选修4-4坐标系与参数方程_高考题及答案

1、已知在直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为3x t y =-???=??，

（t 为参数），在极坐标系（与

直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C

的极坐标方程为2

4s 30co ρρθ-+=.

①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围.

2、已知曲线C 1的参数方程是?

????x ＝2cos φ，

y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、

B 、

C 、

D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π

3

)．

(Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；

(Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2

的取值范围．

3、在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2

＋y 2

＝4，圆C 2：(x －2)2

＋y 2

＝4.

(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；

(Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．

4、在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为

??

?

x ＝3cos α，y ＝sin α

(α为参数)．

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π

2

)，判断点P 与直线l 的位置关系；

(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

5、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?

??

??

x ＝2cos α，

y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的

动点，P 点满足OP →＝2OM →

，P 点的轨迹为曲线C 2.

(1)求C 2的方程；

(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π

3与C 1的异于极点的

交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.

6、已知P 为半圆C ：?

??

??

x ＝cos θ

y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O

为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π

3.

(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．

7、在极坐标系中，已知圆C 经过点P ? ????2，π4，圆心为直线ρsin ?

????θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

8、在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知

直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，? ????

233

，π2，圆C 的参数方程为

??

?

x ＝2＋2cos θ，

y ＝－3＋2sin θ

(θ为参数)．

(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．

1、【答案】①直线l 0y -+=.

曲线C 的直角坐标方程为：2

2

430x y x +-+=【或2

2

(2)1x y -+=】. ②曲线C 的标准方程为2

2

(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为1；

∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为:022d +=

=

所以点P 到直线l 的距离的取值范围是[1,1]22

-+ 2、解：(Ⅰ)由已知可得

A (2cos π3，2sin π3)，

B (2cos(π3＋π

2)，2sin(π3＋π2))，C (2cos(π3＋π)，2sin(π3

＋

π))，D (2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π

2

))，

即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (Ⅱ)设P (2cos φ，3sin φ)，

令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2

，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16

＝32＋20sin 2

φ.

因为0≤sin 2

φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．

3、解：(Ⅰ)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ. 解?

????ρ＝2ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，

故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π

3

)．

注：极坐标系下点的表示不唯一．

(Ⅱ)法一：由?

???

?x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．

故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为?

????x ＝1

y ＝t ，－3≤t ≤ 3.

(或参数方程写成?????x ＝1

y ＝y ，－3≤y ≤3)

法二：将x ＝1代入?????x ＝ρcos θ

y ＝ρsin θ

，得ρcos θ＝1，

从而ρ＝1

cos θ

.

于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为?

????x ＝1

y ＝tan θ，

－π3≤θ≤π3

. 4、 (1)把极坐标系的点P (4，π

2)化为直角坐标，得P (0,4)，

因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线 l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为

(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝

α＋

π6＋42

＝2cos(α＋π

6

)＋22，

由此得，当cos(α＋π

6

)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.

5、 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ? ??

??x 2，y

2.由于M 点在C 1上， 所以?????

x 2＝2cos α，y

2＝2＋2sin α，

即?

??

??

x ＝4cos α，

y ＝4＋4sin α.

从而C 2的参数方程为???

??

x ＝4cos α，

y ＝4＋4sin α.

(α为参数)

(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π

3，

射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π

3.

所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.

6、 (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π

3

，

故点M 的极坐标为? ??

??π3，π3.

(2)M 点的直角坐标为? ????π

6

，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为

?????

x ＝1＋? ??

??π6－1t ，y ＝3π6t ，

(t 为参数)．

7、解：在ρsin ?

????θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，

所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．

因为圆C 经过点P ? ????2，π4，

所以圆C 的半径PC ＝2

2

＋12

－2×1×2cos π4

＝1，

于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

8、 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，?

????

0，233，

又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为? ??

??

1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝

3

3

x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)， ???

0，233，

遇到失意伤心事，多想有一个懂你的人来指点迷津，因他懂你，会以我心，换你心，站在你的位置上思虑，为你排优解难。

一个人，来这世间，必须懂得一些人情事理，才能不断成长。就像躬耕于陇亩的农人，必须懂得土地与种子的情怀，才能有所收获。

一个女子，一生所求，莫过于找到一个懂她的人，执手白头，相伴终老。

即使芦花暖鞋，菊花枕头，也觉温暖；即使粗食布衣，陋室简静，也觉舒适，一句“懂你”,叫人无怨无悔，愿以自己的一生来交付。

懂得是彼此的欣赏，是灵魂的轻唤，是惺惺相惜，是爱，是暖，是彼此的融化；是走一段很远的路，蓦然回首却发现，我依然在你的视线里；是回眸相视一笑的无言；是一条偏僻幽静的小路，不显山，不露水，路边长满你喜爱的花草，静默无语却馨香盈怀，而路的尽头，便是通达你心灵的小屋……

瑟瑟严冬，窗外雪飘，絮絮自语说了这多，你可懂我了吗？若你知晓，无需说话，只报一声心灵的轻叹，那，便是我的花开春暖。你相不相信，人生有一种念想，不求奢华不求结果，不求你在我身边，只愿有一种陪伴暖在心灵，那，便是懂得。

有人懂得是一种幸福，懂得别人是一种襟怀，互为懂得是一种境界。

懂得，真好！