线性空间
1、下列乘务员题给家的集使中，加法和数乘按通常方式定义，分别考察它们是否构成线性空间，若不构成，指出不满足什么公理。 （1）分子次数不超过分母次数的全体有理函数 能构成线性空间
（2）满足2(0)(1)f f =，在包含0，1两点的任何区间上有定义的全体函数f ；能构成线性空间
（3）满足lim ()0x f x →+∞
=的全体函数f ；
能构成线性空间
（4）满足()(1)f x f x =-的全体函数f ；
（5）满足1
0()0f x dx ≥?，定义在[]0,1上的全体可积函数f ；
不能构成线性空间 不满足公理6
（6）平面上不平行于某一向量的全体向量 不能构成线性空间
不满足公理1，即不满足加法封闭公理
（7）平面上的全体向量，定义加法为通常的加法，定义数乘如下；对任意的平面向量a 及实数,k ka θ=； 不能构成线性空间 不满足公理+
（8）取0z =的全体3R 中的向量(,,)x y z
能构成线性空间，可以说明2R 空间是3R 的子空间 （9）满足341,0x y z +==的全体3R 中的向量(,,)x y z ； 不能构成线性空间 不满足公理2，5，6
（10）其坐标满足下列方程组的全体3R 中的向量(,,)x y z ；
11121321222331
3233000
a x a y
a z a x a y
a z a x a y a z ++=??
++=??++=? 能构成线性空间
2、设1212(,),(,)x x x y y y ==是2R 中任意两个向量，k 是任意实数，在2R 中分别按照下列方式定义加法和数乘，考察按比定义了加法和数乘的2R 是否构成线性空间，若不构成，指出不满足什么公理
（3）12212(,),(,)x y x x y kx kx kx +=+= 不能构成线性空间，不满足公理3
5、下列各题中，S 表示3R 中坐标满足给定条件的全体向量(,,)x y z 构成的集合，考察S 是否为3R 的子空间，若是，确定dims. （3）220x y =
解：}{
22(,,)0S x y z x y =-=
取s 中任意两个元素111222(,,),(,,)x y z x y z 必有2222
11220
x y x y -=-=
111222121212(,,)(,,)(,,)x y z x y z x x y y z z +=+++ 111111(,,)(,,)k x y z kx ky kz = （k 为任意实数）
2
2
11()()0kx ky -=
2
2
12121212()()2()x x y y x x y y +-+=-不一定为
S
∴不是3R 的子空间
（4）2y x =且3z x =
解：{}(,,)23S x y z y x z x ===且
取s 中作任意两个元素111222(,,),(,,)x y z x y z ，必有112y x =且11223;2z x y x ==且
23x =2z
111222212121(,,)(,,)(,,)x y z x y z x x y y z z +=+++ 212121212121222()333()
y y x x x x z z x x x x +=+=++=+=+
111111(,,)(,,)k x y z kx ky kz = （k 为任意实数）
11112()3()ky kx kz kx ==
S
∴是3R 的子空间
{}(,2,3)S x x x x R =∈
dims=1
6、下列各题中，n P 表示次数不超过n 的全体多项式()P t 构成的集合，而n P 中满
足给定条件的全体多项式构成的集合记为s ，考察S 是否为n P 的子空间，若是，确定dims.
（3）()P t 是偶函数
{}2
012012,,,n
n n n P a a t a t a t a a a a R =+++∈
()P t 为偶函数，则有()()P t P t =-恒成立
取1S 中任两个元素12,P P 。则有1222()(),
()()P t P t P t P t =-=-
1212()()()()P t P t P t P t +=-+- 1()()kP t kP t =- S
∴是n P 的子空间
12
dim 12
n
n s n n ?+??=?
+???为偶数
为奇数
（4）()P t 是奇函数 {}
2
012
012,,,12n n n
n
P a a t a t a t a a a
a =+++∈ ()P t 是奇函数，则有()()P t P t =--恒成立 任取S 中两个元素12,P P ，则有
1122()(),
()()P t P t P t P t =--=--
[]1212()()()()P t P t P t P t +=--+-
11()()kP t kP t =-- S
∴是n P 的子空间
12
dim 12
n
n s n n ?+??=?
+???为偶数
为奇数
（4）112212(,),(,)x y x y x y kx k x k x +=++= 不能构成线性空间，不满足公理4
3、设,x y 是线性空间V 中任意两个元素，k 是任意实数，证明：
（5）,0,kx ky k x y =≠=且则 证明：()0kx ky
kx ky k x y =∴==-= （公理3）
又0,k ≠∴ 根据公理5可知x y θ-= x y ∴=
4、下列各集合w 是否构成n R 的子空间？ （4）{}1212(,,,)0,n w a a a a a ai R =+=∈ 能构成n R 的子空间
（5）{}1212(,,,),n i w a a a a a a R =+≠∈ 不能构成n R 的子空间
（6）{11221212,,,n w k a k a a a R k k R =+∈∈，当12,k k 不全为零时，}1122k a k a θ+≥≠ 不能构成n R 的子空间
7、设,S T 是线性空间V 的子集，证明： （1）若,()()S T L s L T ??则.
（2）若,S T 均是V 的子空间，则SnT 和S T +是V 的子空间 证明：（1）设{}{}1212,,,,,1,S x x xk T x x xk xk xk p =?=++
121
21
(),,,k
i i i
k
i L s x a x x x x k s a a a k
=?
?
==
∈∈???
?
∑
12121
(),,;,k p
i i k i L T x a x x x xk p T a a a p R +=??
==
+∈+∈???
?
∑
当120k k k p a a a +++==== 时()()L s L T =，但12,,k k k p a a a +++ 可以取任意实数，所以()()L s L T ?
