03 第三节 克莱姆法则
第三节 克莱姆法则
分布图示
★ 引例
★ 齐次与非齐次线性方程组的概念 ★ 克莱姆法则 ★ 例 1
★ 例 2 ★ 例3 ★ 例 4 ★ 齐次线性方程组解的定理 ★ 例 5 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题7-3
内容要点
n 元线性方程组的概念
从三元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n 元线性方程组的概念。 含有n 个未知数n x x x ,,,21 的线性方程组
)1.3(,
,,22112222212111212111??????
?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
称为n 元线性方程组.当其右端的常数项n b b b ,,,21 不全为零时,线性方程组(3.1)称为非齐次线性方程组,当n b b b ,,,21 全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即
)2.3(.
0,0,0221122221211212111??????
?=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a
线性方程组(1)的系数ij a 构成的行列式称为该方程组的系数行列式D ，即 nn
n n n
n a a a a a a a a a D 2
1
22221
11211
=
.
克莱姆法则
定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0≠D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为
),,2,1(n j D
D x j j ==
(3)
其中),,2,1(n j D j =是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式.
一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.
克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.
定理2 如果线性方程组(3.1)的系数行列式,0≠D 则(3.1)一定有解,且解是唯一的.
在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:
定理2' 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(3.2), 易见021====n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(3.2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(3.2)，可得到下列结论.
定理 3 如果齐次线性方程组(3.2)的系数行列式,0≠D 则齐次线性方程组(3.2)只有零解.
定理3' 如果齐次方程组(3.2)有非零解,则它的系数行列式.0=D
注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0=D 则齐次线性方程组(3.2)有非零解.
例题选讲
例1用克莱姆法则求解线性方程组：
???
??=+=+=++453522532322
1321x x x x x x x 解 5
30021
5
32=D 3
1r r - ,205225
30
225
30021
02=??==
5
340
255321=D 3
1r r -,2052)2(5
34
025002-=??-=- 5
400
515222=D 2
12r r -5
4
051580-2
1r r ?,605
4
5
85
405800
51=--
=--
4
305
212323=D 2
12r r -4
3
521810--2
1r r ?.204
38
14
308105
21-=---=---
由克莱姆法则,
.1,3,1332211-====-==D
D x D D
x D D x
例2 (E01) 用克莱姆法则解方程组 ?????
??=+-+-+-=--=+-+.
0674,522,
963,
85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x
解 6
741212060311
512-----=D
2
1242r r r r --12
7721213
5712
7702
1206
03113
570----=-----
212
322c c c c ++.272
73
32
770103
53=---=-------
,8167402125603915181=------=D ,10867012150609115822=-----=D
,2760412520693118123-=---=D ,270
7415120903185124=-----=D
,3278111===
∴D D x ,427108
22-=-==D D x ,1272733-=-==
D D x .127
2744===D D x
例3（E02） 大学生在饮食方面存在很多问题，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食没有规律，为了身体的健康就要制订营养改善行动计划，大学生一日食谱配餐：需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱所需的营养如下给出
试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入上述三种食物的量。
解：设321,,x x x 分别为三种食物的量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：
???
??=++=++=++525
10405060
3100105202010321
321321x x x x x x x x x 由克莱姆法则可得
1040503100202010=D = -7200， 1D =10
405253106020
20105= -39600，
2D =1052550360020
10510= -54000， 3D =525
405060100105
2010= -36000 则：
1x =
D D 1=5.5，2x = D D
2=7.5，3x = D
D 3=5 从而我们每天可以摄入5.5个单位的食物一、7.5个单位的食物二、5个单位的食物三就可以
保证我们的健康饮食了。
例4（E03）一个土建师、一个电气师、
一个机械师组成一个技术服务站。
假设在一段时间内，每个人收入1元人民币
需要支付给其他两人的服务费用以及每个人 的实际收入如表所示。问这段时间内，
每人的总收入是多少
（总收入=实际收入+支付服务费）？
解 设土建师、电气师、机械师的总收入分别为321,,x x x 元。 根据题意，可以得到
,6004.03.07004.01.05003.02.0321231132??
?
