选修2-3教案2.4正态分布
§2.4 正态分布
教学目标
（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；
（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；
（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率． 教学重点，难点
（1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；
（2） 求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．
教学过程
一．问题情境
1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；
回顾曲边梯形的面积()b
a S f x dx =?的意义．
2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm ）： 164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178
164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181
181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174
159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172
163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171
185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172
179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182
上述数据的分布有怎样的特点？
二．学生活动
为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．
第一步 对数据分组（取组距4d =）；
第二步 列出频数（或频率）分布表；
第三步 作出频率分布直方图，如图
2-6-2．
由图2-6-2可以看出，上述数据的分
布呈“中间高，两边底，左、右大致
对称”的特点．
可以设想，若数据无限增多且组距
无限缩小，那么频率直方图的顶边
无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，
我们将此曲线称为概率密度曲线．
再观察此概率密度曲线的特征．
三．建构数学
1． 正态密度曲线：
函数22()2(),x P x x R μσ--=
∈的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数（ 0σ>，R μ∈）
．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线． 2．正态密度曲线图象的性质特征：
（1）当x μ<时，曲线上升；当x μ>时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，
以x 轴为渐进线；
（2）正态曲线关于直线x μ=对称；
（3）σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；
（4）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．
3．正态分布：
若X 是一个随机变量，对任给区间(,],()a b P a x b <≤恰好是正态密度曲线下方和
X 轴上(,]a b 上方所围成的图形的面积，
我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为2~(,)X N μσ．
4． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：
具体地，如图所示，随机变量X 取值
（1）落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为
0068.3，即()0.683P X μσμσ-<≤+=；
（2）落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约为0095.4，即
(22)0.954P X μσμσ-<≤+=；
（3）落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为0099.7，即
(33)0.997P X μσμσ-<≤+=．
5． 3σ原则： 服从于正态分布2
(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，
并简称为3σ原则．
6．标准正态分布：
事实上，μ就是随机变量X 的均值，2σ就是随机变量X 的方差，
它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布(0,1)N 称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．
7．非标准正态分布转化为标准正态分布：
非标准正态分布2(,)X N μσ 可通过X z μ
σ-=转化为标准正态分布(0,1)z N ．
四．数学运用
1．例题：
例1．一台机床生产一种尺寸为10mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y 服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式． 解：由题意得1(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)1010
μ=+++++++++=， 2222222
1[(10.210)(10.110)(1010)(9.810)(9.910)(10.310)10
σ=-+-+-+-+-+- 2222(9.710)(1010)(9.910)(10.110)]0.03+-+-+-+-=，即10μ=，20.03σ=．
所以Y 的概率密度函数为2
50(10)3(),
x P x x R --=∈．
例2．若随机变量~(0,1)Z N ，查标准正态分布表，求：
（1）( 1.52)P Z ≤；
（2）( 1.52)P Z >；
（3）(0.57 2.3)P x <≤；
（4）( 1.49)P Z ≤-．
解：（1）( 1.52)0.9357P Z ≤=．
（2）( 1.52)1( 1.52)P Z P Z >=-≤10.93570.0643=-=．
（3）(0.57 2.3)( 2.3)(0.57)0.98930.71570.2736P x P Z P Z <≤=≤-≤=-=；
（4）
( 1.49)( 1.49)P Z P Z ≤-=≥
1( 1.49)
10.9319P Z =-≤=-
0.0681=．
例3．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即(90,100)X N ．试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？
解： 法一（将非标准正态分布转化为标准正态分布）：
70909011090(70110)(
)(22)(2)(2)101010
X P X P P Z P Z P Z ---<<=<<=-<<=≤-≤- [](2)1(2)2(2)120.977210.95440.954
P Z P Z P Z =≤--≤=≤-=?-=≈．
法二（3σ原则）：因为(90,100)X N ，所以90,10μσ===． 由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.954，而该正态分布 29021070μσ-=-?=，290210110μσ+=+?=，
所以考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率就是0.954．
2．练习：课本77P 练习 第1，2题．
五．回顾小结：
1．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；
2．正态总体在三个特殊区间内取得的概率值；
3．求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率的方法．
