点集拓扑期末测试题

一、判断题（每题2分，共10分）

1.设21,T T 是集合X 的两个拓扑，则21T T 不一定是集合X 的拓扑。（ ）

2.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射。（ ）

3.度量空间一定满足第二可数性公理。（ ）

4.完全正则的紧致空间一定是正则空间。（ ）

5.每一个仿紧致的Hausdorff 空间都是正则空间，因而也是正规空间。（ ）

二、单选题（每题3分，共30分）

1.设{}c b a X ,,=，下列集族中，（ ）是X 上的拓扑。

A.{}{}{}{}c b b a X T ,,,,,φ= C.{}{}{}c b b a X T ,,,,,φ=

B.{}{}{}c a a X T ,,,,φ= D.{}{}{}{}c b a X T ,,,,φ=

2.离散空间的任一子集为（ ）。

A.开集

B.闭集

C.既开又闭

D.非开非闭

3.设621X X X X ???= 是拓扑空间621,,,X X X 的积空间。3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）。

A.单射

B.连续的单射

C.满的连续闭映射

D.满的连续开映射

4.有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）。

A.不连通子集

B.连通子集

C.开集

D.以上都不对

5.设X 是一个拓扑空间，B A ,是X 的子集，则下列关系中错误的是（ ）。

A.)()()(B d A d B A d = C.B A B A =

B.)()()(B d A d B A d = D.A A =

6.设{}2,1=X ,{}{}2,,φX T =,则),(T X 是（ ）。

A.0T 空间

B.1T 空间

C.2T 空间

D.3T 空间

7.设21,X X 是连通空间，则积空间21X X ?是（ ）。

A.离散空间

B.商空间

C.平庸空间

D.连通空间

8.若度量空间X的一个子集A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个（）。

A.不连通子集

B.开集

C.连通子集

D.以上都不对

9.每一个度量空间都满足（）。

A.选择公理

B.Tukey引理

C.第一可数性公理

D.第二可数性公理

10.若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个（）。

A.不连通空间

B.连通空间

C.平庸空间

D.以上都不对

三、填空题（每题3分，共15分）

1.设{}b

=，则X的离散拓扑为。

X,

a

2.若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个。

3.Y

:是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑f→

X

是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个。

4.?

x对于x的任何一个邻域U有。

∈A

5.Hausdorff空间中的任何一个收敛序列有个极限点。

四、名词解释（每题4分，共16分）

1.正则空间：

2.同胚映射：

3.拓扑：

4.可分空间：

五、证明题（第一题9分，第二题10分，共19分）

1.设X是一个含有不可数个点的可数补空间。证明X不满足第一可数性公理。

2.设X 是一个拓扑空间，X A ?,则)())((A d A A d d ?

六、简答题（第一题3分，第二题7分，共10分）

1.简要说明欧氏平面2R 中拓扑学家的正弦曲线(]?

?????∈=1,0)1sin ,(x x x S 的连通性，局部连通性，道路连通性。

答：

2.简要说明满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系（可画图说明）。答：

点集拓扑学

点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：

《点集拓扑学》复习题

《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题 1、有限集不可能有聚点 （ ） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ） ７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ） １５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ） １６、度量空间也是拓扑空间 （ ） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。

《点集拓扑讲义》第四章 连通性 学习笔记

第4章连通性 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4.1连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义； 掌握如何证明一个集合的连通与否； 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性． 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果 则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的． 定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求． 条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划

