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mba系统精讲班初数讲义

第一章实数

第一节实数及其运算

一、实数的分类

整数（正整数、零和负整数）

有理数分数（正分数和负分数）实数无理数（即为无限不循环小数）

注意：1.自然数集是非负整数集，是由正整数和零组成的

2.整数还有以下两种分类方式：

n 2

整数 (Z n ∈)

奇数12±n 1

正整数质数（也称为素数，它只有1和自身两个约数）

合数（有除1和自身以外的约数）

两个相邻整数必为一奇一偶. 除了最小质数2是偶数以外，其余质数均为奇数，任何一个合数都能分解为若干个质因数之积.

3.有理数是能表示为).(Z m Z n m

∈∈ 形式的数，这是它与无理数本质的区别

二、实数的基本性质

1.实数与数轴上的点一一对应.

2.若a 、b 是任意两个实数，则在b a b a b a >=<,,中有且只有一个关系成立.

3.若a 是任意实数，则2a ≥0成立

三、实数的运算

实数的加、减、乘、除四则运算符合加法和乘法运算的交换律、结合律和分配律，下面着重讨论一下实数的乘方和开方运算. 1.乘方运算

（1）当实数 a ≠0时，0a =1 ，n n

（2）负实数的奇数次幂为负数，负实数的偶数次幂为正数 2.开方运算

（1）在实数范围内，负实数无偶次方根：0是偶次方根是0，正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根. 如：a ＞0时，a 的平方根是a ±，其中a 是正实数a 的自述平方根.

（2）在运算有意义的前提下，m

n m n

a a =

例1.1 已知3个质数的倒数和为

1986

1661

，则这三个质数的和为（A ）334 （B ）335 （C ）336 （D ）338 （E ）不存在满足条件的三个质数

例1.2 把无理数5记作a ，它的小数部分记作b ，则b

a 1

-等于（A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（E ）以上答案均不正确

例1.3 641

773216616155814441332122

11++++++（）【06年试题】 A.1615308 B. 3231308 C. 6463308 D. 128

127308

例1.4 9.08.07.06.05.04.03.02.01.0)911)(811)(711)(611)(511)(411)(311)(211(++++++++--------的值是（）【05年试题】

A. 812

B. 92

C. 29

D. 2

例1.5 比较20012002a =

，20022003b =，2003

2004

c =的大小（）. A. c b a << B. b c a << C. a b c <<

D. b a c <<

例1.6 O 为数轴的原点，,,a b c 的大小关系如下图所

示，则

111111

a b b c c a

---+-的值是（）. A.0

第二节绝对值和平均值

一、实数的绝对值

定义1.2 实数a 的绝对值用a 表示

a 当a ＞0时

|a | 0 当a ＝0时

-a 当a ＜0时

实数a 的绝对值的几何意义：数轴上表示数a 的点A 到原点O 的距离，如图1-2所示

|a |=｜OA ｜

实数的绝对值具有以下性质：

（1）|a |≥0 （实数的绝对值是非负实数）；

（2）|-a |=|a | （互为相反数的两实数绝对值相等）；（3）-|a |≤a ≤|a | （4）|x |＜a a -?＜x ＜a

|x |＞a x ?＜a -或x ＞a （5）|a ·b | = |a |·|b |

（6）｜a

｜=)0(≠a a b

（7）b a +≤|a |+|b | 当且仅为a 、b 同号时，等式成立；（8）b a -≥|a |-|b | 当且仅为a 、b 同号时，等式成立；（9）a ∈R 时2

a =2a

例1.6 已知0)2(12

=-++-y x y x 求x y log

例1.7 求适合下列条件的所有x 的值：（1）｜x -3|=8 （2）｜x -3|＜8 （3）｜x -3|≥8

例1.8 已知｜x -a ｜≤1，｜y -x ｜≤1，则有

（A ）｜y -a ｜≤2，（B ）｜y -a ｜≤1 （C ）｜y +a ｜≤2 （D ）｜y +a ｜≤1

例1.9已知

2535235+-=+-x x

x x ，求x 的取值范围.

