(可用)6-3等比数列
1．在等比数列{a n }中，a 2010＝8a 2007，则公比q 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 2．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( )
A ．21
B ．42
C ．135
D ．170 3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )
A ．3
B ．－3
C ．－1
D ．1 4．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为77
8，则此数列的项数( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．4
6．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是( )
A ．第6项
B ．第7项
C ．第9项
D ．第11项 7．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( )
A ．31.5
B ．160
C ．79.5
D ．159.5 8．等比数列{a n }中，公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( )
A ．15
B ．17
C ．19
D ．21 9．如果等比数列{a n }中，a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝42，那么a 5等于( )
A ．2 B. 2 C ．±2 D ．±2 10．设项数为8的等比数列的中间两项与2x 2＋7x ＋4＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为________．
11．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)，则数列{a n }的通项公式为________．
12．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，a 2＝2，则a 1＝________.
13．已知数列{a n }，如果a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为1
3的等比数列，那么a n ＝________.
14．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q ＝________. 15．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)的取值范围是________．
16．在等比数列{a n }中，S 3＝139，S 6＝364
9，求a n .
17．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．
18．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .
19．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.
(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．
20．已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝13
3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π
6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．
1．在等比数列{a n }中，a 2010＝8a 2007，则公比q 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 答案 A 解析 依题意得
a 2010
a 2007
＝q 3＝8，q ＝2，选A. 2．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( )
A ．21
B ．42
C ．135
D ．170
答案 D 解析 方法一 S 8＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8)＝2＋8＋32＋128＝170. 方法二 q 2＝a 3＋a 4
a 1＋a 2＝4，又q >0，∴q ＝2，a 1(1＋q )＝a 1(1＋2)＝2，∴a 1＝23，S 8＝23·(28－1)2－1＝170.
3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )
A ．3
B ．－3
C ．－1
D ．1 答案 A 解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； 思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4
a 3
＝3＝q .
4．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为77
8
，则此数列的项数( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 答案 B 解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴Sn ＝a 1－anq 1－q ，∴77
8＝14－7
8q
1－q ，
解得q ＝－12，78＝14×(－12
)n ＋2－
1，∴n ＝3，故该数列共5项．
5．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．4
答案 A 解析 等比数列{a n }中，q ≠1时，S n ＝a 1·(q n －1)q －1＝a 1q －1·q n －a 1
q －1＝A ·q n －A ，∴b ＝－1.
6．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是( )
A ．第6项
B ．第7项
C ．第9项
D ．第11项
答案 A 解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255， 当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250，∴抽去的一项为255÷250＝25， 又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26，所以a 1·a 2·…·a 11＝a 116，
故有a 116＝255，即a 6＝25
，∴抽出的应是第6项．
7．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( )
A ．31.5
B ．160
C ．79.5
D ．159.5 答案 C 解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2
n －1
，则a n ＝5·2n －
1－12，a n ＝5·2n －
2－12
，
a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－1
2
＝79.5.
8．等比数列{a n }中，公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( )
A ．15
B ．17
C ．19
D ．21 答案 B 9．如果等比数列{a n }中，a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝42，那么a 5等于( )
A ．2 B. 2 C ．±2 D ．±2
答案 B 解析 依题意得a 55＝25
2
，a 5＝2，选B. 10．设项数为8的等比数列的中间两项与2x 2＋7x ＋4＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为________．
答案 16解析 设此数列为{a n }，由题设a 4a 5＝2，从而a 1a 2…a 8＝(a 4a 5)4＝16.