（2）{}SnT a a s a T =∈∈且，取SnT 中任意两个元素12,,a a
S
是V 的子空间121,a a s ka s ∴+∈∈（k 为任意实数）
又T 是V 的子空间121,a a T ka T ∴+∈∈（k 为任意实数）
121,a a SnT ka SnT ∴+∈∈
SnT
∴是V 的子空间
{},S T a b a S b T +=+∈∈取其中任意两元素1122,a b a b ++ S
是V 的子空间 121,a a S k a S ∴+∈∈（k
为任意实数） 又T 是V 的子空间 121,
b b T k b T ∴+∈∈（k
为任意实数）
112212121111()a b a b a a b b S T k a b ka kb S T
∴
+++=+++∈++=+∈+
S T
∴+是V 的子空间
8、设12313,,0C C C C C βγθ?++=≠且，证明：(,)(,)L L ββγ?= 证明：1233,0C C C C βγθ?++=≠ 且 123
3
C C C C γβ∴=-
?-
(,,)(,,
L L ββγ∴?=? 又1222,0C C C C βγθ?++=≠ 且 321
1
C C C C βγ∴?=-
-
(,)(,,L L βγβγ∴=? (,)(,)
L L ββγ∴?= 10、设V 是有限维线性空间，S 是其子空间，证明： （1）S 是有限维的且dim dim S V ≤ （2）dim dim S V =充要条件是;S V =
（3）S 的任意组基必是V 某组基的子集 证明：（1）反证法：假设dim dim S V >，则有S 中必定含有V 中没有的元素，这与S 是其子空间矛盾
S ∴是有限维的且dim dim S V ≤
（2）必要性： d i m
d i m S V = .S V ∴的最大独立集中元素个数相同 设S 的一组基{}12,,,k x x x V 的一组基{}12,,k λλλ
又S 是V 的子空间 ∴根据定理1、3、2可知{}12,,k x x x 也是V 的一组基
S V
∴=
充分性：S V = ，即S 与V 是同一个有限维性空间 ∴必定有dim dim S V =
（3）根据定理1、3、2可知V 中任何独立集必是V 的某组基的子集 S 是V 的子空间
S ∴的任意一组基必定包含在V 中任何独立集中 S ∴的任意一组基必是V 的某组基的子集。
11、设1212(,,),(,,,)n n x x x x y y y y == 是n R 中任意两个向量，考察下列各题中
(,)x y 是否为n
R
中的内积，若不是，指出不满足什么公理
（1）1,;n
i
i i x y x
y ==
∑
解：11
(,)n
n
i i i
i
i i y x x y x
y ===
≠
∑
∑
1
(,)n
i
i
i x x x
x ==
∑不一定大于等于0
不是n R 中的内积，不满足公理1、4
（2）1
1
(,)n
n i
i
i i x y x y ===
∑∑
解：(,)(,)x y y x =
不是n R 中的内积，不满足公理4
2
121
1
(,)()0n
n i
i
n i i x x x x
x x x ===
=++≥∑∑
当120n x x x ++= 时，(,)0x x =，与仅当0x =时，(,)0x x =矛盾。
（3）2
22
1
1
1
(,)()n
n
n
i
i i
i
i i i x y x
y x y ====
+--∑∑∑
解1、(,)(,)y x x y =
2、2
2
21
11(,)()()n
n
n
i
i i i
i i
i i i x y z x
y z x
y z ===+=
++-
+-
∑∑∑
222
221
1
1
1
1
1
(,)(,)()()n
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i i i i i i x z y z x z x z y z y z
======+=+
--++
-
-∑
∑
∑
∑
∑∑
[]1
22n
i
i
i i i x z
y z ==
+∑
[]1
(,)2()(,)
(
,)n
i i i
i x y z x y z x z y z =+=+=+∑ 3、
2
2
2
2
11
1
1
(,)()2n n
n
i
i i
i
i i i n i
i
i cx y cx
y c x y cx y
=====
+--=
∑∑∑∑
2
2
21
1
1
1
(,)(())2(,)(,)
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i i i i i c x y x y x y c x y c x y c x y ====?=+
--
=
??∴=
∑∑
∑∑
4、2
1
(,)20n
i
i x x x
==
≥∑
仅当0x =时，(,)0x x = (,)x y ∴是n R 中的内积
12、设(),()f t g t 是全体多项式构成的函数空间中的任意两个元素，考察下列各题中(,)f g 是否是该空间的内积，若不是，指出不满足什么公理，题（3）中(),'()f t g t '是导数
（1）(1)(1)(,)f g f g = 解：公理1：(,)(,)f g g f =
公理
2：
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
(,)(,)(,)
f g z f g z f z g z f z g z ??+=+=+??=+
公理3：(1)(1)(,)(,)cf g cf g c f g ==
公理4：2
(1)
(,)0f f f =≥ 当(1)0f =时，1()0f f =，与仅当0,(,)0f f f ==矛盾
(,)f g ∴不是该空间的内积，不满足公理4
（2）'0
(,()()f g f t g t dt
=
?
解：公理1：(,)(,)f g g f =
公理2：
[]'
''0
(,)()()()()()()f g z f t g t z t dt
f t ztdt
g t z t dt
+=
+=
+
??
?
''0
(,)(,)()()()()(,)f z g z f t z t dt g t z t dt f g z +=+
≠+?
?
公理3：''00
(,)()()()()(,)
cf g cf t g t dt c t g t dt c f g ===??
公理4：'
2
()0
(,)0t f f f dt =
≥?
仅当2()
0t f =时，(,)0f f =。即仅当0f = (,)f g ∴不是该空间的内积，不满足公理2、3
（3）'
''
(,)()();f g f t g t dt =
?
解：满足公理1 公理2：'
'
'
''
''
'
(;)()()()()'()()f g z f g z t dt f t z t dt g t z t dt +=
+=
+
?
?
?
(,)(,)f z g z =+ 公理3：'
'
''
''
00
(,)()()()()(,)cf g cf t g t dt C f t g t dt c f g ===??
公理4：'
'2
(,)(())0f f f t dt =
≥?
仅当'2()0f t =时，(,)0f f =，即'()0
()f t f t c
==
(,)f g ∴不是该空间的内积，不满足公理4
（4）''
(,)(())(())f g f t dt g t dt =??
解：满足公理1
公理2：
[]''
0'
'
'
'
(,)(()())(())
(())(())(())(())(,)(,)
f g z f t g t dt z t dt f t dt z t dt g t dt z t dt f z g z +=+=+=+?
????? 公理3：
''''
(,)(())(())(())(())
(,)
cf g cf t dt g t dt C cf t dt g t dt C cf g ===????
公理4：'
20
(,)(())0f f f t dt =≥?