例1.10 若x -3+｜x-2｜＜a 的解集是空集，则a 的取值范围为（） A. a ＜1 B. a ≤1 C. a ＞1 D. a ≥1 E. a ≠1

二、平均值

定义1.3 有n 个数x 1，x 2，x 3，……n x . 称

x x x x n

+??+++321

为这n 个数的算术平均值，记做 ∑==n

i i x n x 1

定义1.4 n 个正实数x 1，x 2，x 3，……n x . 称

n x x x x ??????321

为这n 个数的几何平均值，记住n

i i

n x

x ∏==1

例 1.11 求3、8、9 三个数的算术平均值和几何平均值

例1.12 某班学生共40人，期中数学考试成绩统计如表1-1所示：表1-1

问该班其中数学考试平均成绩不会低于多少分？

例1.13 如果x 1x 2x 3三个数的算术平均值为5，则x 1+2，x 2-3，x 3+6与8的算术平均值为（） A.413 B. 21

6 C.

7 D.3

19 E.均错

例1.14 选择题

1.某同学9门课的平均考试成绩为80分，后查出某两门课的试卷分别少加了5分和4分，则该同学的实际平均成绩应为（）

（A ）90分（B ）80分（C ）82分（D ）81分（E ）83分

2.车间共有40人，某次技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分. 该车间有女工（）

（A ）16人（B ）18人（C ）20人（D ）24人（E ）25人

例1.15 某班同学在一次测验中，平均成绩为75分，其中男同学人数比女同学多80%，而女同学平均成绩比男同学高20%，则女同学的平均成绩（） A. 83 B.84 C.85

D.86

E.均错

例1.16 某校有25%的考生超过该校自定的及格线，且平均成绩比及格线多15分，未达及格线考生的平均成绩比及格线少25分，而全体考生的平均成绩为60分，则该校规定的及格分数线为（）分 A.70 B.75 C.78 D.80

E.85

例1.17 打印一本书稿，甲、乙两人合打8天可以完成，甲单独打12天完成，实际上乙先打了若干天后，再由甲继续完成，全部完成共用了15天，求两人各工作了多少天？

真题：

1.五个不同的数，两两之和依次等于3，4，5，6，7，8，11，12，13，15.这五个数的平均值是（

）.

【08年试题】 A. 18.8

B. 8.4

C. 5.6

D. 4.2

2.两个正数a, b ()a b >的算术平均值是其几何平均值的2倍，则与

最接近的整数是（）. A. 12

B. 13

C. 14

D. 15

第三节比和比例

定义1.5 两个数a 、b 相除又可称做这两个数a 与b 的比，记得a ：b ，即a ：b ＝b

其中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，若a 除以b 的商为k ，则称k 为a ：b 的比值比的基本性质

（1）a ：kb a k b =?= （2）a ：)0(:≠=m mb ma b

在实际应用时，常将比值表示为百分数，一般情况以百分数形式表示的比值称为百分比（或百分率）. 若a ：

b =r %，则常表述为“a 是b 的r %”，即a =b ·r %

定义1.6 如果两个比a ：b 和c ：d 的比值相等，就称a 、b 、c 、d 成比例，记做a ：b =c ：d ，或b a =d

c ，其中，a 和

d 叫做比例外项、b 和c 叫做比例内项.

当a ：b =b : c 时，称b 为a 和c 的比例中项，显然当a 、b 、c 均为正数时，b 是a 和c 的几何平均值. 比例的基本性质：

（1）a : b =c : bc ad d =? （2）a : b =c : a c b d d ::=?

d b c a ::=? 正反比例：

定义1.7 若k o k kx y ,(≠=为常数），则称y 与x 成正比，k 为比例系数. 若k o k x

y ,(≠=为常数），则称y 与x 成反比例，k 为比例系数.

