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一类向量值函数的Adams不等式_赵亮

一类向量值函数的Adams不等式_赵亮
一类向量值函数的Adams不等式_赵亮

多元函数微分法

第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法,尤其是形如z=f (x 2-y 2 ,e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时,对一个变量求导时,将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ,z 为常数),32221z y x y y u ++=??(x ,z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则,即z=f (u ,v),u=u(x ,y),v=v(x ,y),有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种: (一)全部函数关系都给出:这时可按前边方法求偏导数,如求二元函数 )ln(2v u z +=,xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,,可以把u ,v 代入z 中,再求偏导数,即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy ),求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? (二)部分函数关系没有给出:此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ,x 2+y 3),

的一阶偏导数,则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ,v=x 2+y 3,用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=,23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则,有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数,是复合函数求偏导数的应用,方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ,z 为常数),32221z y x y y u ++=??(x ,z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t),y =y (t),z = z (t),在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ,则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ,y ,z)=0(或z=f (x ,y)),在曲面上的点P(x 0,y 0,z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ,则在点(x 0,y 0,z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000

五章 多元分析基础1

第五章多元分布基础 前面所介绍的统计分析分法(除方差分析、回归分析),大多是适用于一个变量的总 体,一般称为一元统计分析方法。但在许多实际问题如在工农业生产(提高产品质量、降低成本、提高农作物产量及改进品种等),国民经济和科学研究领域(经济管理、金融、气象、地质、生物、医学、航天技术等)中,常常要处理多个变量的观测数据,即要研究多维随机变量的分布、数字特征及变量间的关系。如果仍用一元统计方法分别对每一个变量进行分析,这样往往忽视了各方面之间存在的相关性,一般来说会丢失很多信息,分析的结果不能客观全面地反映情况.如果说一元统计分析是研究一个随机变量统计规律性的数学方法,那么多元统计分析则是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的数学方法。 多元统计分析方法是以概率论、线性代数及一元统计方法为基础的数理统计学的一个分支。随着计算机的发展,特别是统计软件的应用,多元统计分析方法才被广泛的应用到解决实际问题中,本身也得到了迅猛的发展。 5.1多元分布 一、多元分布的概念 1. 分布函数 定义5.1.1设)',,,(21p X X X =X 是一随机向量,它的(多元)分布函数是 )(x F =),,,(21p x x x F =),,(11p p x x P ≤≤X X (5.1.1) 式中,),,,(' 21p x x x x =p R ∈,并记成X ~),,,(21p x x x F 多元分布函数的性质: Ⅰ),,,(21p x x x F 是每个变量x i (i =1,…, p )的非降右连续函数; Ⅱ1),,,(021≤≤p x x x F ; Ⅲ=-∞),,,(2p x x F ==-∞ ),,,(1p x x F ),,,(21-∞ x x F =0; Ⅳ1),,,(=∞∞∞ F 。 本章主要对连续型的多元分布进行讨论,离散型的的多元分布常用的有如:多项式分布、多元超几何分布。 2.两个常用的离散性多元分布 (1)多项分布 (2)多元超几何分布 3.多元分布密度函数

MATLAB多元函数导数

实验六 多元函数的极值 【实验目的】 1. 多元函数偏导数的求法。 2. 多元函数自由极值的求法 3. 多元函数条件极值的求法. 4. 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。 【实验内容】 求函数3282 4 -+-=y xy x z 的极值点和极值 【实验准备】 1.计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数),(y x f z = 步骤2.求解正规方程0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点 步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数,,,2222 2y z C y x z B x z A ??=???=??= 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2 B A C -,如果02 >-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0

MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。 可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息 【实验方法与步骤】 练习1 求函数3282 4 -+-=y xy x z 的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即 .48,843y x y z y x x z +-=??-=??再求解正规方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令,当方程组不存在符号解时,solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为: >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点,分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数: >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知)2,4(--P 和)2,4(Q 都是函数的极小值点,而点Q(0,0)不是极值点,实际上, )2,4(--P 和)2,4(Q 是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍 点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);