仅当'
()0f t dt =?时，(,)0f f =，这与()0f t =时，()0f t =，(,)0f f =矛盾。
(,)f g ∴不是该空间的内积，不满足公理4
13、设,x y 是欧氏空间V 中的任意元素，证明
（2）(,)0x y =的充要条件是x ky x +≥，这里k 是任意实数 （3）设,x y 均是非零元素，它们的夹角是4，则有
2
2
2
2c o s 4
x y
x
y
x
y -=+- （2）证明:充分性
2
(,)(,)2(,)(,)x ky x ky x x k x y k y y ++=++
x ky x +≥
(,)(,)x ky x ky x x ∴++≥ 2
2(,)(,)0k x y k y y ∴+≥其中k
为任意实数
(,)0x y ∴
=
必要性：
2
(,)(,)2(,)(,)x ky x ky x x k x y k y y ++=++
又(,)0x y =
2
(,)(,)(,)x ky x ky x x k y y ∴++=+
又2(,)0k y y ≥
(,)(,)x ky x ky x x ∴++≥
x ky x ∴+≥
（3）证明：(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y --=+-+-+-- (,)(,)(,)(,)x x x y x y y y =--+
(,)2(,)(,)(,)
x x x y x y y y =--+
又(,)cos 4x y x y =
2
(,)x y x y x y --=-
2
(,)x x x
=
2
2
2
2
(,)
2cos 4
y
y y x y x
y
x
y =∴-=+-
14、在4R 中求下列向量?与β的夹角： （3）(1,1,1,2),(3,1,1,0)β?==-
解：
(,)13111(1)203
(,)cos arccos βββθβ
θ?=?+?+?-+?=?=
==
=?=
=
=?
∴==
15、设123,,γγγ是3R 的一组标准正交基，证明：
112321233123111(22),
(22),
(22)
3
3
3
a a a γγγγγγγγγ=
+-=
-+=
--
也是3R 的一组标准正交基
证明：123,,γγγ 是3R 的一组标准正交基
121
323123(,)0,(,)0,(,
)
1
1,1
γγγγγγγγγ∴=====
[][]121231231112132122233132331122331(,)(22,22)
9
1(2,2)(2)(2,2)(2,2)(2,)(2,2)
9(,2)(,)(,2)14(,)2(,)2(,)0
9
a a γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ∴=+--+=+-+++-++-+--+-=
--=
[]131231*********(,)(22,22)
91(2,)(2,2)(,2)0
9
a a γγγγγγγγγγγγ=
+---=
++--=
[]231231*********(,)(22,22)
91(2,)(,2)(2,2)0
9a a γγγγγγγγγγγγ=
-+--=
+--+-=
1112312
31(,)(22,22)9
a a γγγγγ
γ=
+-+-
[]
1122332
1
11(2,2)(2,2)(,)91(441)11
9a a γγγγγγ=++--=
?++===
[
]
21231231122332
2211(,)(2,2,22)(2,2)(,)(2,2)99
1(414)11
9a a a a γγγγγγγγγγγγ=
-+-+=
+--+=
?++===
[]
331231*********
3311(,)(22,2)(,)(2,2)(2,2)99
1(144)11
9
a a a a γγγγγγγγγγγγ=
-----=
+--+--=
?++===
设有一组数112233a a a λλλθ++=，即有
1
2
112233123123(22)(22)3
3
a a a λλλλλγγγγγγ++=
+-+
-+
3
32
1212
12312
31
232222(22)(
)(
)3
3
3
3
3
3
3
22()0
3
3
3
λλλλλλλγγγγγλλλγ+
--=+
+
+-
-
+-
+
-
=
又123,,γγγ 是独立的 123113123220,
220,
220
λλλλλλλλλ∴++=--=-+-= 1230λλλ∴===
123
,,a a a ∴也具独立的 综上可知123,,a a a 也是3R 的一组标准正交基 16、在线性空间[]1,e C 中定义内积1
(,)()()1.e
n f g f x g x xdx =?
（1
）设()f x =
f
（2）求线性函数()
g x a bx
=+，使其与常函数()1
f x=正交解：（1
）
22
()
111
222
11
11
22
222
1
1
2
2
1
(,)111
2
11
111
22
11111
1
2222244
1
44
e e e
x n n n
e e
e e
n n n
e
e
n
f f f xdx x xdx xdx
x x x d x x x xdx
e e
x x x e
e
f f
===
????
=-=-
????
????
????
=-=-+=+
????
????
??
∴=+∴=
???
??
（2）
11
111
11
(,)()()1()10
()111
11
e e
n n
e e e
n n n
e e
n n
f g f x g x xdx a bx xdx
a bx xdx a xdx bx xdx
a xdx
b x xdx
==+=
+=+
=+
??
???
??
又
2
1
1
1
44
e
n
e
x dxd=+
?
2
(,)
y y y
=
222
2cos4
x y x y x y
∴-=+-
14、在4R中求下列向量?与β的夹角：
（3）(1,1,1,2),(3,1,1,0)
β
?==-
解：(,)13111(1)203
β
?=?+?+?-+?=
27
11
(,)7
c o s
77
c cos
77
ar
β
β
θ
β
θ
?==
==
?
===
?
∴=
15、设
123
,,
γγγ是3R的一组标准正交基，证明：
112321233123 111
(222),(22),(22) 333
a a a
γγγγγγγγγ=+-=-+=--
也是3R的一组标准正交基
证明：123,,γγγ 是3R 的一组标准正交基
121
323123(,)0,(,)0,(,
)0
1
1,1
γγγγγγγγγ∴======
[][]121231231212131212133132331122331(,)(22,22)
91(2,2)(2)(2,2)(2,2)(2)(2,2)
9(,2)(,)(,2)14(,)2(,)2(,)0
9
a a γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ∴=
+--+=
+-+++-++-+--+-=--=
[]131231*********(,)(22,22)
9120
9
a a γγγγγγγγγγγγ=
+---=
+--=(2,)(2,2)(,)
[]231231*********(,)(22,
22)
91(2,)(,2)(2,2)0
9a a γγγγγγγγγγγγ=
-+--=
+--+-=
[]
111231*********
1
111(,)(22,22)(2,2)(2,2)(,)99
1(441)11
9
a a a a γγγγγγγγγγγγ=
+-+-=++--=
?++===
[]
221231*********
2211(,)(2,2,22)(2,)(,)(2,2)99
1(414)11
9a a a a γγγγγγγγγγγγ=
+-+=
+--+=
?++===
[]
331231*********
3
311(,)(22,22)(,)(2,2)(2,2)99
1(144)11
9
a a a a λλλλλλλλλλλλ=
----=+--+--=
?++===
设有一组数123,,λλλ，使112233,,a a a λλλθ=，即有
1
2
1122331231233
3
331212
1
2123123,,(22)(22)
3
3
222222(22)(
)(
)()0
3
333
33
3
3
3
3
a a a λλλλλγγγγγγλλλλλλλλλλγγγγγγ=
+-+
-++
--=++
+-
-
+-
+
-
=
又123,,γγγ 是独立的
123123123220,
220,
220λλλλλλλλλ∴++=--=-+-=
1230λλλ∴
===
123
,,a a a ∴
也是独立的
综上可知123,,a a a 也是3R 的一组标准正交基 16、在线性空间[1,]e C 中定义内积1
(,)()()1e
n f g f x g x xdx =?