例1.16 某工程队原计划用6天时间挖水渠800米，结果前两天就完成了计划的40%，照这个进度施工，可提前几天完工？若仍施工6天，可挖水渠多少米？

例1.17 某商品单价上调10%后，再降回原价，问下降百分比是多少？

例1.18 两个相似三角形△1与△2的对应中线之比为3：2，若△1的面积是a +3，△2的面积是a -3，则a 的值为

（A ）15 （B ）19105 （C ）5

（D ）8 （E ）A 、B 、C 、D 都不正确

例1.19 已知y =y 1-y 2，且y 1与

成反比例，y 2与21+x 成正比例，当x =1时，y =-21，又当x =0时，y =2

3-,那么y 可用x 来表示的式子是（）

（A ）21

22++-=x x y （B ）2

322+-

=x x y （C ）2

312+-=

x x y （D ）2312+--=x x y

（E ）A 、B 、C 、D 都不正确

例1.20 某公司的纯收入是51万元，欲按9

:31:21的比例分配给下属甲、乙、丙3个部门，乙部门得到的款数为（）万. A.6

B.17

C.18

D.27

例1.21有一正的既约分数，如果其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数的分子与分母的乘积等于 A.24

B.30

C.32

D.36

例1.22 设a 、b 、m 均为大于零的实数，且b ＜a ，则（） A.

m b m a ++＞ b a B. m b m a ++=b

m b m a ++＜b a D. m b m a ++与b

的大小无法确定【07年试题】

3. 图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长

方形，其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于（）. A.22 B.20 C.18

D.11.25

1.甲、乙两种茶叶以x ：y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种茶每斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x ：y 等于（）【2004年试题】

A.1：1

B.5：4

C.4：5

D.5：6

第二章整式和分式

第一节整式

定义2.1 在有理式中没有除法运算或有运算但除式中不含字母的式子叫做整式. 整式包括单项式和多项式，整式的和、差、积仍为整式一、整式的运算 1.整式的加减运算

几个整式相加减，有括号的先去括号（括号前是负号的去括号时注意变号），然后合并同类项. 整式加法满足交换律，结合律和（与乘法混合运算时的）分配律例如：

132********)

11()674()563(2

222+--=+-+----=---+---x x x x x x x x x x x x

2.整式的乘法运算

单项式乘以单项式时，系数与系数相乘，同底数幂相乘；单项式与多项式相乘时，单项式乘以多项式的每一项；多项式乘以多项式时，一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，然后合并同类项. 整式的乘法运算满足交换律，结合律和(与加法混合运算时的)分配律

乘法公式 3

3222

22222

22))(())((33)(222)(2)(b a b ab a b a b a b a b a b

ab b a a b a ca

bc ab c b a c b a b ab a b a ±=+±-=-+±+±=±+++++=+++±=±

例如：

x x x x x x x x 21)41(4242)21)(21()42)(1(2

-=---+-=-+--+

3.整式的除法运算

整式)(x F 除以整式)(x f 分式为 )(x y 余式为)(x f ，要有)(x F = )(x f )(x g +)(x r 。当)(x r =0时，)(x F =)(x f ·)(x g 成立，此时则称整式)(x F 能被整式)(x f 整除。整式的除法定理：

()()()(),()()F x x a r x F x x a g x r x x a -=-?+=整式除以的余式为则，当时，

)(a r =)(a F 成立。

二、多项式的因式分解

把一个多项式表示成几个整式之积的形式，叫做多项式的因式分解，在指定数集内进行多项式因式分解时，一般情况下，要求最后结果中的每一个因式均不能在该数集内继续分解. 多项式因式分解的常用方式如下：方法一提取公因式法.

方法二公式法（乘法公式从右到左，即为因式分解公式）方法三求根法

若方程 02

2110=+???++--n n n n a x

a x a x a 有n

个根

，，，，，n x x x x ???321则多项式

=+???+++--n n n n a x a x a x a 22110)())()((3210n x x x x x x x x a -???---.

