

11y x

dy dx y x

-+= 两边同时积分，得

ln ln ln x x y y c xy x y c ++-=?+-=

又0y =也是原方程的解，故所求通解是

0y = 和 ln ,xy x y c c +-=∈

(5). ()()0y x dy x y dx ++-= 解：原方程可化为

y dy y x x

y dx y x x

--==

++ 令y

u x

，则 211111du u u u x

du dx dx u u x

-++=?-=++ 两边同时积分，得

arctan ln(1)ln 2

u u x c ++=-+

将y

u x

代入，得所求通解是

221

arctan

ln(),2

y x y c c x ++=∈

(6). 0dy

y dx

-= 解：原方程可化为

dy y dx x ==令y

u x

，则

du du u x u dx dx +== (1)

0≠，分离变量，得

两边同时积分，得

arctan ln u x c =-+

0=，即21u =也是(1)的解，故(1)的通解是21u =和arctan ln u x c =-+。将y

u x

代入，得原方程的通解是 22y x = 和 arctan

ln ,y

x c c x

+=∈

(7). tan cot 0ydx xdy -= 解：当tan 0y ≠，分离变量，得

cot tan ydy xdx =

两边同时积分，得

11ln sin ln cos sin cos ,0c y x c y x c c e =-+?==±≠

又tan 0y =，即sin 0y =也是原方程的解，而该解可在sin cos y x c =中令0c =得到，故所求通解是

sin cos ,y x c c =∈

(8). 2

30y x

dy e dx y ++=

解：分离变量，得

y e ye

dy dx

-=-

两边同时积分，得所求通解是

231123

y e e c --=-+ 即 23123,6x y e e c c c --==∈

(9). (ln ln )0x x y dy ydx --= 解：原方程可化为

1ln (ln ln )dy y y y dx x x y x x -??

==- ?-??

令y

u x

，则 ()ln 1ln ln u u du u du

u x

dx u dx x u

++=-?=- (2) 当()ln 10u u +≠，分离变量，得

()()ln ln ln ln 1ln 1ud u udu dx dx u u x u x

=-?=-++

两边同时积分，得

11ln

ln ln 1,0ln 1

c u

x c u cxu c e u -=-+?+==±≠+ (3)

由原方程可得0y ≠，从而0u ≠。又()ln 10u u +=，即ln 1u =-也是(2)的解，而该解可在(3)中令0c =得到，故(2)的通解是ln 1,u cxu c +=∈ 。将y

u x

=代入，得原方程的通解是

1,y

cy c x

+=∈

(10).

x y dy

e dx

-= 解：分离变量，得

y x e dy e dx =

两边同时积分，得所求通解是

,y x e e c c =+∈

2. 作适当的变量变换求解下列方程：

(1). ()2

dy x y dx =+ 解：令u x y =+，则原方程化为

22111du dy du u dx dx dx u

=+=+?=+ 两边同时积分，得

arctan ,u x c c =+∈

将u x y =+代入，得原方程的通解是

()arctan ,x y x c c +=+∈ 即 ()tan ,y x c x c =+-∈

(3).

dy x y dx x y --=-+ 解：因为

21011

,210

33x y x y x y --=??=-=?

-+=? 令11

,33

X x Y y =+=-，则原方程化为

22dY X Y

dX X Y

-=- 再令Y

u X

=，得

()()

21221221u du du u

dX u X

dX u X u u --+=?=--+ 两边同时积分，得

()()1222122ln 12ln 1,0c u u X c X u u c c e -+=-+?-+==>

将11

,,33

Y u X x Y y X =

=+=-代入，得原方程的通解是 222,131x y xy x y c c c +-+-==->-

(7). y y y x x xy x dx dy -+++=3

32332 解：原方程可化为

2222

2231

321

dy x y dx x y ++=+- 令221,1X x Y y =-=+，则原方程化为

2332dY X Y

dX X Y

+=+ 再令Y

u X

，得 ()()

221233232u du u du

u X dX u dX X u -++=?=++

用分离变量法求解，得

()()

411c u X u +=-

将22,1,1Y

u X x Y y X

=-=+代入，得原方程的通解是 ()()5

2,c x y

y c +=--∈

习题2.2

1. 求下列方程的解：

(5). 21210dy x

y dx x

-+-=；解：原方程可化为：

221

1dy x y dx x

-=+ (4) 对应的齐次方程为

212dy x

y dx x

-=-，用变量分离法求得其解为21x y cx e =。令(4)的解为()21x y c x x e =，则将其代入(4)可得

()()2111x

x dc x x e c x e c dx

-=?=+ 所以原方程的通解为

()121221,x x x y e c x e x cx e c -=+=+∈

(8).