??=++=++=++x
x x x x x x x x
化简，得
被服务者服务者
土建师电气师机械师实际收入土建师
00.20.3500电气师0.100.4700机械师
0.30.40600
,600
4.03.07004.01.05003.02.0321321321??
?
??=+--=-+-=--x x x x x x x x x
因0694.01
4.03.04.011
.03
.02.01
≠=------=D ，根据克莱姆法则，方程组有唯一解。
由,1080,1005,872321===D D D 可得 .20.1556,13.1448,48.1256332211≈=≈=≈=
D
D x D D
x D D x 因此，在这段时间内土建师、电气师、机械师的总收入分别是1256.48元、1448.13元、1556.20
元。
例5 (E04) 问λ为何值时, 齐次方程组???
??=-++=+-+=+--0
)1(0)3(2042)1(32
1321321x x x x x x x x x λλλ有非零解?
解
D =λ
λλ----1111324
21=
λ
λλλ
--+--10
1
112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ+------+-=
3)1(2)1(23-+-+-=λλλ),3)(2(λλλ--=
齐次线性方程组有非零解，则,0=D 所以,0=λ 2=λ或3=λ时齐次线性方程组有非零解.
例6 设方程组 ??
?
??=++++=++++=++abc abz cay bcx c b a cz by ax c b a z y x 3222
试问c b a ,,满足什么条件时, 方程组有惟一解, 并求出惟一解.
解 ab
ca bc c b a
D 1
11
= 3
221c c c c -- ab
b c a a b c c c b b
a )()(1
00
----
)
()(21c b c b a c -÷-÷))()((1
1
))((111
))((a c c b b a a
c c b b a ab
a c c c
b b a ---=----=----
显然,当c b a ,,互不相等时,,0≠D 该方程组有唯一解. 又
ab
ca abc
c b c b a c
b a D 31
12
221++++=3
21cc bc c -- ab
ca abc c b
a
a
2
1
1
a
c ÷1 .1
11
aD ab
ca bc c b a
a = 同理可得,,32cD D bD D ==于是 .,,321c D
D z b D D
y a D D x ======
课堂练习
1.如果下列齐次线性方程组有非零解, k 应取何值?
.03204)2(020432142142141???
?
?
?
?=+++=+-+=-+=+kx x x x x x x k x x x x kx 2.判定齐次线性方程组???
??
??=--+=---=-++=+++0320230
320324321432
143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 是否仅有零解.
克莱姆法则及证明
第7 节克莱姆（Cramer）法则 一、线性方程组 元线性方程组是指形式为： 的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个 未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题： （1）. 这个方程组有没有解？ （2）. 如果这个方程组有解，有多少个解？ （3）. 在方程组有解时 , 解之间的关系 , 并求出全部解。 本节讨论方程的个数与未知量的个数相等（即）的情形。 二、克莱姆法则 定理 1 （克莱姆法则）如果线性方程组 的系数行列式：
接下来证明定理。首先，证明 3）确实是（2） 的解。将行列式 按第 列展开得： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成： 其中 是把 中第 列换成常数项 所得的行列式，即 方程组有解； 解是唯一的； 解由公式（3）给出。 因此证明的步骤是： 有解，并且（3）是一个解，即证明了结论 与 。 第二，证明如果 是方程组（２）的一个解，那么一定有 。这就证明了解的唯一性，即证明了结论 。 3） 代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组 证明：先回忆行列式的一个性质，设 阶行列式 第一，把 ，则有：
其中是行列式中元素的代数余子式。现把 代入第个方程的左端，得： 这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的 一个解。 其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式： 4） 用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：
泰勒公式word版
第三节 泰勒公式 教学目的：使学生了解泰勒公式，并会求简单函数的泰勒展开式。 教学重点：函数的泰勒展开式 教学过程： 多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内容，在§2、8中，我们已见过：x n x x e x x x x 1 1)1(,1,sin 1+ ≈++≈≈ 等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。 设)(x f 在0x 的某一开区间内具有直到)1(+n 阶导数，试求一个多项式 n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= (1) 来近似表达)(x f ，并且)(x P n 和)(x f 在0x 点有相同的函数值和直到n 阶导数的各阶 导数，即：)()(,),()(),()(),()(0)(0) (000000x f x P x f x P x f x P x f x P n n n n n n =''="'='= 。 下面确定)(0x P n 的系数n a a a ,,10，通过求导，不难得到 ) (!),(321),(21),(1),(0) (03020100x f n a x f a x f a x f a x f a n n =?'''=???''=??'=?= ? n n n x x n x f x x x f x x x f x f x P )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= (2) 这个)(x P n 即为所求。 Taylor 中值定理：如果函数)(x f 在0x 的某区间),(b a 内具有直到)1(+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时，)(x f 可表示为)(0x x -的一个多项式)(x P n 和一个余项)(x R n 之和： ) ()(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=
03 第三节 分部积分法
第三节 分部积分法 分布图示 ★ 分部积分公式 ★ 几点说明 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 例18 ★ 分部积分的列表法 ★ 例19 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-3 内容要点 分部积分公式： ??-=vdu uv udv (3.1) ??'-='vdx u uv dx v u (3.2) 分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数). . arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mx x mx x x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n 例题选讲 例1 (E01) 求不定积分 ?xdx x cos . 解一 令,2,cos 2dv x d xdx x u =??? ? ??== ? ?? +=??? ? ??=,sin 2 cos 22cos cos 2 2 2xdx x x x x xd xdx x 显然, ν',u 选择不当，积分更难进行. 解二 令,sin cos ,dv x d xdx x u === ??=x xd xdx x sin cos ?-=xdx x x sin sin .cos sin C x x x ++=
