空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案
一．空间直角坐标系
如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以
正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz 平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．
二．空间直角坐标系中的坐标
空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z 叫做点M的竖坐标
[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．
[例2] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|
＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分
别写出长方体各顶点的坐标．
变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中
的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。
2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。
3. 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，
(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标．
解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，
且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2＝PA2－OA2＝?2a?2－?2a?2＝2a.
以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2a,0,0)，D(0，－2 a,0)，P(0,0，2a)．
(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋0
2
，
2a＋0
2
，
0＋2a
2
)，即M(0，
2
2
a，
2
2
a)．
[例3] 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．
变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．
解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz 平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．
2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．
[正解] 取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连线OA，OO1，
根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且
|OA|＝
3
2
×2＝3，
以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC—A1B1C1各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用
1. 直线的方向向量与平面的法向量
(1) 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．
(2) 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量．
2. 线面关系的判定
直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．
(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2?e 2＝λe 1?a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1． (2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2?e 1·e 2＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0． (3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1?e 1·n 1＝0?a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0．
(4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1?e 1＝k n 1?a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2?n 1＝k n 2?x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2?n 1·n 2＝0?x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角
①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是?
?
???0，π2.
②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.
(2) 直线与平面所成的角
①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是?
??
???0，π2.
②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|
(3) 二面角
①二面角的取值范围是[0，π]． ②二面角的向量求法：
(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．
(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2
的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．
题型1 空间向量的基本运算
[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.
(1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．
解：∵A (－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →
， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)． (1)∵cosθ＝
a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5
＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ? ????－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a
－2b )，
∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2
＋k －10＝0，解得k ＝－52
或2.
题型2 空间中的平行与垂直
例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．
求证：(1) AM∥平面BDE ；(2) AM⊥平面BDF.
证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N ，连结NE.则N ? ??
??22，22，0，
E(0，0，1)，
A(2，2，0)，M ?
????22，22，1.∴ NE →＝? ????－22，－22，1，AM →＝? ??
??－22，－22，1. ∴ NE →＝AM →
且NE 与AM 不共线．∴ NE∥AM.∵ NE
ì平面BDE ，AM ?平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.
(2) 由(1)知AM →＝? ??
??－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF →＝(0，2，1)，
∴ AM →·DF →
＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F ，∴ AM ⊥平面BDF.
题型3 空间的角的计算
例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.
(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．
解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．
设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 2
0＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，
∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →
＝(0，－2，2)．
设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝?????
???EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝14
7.
(2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则?????n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即?????z 1＝0，
3x 1＋y 1＝0.
令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2
＝(x 2，y 2，z 2)，
同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝? ??
??1，0，32. 设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝??
??n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77
.∴ sin β＝42
7.
（翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知
∠A＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．
(1) 求证： DC⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．
解：(1) ∵ 平面ABD⊥平面BDC ，又∵ AB⊥BD，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB⊥DC，又∵ ∠C＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC íABC 平面ABC ，DC ?平面ABC ，故DC⊥平面ABC.
(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，
设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ? ????32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝? ??
??12a ，－32a ，0，BF →
＝(a ，0，a)．
设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC ，
∴ cos ????π2－θ＝CD →·BF →
|CD
→|·|BF →|＝12a 2a ·2a
＝24，∴ sin θ＝24.
(3) 由(2)知 FE⊥平面ABC, 又∵ BE ì平面ABC ，AE ì平面ABC ，∴ FE⊥BE，FE ⊥AE ，
∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2
＝72
a ，
∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE ＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－1
7
.
课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．
(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；
(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．
解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，
2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →
＝(1，－1，－4)．
因为cos 〈A 1B →，C 1D →
〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为
310
10
. (2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)， 因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→
＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，
取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量． 取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝
n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23
，得sin θ＝5
3.
因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为5
3
. 2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝
22
AB. (1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值． (1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF ì平面A 1CD ，BC 1?平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.
(2) 由AC ＝CB ＝
22
AB 得AC⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→
＝(2，0，2)．
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则?????n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即?
???
?x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1
＝0.
可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则?????m ·CE →＝0，
m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．
从而cos 〈n ，m 〉＝
n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为6
3
.
3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4， ∠ACB ＝∠ACD＝π
3
，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.
(1) 求PA 的长；
(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．
解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD，
故AC⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐
标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π
3＝3，故A(0，－3，0)，
B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．
因为PA⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ????0，－1，z 2，又AF →
＝?
???0，2，z 2，
PB →＝(3，3，－z)，因AF⊥PB，故AF →·PB →＝0，即6－z 22
＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA →
|＝2 3.