方法四二次三项式的十字相乘法. 方法五分组分解法. 方法六待定系数法

例2.1 在实数范围内将下列多项式分解因式：（1）2

18122xy y x x +- （2）8232--x x （3）b a bx ax --+2299 （4）223---x x x

例2.2 多项式1)(2

-++=ax x a x x f 被1+x 除余-2，则实数a 等于（）（A ）1 （B ）1或0 （C ）-1 （D ）-1或0 （E ）1或-1

例2.3 已知1)(2

-++=ax x a x x f 能被1+x 整除，则实数a 的值为（）（A ）2或-1 （B ）2 （C ）1 （D ）-2或1 （E ）以上答案均不正确

例2.4 在实数范围内，将多项式120)4)(3)(2)(1(-++++x x x x 分解因式，得（）（A ）)165)(6)(1(2

+--+x x x x （B ）)165)(6)(1(2

+++-x x x x （C ）)165)(6)(1(2+-++x x x x

（D ）)165)(6)(1(2

-++-x x x x

（E ）以上答案均不正确

例2.5设实数c 、、b a 是三角形的三条边长，

且满足条件))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式，则这个三角形是（）（A ）等边三角形（B ）等腰但非等边三角形（C ）直角三角形

（D ）直角三角形或等边三角形

（E ）以上答案均不正确

例2.6 1)(143)(2

--+=---+=x x x x g x x x x x f 和的最大公因式是（）. A. 1+x B. 1-x

C. )1)(1(-+x x

D. )1)(1(2

-+x x

例2.7 如果多项式6)(2

+++=qx px x x f 含有一次因式1+x 和2

-x ，则)(x f 的另外一个一次因式是 A. 2-x B. 2+x C. 4-x

D. 4+x

例2.8 已知b ax x x x f ++-=23

2)(除以22--x x 的余式为12+x ，则a 、b 的值是（） A.3,1-==b a B. 1,3=-=b a

C. 3,2=-=b a

D. 3,1==b a

例2.9 已知1≠ab ，且满足022008b 3032008222=++=++b a a 和则（） A.02-3=b a B. 03-2=b a

C.023=+b a

D. 032=+b a

真题：

1.设P 是正数，则2

99x Px +-=（）. A. (9)(11)x x -- B. (9)(11)x x +-

C. (9)(11)x x -+

D. (9)(11)x x ++

第二节分式

定义2.2 用A ，B 表示两个整式，若B 中含有字母，则称B

为分式. 注意：分式中分母的值不能为零，否则分式无意义

定义2.3 分子和分母没有正次数的公因式的分式，叫做最简分式（或既约分式）

一、分式的基本性质

分式的基本性质分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变. 分式的基本性质主要性质应用在分式的通分和约分上

分式的所有运算结果如果仍为分式，此分式必须通过约分化为最简分式.

二、分式的运算

1.分式的加减运算

同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减，注意最后结果要约分化为最简分式.

不同分母的几个分式相加减，取这几个分式分母的公分母作分母，通分后化为同分母分式的加减运算. 例如：

)(3)(2)(34)(3633342=++=++-++=++-++y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x 分式加法满足交换律、结合律和（与乘法混合运算时的）分配律.

2.分式的乘除法运算

几个分式相乘，分子乘分子，分母乘分母，注意约分. 分式的乘法运算满足交换律、结合律和（与加减法混合运算时的）分配律.

两个分式相除，将除式的分子分母颠倒变为乘法运算.

