微积分方法建模3存贮模型--数学建模案例分析

§3 存贮模型

工厂要定期地订购各种原料，商店要成批地购进各种商品，小库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运……不论是原料、商品还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料、商品存得太多，贮存费用高，存得少了则无法满足需求。水库蓄水过量可能危及安全，蓄水太少又不够用。我们的目的是制订最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货。才能使总费用最小。

模型一 不允许缺货的存贮模型

模型假设： 1、每次订货费为1C ，每天每吨货物贮存费2C 为已知；

2、每天的货物需求量r 吨为已知；

3、订货周期为T 天，每次订货Q 吨，当贮存量降到零时订货立即到达。

模型建立： 订货周期T ，订货量Q 与每天需求量r 之间满足

rT Q =

订货后贮存量)(t q 由Q 均匀地下降，即rt Q t q -=)(。

T 2T 一个订货周期总费用?==T rT C QT C dt t q C C 02

2221

2

121)(贮存费订货费 即 2212

1rT C C T C +

=）（ 一个订货周期平均每天的费用)(T C 应为 rT C T C T T C T C 212

1)()(+== 问题归结为求T 使)(T C 最小。

模型求解： 令

0=dT

C d ，不难求得

2

12rC C T = 从而 2

12C r C Q = （经济订货批量公式，简称EOQ 公式） 模型分析： 若记每吨货物的价格为k ，则一周期的总费用C 中应添加kQ ，由于rT Q =，故C

中添加一常数项kr ，求解结果没有影响，说明货物本身的价格可不考虑。

从结果看，1C 越高，需求量r 越大，Q 应越大；2C 越高，Q 越小，这些关系当然符合常识的，不过公式在定量上的平方根关系却是凭常识无法得到的。

模型二 允许缺货的存贮模型

模型假设： 1，2同上

3、订货周期为T 天，订货量Q 吨，允许缺货，每天每吨货物缺货费3C 为已知。 模型建立： 缺货时贮存量q 视作负值，)(t q 的图形如下，货物在1T t =时售完。于是1rT Q =。

2 一个订货周期内总费用??-=-===T T T Q rT r C T T r C dt t q C r

Q C QT C dt t q C C 112

3213302

21221

)(2)(2|)(|212)(缺货费贮存费订货费 即 23221)(21121),(Q rT C r

r Q C C Q T C -++= 一个订货周期平均每天的费用),(Q T C 应为

rT

Q rT C rT Q C T C T Q T C Q T C 2)(2),(),(2

3221-++== 模型求解：

???????=??=??00Q

C T C 可以求出Q T ,的最优值，分别记作T '和Q '，有

32321332212,2C C C C r C Q C C C rC C T +?='+?=

' 模型分析： 若记3

32C C C +=μ ，则与模型一相比有 T T μ=' ， μQ

Q ='

显见Q Q T T <'>',，即允许缺货时应增大订贷周期，减少订贷批量；当缺货费3C 相对

于贮存费2C 而言越大时，μ越小，T '和Q '越接近T 和Q 。

问题 1、在模型一和模型二中的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期

和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在模型二中最优订货周期和订货批量都比原来的结果减少。

2、建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >.

在每个生产周期T 内，开始的一段时间)0(0T t ≤≤一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T ≤≤只销售不生产。贮存量)(t q 的变化如图，设每次生产开工费用为1C ，单位时间每件产品贮存费为2C ，以总费用最小为准则确定最优周期T 。

q

0t 0

T

微分方程建模案例

第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型

我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1)