(2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →
＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1
＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．
由n 1·AD →＝0，n 1·AF →
＝0，
得???－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0， 得???3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，
故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18
. 故二面角B-AF-D 的正弦值为
37
8
. 4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．
(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SD
DB
为何值时，CD ⊥AB ；
(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．
解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．
(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD →
＝(3(1－λ)，－3，3λ)．
因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →
＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23
.
故SD DB ＝1
2
时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB →
＝0，
n 2·SC →
＝0，则?????3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得?
????x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，
所以cos 〈n 1，n 2〉＝
3×0＋1×0＋1×112
＋12
＋（3）2
·1
＝
5
5
. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为
55
. 5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．
(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF∥平面AD 1E.
(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．
则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED 1→
＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，
AE →
＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)，
AC →
＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．
设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．
由?????ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0T?????－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0T?????a ＝2，b ＝－1，由???
??AC →·n ＝0，AE →·n ＝0T?????－c ＋d ＝0，
d ＋1＝0T?
??
??c ＝－1，
d ＝－1， ∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋1
6×3＝0，∴二面角D 1AE
C 的大小为90°.
(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.
∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点，
∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG. 又D 1E 、D 1A ì平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.
∵GF 、GB ì平面BGF ，∴平面BGF∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF∥平面AD 1E.
(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD 1E ，亦可) 6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是BC 的中点．
(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．
解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，
0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→
＝(0，4，0).
设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→
＝4y ＝0. ∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，
∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→
·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14
＝33535.
(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→
＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝＝(0，3，2)．
设二面角B 1A 1DC 1的大小为α， ∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝
|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765
＝3455
65.
∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为
3455
65
. 7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.
(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；
(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为
25
5
. 解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，
2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →
〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|
＝
－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3
.
(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→
＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．
设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP →
＝(2λ，4－2λ，2)，
则?????n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.?????λx＋2y －λy＋z ＝0，2y ＝0.?????z ＝－λx，
y ＝0.
故n 1＝(1，0，－λ)，
而平面ABA 1的法向量是n 2＝(1，0，0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1
1＋λ
2
＝255，解得λ＝1
2
，即P 为棱B 1C 1中点，其坐标为P(1，3，2)． 近六年高考题
1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC
，AB ，CE ＝EF ＝1.
(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE ；(3)求二面角A-BE-D 的大小．
【答案】设AC 与BD 交与点G 。因为EF
1
2
所以四边形AGEF 为平行四边形.所以AF EG ??（II ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面相互垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD.
如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C-xyz .则C （0，0，
0），A
，0），
B （0，0
）.
所以(
22
CF =u
u u r ，(0,BE =u u
u r ，(DE =u u u r .所以0110CF BE =-+=u u u r u u u r g ,1010CF DE =-++=u u u r u u u r
g
所以CF
BE ⊥,CF DE ⊥.所以CF ⊥BDE.
(III)
由（II
）知，(
,22
CF =u u u r 是平面BDE 的一个法向量.设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =,则0n BA =u u u r g ，0n BE =u u u r
g
.
即(,,)0(,,)0x y z x y z ==???
所以0,
x =且,z = 令
1,y =则
z =所以n =.
从而cos ,2
||||n CF n CF n CF ??==u u u r
u u u r g u u u r 。 因为二面角A BE D --为锐角， 所以二面角A BE D --的大小为
6
π. 2．【2011高考北京理第16题】（共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平
面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB ＝，60BAD ∠?＝. （
1）求证：BD ⊥平面PAC ；
A
C
（2）若PA PB
＝，求PB与AC所成角的余弦值；
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
3. 【2012高考北京理第16题】（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE
∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A
1DE的位置，使A
1
C⊥CD,如图2.
(I)求证：A
1
C⊥平面BCDE；
(II)若M是A
1D的中点，求CM与平面A
1
BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A
1DP与平面A
1
BE垂直？说明理由
∴cos
||||
CM n
CM n
θ
?
====
?
u u u u r r
u u u u r r
，
∴CM与平面
1
A BE所成角的大小45?。
4. 【2013高考北京理第17题】(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C 是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5，
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
1
BD
BC
的值．
【答案】解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则1
11
0,
0,
A B
A C
??=
?
?
?=
??
u u u r
u u u u r
n
n
即
340,
40.
y z
x
-=
?
?
=
?
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)．
所以cos〈n，m〉＝
16
||||25
?
=
n m
n m
.由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面
角A1－BC1－B1的余弦值为
16
25
.
5. 【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）
如图，正方体MADE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，
在五棱锥ABCDE
P-中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱FD，
PC分别交于G，H
.
（1）求证：FG AB //；
（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.