例2 (E02) 求不定积分 ? dx e x x 2. 解 dv de dx e x u x x ===,2 x x de x dx e x ??=2 2?-=dx xe e x x x 22? -=x x xde e x 22.)(22C e xe e x x x x +--= 注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u , 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次. 例3 (E03) 求不定积分 ?xdx x arctan . 解 令,2,arctan 2dv x d xdx x u =??? ? ??== ?? ??? ? ??=2arctan arctan 2x xd xdx x ?-=)(arctan 2arctan 222x d x x x dx x x x x ? +?-=222112arctan 2 dx x x x ? ??? ??+-?-=2211121arctan 2.)arctan (2 1 arctan 22C x x x x +--= 例4 (E04) 求不定积分 ?xdx x ln 3 . 解 令,4,ln 43 dv x d dx x x u =??? ? ??== ??? ? ??=?? 4ln ln 43 x d x xdx x ? -=dx x x x 34 41ln 41.161ln 4144C x x x +-= 注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u , 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失. 例5 (E05) 求不定积分? xdx e x sin . 解 ??=x x de dx e sin sin )(sin sin x d e x e x x ?-=? -=xdx e x e x x cos sin ?-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ? --=x d e x e x e x x x ? --=xdx e x x e x x sin )cos (sin .)cos (sin 2 sin C x x e dx e x x +-=∴? 注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u , dv 可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u , 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。三角函数： 是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。 分部积分法它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。其主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。 三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。 三角函数的反函数因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。 不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
克莱姆法则的一个新证明
线性代数培训之收获 ——对“克莱姆法则”的一个新教案 有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n 阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n 阶行列式在几何上表示“n 维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。 对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。 §7克莱姆法则 一、教学内容 (1) 克莱姆法则的证明 (2) 克莱姆法则的应用 二、教学要求 （1）理解克莱姆法则的证明 （2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D ≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解 （3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D ≠0，方程组只有零解 教学过程 一、（定理1）克莱姆法则 若n ×n 线性方程组 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221 12222212111212111,, ⑴ 的系数行列式
分部积分法的二个经验
分部积分法的二个经验 一、u 和v / 的选择 我们知道，用分部积分公式求积分时，主要是选好 u 与 v ， 这里介绍一种经验顺序，取名“反对幂指三”经验顺序。“反对幂指三”是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数这五类函数的简称。其意是说，如果用分部积分法求不定积分，而被积函数 f (x )恰是这五类函数中任意两个函数的乘积时，则按“反对幂指三”的顺序，次序在前的取为u ,次序在后的取为 v’ 进行分部，这样通常能解决问题。这便是经验顺序。 例1 求 ∫ =dx xe I x 解 被积函数是“幂指”型，因指数函数排在幂函数之后，按经验顺序，取为v /，即 x e ∫ =x xde I 例2 求 ∫ =xdx x I cos 解 这是“幂三”型，cos x 应取为v /，即 ∫ =x d x I sin 例3 例3 求 ∫ =dx x x I 2sin cos ln 解 这是“对三”型，应将“三”取为v /，即 ∫ ?=)cot (cos ln x d x I 要注意，在许多情况下，这个经验顺序是行之有效的，但并非严格的理论，因而不能将它作为不变的教条。例如，求 ∫ +=dx x xe I x 2)1( 这是“幂指”型．若按经验顺序，取为v /，则 x e ∫ ∫+??+=+=dx e x x e x x de x x I x x x 322)1(1)1()1( 所得新积分反而比原积分更复杂。 这时，应考虑取“幂”为v /，即 C x e C e x xe e x d x x xe x d xe I x x x x x x ++=+++?=+++?=+?=∫ ∫11)(111)11( 二、关于连续多次分部积分的使用 在用求积分时，可能会出现多次使用分部积分法的情况，例如
克莱姆法则及证明
第7节克莱姆（Cramer）法则 一、线性方程组 元线性方程组是指形式为： （1） 的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，，; 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题： (1).这个方程组有没有解？ (2).如果这个方程组有解，有多少个解？ (3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。 本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。 二、克莱姆法则 定理1（克莱姆法则）如果线性方程组
（2） 的系数行列式： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成： （3） 其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即 。 分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。因此证明的步骤是： 第一，把代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。
第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有 。这就证明了解的唯一性，即证明了结论。 证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有： 接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）的解。将行列式按第列展开得： ， 其中是行列式中元素的代数余子式。现把 代入第个方程的左端，得：