点集拓扑试卷一二

1．集合X 的一个拓扑不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑。（ ） 2．每一个度量空间都满足第一可数性公理。（ ） 3．拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（ ） 4．从拓扑空间()1,X T 到()2,X T 的恒同映射必是连续映射。（ ） 5．设i T 是拓扑空间i X 的拓扑()1,2i =,则12?T T 是积空间12X X ?的拓扑。（ ） 二、填空题（30分） 1．设A 为是离散空间X 的子集，则A = 。 2．对于拓扑空间(),X T 一个子空间()1,Y T ，T 与1T 满足 。 3．设A 为是拓扑空间X 的子集，则()x d A ∈? 。 4．任何一族连通空间的积空间是 空间。 5．称拓扑空间X 是可分空间，若 。 6．设12n X X X X =???是1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X 的积空间，T 是X 的积拓扑，i T 是空间i X 的拓扑()1,2,,n i =， 则积拓扑的一个子基=S 。 7．称拓扑空间X 是Lindel ?ff 空间，若 。 8．设R 是实数空间，Q 是有理数集，则()d =Q ,=Q 。 三、设集合X 有拓扑12,,,n T T T ，则 1n i i =T 是X 的一个拓扑。 （10分） 四、设,X Y 为拓扑空间，映射:f X Y →在X 上连续的充要条件是Y 有一个基B 满足 ()1,B f B -?∈B 是X 中开集。 （10 分） 五、证明：离散度量空间的每个子集是开集。（10分） 六、证明：每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。（10分） 七、证明：若Y 是拓扑空间X 的连通子集，则Y 也是X 的连通子集。（10 分） 八、证明：满足第二可数公理的空间必定为可分空间。（10分）

点集拓扑学练习题

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②

拓扑学Topology

Topology {}4. (a) If is a family of topologies on X, show that is a topology on X. Is a topology on X? a a a 燎 攘 13. Show that X is Hausdorff if and only if the diagonal = {x x x X }is closed in X X. 次 00011. Let F : X Y Z. W e say that F is contin uous in each variable separately if for each y in Y , the m ap h : X Z defined by h (x) = F(x y ) is continuous, and for each x in X , the m ap k : Y Z defined by 串 ?0 k(y) = F(x y) is continuous. Show that if F is continuous, then F is continuous in each variable separately. ′ 2. Show that x in the dictionary order topology is metrizable. 2. (a) Let p : X Y be a continuous m ap. Show that if there is a continuous m ap f : Y X such that p of cquals the identity m ap of Y , then p is a quotient m ap.(b) If A X , a retraction of X onto A i ??ìs a continuous m ap r : X A such that r(a) = a for each a A. Show that a retraction is a quotient m ap. ?? 113. Let : be projection on the first coordinate. Let A be the subspace of consisting of all points x y for w hich either x 0 or y = 0 (or both); let q : A be obtained by restricting p p 串创 ? . Show that q is a quotient m ap that is neither open nor closed. 2 4. (a) Define an equivalence relation on the plane X = as follows: * 2 2 Let X be the corresponding quotient space. It is homeomorphic to a familiar space; what is it? [Hint: Set g(x y) = x + y .] ′ (b) Repeat (a) for the equivalence relation 5. Let p : X Y be an open map. Show that if A is open in X , then the map q : A p(A) obtained by restricting p is an open map. ??

《点集拓扑讲义》第三章-子空间(有限)-积空间-商空间-学习笔记

！！！！！！！！！！！！ 第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是

拓扑学测试题

拓扑学测试题一 一、选择题（每小题2分，共10分） 下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。 设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（） 四、 商映射一定是闭映射或开映射. （） 五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）

六、 连通空间一定是局部连通空间. （） 七、 若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案 一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解 例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，

《点集拓扑讲义》第一章 集合论初步 学习笔记

《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识．至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述．旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。 这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著． 即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较(＜和?)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的．此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理． §1.1集合的基本概念 集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体．例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等．集合也常称为集，族，类．

集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点，或成员． 集合也可以没有元素．例如平方等于2的有理数的集合，既大于1又小于2的整数的集合都没有任何元素．这种没有元素的集合我们称 之为空集，记作．此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集． 集合的表示法： （1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式． （2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号 {x|关于x的一个命题P} 表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合．例如，集合{x|x为实数，并且0