导数与向量

1.曲线2ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离是 ( ) A B . C . D .0 2.设点P 是曲线32 3 y x =+ 上的任意一点,则点P 处切线的倾斜角的取值范围是 ( ) A .2,3ππ?????? B .2,23ππ?? ??? C .,32ππ??-???? D .20,,23πππ???????????? 3.设2 :()ln 21x p f x e x x mx =++++在[)0,+∞内单调递增,:5q m ≥-,则p 是q ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 4.设a ∈R ,函数()e e x x f x a -=+?的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数 . 若曲线()y f x =的 一条切线的斜率是 3 2 ,则切点的横坐标为 ( ) A. ln 22- B.ln 2- C.ln 22 D. ln 2 5.设a ∈R ,若函数3a x y e x =+,x ∈R 有大于零的极值点,则 ( ) A .3a >- B .3a <- C .13a >- D .1 3 a <- 6.若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于 . 7函数101)(2 23处有极值在=+--=x b ax bx x x f ,则a = ,b = 8.已知函数f (x )=(ax 2-x )ln x -12 ax 2+x (a ∈R ). (1)当a =0时,求曲线y =f (x )在(e ,f (e ))处的切线方程;(2)求函数f (x )的单调区间. 9.已知函数21()(1)ln 2f x x x ax a =-+-+.(1)若32 a =,求函数)(x f 的极值; (2)若对任意的)3,1(∈x ,都有0)(>x f 成立,求a 的取值范围. 10.已知对任意R ∈m ,直线0=++m y x 都不是)(3)(3R ∈-=a ax x x f 的切线. (1)求a 的取值范围;(2)求证在]1,1[-∈x 上至少存在一个0x ,使得4 1 |)(|0≥x f 成立. (1,0)3y x =2 1594 y ax x =+-a

多元函数求值

多元函数求最值

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多元函数求最值问题 一.【问题背景】 多元函数是高等数学中的重要概念之一,但随着新课程的改革,高中数学与大学数学知识的衔接,多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现,因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性,成为最值求解中的难点和热点。同时,多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法,而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此,怎样求多元函数的最值,是师生们非常关注和必须解决的问题,也是高考考生们必须具备的解题技能。 二.【常见的方法】 导数法、消元法、均值不等式法(“1”代换)、换元法(整体换元 三角换元)、数形结合法、柯西不等式法、向量法等 主要思想方法:数形结合、化归思想等 三.【范例】 例1:已知实数,x y 满足0x y >>,且2x y +≤,则21 3x y x y ++-的最小值为 。 方法一 因为422x y +≥,所以 ()2121 4( )()[(3)()]332333322 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++-+-+--+=+ + +-+≥≥ 当且仅当221,322x y =-=-取等号,故 21 3x y x y ++-的最小值3224+ 【评注】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数, 再用单调性或基本不等式求解,二是直接用基本不等式,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过不等式的途径进行。 方法二 利用不等式()2 22a b a b p q p q +++≥ ,引证: 记向量( ,),(,)a b x y p q p q ==r u r ,因为() 222x y x y ??r u r r u r ≤ 所以 ()2 2 2 a b a b p q p q +++≥,则 () () 2 2121 32x y x y x y +++-+≥ 3224+≥ 【评注】在求有些多元函数的最值时,恰当构造向量模型,利用向量数量积的性质,常可使 复杂问题变得简单明了,使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 0,2x y x y >>+≤,所以 01y << 又因为 ()() 2121332222211y x y x y y y y y -++=+-+-+-≥

函数的导数

普通函数的导数到算子的导数 一元函数导数的几何意义 如果函数f 在0x 处可微(可导),由公式 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?, 可以做出函数f 在0x 的导数0()f x '的几何图形,如下所示