这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。 其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式： （4） 用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到： 将此个等式相加，得： 从而有：。这就是说，如果是方程组（2）的 一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。 三、齐次线性方程组
泰勒公式
第三节 泰勒公式 对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达. 多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献. 其研究结果表明: 具有直到1+n 阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n 次多项式近似表达. 本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 多项式逼近 ★ 泰勒中值定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 常用函数的麦克劳林公式 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 ★ 返回 内容要点： 一、问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间(a , b )内具有直到1+n 阶导数, 问是否存在一个n 次多项式函数 n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= (3.1) 使得 )()(x P x f n ≈, (3.2) 且误差)()()(x p x f x R n n -=是比n x x )(0-高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式. 二、泰勒中值公式 200000)(! 2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-++ (3.6) 拉格朗日型余项 10)1()()! 1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (3.7) 皮亚诺形式余项 ].)[()(0n n x x o x R -= (3.9) 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式 )(! )0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= (3.12) 从公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。 一、口诀 “反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。 将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。 （分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。） 反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领 当出现两种函数相乘时 指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算 而反三角函数不需要动 再具体点就是： 反*对->反(对) 反*幂->反(幂) 对*幂->对(幂) 二、相关知识 （一）不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C （二）求不定积分的方法： 第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。 分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）
分部积分法教案
分部积分法 教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。 重点：分部积分法及其应用 难点：在分部积分法中，要恰当的选取U和v 教学方法：讲练法 0回顾 上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、一换元积分法(凑微法)③熟练、灵活的运用第二换元积分法。 凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分； f(x)dx f [ (x)] '(x)dx f[ (x)]d[ (x)] 令u (x) f (u)du F(u) C F[ (x)] C 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x (t)，使得难求的积分易求 f (x)dx 令x (t) f[ (t)]'⑴dt f[ (t)]d (t) F[ (t)] C F(x) C 1引入 用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x cosx ③第 — 1类换兀积分法 解：不妨设cosx t则x arccost 原方程t arccost 1-dt 更为复杂 -1 t 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：(假设u、已知: (u v)' u'v uv' 灵活的运用第v为两个函数)
对上式两边积分得：uv u'vdx uv'dx 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v'为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 x cosxdx 先要化的和要求积分的形式一样 x(sin x)'dx xsi nx x'si nxdx xsinx cosx C 真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2公式 2.1定理设函数u u(x)和v v(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式: uv'dx uv u'vdx (或udv uv vdu) 说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。 ②内外积减去换位“积”。 ③步骤：a放d中，b、套公式。 2.2例1求不定积分x sinxdx 解：x sin xdx x sin xdx xd(cos x)①放d中 xcosx cos xdx②套公式 xcosx sin x C 3 U、V的选取问题 例2求不定积分e x xdx 解：e x xdx x 1 2、 e d(-x ) 2 1 2 x 1 2. x x e x de 2 2 1 2 x 1 x 2 , x e e x dx 2 2 移项得: uv'dx uv u'vdx
分部积分法顺序口诀
不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。 根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 5 本词条无参考资料, 欢迎各位编辑词条，额外获取5个金币。 基本信息 中文名称 分布积分法 外文名称 Integration by parts 目录 1定义 2应用 折叠编辑本段定义
不便于进行换元的组合分成两部份进行积 分部积分法 分部积分法 分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 折叠编辑本段应用 在不定积分上的应用 具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组 分部积分法 分部积分法 成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv
移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。 在定积分上的应用 与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a =[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a =[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu 例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则 教学目的及要求：1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点：克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n 元线性方程组的概念。 含有n 个未知数n x x x ,,,21 的线性方程组 )1(, ,,22112222212111212111 n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为n 元线性方程组.当其右端的常数项n b b b ,,,21 不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当n b b b ,,,21 全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即 )2(. 0,0,0221122221211212111 n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 线性方程组(1)的系数ij a 构成的行列式称为该方程组的系数行列式D ，即 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 . 2.克莱姆法则 定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0 D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为
),,2,1(n j D D x j j (3) 其中),,2,1(n j D j 是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式,0 D 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理: 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见021 n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式.0 D 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例1用克莱姆法则求解线性方程组： 453522532322 1321x x x x x x x 解 5 30021 5 32 D 3 1r r ,205225 30 22 5 30021 02 5340 255321 D 3 1r r ,2052)2(5 34 025002 5 400 515222 D 2 12r r 5 4 051580 2 1r r ,605 45 85 405800 51
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 分部积分法顺序口诀为”反对幂指三“，分别对应反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的第一个字。 分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型。 使用步骤： 1. 首先将分部积分公式写出来 2. 题目原本是对x求积分，需要换成对x的平方求积分 3. 然后用分部积分公式将积分展开 4. 再对积分函数有理化 5．然后列项，使得积分函数很容易求出 6. 接着可以求出积分，注意不要遗漏了常数C 7. 最后合并同类项，整理式子 函数概括
（1）三角函数： 是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。 （2）反三角函数： 反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。 （3）对数函数： 对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。 （4）幂函数： 函数是基本初等函数之一。一般地，y=xα的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1等都是幂函数。 （5）指数函数: 指数函数是基本初等函数之一。一般地，y=ax函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R 。 注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数
克莱姆法则
教学目的及要求：1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点：克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n 元线性方程组的概念。 含有n 个未知数n x x x ,,,21 的线性方程组 )1(, ,,22112222212111212111 n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为n 元线性方程组.当其右端的常数项n b b b ,,,21 不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当n b b b ,,,21 全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即 )2(. 0,0,0221122221211212111 n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 线性方程组(1)的系数ij a 构成的行列式称为该方程组的系数行列式D ，即 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 . 2.克莱姆法则 定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0 D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为
),,2,1(n j D D x j j (3) 其中),,2,1(n j D j 是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式,0 D 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理: 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见021 n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式.0 D 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例1用克莱姆法则求解线性方程组： 453522 532322 1321x x x x x x x
分部积分题
第三节 分部积分法的 主要适用于以下类型： （1）dx e x x ? 令 dx e dv x u x == （2）dx x x ?cos 令 xdx dv x u cos == (3) dx x e x ?cos 令 xdx dv e u x cos == (4) dx x x ?ln 令 xdx dv x u ==ln (5) dx x x ?arctan 令 xdx dv x u ==arctan Th1:(分部积分法：)如果函数 )(),(x v x u ，都可导，则 ??-=vdu uv dv u vdu udv uv +=)d(， vdu uv d udv -=)(， 公式： ??-=vdu uv udv ， 选取 u 和 dv 需考虑以下两点 注: (1) v 要较容易求出 （2）du v ? 要比原积分 dv u ? 更容易求出 e.g1 求 dx e x x ? e.g2 求 dx e x x ?2 e.g 3 求 dx x x ?cos e.g4 求 dx x x ?2sin 2 e.g5. 求 dx x e x ?cos e.g6. 求 dx x x ?ln e.g7 求 dx x x ?arctan
e.g8 求 dx e x ? e.g9 求 dx ?x sec 3 e.g 10 求 dx x ?sinln 分部积分法习题： 1．求下列函数的不定积分 （1）dx x x ?2cos （2） ?dx x x x cos sin （3） ?++dx x x x 2sin )65(2 （4）?+dt t t )sin(?ω （5）dx x x ?2 tan （6）dx e x x 35? （7）dx x e x 2)2(+?