（1
）设()f x =
f
（2）求线性函数()g x a bx =+，使其与常函数()1f x =正交 解：（1）2
2
()1
1
1
1
(,)1112
e
e
e
x n n n f f f xdx x xdx xdx
=
==
?
??
2
2
2
1
1
1
1
2
22
221
1
111112*********
22244e
e
e
e
n n n e
e
n x x x d x x x xdx
e
e x x x
e ????=-=
-???????
?
????=
-
=-==+?????
??
??
?
2
2
14
4
2
e
f f ∴
=
+
∴
=
（2） 1
1
(,)()()1()10e
e
n n f g f x g x xdx a bx xdx =
=
+=?
?
1
1
1
1
1
()11111e
e e
n n n e
e
n n a bx xdx a xdx bx xdx
a xdx
b x xdx
+=
+
=+?
?
?
??
又2
1
114
4
e
n e
x xdx =
+
?
1
1
1
1
1
11111e
e
e e
e n n n n xdx x x
xd x x x
x
=-=-=?
?
22
2
1(,)0
441(1)
4
44e f g a b e b e a b ??
∴
=++= ?????+∴
=-+=-
???
2
(1)
()4
b e g x bx +∴
=-
+ （b 为任意实数）
17、在次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间n P 中，定义 0
(,)n
k k k f g f g n n =????
=
? ?????
∑
（1）证明(,)f g 是n P 中的内积 （2）令(),
()f t t g t at b ==+，求(,)f g
（3）令()f t t =，求与f 正交的所有线性函数()g t
（1）证明：0
1(,)(,)n
n
k k k k k k f g f g g f g f n n n n ==????????
=
== ? ? ? ?????
????
∑
∑
00
2(,4)444(,4)(
,4)
n
n
n
k k k k
k k k k k k
f g f g f g n n n n n n n
f g ===????
?????
?
??????+=+=+
? ? ? ? ? ? ?????????
??
???????
?=+∑∑
∑
00
3(,)(,)
n
n
k k k k k k cf g cf g c f g c cf g n n n n ==????????
=== ? ? ? ?????????∑∑
20
4(,)0n
k k f f f n =??
=
≥ ???
∑
22212(,)0
n f f f f f n n n ??????
=+++≥ ? ? ???????
仅当f θ=时，(,)0f f =
(,)f g ∴
是n P 中的内积
（2）解：2
00(,)n
n
n
k k k k k k k k k bk f g f f g a b a n n n n n n n ===??????
??
??
=
=+=+ ? ? ? ? ?
?????????
?∑
∑
∑ 2
2
2
(14916)(12)
1(1)
(1)(21)6
2
(1)(21)
(1)0
62
a b
n
n
n n
a b n n n n n n
n n n b a n n
=
++++++++++=
??++
+?++=
+
+=
（3）解：0
(,)0n
k k
k f g g n n =??
=
= ???
∑
根据（2），则有
2
(1)(21)
(1)062
n n b
a n n +++
+=，即有(21)
3n b a
n
-+=
21()3n g t at a
n +∴=-
（a 为任意实数）
18、在3R 中给定以下向量组，求由它们生成的子空间的一组标准正交基 （2）123(1,1,1),
(1,1,1),
(1,0,1)
x x x ==---=
解：11(1,1,1)y x ==
2122111(,)(,)
1
111
(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(,,)3333
242
(,,)333
x y y x y y y =-
-=--==--+=-
- 2
3132333121
1122(1,)
(,)(,)
(,)(,)(,)2
8242(1,0,1)(1,1,1)(,,)33333193819
(,,)999
i i i i i x y x y x y y x y x y y y y y y y y γ=+??=-
=-+??
??
??=-+--??
??=-∑
'
111'
222
'
33
3
33324
2,,1,2,1)9999193819,,1,2,1)63669
y y y y y y y y y ?=
=
= ??
??-- ?
?=
=
=-=-- ?
?
??- ???=
=
=-=--- ? ???
∴
标准正交基为;,333999????
-- ? ? ? ?????
19、在4R 中给定以下向量组，求由它们生成的子空间的一组标准正交基 （2）123(1,1,0,1),
(1,0,2,1),
(1,2,2,1)
x x x ===-
解：11(1,1,0,1)y x ==
2122111(,)2(1,0,2,1)(1,1,0,1)
(,)
3
1
212
(1,0,2,1)(1,1,0,1),,2,33
33x y y x y y y =-
=-
??=-=- ???
313233121122(,)(,)
(,)(,)1441213(1,2,2,1)(1,1,0,1),,2,143333344
4121(1,2,2,1),,0,,,2,33
3333x y x y y x y y y y y y ??=-+??
??
??
-
????=+--+-?? ???????????=--+- ? ?
????
'
111
0,1)3
y y y =
=
=
'
222
12
1,,2,121,,2,33333
y y y -?? ?
?
=
=
=
-???
∴
由它们生成的子空间的一组标准正交基为
121(1,1,0,1);
,,2,3
3333?
-???
20、在全体多项式构成的线性空间中，定义内积'
(,)()()x y x t y t dt =
?
设
()(0,1,2)n
n x t t n ==，证明：多项式()1,y t
=1()1),y t t =
-2
2()61)
y t t t =
-+构成一个标准正交基，而且{}012,,y y y 生成的子空间与{}012,,x x x 生成的子空间相同。
证明：
''010
2
'
((),
())1)10
2
y t y t t dt =
-=-
=
?-
=?
?
?
''2
2
020
'
''2
3
'2
'0
((),
())61)((0
y t y t t t dt dt
dt tdt t =
-+=-+
=
+
-+
=+-+=?
?
?
??
'2
120
'
'
''
3232
00
04
'3
21
((),())1)61)(121881)12(18)8136041(3641)0
y t y t t t t dt
t t t dt t dt t dt tdt t
t t
=
-?-+??
=-+-=
+-+
+????
?'=-+-=-+-=?
?
???
?
012(),(),()y t y t y t ∴
正交
又00((),())1y t y t =
''
2
2
110
'
'
2
4
'2
'0
00
((),())3(21)3(441)
443(441)32132113
3y t y t t dt t t t dt tdt t
t
=
-=-+????=-+=-+=?-+= ? ?????