数学建模与计算机关系研究

数学建模与计算机关系研究 【摘要】高等数学与计算机教学具有内在相关性，尤其是在数学建模应用中，根据计算机学科发展来发挥数学建模理论的作用及效果，有助于增强学生对高等数学的理解和应用能力。基于此，本文笔者就从高等数学建模理论与计算机技术的关系研究入手，来阐述建模嵌入在计算机辅助教学中的重要潜力。 【关键词】计算机；高等数学；教学改革；数学建模 1.高等数学与计算机学科发展 有人说，计算机技术的发展可以省去学习数学的麻烦，即便是很多专业计算机教师也抱有同样的想法。然而，对于计算机应用领域及实践中，计算机技术确实给很多从业者带来了便捷与高效，但计算机技术不等于数学，更不能替代数学。从高等数学教学实践来看，对于我们常见的数学概念，如比率、概率、图像、逻辑、误差、机会，以及程序等知识的认识，很多行业都在进行数字化、数量化转变，对数学知识的应用也日益广泛。从这些应用中，数学理论及知识，尤其是数学基本理论研究就显得更为重要。数学，在数学知识的应用中，更需要从练习中来提升对数学知识及概念的理解，也需要通过练习来提升运算能力。如果对数学概念及方法应用的不过，对数学单调性的知识缺乏深刻的认识，就会影响数学知识在实践应用中出现偏差。计算机技术的出现，尤其是程序化语言的应用，使得数学知识在表达与反映中能够依据不同的应用灵活有效、准确的运算，从而减少了不必要的验证，也提升了数学在各行业中的应用效率。 数学软件学科的发展，成为计算机重要的辅助教学的热门领域，也使得计算机技术能够发挥其数学应用能力。在传统的数学教学中，逻辑与直观、抽象与具体始终是研究的矛盾主体，如有些太简单的例子往往无法进行全面的计算；有些复杂的例子又需要更多的计算量。在课堂表现与讲解中，对于理性与感性知识的认知，学生缺乏有效的理解和应用，而强大的计算机运算功能却能够直观的表达和弥补这些缺陷，并依托具体的演示过程中来营造概念间的差异性，帮助学生从中领会知识及方法。在计算机的辅助教学下，教师利用对数学理论课题或应用课题，从鲜活的思维及形象的表达上借助于软件来展现，让学生从失败与成功中得到知识的应用体验，从而将被动的知识学习转变为主动的参与实践，更有助于通过实践来激发学生的创新精神。这种将数学教学思维与逻辑与计算机技术的融合，便于从教学中调整教学目标，依据学生所需知识及专业需求来分配侧重点。数学建模就是从数学学科与计算机学科的融合与实践中帮助学生协作学习，提升自身的能力。 2.信息技术是高等数学应用的产物 现代信息技术的发展及应用无处不在，对数学知识的渗透也是日益深入。当前，各行业在多种协作、多种专业融合中，借助于先进的信息技术都可以实现畅通的表达与物化。如天气预报技术、卫星电视技术、网络通讯技术等都需要从数

建立数学建模案例分析

§15.4锁具装箱问题 [学习目标] 1.能表述锁具装箱问题的分析过程； 2.能表述模型的建立方法； 3.会利用排列组合来计算古典概型； 4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。 一、问题 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。 团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题： 1．每批锁具有多少个，能装多少箱？ 2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 二、问题分析与建立模型 因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。 下面用一个5元数组来表示一个锁具： Key=（h1，h2，h3，h4，h5） 其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件： 条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。

数学建模-微积分模型

第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用

数学建模案例分析--对策与决策方法建模6决策树法

§6 决策树法 对较为复杂的决策问题，特别是需要做多个阶段决策的问题，最常用的方法是决策树法。决策树法是把某个决策问题未来发展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图画出来。其步骤如下： 1、用方框表示决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每条线代表一个行动方案，这样的直线或折线称为方案枝。 2、在各方案枝的末端画一个园圈，称为状态点，从状态点引出若干直线或折线，每条线表示一个状态，在线的旁边标出每个状态的概率，称为概率枝。 3、把各方案在各个状态下的损益期望值算出标记在概率枝的末端。 4、把计算得到的每个方案的损益期望值标在状态点上，然后通过比较，选出损益期望值最小的方案为最优方案。 例1某厂准备生产一种新产品，产量可以在三种水平n1、n2、n3中作决策。该产品在市场上的销售情况可分为畅销、一般和滞销三种情况，分别为S1、S2、S3。通过调查，预测市场处于这三种情况的概率分别为0.5、0.3、0.2。三种决策在各种不同市场情况下的利润见下表： 表1 基于各种决策的各种市场情况的利润表（万元） 我们可以计算每种决策下利润的期望值： 实行在水平n1下生产的利润的期望值为：90×0.5+30×0.3-60×0.2=42 实行在水平n2下生产的利润的期望值为：60×0.5+50×0.3-10×0.2=43 实行在水平n3下生产的利润的期望值为：10×0.5+9×0.3-6×0.2=6.5 由于在水平n2下生产利润的期望值最大，因而应选择产量水平n2生产。 可以应用决策树帮助解决这样的决策问题，把各种决策和情况画在图1上： 图1