图 1.1 由图1.1可知红线的斜率为00()()tan f x x f x y x x ?+?-?= =??,当0x ?→时,红线逐渐趋于蓝线?θ→,蓝线是函数f 上点00(,())x f x 的切线,则蓝线的斜率为 000 ()() tan lim tan lim x x f x x f x x θ??→?→+?-==?. 因此,一元函数导数的几何意义是函数在某点处的斜率. 定义1.2(二元函数的可微性)2D ? 是开集,1:f D → ,00 012(,)x x x D =∈. 如果函数的增量可表示为 000 121200001122121122000()() (,)(,) (,)(,)(||)()(||), y f x f x f x x f x x f x x x x f x x A x A x o x x A x x o x x ?=-= -=+?+?-=?+?+-'=-+- 其中12,A A 是只依赖于0x 的常数,0||x x -=,则称f 在0x 处可微(可导),称1122A x A x ?+?为f 在0x 处的全微分.此时,

,1,2.i i x x f A i x =?= =? 那么 1122 x x f x A A A f x =??? ???? ?== ? ???? ???? 此时,向量A 称为f 在0x 的“梯度”,或“导数”.记作0()()f x ?,或0()f x ',导数的极限形式为 1200 112001*********(,)()lim ().(,)()lim x x f x x x f x x f x f x x x f x x ?→?→??+?- ?? ?'= ?+?- ? ???? 二元函数导数的几何意义 如果函数f 在0x 处可微(可导),由公式 1200 112001*********(,)()lim ()(,)()lim x x f x x x f x x f x f x x x f x x ?→?→??+?- ?? ?'= ?+?- ? ???? , 可以做出函数f 在0x 的导数0()f x '的几何图形,如下所示 图 1.2

6.2 多元函数的偏导数和全微分

6.2 多元函数的偏导数和全微分 6.2.1 偏导数的概念与计算 1.偏导数定义 对于二元函数),(y x f z =,如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数),(y x f z =对于x 的偏导数。 定义:设函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量),(),(0000y x f y x x f -?+ 如果极限x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作: 0y y x x x z ==??, 0y y x x x f ==??,0 0y y x x x z ==,或),(00y x f x 。 即:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?) ,(),(lim ),(00000 00. 类似地,函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为: y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 , 记作: 0y y x x y z ==??, 0y y x x y f ==??,0 0y y x x y z ==,或),(00y x f y 。 偏导函数:如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导函数, 记作 x z ??, x f ??, x z , 或),(y x f x 。 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0 . 类似地, 可定义函数),(y x f z =对y 的偏导函数, 记为 y z ??, y f ??, y z ,或),(y x f y 。

函数导数及其应用(导数)

函数、导数及其应用 2.7导 数 【高考目标定位】 一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击 (1)了解导数概念的实际背景 (2)理解导数的几何意义; (3)能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y= 1 x ,y ; (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数。 2、热点提示 (1)导数的几何意义是高考考查的重点内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题中; (2)导数的运算每年必考,一般不单独考查,在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次); (2)了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)。 (3)会利用导数解决某些实际问题。 2、热点提示 (1)在高考中,重点考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间、极值、最值,以及利用导数解决生活中的优化问题。有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。 (2)多以解答题的形式出现,属中、高档题目。

【考纲知识梳理】 一、变化率与导数、导数的计算 1、函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率 函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率为 2121 ()() f x f x x x --,若21x x x ?=-, 21()()y f x f x ?=-则平均变化率可表示为 y x ??。 2、函数y=f(x)在x=x 0处导数 (1)定义 称函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率 0000()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=??为y=f(x)在x=x 0处导数,记作 0000000()()()|,()lim lim x x x x f x x f x y f x y f x x x =?→?→+?-?'''==??或即 (2)几何意义 函数f(x)在点x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y=f(x)上点(0x ,0()f x ')处的切线的斜率。相应地,切线方程为y-y 0=0()f x '(x=x 0). 3、函数f(x)的导数 称函数0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?+?-'=?为函数f(x)的导函数,导函数有时也记作y ' 注:求函数f(x)在x=x 0处的导数的方法: 方法一:直接使用定义;0000()() ()lim x f x x f x f x x ?+?-'=?; 方法二:先求导函数0()() ()lim x f x x f x f x x ?+?-'=?,再令x=x 0求0()f x ' 4、基本初等函数的导数公式 函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ 1'n y nx -= sin y x = 'cos y x =