?
???
''
22
42
3
2
220
'
'''
4
23
2
5
'
4
'3
'2
'0
((),()51661)5(362648121)(362648121)
3651816615361518166151
55y t y t t t dt t t t t dt
t dt t dt t dt tdt t
t t
t
=
-+=-?+-+=-?+
-+??=-+-+ ??
?
??
=-+-+=?= ???
?
???
?
?
且012(),(),()y t y t y t 互相独立
∴
多项式2
012()1,()1),()61)y t y t t y t t t ==-=
-+构成一个标准正交基
2
012()1,
()()x t x t t
x t t
===
1()1()y t t ==-
2
2()12()1()1y t t t =-+=-+
{}{}
{}
01201212012,,,,,(),(),,Ls y y y Ls y y y x t x t Ls x x x ==
即{}012,,y y y 生成的子空间与{}012,,x x x 生成的子空间相同
21、判定下列实线性空间1V 和2V 是否同构，若是，给出1V 和2V 的一个同构映射 （1）212,V C V R == （C 为全体复数） 解：1V 和2V 是同构，1(,)V c a bi a b ==+→
（2）{}{}212012012(,),,,,V x y x y V a a x a x a a a R ε=∈=++∈
解：1V 和2V 不是同构
（3）{}{}231201230123(,),,,,,V x y x y V a a x a x a x a a a a R ε=∈=+++∈ 解：1V 和2V 是同构，231(;)V a bi c di a bx cx dx =++→+++
22、设1V 和2V 是两个同构的线性空间，同构映射为12:T V V →，证明： （1）1V 中元素12,,r a a a 相关的充要条件是它们的像12(),(),,()r T a T a T a 相关 （2）1V 中元素12,,r a a a 独立的充要条件是它们的像12(),(),,()r T a T a T a 独立 （3）若W 是1V 的子空间，则()dim T W W =
证明：（1）必要性：设,x y V ∈，由于1V 和2V 为同构的线性空间 ()()()T a x b y a T x
b T y ∴+=
+，当x y θ
==时，有
(1)()()a b T T θθθ+-∴= 又1V 中元素12,,,r a a a 相关 ∴子组不全为0的实数12,,,r λλλ 使
1122r r a a a λλλθ+++=
1122
11221122
()()()()()r r r r r r T a a a T a a a T a T a T a λλλθλλλλλλθ∴+++=∴+++=+++=
-∴?组不全为0的实数12,,,r λλλ 使1122()()()r r T a T a T a λλλθ+++= 12(),(),()r T a T a T a ∴ 相关 充分性：12(),(),()r T a T a T a 相关
∴存在一组不全为0的实数12,,,r m m m ，使
112
2()()()r r m T a m T a m T a θ∴+++= 1122()r r T m a m a m a θ∴+++=
1122
r r m a m a m a θ∴+++= ∴存在一组不全为0
的实数12,,,r m m m ，使11220r r m a m a m a +++=
12,,r
a a a ∴
相关
综上可知：1V 中元素12,,r a a a 相关的充要条件是它们的像12(),(),()r T a T a T a 相关
（2）由（1）可知
1V 中元素12,,r a a a 相关?它们的像12(),(),()r T a T a T a 相关，则其是否命题亦成立 1V ∴中元素12,,r a a a 独立?它们的像12(),(),()T a T a T ar 独立。
1V ∴中元素12,r
a a a 独立的充要条件是它们的像12(),(),;()r T a T a T a 独立
（3）12,V V 是同构映射
1V ∴中的任意一元素，必在2V 中能找到一个与其对应的元素 w 是1V 的子空间 ()T w ∴也是2V 的子空间
根据（1），（2）可知，w 中的元素相关，映射到()T w 中那对应的那几个元素亦相关，W 中的元素独立，则映射到()T w 中的那几个元素也独立。
则有若{}123,,k x x x x 为W 的一组基，则对应的{}123(),(),()()k T x T x T x T x 也为
()T w 的一组基。 dim ()dim T w W
∴=
∴若W
是1V 的子空间，则()T w 也是2V 的子空间，且dim ()dim T w W =
线性系统理论
Linear Systems Theory: A Structural Decomposition Approach 线性系统理论: 结构分解法 Ben M. Chen （陈本美） 新加坡国立大学 Zongli Lin（林宗利） 美国弗吉尼亚大学 Yacov Shamash (雅科夫 司马诩) 美国纽约州立大学石溪分校
此书献给我们的家人 前两位作者谨以这中译版献给他们的母校 厦门大学
目录 绪论 1 导论和预览 1.1 背景 1.2 各章预览 1.3 符号和术语 2 数学基础 2.1 导论 2.2 矢量空间和子空间 2.3 矩阵代数和特性 2.3.1 行列式、逆和求导 2.3.2 秩、特征值和约当型 2.3.3 特殊矩阵 2.3.4 奇异值分解 2.4 范数 2.4.1 矢量范数 2.4.2矩阵范数 2.4.3 连续时间信号范数 2.4.4 离散时间信号范数 2.4.5 连续时间系统范数 2.4.6 离散时间系统范数 3 线性系统理论复习 3.1 导论 3.2 动态响应 3.3 系统稳定性 3.4 可控性和可观性 3.5 系统可逆性 3.6 常态秩、有限零点和无限零点3.7 几何子空间 3.8 状态反馈和输出馈入的特性3.9 练习
4 无驱动和/或无检测系统的分解 4.1 导论 4.2 自治系统 4.3 无驱动系统 4.4 无检测系统 4.5 练习 5. 正则系统的分解 5.1 导论 5.2 SISO系统 5.3 严格正则系统 5.4 非严格正则系统 5.5 结构化分解特性的证明 5.6 系统矩阵的Kronecker型和Smith型5.7 离散时间系统 5.8 练习 6 奇异系统的分解 6.1 导论 6.2 SISO奇异系统 6.3 MIMO描述系统 6.4 定理6.3.1的证明和性质 6.5 离散时间奇异系统 6.6 练习 7 双线性变换的结构化映射 7.1 导论 7.2 连续到离散时间系统的映射 7.3 离散时间到连续时间系统的映射7.4 定理7.2.1的证明 7.5 练习 8 系统因子分解 8.1 导论 8.2 严格正则系统 8.3 非严格正则系统 8.4 离散时间系统 8.5 练习 9 通过选择传感器/执行器实现的结构配置9.1 导论 9.2 同时有限和无限零点结构配置 9.2.1 SISO系统 9.2.2 MIMO系统
线性空间习题解答
第六章 线性空间习题解答P267 .1设,,M N M N M M N N ?==证明: 证明: 一方面.M N M ? 另一方面, 由于M M ?,,N M ? 得 .N M M ? 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =. (2))()()(L M N M L N M = 证 明 : (1) . ),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设 即 .M x N x M x ∈∈∈或且 L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈. 另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ??,所以 )()()(L N M L M N M ?. (2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M ??,所以 )()()(L M N M L N M ?. 另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈?且则 若).(,L N M x M x ∈∈则 若 ∈∈∈?x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有 ) ()()(),(L N M L M N M L N M x ?∈所以. 3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法. (3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法. (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法. (5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
线性代数的一些证明题
线性代数一些证明题 1 题目 设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。 知识点 特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程 解：因为A 2=A 所以A 2－A =0 所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误 设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x ) =det(λx ) =n λdet(x ) (错误在于向量取行列式) 所以 有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=A det(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.