上学期拓扑学考试试卷及答案

大学拓扑学考试试卷参考答案（A ） 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T C. {,,{},{,}}X a a b φ=T D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的 个数为（ ） & A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ） A. φ B. Z C. R -Z D. R 4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） A. 若A φ=,则d A φ= B. 若0{}A x =,则d A X = C. 若A={12,x x },则d A X A =- D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( ) A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭 & 二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间 4、序列紧致空间 … 5、正规空间 三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）

1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ） 2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ） 4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( ) < 四、证明题（共50分） 1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明 :g f X Z →也是连续映射。(10分) 2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个 连通子集. (10分) 3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分) ) 4、设X 为非空集合，令 {}{}|,C A A X C ==-??余可数 其中为至多可数集 试证：(1) (), X 余可数 是一个拓扑空间；(5分) (2) 若X 不可数，(),X 余可数 是连通空间；(5分) (3) ()X,余可数 为1 T 但非2 T 空间；(5分) (4) (), X 余可数 是Lindel?ff 空间(提示： 即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分) /

江苏省泰州市高二上学期语文期末考试试卷

江苏省泰州市高二上学期语文期末考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共1题；共6分) 1. （6分） (2019高一上·玉林期末) 阅读下面的文字，完成下面小题。 “文章合为时而著，诗歌合为事而作”，如何给高考作文命题，________。有人反对作文题太贴近现实，也有人认为作文题还是应该多接接地气，接洽时代风采，两种观点都有可取之处。很显然，无论怎么出题，都不难达成这样的基本共识：读死书、死读书。“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”的________观念该改变了，不能让考生缺席于这个时代的进程，不能让考生拘泥于个人情感中不能自拔。通过作文题呼唤考生的身份意识，引导他们关注时代潮流，并热切参与其中，这应是高考作文的“附加”功能所决定的。事实上，这一代年轻人是有抱负的，更有社会责任，也更有资格享有出彩人生。究其因，他们处于一个更多元的新时代，他们将遇到一个更好的自己。如果说作文题只是________，那么步入大学或踏入社会之后，更应该身体力行地融入时代征程之中，走好属于自己的长征路。置身________的新时代，只要不负所托，不辱使命，把个体理想与时代需要相契合，（）。从这个意义上说，青年人需要写好高考作文，更要写好人生大作文。 （1）依次填入文中横线上的词语，全部恰当的一项是（） A . 各执已见不合情理坐而论道推陈出新 B . 见仁见智不合时宜坐而论道日新月异 C . 见仁见智不合情理坐面空谈推陈出新 D . 各执已见不合时宜坐而空谈日新月异 （2）下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是（） A . 才能更好地实现人生价值，也为时代进步贡献应有的公民责任。 B . 才能为时代进步贡献应有的公民责任，也能更好地实现人生价值。 C . 就能更好地实现人生价值，也为时代进步贡献应有的公民责任。 D . 就能为时代进步贡献应有的公民责任，也能更好地实现人生价值。 （3）文中画横线的部分有语病，下列修改最恰当的一项是（）

完整word版点集拓扑讲义学习笔记

度量空间与连续映射2章第 它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． 度量空间与连续映射§2.1 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中, R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考. 察出发，抽象出度量和度量空间的概念 ，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R

《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．

定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.

2018年博士研究生招生考试参考书目

2018年博士研究生招生考试参考书目 考试科目参考书目编著者出版社1001英语无 1002俄语无 1003日语无 1004德语无 2001马克思主义原理（含原著）原著部分参考书目：《共产党宣言》、《德意志意识形态》、《资本论》第1卷 2002运动生理学《运动生理学高级教程》田野高等教育出版社2003年 2003中外文论《中国美学史大纲》叶朗 北京大学出版社1985年 版 《当代文学理论导读》 【英】拉曼·塞 尔登等著；刘象 愚译 北京大学出版社2006年 版 《理论是什么——文学理论反思 研究》 邢建昌人民出版社2011年 2004汉语言文字学（综合卷）《中国语言学史》王力 复旦大学出版社2014年 版 《汉语音韵学》王力中华书局2014年版 《汉语语法分析问题》吕叔湘商务印书馆1979年版《汉语词汇学史》符淮青 外语教育与研究出版社， 2012年版 2005文史综合《中国文学史》袁行霈 高等教育出版社2005年 版 《中国通史》吕思勉 上海古籍出版社2009年 版 《中国文献学》张舜徽 上海古籍出版社2006年 版