新人教版必修1高考数学总复习正态分布教案
高考数学总复习 正态分布教案 教学目标：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 ，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理，通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 教学重点：正态分布曲线的性质。 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学过程：一，复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总 体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积． 二，新知学习：1，观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： ， 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ?的图象为正态分布密度曲线,简称 ． 2，一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ，
则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作 ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 . 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 3．正态曲线的性质： （1） （2） （3） （4） 。 当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近 （5） 。 （6） ， 。 讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21 )(22+∞-∞∈=-x e x f x π （２）),(,221)(8)1(2 +∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)(),(,) x f x x -+=∈-∞+∞ 74页练习1,3 75页A 组2
正态分布教学设计方案书
普通高中课程标准实验教科书g 数学（人教A 版）选修 2-3 2.4 正态分布 设计教师：高二数学组 一、教学目标及其解析 （一）教学目标： 1.通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． 2．了解正态曲线的基本特点． 3．了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． （二）解析： 正态分布在统计中是很常见的分布，它能刻画很多随机现象。从生活实践入手，描绘频率直方图，进而理解正态曲线，结合定积分的有关知识理解其概率分布列，结合图象认识参数μ，σ的几何意义．提高学生用数学知识分析现实问题的能力．善于从复杂多变的现象中发现问题的实质，提高识别能力. 二、教学重难点解析 （一）重点、难点： 重点：了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． 难点：通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． （二）解析：正态分布密度函数的推导是十分困难的，一般教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间是不理解正态分布的实际含义。可以通过直观方法引入正态分布密度曲线，也可以用样本平均值和样本标准差来估计，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系，单峰性，对称性，峰值的位置环境等。 三、教学过程设计 问题1.什么是正态曲线？ 问题2.什么是正态分布?正态分布又有哪些特点？ 例1.如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机总量的均值和方差． [解] 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为1 2π ，所以μ＝20， 12πσ＝12π ， ∴σ＝ 2. 于是φμ，σ(x )＝12π·e － (x －20) 2 4 ，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2 ＝(2)2＝2. 方法归纳 本题主要考查正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：1.对称轴方程x ＝μ； 2.最值1 σ2π .这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x )中便可求出相应的解析式．
优秀参赛课件 《正态分布》教案及说明
正态分布 教学目的：1．了解正态分布的意义。 2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质。 3．了解正态总体N(μ，σ2)转化为标准正态总体N(0,1)的等式 ? ? ? ? ? σ μ - Φ = x )x(F 及其应用。 教学重点：1.正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1)。 2.正态总体N(μ，σ2)转化为标准正态总体N(0,1)的等式 ? ? ? ? ? σ μ - Φ = x )x(F 及其应用。 教学难点：1.抽象函数Φ(x0)=p(x 正态分布教学设计 正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的 内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需 要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线 正态曲线与函数课堂练习正 态分布正态曲线特点课堂检测条件及举例课堂小结课 后查阅 六、教学过程设计 （1）课前自主学习： 1.频率分布直方图用什么表示频率？ 2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是：首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着的无限增加，作图时的减小、的增加，频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是曲线。 讲解：请第一小组的同学展示课前自主学习的成 正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率； （3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲 2.4 正态分布教学设计 乾安七中数学组杨文波 2014－5－29 一、教学目标 1. 知识目标：理解并掌握（标准）正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并能简单应 用。 2. 能力目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察 并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与 方程等数学思想方法。 3. 情感目标：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培 养学生的进取意识和科学精神。 二、教学重点、难点： 重点：正态分布的概念、正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算。 难点：正态分布的意义和性质。 三、教学设想 【一】导入新课 1、问题引入：在2007年的高考中，某省全体考生的高考平均成绩是490分，标准差是80，计划本科录取率为0.4 ，则本科录取分数线可能划在多少分？ 2、回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系． 前面我们研究了离散新随机变量，他们只取有限个或可列个值，我们用分布列来描述总体的统计规律；而许多随机现象中出现的一些变量，如上节课研究的某产品的尺寸，它的取值是可以充满整个区间或者区域的，总体分布通常不易知道，我们是用什么去估计总体分布的呢？