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考研数学一真题及答案解析

考研数学一真题及答案解析
考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...

指定位置上. (1

)若函数0(),0x f x b x >=?≤?

在0x =处连续,则( ) 【答案】A

【解析】001112lim lim ,()2x x x

f x ax ax a

++→→-==Q 在0

x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. (2)设函数()f x 可导,且'()()0f x f x >,则( )

【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴?>?Q

或()0(2)'()0f x f x

,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。

(3)函数

22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为( )

【答案】D

【解析】2(1,2,0)

122

{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.

|u |333

f u gradf xy x z gradf

gradf u ?=?=?

=?=?=? 选D.

(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v

v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上

甲的时刻记为0t (单位:s ),则( ) 【答案】B

【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为

120

(t),(t),t t v dt v dt ?

?则乙要追上甲,则

210

(t)v (t)10t v dt -=?

,当025t =时满足,故选C.

(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( ) 【答案】A

【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T

E x 有非零解,故

0αα-=T E 。即αα-T E 不

可逆。选项B,由()1ααα=T

r 得ααT 的特征值为n-1个0,1.故αα+T

E 的特征值为n-1个1,2.故可逆。其它选项类似理解。

(6)设矩阵200210100021,020,020*********A B C ????????????===??????????????????

,则( ) 【答案】B

【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1

因为3(2)1r E A --=,∴A 可相似对角化,且100~020002A ??

?

? ???

0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.

因为3(2)2r E B --=,∴B 不可相似对角化,显然C 可相似对角化, ∴~A C ,且B 不相似于C

(7)设,A B 为随机概率,若0()1,0()1P A P B <<<<,则()()P A B P A B >的充分必要条件是( )

【答案】A

【解析】按照条件概率定义展开,则A选项符合题意。

(8)设12,(2)n X X X n ???≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记1

1n

i i X X n ==∑,则下列结论中不正确的

是( ) 【答案】B 【解析】

由于找不正确的结论,故B 符合题意。

二、填空题:9?14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9) 已知函数2

1()1f x x

=+,则(3)

(0)f =__________ 【答案】(0)6f =-

【解析】

(10) 微分方程''

'

230y y y ++=的通解为y =_________

【答案】

12()x y e c c -=+,(12,c c 为任意常数)

【解析】齐次特征方程为2

1,22301λλλ++=?=-

故通解为12()x

e

c c -+

(11) 若曲线积分

221L xdx aydy x y -+-?在区域{}

22

(,)|1D x y x y =+<内与路径无关,则

a =__________ 【答案】1a =

【解析】

22222222,,(1)(1)P xy Q axy y x y x x y ?-?==?+-?+-由积分与路径无关知1P Q a y x

??=?=-?? (12) 幂级数

1

11

(1)

n n n nx ∞

--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =________

【答案】()

2

1

()1s x x =

+

【解析】''

1112111(1)(1)1(1)

n n n n n n x nx x x x ∞

∞---==????-=-== ? ?++????∑∑ (13)设矩阵101112011A ??

?

= ? ???

,123,,ααα为线性无关的3维列向量组,则向量组123,,A A A ααα的秩为

_________ 【答案】2

【解析】由123,,ααα线性无关,可知矩阵123,,ααα可逆,故

()()()()123123,,,,r A A A r A r A αααααα==再由()2r A =得()123,,2

r A A A ααα=

(14)设随机变量X 的分布函数为4

()0.5()0.5(

)2

x F x x -=Φ+Φ,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =_________

【答案】2

【解析】0.54()0.5()()22??-'=+

x F x x ,故0.54

0.5()()22

??+∞+∞-∞-∞-=+??x EX x x dx x dx ()0?+∞-∞==?x x dx EX 。令42-=x t ,则4()2

?+∞-∞-?x x dx =()242()814()8??+∞+∞-∞-∞+=?+=??t t dt t t dt 因此()2E X =.

三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数,(,cos )x

y f e x =,求

0x dy

dx

=,22

x d y dx

=

【答案】

2'''1

112

(1,1),(1,1),x x dy

d y

f f dx

dx

==== 【解析】 结论:

(16)(本题满分10分)求21lim

ln 1n

n k k k n

n →∞

=??+ ???∑ 【答案】1

4

【解析】

(17)(本题满分10分) 已知函数

()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定,求()y x 的极值

【答案】极大值为(1)1y =,极小值为(1)0y -=

【解析】 两边求导得:

2233'33'0x y y y +-+= (1)

令'0y =得1x =±

对(1)式两边关于x 求导得

()2

266'3''3''0x y y y y y +++= (2)

将1x =±代入原题给的等式中,得11

10

x x or y y ==-????

==??, 将1,1x y ==代入(2)得

''(1)10y =-< 将1,0x y =-=代入(2)得''(1)20y -=>

故1x =为极大值点,

(1)1y =;1x =-为极小值点,(1)0y -=

(18)(本题满分10分) 设函数

()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数,且0

()

(1)0,lim 0x f x f x

+

→><,证明: ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;

()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

【答案】

【解析】 (I )

()f x 二阶导数,0

()

(1)0,lim 0x f x f x

+

→>< 解:1)由于

0()

lim 0x f x x

+

→<,根据极限的保号性得

0,(0,)x δδ?>?∈有()

0f x x

<,即()0f x <

进而()0(0,)0x f δδ?∈<有

又由于()f x 二阶可导,所以()f x 在[0,1]上必连续

那么

()f x 在[,1]δ上连续,由()0,(1)0f f δ<>根据零点定理得:

至少存在一点(,1)ξδ∈,使()0f ξ=,即得证

(II )由(1)可知

(0)0f =,(0,1),()0f ξξ?∈=使,令()()'()F x f x f x =,则(0)()0f f ξ==

由罗尔定理(0,),'()0f ηξη?∈=使,则(0)()()0F F F ηξ===, 对()F x 在(0,),(,)ηηξ分别使用罗尔定理:

12(0,),(,)ηηηηξ?∈∈且1212,(0,1),ηηηη∈≠,使得12'()'()0F F ηη==,即

()2

'()()''()'()0F x f x f x f x =+=在(0,1)至少有两个不同实根。

得证。

(19)(本题满分10分) 设薄片型物体S

是圆锥面z =

被柱面22z x =割下的有限部分,其上任一点的密度为

μ=C

()I 求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程; ()∏求S 的M 质量。

【答案】64 【解析】

(1)由题设条件知,C

的方程为22222z x y x z x

?=??+=?=??

则C 在xoy 平面的方程为2220

x y x

z ?+=?=?

(2)

(20)(本题满分11分)设3阶矩阵()123,,A ααα=

有3个不同的特征值,且3122ααα=+。

()I 证明 ()2r A =;

()∏若123βααα=++,求方程组Ax β=的通解。

【答案】(I )略;(II )通解为1121,11k k R ???? ? ?

+∈ ? ? ? ?-????

【解析】

(I )证明:由3122ααα=+可得12320ααα+-=,即123,,ααα线性相关, 因此,

1230A ααα==,即A 的特征值必有0。

又因为A 有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.

且由于A 必可相似对角化,则可设其对角矩阵为1

212,00λλλλ??

?

Λ=≠≠ ? ??

?

∴()()2r A r =Λ=

(II )由(1)()2r A =,知3()1r A -=,即0Ax =的基础解系只有1个解向量,

由12320ααα+-=可得()12311,,22011A ααα???? ? ?== ? ? ? ?--????,则0Ax =的基础解系为121?? ?

? ?-??,

又123βααα=++,即()12311,,1111A αααβ???? ? ?== ? ? ? ?????,则Ax β=的一个特解为111?? ?

? ???,

综上,Ax β=的通解为1121,11k k R ????

? ?

+∈ ? ? ? ?-????

(21)(本题满分11分)设二次型2

2

2

123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+ 在正交变换X

QY =下的标准型22

1122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q

【答案】22

122;0,36 a Q f x Qy y y ? ===-+ ? 【解析】

123(,,)T f x x x X AX =,其中21411141A a -??

?=- ? ?-??

由于123(,,)T

f x x x X AX =经正交变换后,得到的标准形为2

2

1122

y y λλ+,

故2

14

()2||01

11024

1

r A A a a

-=?=?-=?=-, 将2a =代入,满足()2r A =,因此2a =符合题意,此时214111412A -??

?

=- ? ?-??

,则

1232

14

||1

1

103,0,64

1

2

E A λλλλλλλ---=-+-=?=-==--,

由(3)0E A x --=,可得A 的属于特征值-3的特征向量为1111α?? ?

=- ? ???;

由(6)0E A x -=,可得A 的属于特征值6的特征向量为2101α-?? ?

= ? ???

由(0)0E A x -=,可得A 的属于特征值0的特征向量为3121α?? ?

= ? ???

令()123,,P ααα=,则1

360P AP --?? ?= ? ???

,由于123,,ααα

彼此正交,故只需单位化即可:

)

))1231,1,1,1,0,1,1,2,1,T T T

βββ=

-=-=, 则(

)1230Q βββ? == ?,360T

Q AQ -??

?= ? ??? (22)(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为1

(0)(2)2

P X P X ====

,Y 的概率密度为

201()0,y y f y <

()I 求()P Y EY ≤

()∏求Z X Y =+的概率密度。

【答案】,014

(I){};(II)()2,239 Z z z P Y EY f z z z <

-<

【解析】

(1) 当0,20z z <-<,而0z <,则()0z F Z = (2) 当21,1,z z -≥>即3z ≥时,()1z F Z =

(3)当01z ≤<时,2

1()2z F Z z =

(4)当12z ≤<时,1

()2z F Z =

(5)当23z ≤<时,2

11()(2)22

z F Z z =+-

所以综上22

001

,0121

(),12

211(2),23221,3z z z z F Z z z z z

≥??

所以

[]'

01()()223

z z z z f Z F Z z z <

-<

(,)N μσ。该工程师记录的是n 次测量的绝对误差(1,2,)i

i Z X i n μ=-=???,利用12,n Z Z Z ???估计σ

()I 求i Z 的概率密度;

()∏利用一阶矩求σ的矩估计量

【答案】 【解析】()()()()i

z

i i F z P Z z P X z μI =≤=-≤

当0,()0i z z F z <=

当0,()()()()()i z i i X z F z P z X z P z X z F z F z μμμμμ≥=-≤-≤=-≤≤+=+--

当0z ≥时,

综上2

2

2,0()0,0i z z z f z z σ-?>=≤?

令11

11()n n

i i i i i E Z Z

Z Z X n n μ=====-∑∑

由此可得σ

的矩估计量^

1

n

i

i X σμ==

-

对总体

X 的n 个样本12,,n X X X ???,

则相交的绝对误差的样本12,,,,1,2...,n i i Z Z Z Z x u i n ???=-=令其样本值为12,,,n i i Z Z Z Z x u ???=-

则对应的似然函数212212,,,0()0,n

i i Z n n e

Z Z Z L σ

σ=-?∑?????>=????其他

两边取对数,当12,,0n Z Z Z ???>时

令2

31

ln ()10n i i d L n Z d u σσσ==-+=∑

所以,

μσ==

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