多元微分学复习笔记

11.多元函数微分学 1.全微分:多元函数可微指该函数在该点存在向量使得 向量b成为函数该点的导数,成为函数的全微分2.偏导:某点关于某个自变量的导数成为该店关于自变量得偏导。 3.多元函数:可微 4.方向导数:类似于偏导是全导数在某个方向上的投影。所以 5.梯度:梯度就是偏导数构成的行向量。 注:当函数在该点可微时,梯度就是导数,只不过导数一般写作列向量,梯度是行向量。 6.高阶偏导数:当混合偏导数在该点连续时混合偏导数是相等的。7.高阶微分:由于存在高阶混合偏导,所以高阶微分类似于二项式比较复杂难求。 。) 9.多元复合函数求导法则:链式法则:再求复合函数再求一次导 10.向量值函数的链式法则较复杂,但都是在向量值函数的基础上加上链式法则。而且用矩阵表示更方便。 11.复合函数一阶全微分不变性:无论是多元函数还是多元复合函数,一阶全微分的形式都不变。12中值定理:函数凸区域内可微 而高阶全微分由于混合偏导不为零,所以形式会变 即凸区域内两点中间至少存在一个点的全微分与两点连线的差值。 13talyor公式:类比一元函数泰勒公式将一元函数的k阶导数替换为多元函数的导数 。 Lagrange 型余项. Peano型余项:Rk = o(ρ^k)(ρ → 0) 14.隐函数: 一元隐函数定理:设 ? ? R2 是区域, P(x0, y0) ∈ ?, F(x, y) 是定义在 ? 上的二元函数且:f(x0, y0)=0,在(x0.y0)的一定邻域内有连续偏导数,且f对y的偏导数不为零。则在点 P 的某邻域U(P) ? M 内方程(11.4.1) 能唯一地确定可导的隐函数。且 隐函数求导公式 注:1在上述定理中, 如果 F(x, y) 在 ? 上 k 阶连续可微, 则隐函数 y = y(x) 也在U(x0, ρ)上 k 阶连续可微. (隐函数求导公式)2.类似地, 若 Fx(x0, y0) ?= 0可以确定 x 为 y 的隐函数 x = g(y). 3.定理的条件是充分但不必要的.例如 F(x, y) = x^3? y^3 = 0 在 (0, 0) 点附近可确定隐函数 y = f(x), 但 Fy(0, 0) = 0.多元隐函数定理:

多元函数求最值

多元函数求最值问题 一.【问题背景】 多元函数是高等数学中的重要概念之一,但随着新课程的改革,高中数学与大学数学知识的衔接,多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现,因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性,成为最值求解中的难点和热点。同时,多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法,而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此,怎样求多元函数的最值,是师生们非常关注和必须解决的问题,也是高考考生们必须具备的解题技能。 二.【常见的方法】 导数法、消元法、均值不等式法(“1”代换)、换元法(整体换元 三角换元)、数形结合法、柯西不等式法、向量法等 主要思想方法:数形结合、化归思想等 三.【范例】 例1:已知实数,x y 满足0x y >>,且2x y +≤,则21 3x y x y ++-的最小值为 。 方法一 因为422x y +≥,所以 ( )2121 4( )()[(3)()]3323333x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++-+-+--+=+ + +-+≥≥ 当且仅当1,3x y ==-取等号,故 213x y x y ++- 的最小值34 + 【评注】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数, 再用单调性或基本不等式求解,二是直接用基本不等式,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过不等式的途径进行。 方法二 利用不等式()2 22a b a b p q p q +++≥ ,引证: 记向量x y == ,因为() 222x y x y ?? ≤ 所以 ()2 2 2 a b a b p q p q +++≥ ,则 ) () 2 12132x y x y x y ++-+ ≥ 【评注】在求有些多元函数的最值时,恰当构造向量模型,利用向量数量积的性质,常可使 复杂问题变得简单明了,使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 0,2x y x y >>+≤,所以 01y << 又因为 ()() 2121332222211y x y x y y y y y -++=+-+-+-≥

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