dy y

dx x y

+=；解：当0y ≠时，原方程可化为：

32dx x y x y dy y y

++== (5) 这是未知函数为x 的非齐次线性方程，对应的齐次方程为

dx x

dy y

=，用变量分离法求得其解为x cy =。令(5)的解为()x c y y =，则将其代入(5)可得

()()221

dc y y y c y y c dy =?=+ 所以(5)的通解为

21,2x y y c c ??

=+∈ ???

又0y =也是原方程的解，故原方程的通解为

0y = 和 21,2x y y c c ??

=+∈ ???

(12). (ln 2)y x ydx xdy -=；解：原方程可化为：

2ln 2dy x y y dx x x

-= (6) 这是2n =的Bernoulli 方程。当0y ≠时，(6)两边同时除以2y ，得

12ln dy x y y dx x x

---+= 令1z y -=，则

22ln dz dy x y z dx dx x x

--=-= (7) 其对应的齐次方程2

dz z dx x

=的解为2z cx =，令(7)的解为()2z c x x =，则将其代入(7)可得

()()()222ln 2ln 4dc x x

x c x c x x x dx x

--=-?=++

所以(7)的通解为

()22ln 14,z cx x c =++∈

将1z y -=代入，得()22ln 14y cx x ++=。又0y =也是原方程的解，故原方程的通解为

0y = 和 ()22ln 14,y cx x c ++=∈

(13). 22(2)xydy y x dx =-；解：原方程可化为：

221

22dy y x y dx xy x y

-==-

(8) 这是1n =-的Bernoulli 方程，(8)两边同时乘以y ，得

dy y y dx x =- 令2z y =，则

21dz dy z

y dx dx x

-=2= (9) 其对应的齐次方程2dz z

dx x

=的解为2z cx =，令(9)的解为()2z c x x =，则将其代入(9)可得

()()21

1dc x x c x c dx x

=-?=+ 所以(9)的通解为

221,z c x cx x c x ?

?=+=+∈ ??

将2z y =代入，得原方程的通解为

22,y cx x c =+∈

(16). 0()x

x y e y t dt =+?；

解：原方程两边同时对x 求导可得 ()x dy

e y x dx

在原方程中，当0x =时，1y =。故原方程等价于Cauchy 问题

()01x

dy e y

y ?=+???=?

(10) 由常数变易法易得

x dy

e y dx

=+的通解为(),x y e x c c =+∈ ，再由()01y =可得1c =，故Cauchy 问题(10)的解为()1x y e x =+，这也是原方程的解。

习题2.3

1. 验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解： (2). 0)4()3(2=---dy x y dx x y ；解：因为23,(4)M y x N y x =-=--，所以

1,1M N

y x

??==?? 故原方程是恰当方程。

令函数u 满足

,u u

M N x y ??==??，则由u M x ?=?可得 ()()()233u y x dx y xy x y ??=-+=-+?

再由

N y

?=?可得 ()

()2(4)2d y x y x y y dy

??+

=--?=- 所以322u xy x y =--，故原方程的通解是

322,xy x y c c --=∈

(2). 0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy ；解：因为23222(32),3(2)M xy x N x y y =+=+，所以

12,12M N

xy xy y x

??==??

故原方程是恰当方程。

令函数u 满足

,u u

M N x y

??==??，则由u M x ?=?可得 ()()()232242323u xy x dx y x y x y ??=++=++?

再由

N y

?=?可得 ()

()()2223632d y x y x y y y y dy

??+

=+?= 所以22433u x y x y =++，故原方程的通解是

22433,x y x y c c ++=∈

2. 求下列方程的解： (4). ()22ydx xdy x y dx -=+；解：原方程两边同时除以22x y +，得

arctan ydx xdy

x dx d dx x y y ??

-=?= ?+?