由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ 当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1. 相关例题 设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目 设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点 ①正交矩阵的定义：A T A=E ②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T ⑤det(A )=det(A T ) ⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A ) 解题过程 ∵A 是正交矩阵 ∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1
线性代数基本定理-新版.pdf
线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T
4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2 -A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同 矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一 致，如： 如红线所示：左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间，那么，右边矩阵分 块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú
非线性系统作业-Backstepping设计
渤海大学硕士研究生非线性系统课程考核论文 院（系、部）：工学院年级： 2013 级专业：控制理论与控制工程 姓名：郑晓龙学号： 2013080030 密封线 任课教师：刘亮 一、命题部分 考虑如下三阶严格反馈非线性系统 并且 设计状态控制器使得闭环系统是渐进稳定的，并给出一个二阶系统的数值仿真算例。 二、评分标准 1、论文排版格式（15分）； 2、控制器设计过程（45分）； 3、仿真算例控制器设计（25分）； 4、Matlab仿真图片（15分）。 三、教师评语 ____________________________ 本页。学生从第二页开始写作，要求见蓝色字体部分。 注2：“阅卷教师评语”部分请教师用红色或黑色碳素笔填写，不可用电子版。无“评语”视为不合规范。 注3：试题、评分标准、评语尽量控制在本页。 注4：不符合规范试卷需修改规范后提交。
密封线 Backstepping控制设计 郑晓龙 提要Backstepping设计方法是针对非线性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将Lyapunov函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法。它通过从系统的最低阶次微分方程开始，引入虚拟控制的概念，一 步一步设计满足要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律。本文基于Backstepping设计方法对三阶严格反 馈非线性系统进行了控制器设计，并对结论做了仿真验证。 关键词 Backstepping 非线性系统控制 一、引言 Backstepping （逐步后推，反推）设计方法是针对不确定性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将Lyapunov 函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法。它通过从系统的最低阶次微分方程开始，引入虚拟控制的概念，一步一步设计满足要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律. Backstepping自适应控制是当前自适应控制理论和应用的前沿课题之一,近年来, 在处理线性和某些非线性系统时, 该方法在改善过渡过程品质方面展现出较大的潜力,除航空航天领域外, 在液压控制、电机控制、机器人控制、船舶控制等许多工业控制领域, 反推自适应控制的应用在国内外均有大量报道. Backstepping 方法在处理非线性控制问题方面所具有的独特的优越性，近年来引起了众多学者的极大关注。Backstepping 的基本设计思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后单独设计每个子系统的部分 Lyapunov 函数，在保证子系统具有一定收敛性的基础上获得子系统的虚拟控制律，在下一个子系统的设计中，将上一个子系统的虚拟控制律作为这个子系统的跟踪目标。相似于上个子系统的设计，获得该子系统的虚拟控制律；以此类推，最终获得整个闭环系统的实际控制律，且结合Lyapunov 稳定性分析方法来保证闭环系统的收敛性。 Backstepping 可用来设计控制方案以满足三角结构单输入单输出非线性系统的匹配条件。Backstepping 设计方法之所以受到国内外学者的极大关注，主要原因为该方法取消了系统不确定性满足匹配条件的约束，从而解决了相对复杂的非线性系统的控制问题。在现实世界中，存在大量非线性系统具有(或者可以经过微分同胚变换成)严格反馈等规范型；该方法为复杂非线系统的 Lyapunov 函数设计提供了较为简单的结构化、系统化方法，解决了一直以来具有严格反馈等结构的非线性系统稳定性分析和控制器设计的难题。自适应 backstepping 设计方法发展的初级阶段，要求系统不确定性能够线性参数化。随着神经网络与模糊系统等智能控制技术的不断发展，很好地取消了自适应 backstepping 设计所需的该约束条件，从而使得 backstepping技术获得了很大的发展空间。特别是神经网络和自适应技术的引入，极大地推广了backstepping 方法的应用。 二、基于Backstepping三阶严格反馈非线性系统控制器设计 考虑如下三阶严格反馈非线性系统 （1）
条据书信 如何证明是向量空间
如何证明是向量空间 向量空间证明解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。 证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解： 因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0xz z=0xy+z (x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xz y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。篇二:《空间向量在几何证明题解法》 空间向量在几何体中例题 1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。 （1）求证：EF⊥CD； （2）证明：PA//平面DEF 3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 1 2
线性代数证明题
线性代数证明题 1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知 0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系. 2.设A 是n 阶矩阵，且0n A =，则A E n -必是可逆矩阵。 3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1 PAP -的后n r -行全为零. 6．设矩阵,m n n m A B ??，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 7．如果,2 A A =称A 为幂等矩阵.设 B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB 8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11 , 证明：A 可逆且T -+=）（C B A 1 。 10.设0=k A ，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E 11.设方阵A 满足A 2 -A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求1 1 2--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， T A A -为反对称矩阵。 13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T β，使T A αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C A B =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ?矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =?)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B) 17.设B A ,分别为m n n m ??,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。 18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组
线性空间-知识点及其注释