例如： )())((2222y x y x

y x y x y x x y x xy y x x -=+?-+=+--

例2.7 已知31

x x ，则441x

x +等于（）（A ）50 （B ）49 （C ）48

（D ）47

（E ）46

例2．8化简)

101002011

12716512312222+++???+++++++++x x x x x x x x 的结果为（）

（A ）

)

101)(1(100

--x x

（B ）

)

101)(1(100

-+x x

（C ）

)

101)(1(100

++x x

（D ）)

101)(1(100

+-x x

（E ）以上答案均不正确

真题：

1. 当1x ≠-和2x ≠-时，

2112

32x m n

x x x x -=+

++++，则（）. A. 2m =-，3n = B. 3m =-，2n =

C. 2m =，3n =-

D. 3m =，2n =-

2. 已知

==-==d a c d c b b a 则,25,97,53（）. A. 7514- B. 75

D.14

75-

第三章方程与不等式

第一节方程和方程组

含有未知数的等式称为方程，方程中的未知数称为元，使方程成立的未知数的值，叫做方程的解（一元方程的解也叫做方程的根）求方程解或确定方程无解的过程叫做解方程. 组成方程组的所有方程的公共解，叫做方程组的解. 一、一元一次方程和它的解法

任何一个含一个未知数且未知数最高次数为1 的方程均可通过同解变换化为如下形式：

)0(0≠=+a b ax

称这种形式为一元一次方程的标准型.

一元一次方程的解法：将所给一元一次方程化简，得到)0(≠-=a b ax 型，进而得出方程的解

b x -=

二、二元一次方程组形如

222111c y b x a c y b x a =+=+ 次方程组。的方程组、称为二元一不同时为零与不同时为零与???

??2211b a b a 二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的. 这两个二元一次方程的公共解就是这个二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解法：

方法一加减消元法

①×2b －②×1b ,消去 y （也可以消去x ）得

21121221)(c b c b x b a b a -=-

从听得一元一次方程中，解出x ，再将x 的值代入①或②，求出x 的值，从而得出方程组的解.

方法二代入消元法由①得

)0(11

11≠-=

b b x

a c y 将其代入②,消去y ，得出关于x 的一元一次方程解之

三、一元二次方程

形如)0(02

≠=++a c bx ax 的方程为一元二次方程一元二次方程的解法有以下几种：

1.直接开方法例如 2

8222±===-x x x

2.配方后再开方例如 6

2,620

6)2(0

242

2±=±=-=--=--x x x x x 故

3.分解因式法例如

x ,023

x ,0130

)2(132530

2532122==--==+=-+=--=--得由得由）（x x x x x x x x

4.求根公式法

对于一元二次方程02

=++c bx ax ，它的解为)04(242

2≥--±-=ac b a

ac b b x ，其中ac b 42-

称为一元二次方程的根的判别式，记为△，即△＝ac b 42-. △＜0时，方程无实根；

△=0时，方程有两个相等的实根； △＞0时，方程有两个不等的实根；一元二次方程的根与系数的关系：

设方程02=++c bx ax )0(≠a 的两个根为21,x x ,则有 a

c x x a b x x =-=+2121,

例3.1 解下列方程或方程组（1）

321=---x x

（2）2

2235)1)(12()1(3x x x x x -+=+--+

（3） 2

321

23-=+=-y x y x

例3.2 有若干练习本，分给某小组每位同学. 若每人分3本，则多2本，若每人分4本，则还有1个人没有练习本，问练习本共有多少本？该小组有多少位同学？

例3.3 李先生以一笔资金投资于甲、乙两个企业，若从对甲企业的投资额抽回10%，从对乙企业的投资额中抽回5%，则李先生总投资额减少8%. 若从对甲、乙企业的投资额中各抽回15%和10%，则总投资额减少130万元. 问李先生这笔资金有多少万元？

例3.4 甲、乙两汽车从A 、B 两地相向而行，甲车速度是乙车速度的

. 若甲出发1小时后，乙才出发，则再经6小时后，甲、乙两车在途中相遇. 若甲、乙两车同时出发，经过6小时30分钟，它们都未相遇，且相距5千米. 向甲、乙两车速度各为多少（千米/小时）？A ，B 两地距离多少千米？