11．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329
，且公比q ∈(0,1)，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝13
·()
1
2
n －6
解析 由等比数列的性质，可得a 3·a 4＝a 1·a 6＝
32
9
， 又∵a 1＋a 6＝11，∴a 1，a 6是方程x 2－11x ＋
329＝0的两根，解之，得x ＝13或x ＝32
3
，又∵0 6＝13·(12 )n －6. 12．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，a 2＝2，则a 1＝________. 答案 2解析 ∵a 2·a 2n ＋2＝a 2n ＋2＝2a 2 n ＋1，∴ a n ＋2a n ＋1 ＝2，∴q ＝2，∵a 2＝2，∴a 1＝a 2 q ＝ 2. 13．已知数列{a n }，如果a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为1 3的等比数列，那么a n ＝________.答案 32(1－13n )解析 a 1＝1，a 2－a 1＝13，a 3－a 2＝(13)2，…，a n －a n －1＝(13)n －1，累加得a n ＝1＋ 1 3＋132＋…＋(13)n －1＝32(1－1 3 n )． 14．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q ＝________.答案 2 15．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1 4 ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)的取值范围是________． 答案 4≤S n <8解析 因为{a n }是等比数列，所以可设a n ＝a 1q n － 1. 因为a 2＝2，a 5＝1 4 ，所以??? a 1q ＝2，a 1q 4＝1 4， 解得??? a 1＝4，q ＝1 2 . 所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝4[1－(12)n ] 1－12＝8－8×(12)n .因为0<(12)n ≤1 2，所以4≤S n <8. 16．在等比数列{a n }中，S 3＝139，S 6＝364 9 ，求a n . 答案 a n ＝3n －3 解析 由已知，S 6≠2S 3，则q ≠1.又S 3＝ 139，S 6＝364 9 ， 即??? a 1(1－q 3)1－q ＝13 9 ①a 1 (1－q 6 )1－q ＝364 9 ② ②÷①，得1＋q 3＝28，∴q ＝3.可求得a 1＝19 .因此a n ＝a 1q n －1＝3n － 3. 17．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 证明 由已知得2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3即2q 6－q 3－1＝0得q 3＝1或q 3＝－1 2 ， 当q 3 ＝1时即q ＝1 {a n }为常数列，S 62S 3＝S 12－S 6S 6命题成立．当q 3 ＝－12时S 62S 3＝1－q 62(1－q 3)＝14 ， S 12－S 6S 6＝1－q 121－q 6－1＝14.∴命题成立． 18．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 答案 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n － 1，S n ＝3×(2n －1)当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n － 1，S n ＝3n －1 解析 设{a n }的公比为q ，由题设得 ??? a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2 ＝30.解得??? a 1＝3，q ＝2，或??? a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n － 1，S n ＝3×(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n － 1，S n ＝3n －1. 19．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3. (1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值． 答案 (1)a n ＝(2＋2)n －1 或a n ＝(2－2)n － 1 (2)a ＝13 解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2， 由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)．即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1 或a n ＝(2－2)n － 1. (2)设数列{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)，由a >0得Δ＝4a 2＋4a >0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝1 3. 20．已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝13 3 . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π 6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式． 解析 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n － 2. (2)由(1)可知a n ＝3n － 2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3； 因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1.又0<φ<π，故φ＝π 6. 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π 6)． 作业 1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a 5a 3 B.S 5 S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n 2．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( ) A ．{a n }是等比数列 B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…a 2n ，…是等比数列 C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…a 2n ，…均是等比数列 D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 3．数列{an }为等比数列，已知an ＞0，且an ＝an ＋1＋an ＋2，则该数列的公比q 是__________． 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上，求r 的值． 6．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列 结论：①0 中正确的结论是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①② D ．①②③④ 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n . (1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式． 8．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－1 2 x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列；(3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1 1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a 5a 3 B.S 5 S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n 答案 D 解析 数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝ q 2 ＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1 a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋ 11－q n ，其值与n 有关，故选D. 2．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( ) A ．{a n }是等比数列 B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…a 2n ，…是等比数列 C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…a 2n ，…均是等比数列 D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 答案 D 3．数列{an }为等比数列，已知an ＞0，且an ＝an ＋1＋an ＋2，则该数列的公比q 是__________． 答案 5－12解析 由已知可得an ＝an ·q ＋an ·q 2，∵an >0，∴q 2＋q －1＝0，q ＝－1±5 2 . ∵q >0，∴q ＝ 5－1 2 . 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解 设公比为q ，S 6＝S 3＋q 3S 3＝4S 3，∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝3. 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上，求r 的值． 解析 由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n － 1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n － 1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2 a 1＝ b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. 6．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1 a 100－1<0.给出下列 结论：①0 A ．①②④ B ．②④ C ．①② D ．①②③④ 答案 A 解析 ①中，????? (a 99 －1)(a 100－1)<0a 99·a 100>1a 1>1 ???? a 99>10 a 99∈(0,1)，∴①正确． ②中， ??? a 99a 101＝a 21000 ???T 100＝T 99·a 10001， T 199＝a 1a 2…a 198·a 199＝(a 1a 199)…(a 99·a 101)·a 100＝a 199100<1，∴④正确． 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n . (1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式． 解析 (1)由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1得a 1＝1 2.又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1.∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2 b n ＋1＝b n . ∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，1 2 为公比的等比数列． (2)方法一 由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1.∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)．∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1.∴2c n ＋1＝c n (n ≥2)． 又c 1＝a 1＝12，a 2＋a 1＋a 2＝2，∴a 2＝34.∴c 2＝34－12＝14，c 2＝1 2c 1. ∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列．∴c n ＝12·(12)n －1＝(12)n . 方法二 由(1)b n ＝－12·(12)n －1＝－(12)n .∴a n ＝－(1 2 )n ＋1. ∴c n ＝－(12)n ＋1－[－(12)n －1＋1]＝(12)n －1－(12)n ＝(12)n －1(1－12)＝(1 2)n (n ≥2)． 