所以原方程的通解是

arctan

x c c y

=+∈

(6). ()01=+--xdy dx xy y ；解：因为()1,,

1,1M N

M y xy N x x y x

??=--==-=??，所以原方程不是恰当的。由 ()11dx x M N y x

e e N

--??-

???=-?= 可得积分因子x e μ-=，原方程两边同时乘以μ，得

0x x x x ye dx e dx xye dx xe dy ------+=

即

()0x x x yd xe de xe dy ---++=

所以

x x xye e c --+=

故原方程的通解是

,x xy ce c +=∈

(8). ()02=++xdy dx y x ；解：因为2,,

2,1M N

M x y N x y x ??=+===??，所以原方程不是恰当的。由 11dx

x M N

y x e x N x

??-???=?= 可得积分因子x μ=，原方程两边同时乘以μ，得

2220x dx xydx x dy ++=

即

22103

dx ydx x dy ++= 所以

21,3

x x y c c +=∈ 此即为原方程的通解。

5. 试证齐次微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 当0xM yN +≠时有积分因子

xM yN

μ=

+。

证明：齐次微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 两边同时乘以μ得

()(),,0M x y dx N x y dy μμ+=

所以

()()()

()

M M N xM yN M x N y M y y y M

y y xM yN xM yN M N

yN MN yM y y

xM yN μ??

???+-++ ??????????

== ???++??

???--???=

()()()

()

N M N xM yN N M x y N N x x x x x xM yN xM yN N M

xM MN xN x x

xM yN μ????

?+-++ ??????????== ???++?????--???=

原方程可化为

()()

,,M x y dy

dx N x y =-

。因为原方程是齐次方程，故可设 ()()

,,M x y dy

y g dx N x y x ??

=- ???

令y

u x

，则 21,g dg du y dg g dg du dg x du dx x du y du dy x du

??====?? 又因为

()()2,1,M x y g M N N M x x N x y N x x ????????=-=-?-? ? ? ????????? ()()2,1,M x y g M N N M y y N x y N y y ????????=-=-?-? ? ? ????????

? 所以

222

1y dg M N M N y dg N M N M N x du N x x x x x du

??????=-?-???-?=-? ??????? 22111dg M N M N dg N M N M N x du N y y y y x du

??????=-?-???-?=-? ??????? 从而

()()

()

()()2

2210

M N

N M

yN MN yM xM MN xN M N y y

x x

y x

xM yN xM yN M N N M y N M x M N y y x x xM yN dg y dg y N x N x du x du xM yN μμ?????

--??--???????-=-

??++?????????-?-?-? ?

?????????=+????-?--? ? ?

????=+=

故1

xM yN

μ=

+是齐次微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 当0xM yN +≠时的积

分因子。

习题2.4

1. 求解下列方程： (1). y y x '+='13；

解：当0y '≠时，原方程可化为

11x y y =

+'' 令p y '=，则3211x p p

+，两边对y 求导，得 43132dp

p p

p dy ??=-+ ??? 即

3223232

2dy dp y c p

p p p ??=-+?=++ ???

又0y '=时，原方程恒不成立，所以原方程的参数形式的通解是

211

322x p p p c y c p p

=+??∈??=++??

为参数,

(3). y e y y ''=2；

解：令p y '=，则2p y p e =，两边对x 求导，得

()

22p p dp p pe p e dx

=+ 所以

000p y y '=?=????→=代入原方程

或

()()121p

p dp

p e x p e c dx

=+?=++ 所以原方程的通解是

0y = 和 ()21,p

x p e c

p c y y e

?=++?∈?=?? 为参数,

习题2.5

1. 求解下列方程：

(3). 4sin 1y dy

e x dx -=-；解：原方程两边同时乘以y e ，得

4sin 4sin y y

y y dy de e x e x e dx dx

=-?=- 令y u e =，则

4sin du

x u dx

=- 用常数变易法易得其解为()2sin cos x x u x x e ce -=-+，故原方程的通解为

()2sin cos ,y x x e x x e ce c -=-+∈

(11).

dy x y dx x y -+=++；解：原方程可化为

()()2130x y dx x y dy -+-++=

由()

()2311,1x y x y y x

?---?-+=-=-??可得，这是一个恰当方程，即

22311

303023

xdx ydx dx xdy y dy dy dx dxy dx dy dy -+---=?

-+--= 所以原方程通解为

2311

3,23

x xy x y y c c -+--=∈

(19). 2

240dy dy x y x dx dx ????

-+= ? ?????