例3.5 若1x ，2x 是方程0132=+-x x 的两个根，求下列各式的值

（1）2

1x x +（2）

12x x x x +（3）3231x x +（4）||21x x - 例3.6 选择题

1.一个容器中盛有纯酒精10升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次倒出同样的升数，再用水加满，这里容器中酒精的浓度是36%，则每次倒出的溶液为（A ）4升

（B ）5升

（C ）7升

（D ）8升

（E ）3升

2.快、慢两列车的长度分别为160米和120米，它们相向行驶在平行轨道上. 若坐在慢车上的人见整列快车驶过的时间是4秒，那么坐在快车上的人见整列慢车驶过的时间是

（A ）3秒（B ）4秒（C ）5秒（D ）6秒（E ）以上结论均不正确

例3.7 解下列方程

（1）125log log 325log 25=+-x x x （2）

332

1=+?----x x

例3.8 已知01532=++x x 的两根为=+β

ααββα，则

，（） A.3

5 C.

3 D. 53-

例3.9 0c 22=+-x x 的两根之差的平方等于16，则c =（） A.3

B.-3

C.6

D.0

例 3.10 若b a 、为互不相等的实数，且,013,0132

=+-=+-b b a a 则b a +++11

11（） A.

D.1

E. 2

第二节不等式和不等式组

对于含有未知数的不等式，能使其成立的未知数的值的集合，叫做这个不等式的解集.

由若干个含有同一个未知数的不等式组成的不等式组的解集，就是组成不等式组的所有不等式解集的公共部分（即交集）

不等式（组）解集的区间表示法：

满足a ＜x ＜b 的x 的集合叫做开区间，记为（a ,b ）满足a ≤x ≤b 的x 的集合叫做闭区间，记为[a ,b ] ；

满足a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的x 的集合，叫做半闭半开区间或半开半闭区间，记为[a ,b ）或（a ,b ]；满足x ＞a 或x ≤a 的x 的的集合，记为（a ，+∞）或（-∞，a ]实数集R 记为（-∞，+∞）. 求不等式（组）的解集的过程，叫做解不等式（组）.

解不等式的过程，应该是不等式的同解变形的过程，不等式的同解变形有以下几种： ①移项：不等式中的任意一项，都可以改变符号后从不等式的一边移到另一边.

②不等式的两边同乘（或除）以一个正数，不改变不等号的方向，不等式的两边同乘（或除）以一个负数，必须改变不等号的方向.

③在不改变原不等式中未知数取值范围的前提下的其他变形.

一、一元一次不等式（组）及其解法

1.一元一次不等式的标准型为：

ax ＞b (a ≠0)

或

ax ＜b (a ≠0)

2.一元一次不等式的解法

将所给一元一次不等式化为标准型后，不等式两边同除以未知数x 的系数a 注意：当a ＞0时，不等号不变向；当a ＜0时，不等号改变方向.

3.一元一次不等式组的解法

分别求出组成不等式组的每个一元一次不等式的解集后，求这些解集的交集. 注意：可应用数轴，直观地求出交集.

二、一元二次不等式及其解法

1.一元二次不等式的标准型为：

c bx ax ++2＞0(a ＞0)

或

c bx ax ++2＜0（a ＞0）

注意：一元二次不等式的标准型中，二次项系数为正. 2.一元二次不等式的图像解法

将所给一元一次不等式化为标准型后，依表2-1最后一行，即开口向上的抛物线c bx ax y ++=2

(a ＞0)的不

同位置求解.

三、含有绝对值的不等式的关键是化去式中的绝对值符号，常用的方法有：

1.|)(x f ｜＜a ?－a ＜)(x f ＜a |)(x f ｜＞a ?)(x f ＜-a 或)(x f ＞a

2.(|)(x f ｜)2=()(x f )

3. |)(x f ｜=

)()(x f x f - 0

)(0

)( x f x f ≥

例3.9 解下列不等式或不等式组（1）

421---x x ＞-1

（2）(1)2(1)m x m ->-

（3）

)12(13)14(23

12->++->-<-x x x x x x

（4）652>+-x x

（5）04

≤+

+x x

（6）222x x <+

例3.10 解关于x 的不等式：222++ax x ＞0

例3.11 解下列不等式

（1）532<-x （2）652

>-x x

（3）1421>---x x （4）

5≤+-x x 例3.12 关于x 的一元二次方程

)0(04)1(22≠=---m x m mx

的两个实根，一个比1大，一个比1小. 求m 的取值范围.