----用样本的频率分布(即频率分布直方图)去估计总体分布． 回头看上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图，发现：横坐标是产品的尺寸；纵坐标是频率与组距的比值，什么才是在各组取值的频率呢？---直方图的面积。设想：当样本容量无限增大，分组的组距无限的缩小时，这个频率直方图无限接近于一条光滑的曲线-----总体密度曲线。它能够很好的反映了总体在各个范围内取值的概率。由概率的性质可以知道（1）整条曲线与x轴所夹的总面积应该是？---1（2）总体在任何一个区间内取值的概率等于这个范围内面积 下面，同学们一起观察一下总体密度曲线的形状，看它具有什么特征？ “中间高，两头低，左右对称”的特征。像具有这种特征的总体密度曲线一般就是或者近似的是以下函数的图像。（板书函数、标题）：【二】正态分布 (1)正态总体的函数解析式、正态分布与正态曲线 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以下一个函数的图象：(板书) 2.4正态分布（1） 教材分析 正态分布在概率统计学中是一种很重要的分布.一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而 每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同 值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分 布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣 的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述.要求同学们学会从离散到连续用函数的观点解决问题 课时分配 本节内容用2课时的时间完成，第一课时主要讲解正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.3 原则 放在了第二课时? 教学目标 重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义 难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义. 知识点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 能力点：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解 教育点：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识 和科学精神? 自主探究点：讲授法与引导发现法. 通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成? 考试点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 易错易混点：求系数最大项时的约分化简? 拓展点：引导发现法? 教具准备电子白板，多媒体，高尔顿试验板 课堂模式学案导学 一、创设情境 学生上台演示高尔顿板试验. 模拟高尔顿板试验截图师生活动：创设情境，为导入新知做准备?学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考?学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的. 【设计意图】让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣?让学生体验“正态分布 正态分布（一） 教学目的： 1 掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 2．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理 3．通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成： 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程： 一、复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 正态分布教案 学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级 2008级 执教者王黎玲学号 105062008020 指导老师袁智强老师 教材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点 三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的著作，提出了生物进化论学说，被恩格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国著名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是著名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 老师演示：打开实验flash，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次 2．4 正态分布 1．问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布？ (2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读 请试做教材P 74练习1题． 1．正态曲线 函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －（x －μ）2 2σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数， φμ，σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a b φ μ，σ (x)d x ， 则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________X ～N (μ，σ2)． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝1 2πσ e －（x －μ）22σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴________上方，与x 轴________不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线________x ＝μ对称； (3)曲线在________x ＝μ处达到峰值________1 σ2π ； (4)曲线与x 轴之间的面积为________1； (5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 第三章 正态分布 一、教学大纲要求 (一) 掌握内容 1．正态分布的概念和特征 （1）正态分布的概念和两个参数； （2）正态曲线下面积分布规律。 2．标准正态分布 标准正态分布的概念和标准化变换。 3．正态分布的应用 （1）估计频数分布； （2）制定参考值范围。 (二) 熟悉内容 标准正态分布表。 (三) 了解内容 1．利用正态分布进行质量控制 2．正态分布是许多统计方法的基础 二、教学内容精要 (一)正态分布 1.正态分布 若X 的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线） 2．正态分布的特征 服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。 (1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以x μ=为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。 (2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。σ也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 (二)标准正态分布 1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的0=μ，12=σ ，通常用u （或Z ）表示服从标准正态分布的变量，记为u ～N （0，21）。 