；

解：令p y '=，则由原方程可得0p ≠，故原方程可化为

24222xp x x x

y p p p

+==+ (11)

两边对x 求导，得

22222122222p x dp x dp p dp p x dx p p dx p p dx

??=

++-?-=- ? ????? 所以

20222p p y x p

-=?=±????→=±代入(11)

或

2121,02x dp p cx y cx c p dx c

?=????→=+≠代入(11)

又0y '=时，原方程恒不成立，所以原方程的参数形式的通解是

2y x =± 和 212

,02y cx c c

+≠

(29).

xy dy y

e dx x

+=；解：令u xy =，则du dy

y x dx dx

=+，故 2212u u u u du u u x e xe e du xdx e x c dx x x --?

?=+-=?=?-=+ ??

? 所以原方程通解为

21,2

x e c c -+=∈

习题3.1

1. 求方程

2dy

x y dx

=+通过点(0,0)的第三次近似解。解：()2,f x y x y =+，令00()0x y ?==，则

()()()0

21000

1,2

x x

x x y f x x dx xdx x ??=+==

?? ()()()0

225

2010

111,2220x x

x x y f x x dx x x dx x x ??????=+=+=+

?? ???????

()()()0

30222525811

,1111112202201604400x

x x

x y f x x dx

x x x dx x x x x ??=+????=++=++

+?? ???????

为所求的第三次近似解。

3. 求初值问题

()22

,:11,1,

10dy x y R x y dx

y ?=-+≤≤???-=?

(12) 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。解：因为()22,f x y x y =-，1a b ==，()(),max ,4x y R

M f x y ∈==，所以

m i n ,4

b h a M ??== ???，从而解得存在区间为114x +≤，即5344x -≤≤-。

又因为()22,f x y x y =-在R 上连续，且由22f y y L ??=≤=可得(),f x y 在

R 上关于y 满足Lipschitz 条件，所以Cauchy 问题(12)在53

x -

≤≤-有唯一解()y x ?=。

令00()0x y ?==，则

()()()()0

1001

1,13

x x

x x y f x x dx x dx x ??-=+==

+?? ()()()()0

347232011111,1342931863x

x x x x x x x y f x x dx x x dx ??-??

??=+=-+=-+--

?? ???????

误差为：()()()()3

21!24

Lh M x x L ??-≤=+

10. 给定积分方程

()()()(),b

x f x K x d ?λξ?ξξ=+? (*)

其中()f x 是[],a b 上的已知连续函数，(),K x ξ是a x b ≤≤，a b ξ≤≤上的已知连续函数。证明当λ足够小时(λ是常数)，(*)在[],a b 上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。

㈠. 构造逐步逼近函数序列

()()0x f x ?=

()()()()1,,0,1,2,b

n n a x f x K x d n ?λξ?ξξ+=+=?

由()f x 是[],a b 上的连续函数可得()0x ?在[],a b 上连续，故再由(),K x ξ是

a x

b ≤≤，a b ξ≤≤上的连续函数可得()1x ?在[],a b 上连续，由数学归纳法易证

()n x ?在[],a b 上连续。

㈡. 证明函数列(){}n x ?在[],a b 上一致收敛。

考虑级数

()()()()[]011

,k k k x x x x a b ???∞

-=+-∈∑ (13)

由

()()()()()011

k k n k x x x x ????-=+-=∑

知，(){}n x ?的一致收敛性与级数(13)的一致收敛性等价。

令()max a x b

M f x ≤≤=，()(),max ,a x b a b

L b a K x ξλξ≤≤≤≤=-。由(13)有

()()()()()()()()

10,,,max ,max b

a x

b a b

a b

x x K x f d K x f d K x f d ML

ξξ??λξξξ

λξξξ

λξξξ≤≤≤≤≤≤-=≤≤=???

所以

()()()()()()()()()()2110102

,,,b

x x K x d K x d ML K x d ML ??λξ?ξ?ξξ

λξ?ξ?ξξλξξ-=-≤-≤≤???

假设对正整数n ，有不等式

()()[]1,

,n n n x x ML x a b ??--≤∈ (14)

则

()()()()()()()()()()[]

1111,,,,

n n n n a

n n a

x x K x d K x d ML K x d ML x a b ??λξ?ξ?ξξ

λξ?ξ?ξξ

λξξ+----=-≤-≤≤∈???