例3.13 选择题

1.)134(log 2

2--=x x y 的定义域为（）（A ）),1()4

1,(+∞?--∞ （B ）),1(]4

1,(+∞?--∞ （C ）)1,4

（D ）]1,4

1[-

（E ）A 、B 、C 、D 都不正确

2.)

23lg(4

2x x x y -+-= 定义域为（）（A ）［2，3）（B ）（2，3）

（C ）［2，1+3 ）∪（1+3，3）（D ）（2，1+3 ）∪（1+3，3）（E ）A 、B 、C 、D 都不正确

3.不等式（x 4

-4）-（x 2

-2）≥0的解集是（）

（A ）x ≥2或x ≤-2 （B ）-2≤x ≤2

（C ）x ＜-3或x ＞3 （D ）-2＜x ＜2 （E ）空集

例3.14 不等式 ?????

+->

+->x

x x x 22330的解集是（） A.(0,6)

B.(O,2.5)

C.(0,2)

D.(0,3)

例3.15 不等式22-+x x ＜4-x 的解集（）

A.)2,1[]2,(?--∞

B. ),1[]2,(+∞?--∞

C. )2,(-∞

D. ),2[)1,(+∞?-∞

例3.16 不等式组?????<+++<-+0

5)25(20

10222k x k x x x 的整数解只有一个是-2，则k 的取值范围为（）

A.1≤k ＜2

B.1≤k ≤2

C.1＜k ＜2

D. k =1

【真题】已知某产品全年产量600吨，需要分批生产，每批生产费用包括生产准备费1440元和直接消耗费，直接消耗费与本批产量的平方成正比，当每批生产50吨时，直接消耗费是1000元，问每批生产多少吨时，全年的总费用最少？总费用是多少？

第四章数列第一节基本概念

定义4.1 依一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫这个数列的项. 数列的一般表达形式为????????n a a a a 321 或简记为{n a }。

其中a n 叫做数列{n a }的通项，自然数n 叫做n a 的序号，如果通项n a 与n 之间的函数关系，可以用一个关于n 的解析式)(n f 表达，则称n a =)(n f 为数列{n a }的通项公式.

如数列1、?、

、、814121的一个通项公式为1

21-=n n a 知道了一个数列的通项公式，就等于从整体上掌握了这个数列，即由通项公式可求出这个数列中的任意一项，对任意给出的数可以确定它是否是该数列中的项.

如在上面给出的数列中，由121-=

n n a ，可以求出1024

12110==n

a ，也可以断定101

不是该数列中的项，而由

61622,2

1641==-n ，得7=n ,即641

是已知数列中的第7项

数列的前n 项的和记做n S . 对于数列{n a }，显然有

n S =n a a a a +???+++321

当n =1时，1a =1S ，当n ≥2时，n a =S n -S n-1

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.

例4.1 数列{n a }的前n 项和522

++=n n S n 求321+++++n n n a a a

例4.2 已知数列{n a }的前n 项和1

32-+=n n S 求通项公式，并判断29和162是否是该数列中的项.

第二节等差数列

定义4.2 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差. 记做d .

即{n a }是等差数列d a a n n =-?+1（常数），d 为等差数列{n a }的公差.