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则 教学目的及要求： 1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点： 克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行 探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。 含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组 a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n b 1, a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n b 2, (1) a n1x 1 a n2x 2 a nn x n b n , a 11 a 12 a 1n D a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 2. 克莱姆法则 定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为 性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组， 即 a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n 0, a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n 0, (2) a n1x 1 a n2x 2 a nn x n 0. 称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即 ,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一
2 2 5 20, 20, 85 45 D j x j D(j 1,2, ,n) (3) 其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理: 定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方 程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理 3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0. 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性 方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例 1 用克莱姆法则求解线性方程组： 2x1 3x2 5x3 2 x1 2x2 5 3x 2 5x3 4 解D 20 2 35 D1( 2) 2 5 D2 60,
最新33泰勒公式汇总
33泰勒公式
第三节泰勒公式 教学目的：使学生了解泰勒公式，并会求简单函数的泰勒展开式。 教学重点：函数的泰勒展开式 教学过程： 多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内容，在§2、8中，我们已见过：?Skip Record If...?等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?的某一开区间内具有直到?Skip Record If...?阶导数，试求一个多项式 ?Skip Record If...? (1) 来近似表达?Skip Record If...?，并且?Skip Record If...?和?Skip Record If...?在?Skip Record If...?点有相同的函数值和直到?Skip Record If...?阶导数的各阶导数，即：?Skip Record If...?。 下面确定?Skip Record If...?的系数?Skip Record If...?，通过求导，不难得到?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? (2) 这个?Skip Record If...?即为所求。
Taylor中值定理：如果函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?的某区间 ?Skip Record If...?内具有直到?Skip Record If...?阶的导数，则当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?可表示为?Skip Record If...?的一个多项式?Skip Record If...?和一个余项?Skip Record If...?之和： ?Skip Record If...? (3) 其中?Skip Record If...?（?Skip Record If...?介于?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间） 证明：令?Skip Record If...?，下证?Skip Record If...?在?Skip Record If...?与 ?Skip Record If...?之间，使得： ?Skip Record If...? 由于?Skip Record If...?有直到?Skip Record If...?阶导数，?Skip Record If...?为多项 式，故?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内有直到?Skip Record If...?阶导数，并且?Skip Record If...?。现对函数?Skip Record If...?和?Skip Record If...?在以 ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?为端点的区间上应用Cauchy中值定理，?Skip Record If...?（?Skip Record If...?在?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间） ?Skip Record If...? （?Skip Record If...?介于?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间） 如此继续下去，经过?Skip Record If...?次后，?Skip Record If...?一个?Skip Record If...?介于?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间，使得
最新3-3泰勒公式汇总
3-3泰勒公式
教 学 内 容 一、问题的提出 1.设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处连续,则有 ?Skip Record If...? [?Skip Record If...?] 2.设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处可导,则有 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 例如, 当?Skip Record If...?很小时, ?Skip Record If...? , ?Skip Record If...? （如下图） 不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。 问题: 寻找函数?Skip Record If...?,使得?Skip Record If...? 误差 ?Skip Record If...? 可估计 设函数?Skip Record If...?在含有?Skip Record If...?的开区间?Skip Record If...?内具有直到?Skip Record If...?阶导数,?Skip Record If...?为多项式函数 ?Skip Record If...? 误差 ?Skip Record If...? 二、?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的确定 分析:1.若在?Skip Record If...?点相交?Skip Record If...? 2.若有相同的切线?Skip Record If...? 3.若弯曲方向相同?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 近似程度越来越好 x e y =x y +=1o x e y =o x y =) 1ln(x y +=