2．标准化变换：σμ-= X u ，此变换有特性：若X 服从正态分布),(2σμN ，则u 就服从标准正态分布，故该 变换被称为标准化变换。 3. 标准正态分布表 标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到u 范围内的面积比例()u Φ。 （三）正态曲线下面积分布 1．的概率（概率分布）。不同),(21X X 范围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算。 )()(2112)22(2)(21u u dx e D X X X Φ-Φ==--? σμπσ （3-2） 1212X X u u μμ σσ--==其中， ， 。 2.几个重要的面积比例 X 轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间σμ±内的面积为68.27%，横轴区间σμ64.1±内的面积为90.00%，横轴区间σμ96.1±内的面积为95.00%，横轴区间σμ58.2±内的面积为99.00%。 （四）正态分布的应用 某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。 1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式（3-2）估计任意取值12(,)X X 范围内频数比例。 2. 制定参考值范围 （1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。 （2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。 概率 （%） 双侧 单 侧 双侧 单侧 90 955~P P 10P 90P 95 S X 96.1± S X 64.1- S X 64.1+ 5.975.2~P P 5P 95P 99 S X 58.2± S X 33.2- S X 33.2+ ~P P 1P P 3. 质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以S X 2±作为上、下警戒值，以S X 3±作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。 4.正态分布是许多统计方法的理论基础。t 检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。 三、典型试题分析 1.正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B [评析] 本题考点：正态分布的对称性 因为无论μ，σ取什么值，正态曲线与横轴间的面积总等于1，又正态曲线以μ=X 为对称轴呈对称分布，所以μ左右两侧面积相等，各为50%。 2．若X 服从以μ，σ为均数和标准差的正态分布，则X 的第95百分位数等于( )。 A ．σμ64.1- B ．σμ64.1+ C ．σμ96.1+ D ．σμ58.2+ 答案：B [评析]本题考点：正态分布的对称性和面积分布规律 正态分布曲线下σμ64.1±范围内面积占90%，则σμ64.1±外的面积为10%，又据正态分布的对称性得，曲线下横轴上小于等于σμ64.1+范围的面积为95%，故X 的第95百分位数等于σμ64.1+。 正态分布教学设计 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率； （3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线 正态曲线与函数课堂练习正态分布正态曲 线特点课堂检测条件及举例课堂小结 课后查阅 六、教学过程设计 （1）课前自主学习： 1.频率分布直方图用什么表示频率 借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值： （1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP 分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式： );()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之 地． 解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P （2）;1075 .08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP （3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没 有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用． 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2 N 试求： （1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP （3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP 分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若 ),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-= 知：,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413 .0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ? ?-Φ=<ηP O y a b 正态分布 【教学内容】 正态分布是高中数学人教A 版选修2-3教材第二章的重要内容。本 节主要了解一种最常见的、有着广泛应用的分布——正态分布，直观认识正态曲线的形状、特点，正态曲线所表示的意义，正态分 布的两个重要参数μ，σ对正态曲线位置和形状的影响。 【教学目标】 1、知识与技能 结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；通 过正态分布的图形特征，归纳正态曲 线的性质． 2、过程与方法 讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法 ，体会数学知识的形成． 3、情感态度与价值观 通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神． 【学情分析】 通过前面知识的学习，学生已经掌握了平均数、标准差、频率分布直方图、折线图等研究数据的知识与方法，为学习正态分布这一生活中常见的连续性随机变量所服从的分布打下了良好的基础；此外，学生在生活中也有了不少的常识积累，为正态分布的学习提供了便利；但由于学生所学知识范围的限制，对正态分布函数的来龙去脉不可能深究。 【教学重点与难点】 重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义； 难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义． 【教学方法】 实验探究、学案导学、多媒体辅助 【教具准备】 黑板，多媒体，高尔顿试验板 【教学过程设计】 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 创设情境 1.全国划骑跑铁人三项挑战赛成 绩分布； 2.学生上台演示高尔顿板试验． 创设情境，为导入新 知做准备． 学生感悟体验，对试 验的结果进行定向思考． 学生经过观察小球 在槽中的堆积形状发现： 下落的小球在槽中的分 布是有规律的． 让学生演示试验， 能提高学生的学习积极 性，提高学习数学的兴 趣．让学生体验“正态 分布曲线“的生成和发 现历程． 建构概念1．用频率分布直方图从频率角度研究 小球的分布规律． ⑴将球槽编号，算出各个球槽内 的小球个数，作出频率分布表． ⑵以球槽的编号为横坐标，以小 球落入各个球槽内的频率与组距的比 值为纵坐标，画出频率分布直方图。 连接各个长方形上端的中点得到频率 分布折线图． 引导学生思考回顾， 教师通过课件演示作图 过程． 在这里引导学生回 忆得到，此处的纵坐标为 频率除以组距． 教师提出问题：这里 每个长方形的面积的含 义是什么？ 学生经过回忆，易 得：长方形面积代表相应 区间内数据的频率． 