图中的方框（□）称为决策点，圆圈（○）称为状态点，从方框出发的线段称为对策分支，表示可供选择的不同对策。在圆圈下面的线段称为概率分支，表示在此种对策下可能出现的各种情况。在概率分支上注明了该情况出现的概率。在每一个概率分支的末端注明了对应对策和对应情况下的收益（利润）。在计算时，我们把相应的期望值写在相应的状态点旁边，再由比较大小后选择最优决策，在图上用∥表示舍弃非最优的对策，并在决策点上注明最优决策所对应的期望利润。 图2 利用决策树还可以解决多阶段的决策问题。 例2 某公司在开发一种新产品前通过调查推知，该产品未来的销售情况分前三年和后三年两种情况。因此生产该产品有两种可供选择的方案：建造大厂和建造小厂。如果建造大厂，投资费用5000万元，当产品畅销时，每年可获利2000万元，当产品滞销时，每年要亏损120万元。如果建造小厂，投资费用1000万元，当产品畅销时，每年可获利300万元，当产品滞销时，每年仍可获利150万元。若产品畅销可考虑在后三年再扩建，扩建投资需2000万元，随后三年每年可获利1000万元；也可不再扩建。预测这六年该产品畅销的概率为0.6，滞销的概率为0.4。试分析该公司开发新产品应如何决策？ 根据问题的各种情况可以画出决策树如下：这是一个两阶段的决策问题。注意到图中有两个决策点，反映建小厂的方案中可以分成前三年和后三年两个阶段，并在后三年还要做出一次决策。 图3 把各种数据填到图适当的位置后，由后向前计算获利的期望值。由图可见应采用决策：建造大厂。 500 900 1000*3=3000 300*3=900 6.5

微积分方法建模2经济增长模型--数学建模案例分析

§2 经济增长模型 发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房、购买设备、技术革新等）， 二是增加劳动力。恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用。为此，需要分析产量、劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常发展。 记 )(t Q —某地区、部门或企业在t 时刻的产量 )(t L —某地区、部门或企业在t 时刻的劳动力 )(t K ?某地区、部门或企业在t 时刻的资金 )(t Z —每个劳动力在t 时刻占有的产量（劳动生产率） 一、道格拉斯（Douglas ）生产函数 由于现在关心的是产量、劳动力、投资的相对增长量，不是绝对量， 所以定义 ,)0()()(Q t Q t i Q =)0()()(L t L t i L = ，)0()()(K t K t i K = （1） 分别称为产量指数、劳动力指数和投资指数。 在正常的经济发展过程中这三个指数都是随时间增长的，但它们之间的关系难以从机理分析 得到，只能求助统计资料.Douglas 从大量统计数据中发现下面的规律： 如果令 )()(ln )(t i t i t K L =ξ，) ()(ln )(t i t i t K Q =ψ （2） 则散点),(ψξ在ψξ~平面直角坐标系上的图象大致如下

即大多数点靠近一条过原点的直线,这提示ξ和ψ的关系为 )10(<<=γγξ ψ （3） 上式代入得 )()()(1t i t i t i K L Q γγ-= （4） 记)0()0()0(1--=γγK L Q a ，则由（1）、（4），可得 )0,10(),()()(1><<=-a t K t aL t Q γγγ （5） 这就是经济学中著名的Douglas 生产函数，它表明产量与劳动力、投资之间的关系。由（5）有 K K L L Q Q )1(γγ-+= （6） （6）表明年相对增长量Q Q 、L L 、K K 之间呈线性关系。且1→γ说明产量增长主要靠劳动力的增长；0→γ说明产量增长主要靠投资的增长。称γ是产量对劳动力的弹性系数。 二、劳动生产率增长的条件 定义 )()()(t L t Q t Z =—劳动生产率，则L L Q Q Z Z -=，由（6）代入 则 ))(1(L L K K Z Z --=γ （7） 可见，只要L L K K >，就能保证0>Z Z ，即劳动生产率的提高需要由投资的相对增长大于劳动力的相对增长为前提条件。 问题：考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为)((t P 设)1)0(=P ，则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t P 之间满足)(t y )()(t P t Q =。 （1）导出)(t y 、)(t Q 、)(t P 的相对增长率之间的关系，并作解释。 （2）设雇佣工人数目为)(t L ，每个工人工资为),(t W 企业的利润简化为产品的收入)(t y 中扣除工人的工资和固定成本，企业应雇佣多少工人能使利润最大。

