2017年考研数学一真题及答案解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上. (1
)若函数0(),0x f x b x >=?≤?
在0x =处连续,则( ) 【答案】A
【解析】001112lim lim ,()2x x x
f x ax ax a
++→→-==Q 在0
x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. (2)设函数()f x 可导,且'()()0f x f x >,则( )
【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴?>?Q
或()0(2)'()0f x f x ?
,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。
(3)函数
22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为( )
【答案】D
【解析】2(1,2,0)
122
{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.
|u |333
f u gradf xy x z gradf
gradf u ?=?=?
=?=?=? 选D.
(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v
v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上
甲的时刻记为0t (单位:s ),则( ) 【答案】B
【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为
120
(t),(t),t t v dt v dt ?
?则乙要追上甲,则
210
(t)v (t)10t v dt -=?
,当025t =时满足,故选C.
(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( ) 【答案】A
【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T
E x 有非零解,故
0αα-=T E 。即αα-T E 不
可逆。选项B,由()1ααα=T
r 得ααT 的特征值为n-1个0,1.故αα+T
E 的特征值为n-1个1,2.故可逆。其它选项类似理解。
(6)设矩阵200210100021,020,020*********A B C ????????????===??????????????????
,则( ) 【答案】B
【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1
因为3(2)1r E A --=,∴A 可相似对角化,且100~020002A ??
?
? ???
由
0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.
因为3(2)2r E B --=,∴B 不可相似对角化,显然C 可相似对角化, ∴~A C ,且B 不相似于C
(7)设,A B 为随机概率,若0()1,0()1P A P B <<<<,则()()P A B P A B >的充分必要条件是( )
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开,则A选项符合题意。
(8)设12,(2)n X X X n ???≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记1
1n
i i X X n ==∑,则下列结论中不正确的
是( ) 【答案】B 【解析】
由于找不正确的结论,故B 符合题意。
二、填空题:9?14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9) 已知函数2
1()1f x x
=+,则(3)
(0)f =__________ 【答案】(0)6f =-
【解析】
(10) 微分方程''
'
230y y y ++=的通解为y =_________
【答案】
12()x y e c c -=+,(12,c c 为任意常数)
【解析】齐次特征方程为2
1,22301λλλ++=?=-
故通解为12()x
e
c c -+
(11) 若曲线积分
221L xdx aydy x y -+-?在区域{}
22
(,)|1D x y x y =+<内与路径无关,则
a =__________ 【答案】1a =
【解析】
22222222,,(1)(1)P xy Q axy y x y x x y ?-?==?+-?+-由积分与路径无关知1P Q a y x
??=?=-?? (12) 幂级数
1
11
(1)
n n n nx ∞
--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =________
【答案】()
2
1
()1s x x =
+
【解析】''
1112111(1)(1)1(1)
n n n n n n x nx x x x ∞
∞---==????-=-== ? ?++????∑∑ (13)设矩阵101112011A ??
?
= ? ???
,123,,ααα为线性无关的3维列向量组,则向量组123,,A A A ααα的秩为
_________ 【答案】2
【解析】由123,,ααα线性无关,可知矩阵123,,ααα可逆,故
()()()()123123,,,,r A A A r A r A αααααα==再由()2r A =得()123,,2
r A A A ααα=
(14)设随机变量X 的分布函数为4
()0.5()0.5(
)2
x F x x -=Φ+Φ,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =_________
【答案】2
【解析】0.54()0.5()()22??-'=+
x F x x ,故0.54
0.5()()22
??+∞+∞-∞-∞-=+??x EX x x dx x dx ()0?+∞-∞==?x x dx EX 。令42-=x t ,则4()2
?+∞-∞-?x x dx =()242()814()8??+∞+∞-∞-∞+=?+=??t t dt t t dt 因此()2E X =.
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数,(,cos )x
y f e x =,求
0x dy
dx
=,22
x d y dx
=
【答案】
2'''1
112
(1,1),(1,1),x x dy
d y
f f dx
dx
==== 【解析】 结论:
(16)(本题满分10分)求21lim
ln 1n
n k k k n
n →∞
=??+ ???∑ 【答案】1
4
【解析】
(17)(本题满分10分) 已知函数
()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定,求()y x 的极值
【答案】极大值为(1)1y =,极小值为(1)0y -=
【解析】 两边求导得:
2233'33'0x y y y +-+= (1)
令'0y =得1x =±
对(1)式两边关于x 求导得
()2
266'3''3''0x y y y y y +++= (2)
将1x =±代入原题给的等式中,得11
10
x x or y y ==-????
==??, 将1,1x y ==代入(2)得
''(1)10y =-< 将1,0x y =-=代入(2)得''(1)20y -=>
故1x =为极大值点,
(1)1y =;1x =-为极小值点,(1)0y -=
(18)(本题满分10分) 设函数
()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数,且0
()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→><,证明: ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;
()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】 (I )
()f x 二阶导数,0
()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→>< 解:1)由于
0()
lim 0x f x x
+
→<,根据极限的保号性得
0,(0,)x δδ?>?∈有()
0f x x
<,即()0f x <
进而()0(0,)0x f δδ?∈<有
又由于()f x 二阶可导,所以()f x 在[0,1]上必连续
那么
()f x 在[,1]δ上连续,由()0,(1)0f f δ<>根据零点定理得:
至少存在一点(,1)ξδ∈,使()0f ξ=,即得证
(II )由(1)可知
(0)0f =,(0,1),()0f ξξ?∈=使,令()()'()F x f x f x =,则(0)()0f f ξ==
由罗尔定理(0,),'()0f ηξη?∈=使,则(0)()()0F F F ηξ===, 对()F x 在(0,),(,)ηηξ分别使用罗尔定理:
12(0,),(,)ηηηηξ?∈∈且1212,(0,1),ηηηη∈≠,使得12'()'()0F F ηη==,即
()2
'()()''()'()0F x f x f x f x =+=在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
(19)(本题满分10分) 设薄片型物体S
是圆锥面z =
被柱面22z x =割下的有限部分,其上任一点的密度为
μ=C
()I 求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程; ()∏求S 的M 质量。
【答案】64 【解析】
(1)由题设条件知,C
的方程为22222z x y x z x
?=??+=?=??