通过把与新内容有 关的旧知识抽出来作为 新知识的“生长点”，为 引入新知搭桥铺路，形 成正迁移． 通过这里的思考回 忆，加深对频率分布直 方图的理解． 建构概念 （3）随着试验次数增多，折线图 就越来越接近于一条光滑的曲线． 从描述曲线形状的角度自然引入 了正态密度函数的表达式： 分析表达式特点：解 析式中前有一个系数 σ π2 1，后面是一个以e 为底数的指数形式，幂指 数为2 2 2 ) ( σ μ - - x ，解析式中 含两个常数π和e，还含 有两个参数μ和σ，分别 指总体随机变量的平均 与旧教材不同的 是，该处在学生从形的 角度直观认识了正态曲 线之后才给出曲线对应 的表达式，这样处理能 更直观，学生更易理解 正态曲线的来源． 《正态分布第一课时》教学设计 东莞市厚街中学姚卫 一、教学内容与内容解析 1．内容： 正态分布第一课时 2．内容解析： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 2 -3（选修）》（人教A版）中的 2．4“正态分布 (第一课时)”，属于新授概念课．正态分布是选修2—3第二章“随机变量及其分布”的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识．正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率．离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展．同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异．生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．从形式上看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位．一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．教学重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布密度曲线所表示的意义． 二、教学目标与目标解析 1．目标： （1）通过数学实验，从直观和形式认识正态曲线的特点及其所表示的意义； （2）经历从具体到抽象研究正态分布问题的过程，体会数形结合、有限与无限的思想方法； （3）认识客观世界中的随机现象和正态分布发生发展的历史，感受数学的文化价值．2．目标解析： 正态分布教案学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级2008级 执教者王黎玲学号指导老师袁智强老师 教?材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点 三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师 想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的着作，提出了生物进化论学说，被恩 格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国着名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是着名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但 相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽 进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 ?老师演示：打开实验flash ，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频 率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次 1500次 3000次 我们发现随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状越来越像是一条曲线，它的形状像我们寺庙里面的钟，我们也把它叫钟型曲线。 这条曲线就是我们今天要研究的正态分布密度曲线，简称正态曲线。它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示： 这个函数是： 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ?的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．有些同学有疑问了，这个函数解析式是怎么来的呢？这个问题以同学现在的知识还无法推导出来，等同学到了大学进一步学习概率论等统计数学时，就可以通过大数定律正确的推导出来，但是现在我们不做要求，有兴趣的同学可以回去查阅书籍，现在同学们只要牢牢记住这个函数式就行了。 【环节二：动手练习，巩固概念】及时用习题巩固概念，有利于学生对正态函数的掌握。 正 态分布 一、选择题 1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)1()1(-<=+>c P c P ξξ，则c 等于（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知随机变量ξ服从正态分),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于（） A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 3.已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ≤等于（） A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 4.已知随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，8.0)40(=< 正态分布教学设计 《正态分布第一课时》教学设计 一、教学内容与内容解析 1．内容： 正态分布第一课时 2．内容解析： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 2 -3（选修）》（人教A版）中的2．4“正态分布 (第一课时)”，属于新授概念课．正态分布是选修2—3第二章“随机变量及其分布”的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识．正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率．离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展．同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异．生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．从形式上看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位．一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．教学重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布密度曲线所表示的意义． 二、教学目标与目标解析 1．目标： （1）通过数学实验，从直观和形式认识正态曲线的特点及其所表示的意义； （2）经历从具体到抽象研究正态分布问题的过程，体会数形结合、有限与无限的思想方法； （3）认识客观世界中的随机现象和正态分布发生发展的历史，感受数学的文化价值．2．目标解析： 2．4正态分布 教学目标： 知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。 过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成： 2 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质 教学过程： 学生探究过程： 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．正态分布教学设计
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