数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题： 目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析： 分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。 最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。 案例分析2：城市商业中心最优位置分析 问题： 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。

数学建模案例分析-- 插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用

第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。 根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。

[实用参考]高中常见数学模型案例.doc

高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部20KK 年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数P 与按新价让利总额P 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数P 与按新价让利总额P 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b 化简得a b 4 5=，所以x a bx y ??==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路P （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程P 和时间t 得函数关系式P （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离Pkm 与时间th 之间的关系式是：?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。 速度vkm/h 与时间th 的函数关系式是：?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。 解：设小矩形长为P ，宽为P ，则由图形条件可得：l y x x =++911π ∴x l y )11(9π+-= 要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则： )44(32)442(644])11([322622 222 2ππππππ+++-+-=+-+=+=l l x x lx x xy x s

差微分方程 数学建模经典案例

差分方程作业题 黄冈职业技术学院 宋进健 胡敏 熊梦颖 1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择： (1)使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月； (2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i ）每半个月还316元，(ii) 预付三个月的款。 你能帮他们做出明智的选择吗？ 模型假设： （1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变; （2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率； （3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化 建立模型： 对第一种情况有: 设n 年期贷款月利率为r ，共贷款 元，贷款后第k 个月时欠款余额为 元，月还款m 元。 模型求解： 由MATLAB 得出结果m=631.9345 建立模型： 对第二种情况有: 设n 年期贷款半月利率为r ，共贷款A 0元，贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，半月还款m 元。 模型求解： ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(300 300 300 -= ?=++r r A A r m N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(528 528 528 -= ?=++r r A A r m A k A 0

由MATLAB 得出结果m= 313.0038 模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受月还款；由第二种方式计算m= 313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，故选择第一种还款方式。 2. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分 店。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。 用二维向量X k =[x k y k ]T 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X 0 = [200 200]T 如果有矩阵L 存在，使得 X k +1 = LX k ，则称 L 为状态转移矩阵。 （1） 写出X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式，以及状态转移矩阵L 。 （2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况； 模型假设： （1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。 （2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。 模型建立： 初始的市场分配数量为：200,2000 0==y x 以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量] ,[1 1y x T X =表 示。用向量] ,[y x X k k T k =表示第K 年两个快餐店顾客数量分布。 ??? ????+ = + = ++x y y y x x k k k k k k 3 22 121311 1 模型求解： 故X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式为??? ? ?? ? + =+ =++x y y y x x k k k k k k 3 221 21311 1，状 态转移矩阵?????? ? ???? ???=3221213 1 L 由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB 程序如下：

数学建模微积分模型

第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用 2 )(21rT c T c T c += (4.2) 模型求解 求T ，使)(T c 取最小值。 由 0=dT dc ，得 2 12 1 2,2c r c Q rc c T = = (4.3)

数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规 律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为 ???? ?? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5）

微分方程模型建模实例

微分方程模型建模实例 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变） （2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落 伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常 数，（）

微分方程型建模实例题

一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。下面就微分方程模型建模展开建模。下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（） 10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？ 11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？ 12．早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式 D = 13．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。 14．设药物吸收系数（k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。 15．医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会

微分方程建模实例

常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100 多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789 年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解设时刻t 的人口为N (t ) ,把N (t ) 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t + ?t时间段内,人口的增长量为 N (t + ?t ) ? N (t ) = rN (t )?t , 并设t = t 0 时刻的人口为N 0 ,于是 dN = rN， dt N (t 0 ) = N 0．

这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 N (t ) = N 0 e r (t ?t0 ) , 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961 年地球上的人口总数为3.06 × 10 ,而在以后7 年中,人口总数 9 以每年2%的速度增长,这样t 0 = 1961 , N 0 = 3.06 × 10 9 , r = 0.02 ,于是 N (t ) = 3.06 × 10 9 e 0.02(t ?1961) . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961 年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35 年翻一番,而上式断定34.6 年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670 年,地球上将有36 000 亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上, 地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此, 这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地 7 球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,

