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垂直平分线的性质判定及画法

知识要点

线段的垂直平分线：

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等精讲精练

★例1、直线MN⊥AB，垂足为D，且AD=BD,P是MN上任意一点，求证：PA=PB

★例2、△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC,求证：直线AO垂直平分线段BC

★★变式1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数。

★★★变式2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。求证：CM=2BM.

★★★变式3、以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶点的位置有什么共同特征

★★变式4、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。

★★例3、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.

求证：OP垂直平分EF.

★★★例4、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.

求证：D在∠BAC的平分线上.

★★★变式5、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.

★★★变式6、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，AC=24，求BD的长。

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一：填空选择

1.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.

2.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.

3..如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在______上.

第1题第3题

4.如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，

那么这个三角形是（）

（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）以上都有可能

5.下列命题中正确的命题有（）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；

⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二：解答题

1.已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.

2：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，（1）求BC 的长.

(2)若∠BEC=70°，则∠A=？

3：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。

4、如图6，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.

图3

A C

(1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数. (3) 判断△AEN 的形状.

5、如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF 。求证：∠B=∠CAF

6、如图，AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，BD=5，BC=20，求AB.

7、如图，已知：线段CD 垂直平分AB ，AB 平分DAC . 求证：BC AD //.

E D

8、如图，已知：在ABC ?中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：

BC AD =.

课后练习

1、下列各图形中，是轴对称图形的有多少个（）

① 等腰三角形 ② 等边三角形 ③ 点 ④ 角 ⑤ 两个全等三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如左下图，AC =AD ，BC =BD ，则（）

A.CD 垂直平分AD

B.AB 垂直平分CD

C.CD 平分∠ACB

D.以上结论均不对

3、如上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）

A.6 cm

B.7 cm

C.8 c m

D.9 cm

4、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等边三角形

5、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,B E平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（）

A.2 cm

B.3 cm

C.4 cm

D.5 c m

6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.

7、如图（2），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，F G⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.

（1）（2）

8、如左下图，D为B C边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上

9、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.

10、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是A D上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(H L)；从而BD=DC，则△__________≌△__________(SAS)；△ABC是

__________三角形.

11、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=__________度.

12、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.

13、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.

求证：A、M、N在一条直线上.

证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥A C

过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC

∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC

∴NF__________NH，NH__________NK

∴NF__________NK

∴N在∠A的平分线上

又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB

∴__________=__________，__________=__________

∴__________=__________

∴M在∠A的__________上

∴M、N都在∠A的__________上

∴A、M、N在一条直线上

14、如图，线段CD垂直平分AB，AB平分∠CAD．求证：AD//BC

15、已知：△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O．求证；OA＝

OB=OC

16、如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT＝OS，PT和QS相交于点C。

求证：OC平分∠AOB

17、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB。

F E

C B