6. 【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=?，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；
(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
【解析】解：（Ⅰ）证明：AEF ?Q 为等边三角形，O 为EF 中点，AO EF ∴⊥ 又Q 平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF I 平面EFCB EF =，AO ∴⊥平面EFCB ，
AO BE ∴⊥，
（Ⅱ）以O 为原点建立如图坐标系(),0,0E
a ，(),0,0F a -，()
0,0,
3A a ，()()
2,32,0B a -
()
,0,3EA a a
→
=-，()()
2,32,0
EB a a →
=
--平面AEF 的法向量()0,1,0m →
=；设平面AEB 的
法向量(),,n
x y z →
=，
则030300n EA x z x y n EB →→
→→???=-+=??
???+=???
?=?取(
)
3,1,1
n →
=-5
cos ,15
m n
m n m n
→→
→→
→
→
?∴=
=
=-
?? 又Q 二面角F AE B --为钝角，∴二面角F AE B --的余弦值为5
5
-
． （Ⅲ）BE Q ⊥平面AOC ，BE OC ∴⊥，()()
2,32,0OC
a →
=--，
()()()2232320BE OC a a a →→
?=--+-?
-=，解得2a =（舍）或43
a =
考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题.
7.【2016高考北京理数】（本小题14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM
AP
的值；若不存在，说明理由.
【解析】⑴∵面PAD I 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD ∵AB ⊥AD ，AB ?面ABCD ∴AB ⊥面
PAD
∵PD ?面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB
⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO
∵CD AC ==CO ⊥AD ∵PA PD = ∴PO ⊥AD 以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，
则(11
1)PB =-u u u v ，，，(011)PD =--u u u v ，，，(201)PC =-u u u v ，，，(210)CD =--u u u v
，， 设n v
为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =v ，
011,120
n PD n n PC ??=???
?=-? ????=??v u u u v v v u u u
v ，，则PB 与面PCD 夹角θ有 ⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD 设AM AP
λ=，()0,','M y z 由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-u u u r ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-u u u u r 有()
0,1,AM AP M λλλ=?-u u u u r u u u r
∴()1,,BM λλ=--u u u u r
∵BM ∥面PCD ，n u u r 为PCD 的法向量
∴0BM n ?=u u u u r r 即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14
AM AP =时，M 点即为所求.
高一数学立体几何练习题及部分答案大全
立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案
【巩固练习】 一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，11 11114 A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1715 B ． 2 1 C ．17 8 D ． 2 3 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=?，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=( ) A ．2 B ．2- C ．2-或 255 D ．2或255 - 5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 2 AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ） A ． 621 B ． 33 8 C ．60 210 D ． 30210 6.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 ==2 AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（ ）
立体几何--空间的距离.
、选择题 1.正方形ABCD边长为2, E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿 面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果/ MBE= / MBC , MB和平面BCF 1 值为1，那么点M至?线EF的距离为 （ 2 D.- 2 2 .三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA i=1 , AB =4, BC= 3 , / ABC=90 °，设平面 ABC的交线为I，则A1C1与I的距离为（） 二、填空题 4.如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°， 那么EF与平面ABCD的距离为 三、解答题 （1）求证：平面A1BC1 //平面ACD1； 立体几何--空间的距离 EF折成直二 所成角的正切 B.1 A i BC i与平面 A J10 B. TH C.2.6 D.2.4 3.如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 5.在长方体如图:
(2)求(1)中两个平行平面间的距离; ⑶求点B i到平面A i BC i的距离. 6.已知正四棱柱ABCD —A i B i C i D i，点E在棱D i D上，截面EAC // D i B且面EAC与底面ABCD所成的角为45° ,AB=a,求: (i)截面EAC的面积; ⑵异面直线A i B i与AC之间的距离; ⑶三棱锥B i —EAC的体积. 7?如图，已知三棱柱A i B i C i —ABC的底面是边长为2的正三角形, AC均成45°角，且A i E丄B i B于E, A i F丄CC i于F. (i)求点A到平面B i BCC i的距离; ⑵当AA i多长时，点A i到平面ABC与平面B i BCC i的距离相等. &如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ ABC = —,AB= 2 2 / ADC=arccos—75 ,PA丄面ABCD 且PA=a. 5 (i)求异面直线AD与PC间的距离; (2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为亨 【空间的距离参考答案】 一、i.解析：过点M作MM '丄EF,则MM '丄平面BCF ?// MBE= / MBC ??? BM '为/ EBC为角平分线, ￡■ 侧棱A i A与AB 、 i -AD=a, 3
高中数学立体几何测试题及答案一)
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
利用空间向量解立体几何(完整版)
向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．
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