微积分与数学建模学习知识情况总结

微积分与数学模型（上册） 任课教师：陈骑兵 小组成员 张程1440610405 王子尧1440610402 李昊奇1440610403 梅良玉1440610426 方旭建1440610406 李柏睿1440610428

第1章 函数，极限与连续 1.1 函数的基本概念 准备知识（掌握集合与区间的相关知识） 函数定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于任意x ∈D ， 按照某一法则f ，变量y 都有确定的值和它对应，则称f 为定义在D 上的函数，数集D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量。与x 对应的y 的值记做f(x)，称为函数f 在x 处的函数值。D 上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域 函数特性： 1：函数的有界性 设f(x)在集合X 上有定义，若存在M>=0,使得对任意x 属于X 都有f(x 的绝 对值<=M, 则称函数f(x 在)X 上有界；否则，称函数f(x)在X 上无界。 2：函数的单调性 3：函数的奇偶性 4：函数的周期性 5：分段函数 6：复合函数 1.2初等函数 常值函数 如：y=C,C 为常数； 幂函数 如：y=x α,α∈R 为常数； 指数函数 如：y=a x ,a>0且a ≠1； 对数函数 如：y=a x log ,a>0且a ≠1； 三角函数 如：y=sinx,y=cosx,y=tanx ； 反三角函数 如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx ； 以及双曲函数 1.3 极限的概念 （1) .极限的直观定义：当x 接近于某个常数x 0但不等于x 0时，若f(x)趋向于 常数A ，则 称A 为f(x)当x 趋向于x 0时的极限。 (2) .极限的精确定义：给定函数f(x)和常数A ，若对于?ε>0（无论ε多么小），总彐δ>0,使得当0<|x-x 0|<ε,则称A 为f(x)当x 趋于x 0时的极限，记做

数学建模和高等数学的区别与联系

数学建模与高等数学的区别与联系 建立数学模型的过程叫做数学建模，数学模型是指“对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构，它或者能解释特定现象的现实性态;或者能预测对象的未来状况;或者能提供处理对象的最优决策或控制。”这个表述告诉我们，数学模型的对象是现实世界中的实际问题，数学模型本身是一个数学结构，它可以是一个式子，也可以是一种图表。数学模型的作用或目的是对现象进行解释、预测、提供决策或控制。 高等数学（也称为微积分。）是理、工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。微积分是人类两千年智慧的结晶，它的形成和发展直接得益于物理学、天文学、几何学等研究领域的进展和突破。 高等数学教学强调理论的系统性，结构的严密性，而轻视了基本概念的实际背景，实际意义的解释，割裂了微积分与外部世界的密切联系，没能充分显示微积分的巨大生命力与应用价值，使学生学了一大堆的定义、定理和公式，却不

知道对实际问题有什么用。而数学建模是通过调查、收集数据、资料，观察和研究其固有的特征和内在的规律，抓住问题的主要矛盾，运用数学的思想、方法和手段对实际问题进行抽象和合理假设、创造性地建立起反映实际问题的数量关系，即数学模型；然后运用数学方法辅以计算机等设备对模型加以求解，再返回到实际中去解释、分析实际问题，并根据实际问题的反馈结果对数学模型进行验证、修改、并逐步完善，为人们解决实际问题提供科学依据和手段。因此数学模型是数学与客观实际问题联系起来的纽带，是沟通现实世界与数学世界的桥梁，是解决实际问题的强力工具。然而在实践中能够直接运用数学知识去解决实际问题的情况还是很少的，而且对于如何使用数学语言来描述所面临的实际问题也往往不是轻而易举的，而使用数学知识解决实际问题的第一步就是要从实际问题的看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系，即数学模型，数学模型的组建过程不仅要进行演绎推理而且还要对复杂的现实情况进行归纳、总结和提炼，这是一个归纳、总结和演绎推理相结合的过程。 经过上述一番分析，我们发现数学建模和高等数学有各自的独到之处，但在学习应用中由着相辅相成的作用。我们必须改变只重视推理的传统数学教学模式，不仅要掌握数学知识而且学会“用数学”，学会用数学的知识与方法解决实际问题因此，在高等数学学习中渗透建模思想尤为重要。