所以(14)对任意正整数n 都成立。

因为1n n ML ∞

=∑为正项级数，且当λ足够小时，

()(),max ,1a x b a b

L b a K x ξλξ≤≤≤≤=-< (15)

故1

n ML ∞=∑收敛，从而由Weierstrass 判别法，级数()()()11

k k k x x ??∞

-=-∑一致收敛，

故级数(13)一致收敛，所以函数列(){}n x ?在[],a b 上一致收敛。

㈢. 证明()()lim n n x x ??→∞

=是积分方程(*)在[],a b 上的连续解。

因为由㈠和㈡可得()n x ?在[],a b 上连续，(){}n x ?在[],a b 上一致收敛，故

()x ?在[],a b 上连续，且函数列()(){},n K x x ξ?在[],a b 上一致收敛，所以对

()()()()1,b

n n a x f x K x d ?λξ?ξξ+=+?

两边取极限可得

()()()()()()()1lim lim ,,lim b

n n a n n b

n a

n x f x K x d f x K x d ?λξ?ξξ

λξ?ξξ

+→∞

→∞→∞

=+=+??

从而

()()()(),b

x f x K x d ?λξ?ξξ=+?

所以()x ?是积分方程(*)在[],a b 上的连续解。

㈣. 证明()x ?是积分方程(*)在[],a b 上的唯一解。

设()x ψ是积分方程(*)在[],a b 上的另一连续解，则

()()()(),b

x f x K x d ψλξψξξ=+?

令()()()g x x x ψ?=-，则

()()()()()()()()()()()()

,,max ,max b

a x b

g x K x d K x d x x K x d L g x λξψξ?ξξ

λξψξ?ξξ

ψ?λξξ

≤≤≤≤=-≤-≤-≤???

对[],x a b ?∈都成立，上式两边对x 取最大值可得

()()max max a x b

a x b

g x L g x ≤≤≤≤≤

如果()max 0a x b

g x ≤≤≠，则由上式有

1L ≥

这与(15)矛盾，故()max 0a x b

g x ≤≤=，即()0g x ≡，所以()()x x ψ?≡，从而()x ?是积

分方程(*)在[],a b 上的唯一解。证毕。

习题3.2

1. 求

()()2

1,,00

dy y

x dx x y G y y ?=+-∞<<∞???∈=???-∞<<∞???=?

(16)

的解的存在区间及延拓解的饱和区间。

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是． 2．方程04=+''y y 的基本解组是． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期常微分方程课程试卷（B）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）．（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解解：积分因子21)(x x =μ，则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*），两端同时关于求导，

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________. 13.方程组的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程课后答案

习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续；而312 3y 在y 0φσ≥上连续由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解；故方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程作业答案

1.第1题设就是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中就是连续函数、则 A、的朗斯基行列式一定就是正的; B、的朗斯基行列式一定就是负的; C、的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D、的朗斯基行列式恒不为零、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 2.第2题满足初始条件与方程组的解为 ( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、

A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 3.第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个、 (i) , (ii) , (iii) , (iv) 、 A、1 B、2 C、3 D、4 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 4.第8题就是某个初值问题的唯一解,其中方程就是, 则初始条件应该就是( )、 A、,

B、, C、, D、、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:A 题目分数:2 此题得分:2、0 5.第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A、; B、 ; C、; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 6.第15题

可将六阶方程化为二阶方程的变换就是( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 7.第16题设,及就是连续函数,与就是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题就是

A、B、 C、D、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 8.第18题设与就是方程组的两个基解矩阵, 则 A、存在某个常数方阵C使得, 其中; B、存在某个常数方阵C使得, 其中 ; C、存在某个常数方阵C使得, 其中; D、存在某个常数方阵C使得, 其中、 A、、 B、、

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：

x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解（1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程（1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程第三版的课后答案

常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程应用题和答案

应用题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=，其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。（1）求曲线()y f x =的方程；（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

常微分方程作业答案

1．第1题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则 A. 的朗斯基行列式一定是正的; B. 的朗斯基行列式一定是负的; C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D. 的朗斯基行列式恒不为零. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 2．第2题满足初始条件和方程组的解为 ( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 3．第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. (i) , (ii) ,

(iii) , (iv) . 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 4．第8题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 5．第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. . A..

B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 6．第15题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 7．第16题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是 A. B. C. D. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2

此题得分： 8．第18题设和是方程组的两个基解矩阵, 则 A. 存在某个常数方阵C使得, 其中; B. 存在某个常数方阵C使得, 其中; C. 存在某个常数方阵C使得, 其中; D. 存在某个常数方阵C使得, 其中. A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 9．第20题微分方程的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 10．第22题设有四个常微分方程： (i) , (ii) , (iii) , (iv) .

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

常微分方程答案 一二章

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