2006中国现当代文学与文论无 2007中国考古学《中国大百科全书·考古卷》夏鼐等 大百科全书出版社 1986 年版 《新中国的考古发现和研究》社科院考古所文物出版社 1984年版《新中国考古五十年》 文物编辑委员 会 文物出版社 1999年版 2008中国古代史无2009中国近现代史无 2010专业综合一（点集拓扑、近世代数、泛函分析）《点集拓扑讲义》（第四版）熊金城高等教育出版社，2011 《近世代数基础》（修订本）张禾瑞高等教育出版社，2010 《泛函分析讲义》（上册） 张恭庆 林源渠 北京大学出版社，1987 2011专业综合二（概率论、模式识别、泛函分析）《概率论与数理统计教程》 （第二版） 魏宗舒高等教育出版社，2008 《模式识别》（第三版）张学工清华大学出版社，2010 《泛函分析讲义》（上册） 张恭庆 林源渠 北京大学出版社,1987 2012量子力学《量子力学》周世勋高等教育出版社，2005年 2013地理科学导论《地理学：科学地位与社会功能》蔡运龙陈彦光 阙维民等 科学出版社 （2012年第一版） 2014植物学《植物学》马炜梁主编高等教育出版社 2015分子生物学《分子生物学》（第四版）朱玉贤编高等教育出版社 2016高级生态学《现代生态学》戈峰科学出版社（第二版） 2017医学分子生物学《医学分子生物学》药立波主编人民卫生出版社（第三版） 3001国际政治理论《国际政治学概论》李少军上海人民大学出版社，2005年版，2009年10月

点集拓扑试卷2

| | | | | | 密| | | | | | | | | 封| | | | | | | | | 线| | | | | | | | | | | | 点集拓扑试题样卷2 一二三四总分 代号学院专业 年级 学号 姓名 备注: ①试卷首页必 须用统一的考试 命题专用纸,第 二页以后用专用 纸续页。 ②试卷必须打 印成卷字迹要工整、清楚。 ③各题留出答 案空白。 ④试卷打印后 应认真校对，避 免卷面错误。 得分阅卷人 一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分， 共18分) 1、已知{,,,,} X a b c d e =,下列集族中，是X上的拓扑.……（） ①{,,{},{,},{,,}} X a a b a c e φ = T ②{,,{,,},{,,},{,,,}} X a b c a b d a b c e φ = T ③{,,{},{,}} X a a b φ = T ④{,,{},{},{},{},{}} X a b c d e φ = T 2、已知{,} X a b =，拓扑{,,{}} X a φ = T,则{}a是………………（） ①φ②X③{}a④{}b 3、在实数空间R中给定如下等价关系: ~ x y?]1, ( ,-∞ ∈ y x或者]2,1( ,∈ y x或者) ,2( ,+∞ ∈ y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[3]} Y=,则Y的商拓扑是（） ①{,,{[3]},{[2],[3]}} Y φ②{,,{[3]}} Y φ ③{,,{[3]},{[1],[2]}} Y φ④{,} Y φ 4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是………………………（） ①连通性② 2 T③正则④正规 5、设{1,2} X=，{,,{2}} Xφ = T，则(,) X T是………………（） ① T空间② 1 T空间③ 2 T空间④ 3 T 6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是……………………（） ①连通性②紧致性③正则性④可分性 得分阅卷人 二、简答题（每题4分，共32分） 1、写出同胚映射的定义. 2、什么是不连通空间? 3、什么是正则空间？ 4、写出紧致空间的定义. 5、写出可分空间的定义 6、写出列紧空间的定义.

点集拓扑学练习题及答案

点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④