等差数列的一般表达形式为???-+

???-?=?.1.21111d a d a d a a ）（， 1.等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且A =2

a + 2.通项公式

d n a a n )1(1-+=

3.前n 项和公式

n n na S a a n S n n n 2)

1(2

)

(11-+=+=

4.常数列???????321c c c 是公差d =0的等差数列。

5.若n S 是等差数列{n a }的前n 项和，则n S .....232n n n n S S S S --仍成等差数列。

例4.4 已知数列{n a }的前n 项和n n S n +=2

4那么下面正确的是

（A ）{n a }是等差数列（B ）n a =2 （C ）n a =32+n （D ）S 10=411 （E ）S 10=256

例4.5 化简n

n n n n n n 1

...321++-+-+-

例4.6 在等差数列中，已知公差2

=d ，且60...9931=+++a a a ,求10021...a a a +++的值.

例4.7 等列数列}{n a 中

（1）若48111032=+++a a a a ，求76a a +和12S （2）若15105,120,30S S S 求==

例4.8 铜片绕在盘上，空盘时，盘心直径80毫米，满盘直径160毫米，已知铜片的厚度是0.1毫米，求满盘时，一盘铜片共长多少？

例4.9 知 0)2)(2(2

=+-+-q x x p x x 、)(q p ≠的四个实根构成一个首项为

的等差数列，则()=-q p

A 、1

B 、43

C 、21

D 、8

E 、2

第三节等比数列

定义4.3 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记做q . 即{}n a 是等比数列q a a n

n =?

（常数）；q 为等比数列{}n a 的公比. 等比数列的一般表达形式为： (1)

12111，，，

，，-n q a q a q a a

1.通项公式：)(1

1N n q a a n n ∈=-.

2.等比中项：若a 、G 、 b 三者成等比数列，那么G 叫做a 、b 的等比中项，且有=2G

ab 或=G ab ±.

3.前n 项和公式： q

q a S n n --=1)

1(1 或 )1(11≠--=

q q q a a S n n

4.非零常数列 )0...(≠c c c c ，

，，是公比1=q 的等比数列，其nc S n =. 5.无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1

a S -=

. 6.若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，则 ,,,232n n n n n S S S S S --仍成等比数列.

例4.10 等比数列{}n a 中，若51274-=a a ，12483=+a a ,且公比Z q ∈（整数集），求10a

例4.11 7个数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比例列，且奇数项的和与偶数项的积的差为42，首项、末项、中间项之和为27，求中间项.

例4.12 已知数列{}n a 的前n 项和n

n S 23+= ，则这个数列是：

（A ）等差数列（B ）等比数列（C ）既非等数列，又非等比数列（D ）既是等差数列，又是等比数列（E ）无法判定

例4.13 解下列各题：

（1）已知在等差数列{}n a 中，21512841=+---a a a a a 求 133a a +的值；（2）在等比数列{}n a 中，已知 252645342=++a a a a a a ，求53a a +的值.

例4.14 求和（1）)21()813()412()211(n n ++???++++++ （2）)1()1()1(11

-+???++++???++++++n a a a a a a

例4.15 某人在2002年1月1日，存入银行一年整存整取的金额为a 元. 2003年1月1日存款到期时，将本利一并取出，并全部再存入一年到期的定期存款，若某人每年1月1日都照上述办法存款，且年利率r 保持不变，问：他到2006年1月1日本利取出总数应是多少元？

例4.16

1. 设,,,a x y b 依次成等差数列，,,,c x y d 依次成等比数列，其中0y x >>，则有（）. 【08年真题】 A. 2

()2a b cd +=

B. 2()2a b cd +<

C. 2

()4a b cd +>

D. 2

()4a b cd +<

2. 三个不同的非零实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 恰成等比数列，则a

等于（）. A. 4

B. 2

C. 4-

D. 2-

3. 设n 为正整数，在1与1n +之间插入n 个正数，使这2n +个数成等比数列，则所插入的n 个正数之积等于（）.【06年试题】 A. 2

(1)n n +

B. (1)n

n +

C. 2(1)n

n +

D. 3(1)n

n +

第四节数学归纳法

用数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题()P n ，有以下步骤：（1）先验证当n 取第1个值0n （如01n =）时命题成立。