第五章 线性空间-知识点及其注释 知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。 #n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数n a a a ,,,21 组成的n 元有序数组，常记为12(,,,)T n a a a 或),,,(21n a a a ，又称为n 元（数组）向量。由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数组）向量空间，记为n F 。 #线性组合#表达式1122s s k k k ααα+++称为向量组s ααα,,,21 的系数分别为12,,,()s k k k F ∈的线性组合，s k k k ,,,21 称为线性组合系数。 #线性表示#向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示(出)是指存在数域F 中的数s k k k ,,,21 ,使1122s s k k k αααα=+++。 向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示是指每个i α（1,2,...,i s =）都可由向量组12,,,t βββ线性表示。显然，向量组的线性表示具有传递性。 在n F 中，向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示?线性方程组 1122 s s x x x αααα+++=有解? 1212(,, ,,)(,, ,)s s rank rank ααααααα=。 #向量组等价#向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价是指向量组 s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ可以相互线性表示。显然，向量组等价是 等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。
线性空间证明题库Lecture02
LECTURE2 De?ntion.A subset W of a vector space V is a subspace if (1)W is non-empty (2)For everyˉv,ˉw∈W and a,b∈F,aˉv+bˉw∈W. Expressions like aˉv+bˉw,or more generally k a iˉv+i i=1 are called linear combinations.So a non-empty subset of V is a subspace if it is closed under linear combinations.Much of today’s class will focus on properties of subsets and subspaces detected by various conditions on linear combinations. Theorem.If W is a subspace of V,then W is a vector space over F with operations coming from those of V. In particular,since all of those axioms are satis?ed for V,then they are for W. We only have to check closure! Examples: De?ntion.Let F n={(a1,...,a n)|a i∈F}with coordinate-wise addition and scalar multiplication. This gives us a few examples.Let W?F n be those points which are zero except in the?rst coordinate: W={(a,0,...,0)}?F n. Then W is a subspace,since a·(α,0,...,0)+b·(β,0,...,0)=(aα+bβ,0,...,0)∈W. If F=R,then W ={(a1,...,a n)|a i≥0}is not a subspace.It’s closed under addition,but not scalar multiplication. We have a number of ways to build new subspaces from old. Proposition.If W i for i∈I is a collection of subspaces of V,then W i={ˉw∈V|ˉw∈W i?i∈I} W= i∈I is a subspace. Proof.Letˉv,ˉw∈W.Then for all i∈I,ˉv,ˉw∈W i,by de?nition.Since each W i is a subspace,we then learn that for all a,b∈F, aˉv+bˉw∈W i, and hence aˉv+bˉw∈W. Thought question:Why is this never empty? The union is a little trickier. Proposition.W1∪W2is a subspace i?W1?W2or W2?W1. 1
线性代数常见证明题型及常用思路
《线性代数》常见证明题型及常用思路 、证明题 题型1关于1,K , m 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设1 1 L m m 0，然后根据题设条件，通过解方程组 或其他手段：如果能证明 1，K , m 必全为零，则1，K , m 线性无 关；如果能得到不全为零的1 ,K , m 使得等式成立，贝S 1，K , m 线 性相关。 2) 1,K , m 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 时候我们设 0, 根据题设条件 1,K , m W 1, 1,K , t W 2的线性无关得到系数全为零。 题型2.关于欧氏空间常用结论 (1) 内积的定义 (2) 单位正交基的定义 (3)设B { 1,K , n }是单位正交基, (3)如果 1，K , m F “，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 4 ) 一如果 有两个线性无关组， 1，K , m W 1， 1,K , t W 2,且W 1,她是同一个线性空间的两 个子空间，要证 1,K , 1,K , t 线性无关。这种情况下，有些 0 ，进而由
U B (X i,K,X n),V B (y i,K,y n)。则(u,v) x$ L x“y n5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式 r(A B) r(A) r(B); r(AB) min{ r(A),r(B)}; r(A) r(A T) r(A T A); A T 计")'")} "A? r B T r(A) r(B)； A r(A)r(B); r B A r(A) r(B) r(C); B r(A)r(B)r C B0r(A)r(B) n A m n (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例：证明：r(A m n) r(B) n r(AB)。 证:
《线性代数》常见证明题型及常用思路
《线性代数》常见证明题型及常用思路 二、证明题 题型1.关于1,,m ααK 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设110m m λαλα++=L ,然后根据题设条件,通过解方程组或其她手段:如果能证明1,,m λλK 必全为零,则1,,m ααK 线性无关;如果能得到不全为零的1,,m λλK 使得等式成立,则1,,m ααK 线性相关。 (2)1,,m ααK 线性相关当且仅当其中之一可用其她向量线性表示。 (3)如果1,,n m F αα∈K ,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 (4)如果我们有两个线性无关组,11,,,m W αα∈K 12,,,t W ββ∈K 且12,W W 就是同一个线性空间的两个子空间,要证11,,,,,m t ααββK K 线性无关。这种情况下,有些时候我们设 111111110, ,m m t t m m t t λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++L L L L 。 根据题设条件往往能得到0αβ==,进而由11,,,m W αα∈K 12,,t W ββ∈K 的线性无关得到系数全为零。 题型2、 关于欧氏空间常用结论 (1)内积的定义 (2)单位正交基的定义 (3)设1{,,}n B αα=K 就是单位正交基, 11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==K K 。则11(,)n n u v x y x y =++L 5 题型3、 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩
(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明):常用来证明关于秩的不等式 ()()(); ()min{(),()}; ()()(); max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n ?+≤+≤==??≤=≤+ ??? ??=+ ??? ??+≤≤++ ??? =?+≤ (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例:证明:()()()m n r A r B n r AB ?+≤+。 证: ()()()0n n n E E n r AB r r AB A AB E B r r A r B A ????+== ? ?????-??=≤+ ??? 上面第二个等号就是用A 左乘第一个分块矩阵的第一行,然后加到第二行所得;第三个等号就是用B -又乘第二个分块矩阵的第一列,然后加到第二列所得。
Linear_System_Theory_and_Design(线性系统设计)
Linear System Theory and Desig n 授课教师：马宏军 龙离军 Part 1
Chapter 1: Introduction 1.1 Introduction Two methods of study and design of physical systems Empirical method: Various signals are applied to a physical system and its responses are measured. If the performance is not satisfactory, some of the parameters are adjusted to improve its performance.