则C 在xoy 平面的方程为2220
x y x
z ?+=?=?
(2)
(20)(本题满分11分)设3阶矩阵()123,,A ααα=
有3个不同的特征值,且3122ααα=+。
()I 证明 ()2r A =;
()∏若123βααα=++,求方程组Ax β=的通解。
【答案】(I )略;(II )通解为1121,11k k R ???? ? ?
+∈ ? ? ? ?-????
【解析】
(I )证明:由3122ααα=+可得12320ααα+-=,即123,,ααα线性相关, 因此,
1230A ααα==,即A 的特征值必有0。
又因为A 有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.
且由于A 必可相似对角化,则可设其对角矩阵为1
212,00λλλλ??
?
Λ=≠≠ ? ??
?
∴()()2r A r =Λ=
(II )由(1)()2r A =,知3()1r A -=,即0Ax =的基础解系只有1个解向量,
由12320ααα+-=可得()12311,,22011A ααα???? ? ?== ? ? ? ?--????,则0Ax =的基础解系为121?? ?
? ?-??,
又123βααα=++,即()12311,,1111A αααβ???? ? ?== ? ? ? ?????,则Ax β=的一个特解为111?? ?
? ???,
综上,Ax β=的通解为1121,11k k R ????
? ?
+∈ ? ? ? ?-????
(21)(本题满分11分)设二次型2
2
2
123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+ 在正交变换X
QY =下的标准型22
1122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q
【答案】22
122;0,36 a Q f x Qy y y ? ===-+ ? 【解析】
123(,,)T f x x x X AX =,其中21411141A a -??
?=- ? ?-??
由于123(,,)T
f x x x X AX =经正交变换后,得到的标准形为2
2
1122
y y λλ+,
故2
14
()2||01
11024
1
r A A a a
-=?=?-=?=-, 将2a =代入,满足()2r A =,因此2a =符合题意,此时214111412A -??
?
=- ? ?-??
,则
1232
14
||1
1
103,0,64
1
2
E A λλλλλλλ---=-+-=?=-==--,
由(3)0E A x --=,可得A 的属于特征值-3的特征向量为1111α?? ?
=- ? ???;
由(6)0E A x -=,可得A 的属于特征值6的特征向量为2101α-?? ?
= ? ???
由(0)0E A x -=,可得A 的属于特征值0的特征向量为3121α?? ?
= ? ???
令()123,,P ααα=,则1
360P AP --?? ?= ? ???
,由于123,,ααα
彼此正交,故只需单位化即可:
)
))1231,1,1,1,0,1,1,2,1,T T T
βββ=
-=-=, 则(
)1230Q βββ? == ?,360T
Q AQ -??
?= ? ??? (22)(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为1
(0)(2)2
P X P X ====
,Y 的概率密度为
201()0,y y f y <=??,其他
()I 求()P Y EY ≤
()∏求Z X Y =+的概率密度。
【答案】,014
(I){};(II)()2,239 Z z z P Y EY f z z z <≤==?
-<
【解析】
(1) 当0,20z z <-<,而0z <,则()0z F Z = (2) 当21,1,z z -≥>即3z ≥时,()1z F Z =
(3)当01z ≤<时,2
1()2z F Z z =
(4)当12z ≤<时,1
()2z F Z =
(5)当23z ≤<时,2
11()(2)22
z F Z z =+-
所以综上22
001
,0121
(),12
211(2),23221,3z z z z F Z z z z z ??≤??=≤??+-≤?
≥??
所以
[]'
01()()223
z z z z f Z F Z z z <==?
-< (23)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,n X X X ???相互独立且均服从正态分布2
(,)N μσ。该工程师记录的是n 次测量的绝对误差(1,2,)i
i Z X i n μ=-=???,利用12,n Z Z Z ???估计σ
。
()I 求i Z 的概率密度;
()∏利用一阶矩求σ的矩估计量
【答案】 【解析】()()()()i
z
i i F z P Z z P X z μI =≤=-≤
当0,()0i z z F z <=
当0,()()()()()i z i i X z F z P z X z P z X z F z F z μμμμμ≥=-≤-≤=-≤≤+=+--
当0z ≥时,
综上2
2
2,0()0,0i z z z f z z σ-?>=≤?
令11
11()n n
i i i i i E Z Z
Z Z X n n μ=====-∑∑
由此可得σ
的矩估计量^
1
n
i
i X σμ==
-
对总体
X 的n 个样本12,,n X X X ???,
则相交的绝对误差的样本12,,,,1,2...,n i i Z Z Z Z x u i n ???=-=令其样本值为12,,,n i i Z Z Z Z x u ???=-
则对应的似然函数212212,,,0()0,n
i i Z n n e
Z Z Z L σ
σ=-?∑?????>=????其他
两边取对数,当12,,0n Z Z Z ???>时
令2
31
ln ()10n i i d L n Z d u σσσ==-+=∑
所以,
μσ==