Analytical method: The analytical study of physical systems consists of four parts: modeling, development of mathematical descriptions, analysis, and design. Modeling A physical system is a device or a collection of devices existing in the real word; A physical system may have different models depending on the questions asked
A physical system may modeled differently in different operational ranges In order to develop a suitable model for a physical system, a thorough understanding of the physical system and its operational range is essential. A system is a model of a physical system Mathematical description Once a system (or model) is selected for a physical system, the next step is to apply
第六章线性空间自测练习
第六章 线性空间—自测练习 一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。 二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维 数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ {
线性代数考试题型及范围【超完整版】
线性代数考试题型及范围： 一、填空 1、已知矩阵A或B，求A与B之间的运算，如AB，A逆B逆，kA 2、已知方阵A，求A的行列式，A的伴随矩阵，A的伴随矩阵的行列式 3、求向量组的秩 4、求矩阵A的相似矩阵B的行列式 5、其次线性方程组有非零解的充要条件 二、选择 1、同阶方阵A、B的运算性质 2、两个相似矩阵A B的性质 3、关于向量线性相关性的选择题 4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系 5、二次型正定性的判定 三、计算题 1、行列式的计算 2、求A的逆矩阵 四、解答题 1、求向量组的极大线性无关组 2、用基础解析求方程组的通解 五、给定实对称矩阵A，求可逆阵P，使P-1AP为对角阵 六、证明题：（关于矩阵，具体内容未知） 记住这些话： 第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE 再说。 第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αs线性无关，先考虑用定义再说。
第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。第七句话：若已知A的特征向量p，则先用定义Ap=λp处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识
线性空间的性质
学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级2011级 姓名魏云 论文题目线性空间的性质 指导教师韩英波职称副教授成绩 2013年3月16日
学年论文成绩评定表
目录 摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言 (1) 1 线性空间的概念 (2) 2 线性空间的相关理论 (3) 2.1 线性空间的一些简单性质 (3) 2.2 向量的线性关系 (3) 2.3 基、维数、坐标 (6) 3 两个特殊的子空间 (7) 3.1 欧几里得空间的定义与性质 (7) 3.2 酉空间的介绍 (8) 4 线性空间的同构 (8) 4.1 同构映射与线性空间同构的定义 (8) 4.2 同构映射的性质 (9) 参考文献 (10)
线性空间的性质 摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等，还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质. 关键词：线性空间；基；维数；同构 The properties of linear vector space Abstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties. Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism 前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题. 1.线性空间的概念
线性空间与子空间
第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类] ∈时，有唯一的和（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 x y V （1）结合律()() ++=++； x y z x y z （2）交换律x y y x +=+； （3）零元律存在零元素o，使x+o x =；
（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o
线性空间与子空间
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+；
（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
线性代数证明题
4. 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，并且B 是可逆矩阵，证明：11AB B A --+是对称矩阵. 证明：因为A 、B 为对称矩阵，所以B B A A T T ==, 1111111111()()()()()T T T T T T T AB B A AB B A B A A B B A AB AB B A ----------?+=+=+=+=+ 则矩阵 11AB B A --+ 是对称矩阵。 5. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*n -A =A . 证明：因为 *AA =A E ⑴当0A =时，*0AA =. 用反证法：假设 *0A ≠，则知*A 可逆， 在等式*O AA =左右两边同时右乘()1*-A ，得到O A =， 于是*O A =，这与假设矛盾， 可知当0A =时, 有1*0n -A ==A ； ⑵ 当0A ≠时，在等式*AA =A E 两边同时取行列式，得 **n A A =AA =A E =A 两边同时约去A ，得1*n -A =A . 6. 设向量b 能由321,,ααα这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组321,,ααα线性无关。 证明：（反证法）如果321,,a a a 线性相关，则有一组不全为0的系数321,,λλλ使33221 1a a a λλλ++=0 （1）， 由已知设332211αβαβαβ++=b ，结合（1）式得 333222111)()()(0a a a b b λβλβλβ+++++==+ （2） 由于321,,λλλ不完全为零，则11 λβ+，22λβ+，33λβ+与321,,βββ不同，这与b 表示法惟一相矛盾，故向量组321,,ααα线性无关。 7. 设321,,ααα是n 阶方阵A 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123βααα=++，证明：β不是A 的特征向量。 证明：假设()123123112233A A A A A A βλββααααααλαλαλα=?=++=++=++， 又： 123112233A λβλαλαλαβλαλαλα=++==++ 从而： ()()()1122330λλαλλαλλα-+-+-=， 由于特征值各不相等，所以321,,ααα线性无关，
信号与线性系统课程设计报告
信号与线性系统课程设计 报告 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
信号与线性系统课程设计报告 课题:周期信号的分解与合成 班级：电子111班 姓名:河北工业大学 学号： 组号： 同组人： 成绩： 指导教师：增城 日期：周期信号的分解与合成 摘要:本文详细介绍了周期信号的分解与合成的原理，给出了电路参数设计、matlab辅助分析、multisim仿真的方法，并用硬件电路实现信号分解与合成，另外本文亦对设计过程中出现的问题进行总结分析。设计主体为5次谐波带通滤波器设计和信号合成电路的设计，因此本文对带通滤波器进行了详细的理论推导，并且编写了matlab函数进行参数的计算；
合成电路采用运算放大器构建一个具有5个输入的加法器电路。软件仿真、硬件调试部分给出了具体的调试方案和步骤，对理论值计算、multisim 软件仿真、matlab 辅助分析、硬件调试的结果分别进行总结和分析，并比较其存在的差异同时分析产生差异的原因。通过这次课程设计，理论应用实践，在掌握信号合成与分解的原理、方法的同时也深深体会到了理论和实践之间的差距，只有勤动手、勤实践才能达到学以致用的效果。 关键词：信号的分解合成、带通滤波器、加法器、matlab 、multisim 1 课程设计的目的、意义 1．了解周期信号分解与合成电路的原理及实现方法。 2．深入理解信号频谱和信号滤波的概念，理解滤波器幅频响应和相频响应对信号的影响以及无失真传输的概念。 3．掌握模拟带通滤波器的原理与设计方法，掌握利用Multisim 软件进行模拟电路设计及仿真的方法。 4．了解周期信号分解与合成硬件电路的设计、制作、调试过程及步骤。 5．掌握新一代信号与系统实验系统及虚拟示波器、虚拟信号发生器的操作使用方法。 6．培养运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 2 设计任务及技术指标 设计任务 周期信号分解与合成电路设计、电路（系统）仿真分析、电路板焊接、电路调试与测试、仿真和测试结果分析等内容。 因分解信号的频率自定，通过分析设计可行性，我们组将要分解的信号的定为888Hz ，相应分解信号的5次谐波频率分别为： 010*******=888Hz =1776Hz =2664Hz =3552Hz =4440Hz f f f f f ，，，， 因而本设计的主体部分为5次谐波带通滤波器的设计。 技术指标 1. 各滤波器中心频率处的增益均设为4左右， 各且增益相同。在本次设计中我们取设 计增益为*=。