又c 1＝a 1＝12也适合上式，∴c n ＝(1 2 )n . 8．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－1 2 x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列；(3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1 ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1. (2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－1 2b n －1＋1(n ≥2)，② ①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝1 3 b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以1 3为公比的等比数列， (3)证明：由(2)可知b n ＝23 ·() 1 3 n －1 ＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23 n ＋1－(n ＋1)·23n ＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝2 3n ＋1(－2n －1)<0，∴c n ＋1 等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． 【知识通关】 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用 字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)前n 项和公式： S n ＝??? na 1(q ＝ 1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). [常用结论] 1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，???? ??a n b n 仍然是等比数列． 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外． 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项?G 2＝ab .( ) (3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) 等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中 最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q. 解：由S n=80，S2n=6560，故q≠1 ∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an． ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q－1 ⑤ 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋...＋a1q n-1 S2n=S n＋(a1q n＋a1q n+1＋...＋a1q2n-1) =S n＋q n(a1＋a1q＋...＋a1q n-1)=S n＋q n S n=S n(1＋q n) 类似地，可得S3n=S n(1＋q n＋q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析设等比数列为{a n}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． 即公比为2，项数为8． 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的． 高中数学《等比数列的前n项和（第一课时）》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计 课时教案 一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式 （1）等比数列定义：（， （2）等比数列通项公式： （3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。二、问题引入： 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列的前n项和公式 回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 （1） （2） （1）+（2）得： 探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？ 学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义： 变形： 具体： …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 （1） （2） 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 当q=1时， 当时， 学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式： 当时， 四.知识整合: 1．等比数列的前n项和公式： 当q=1时， 当时， 2．公式特征： ⑴等比数列求和时，应考虑与两种情况。 ⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量，四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量， ， 五个量中“知三求二”（方程思想）。 3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。 等比数列及其前n 项和 教学目标： 1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。 知识回顾： 1．定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。用递推公式 表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a n n =+1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是 等比数列的关键） 2．通项公式： 等比数列的通项为：11-=n n q a a 。推广：m n m n q a a -= 3．中项： 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。 4．等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 5．等比数列项的性质 （1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2 。 （2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。 （其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。 4、证明等比数列的方法 （1）证： q a a n n =+1（常数）；（2）证：112 ·+-=n n n a a a （2≥n ）. 考点分析 等比数列及其前n 项和(作业) 例1： 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，31 2 a ，22a 成等差数列，则 910 78 a a a a +=+（ ） A ．1 B ．1 C ．3+D ．3- 【思路分析】 设公比为q ，则0q >，21a a q =，231a a q =， ∵1a ，31 2 a ，22a 成等差数列， ∴3122a a a =+，即21112a q a a q =+， 解得1q =+ 1， ∴22910787878()3a a a a q q a a a a ++===+++． 故选C ． 例2： 若等比数列 {} n a 中，25112a a a ++=，58146a a a ++=，那么 2581114a a a a a ++++的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．242 31 D ． 240 41 【思路分析】 设公比为q ，则335814251125112511() a a a q a a a q a a a a a a ++++==++++，即33q =， ∴38553a a q a ==，9145527a a q a ==， 由58146a a a ++=，得5553276a a a ++=，解得56 31 a = ， ∴2581114251158145242 ()()31 a a a a a a a a a a a a ++++=+++++-=． 故选C ． 例3： 设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且10b =，n n n c a b =+，若数列{} n c 的前三项为1，1，2，则{}n a 的前10项之和是 （ ） A ．978 B ．557 C ．467 D ．1 023 【思路分析】 设数列{}n a 的公比为q ，设数列{}n b 的公差为d ， ∵10b =，11c =， ∴11a =， 则2a q =，23a q =，2b d =，32b d =， ∵21c =，32c =， ∴2122q d q d +=??+=? ，解得21q d =??=-?， ∴数列{}n a 的前10项之和10110(1) 1 0231a q S q -= =-．故选D ． 1. 在等比数列{}n a 中，已知332a = ，前三项和39 2 S =，则公比q =（ ） 等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维 （经典）讲义：等比数列及其前n 项和 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项 若G 2 ＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N ＋)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ ≠0)，? ???????? ?1a n ，{a 2n }， {a n ·b n }，? ???????? ?a n b n 仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 5．等比数列的前n 项和公式 等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q . 【注意】 6.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， 同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ， 两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 11－q n 1－q (q ≠1)． 7.1由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 7.2在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论， 高二数学组集体备课教案（第七周10月17日） 课题：2.5等比数列的前n 项和(两个课时) 教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列 的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题； （2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一 般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想； （3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思 维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式； （2）等比数列的前n 项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式 （1）等比数列定义：q a a n n =-1（2n ≥，)0≠q （2）等比数列通项公式： ) 0,(111≠=-q a q a a n n （3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。 二、问题引入： 阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n 项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式 =n S 123n a a a a ++++ 22111111--=+++++ n n a a q a q a q a q 2363 6412222S =+++++ 倒序相加法。 等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321 根据等差数列的定义1+-=n n a a d []1111()(2)（n-1)=+++++++ n S a a d a d a d （1） []()(2)-（n-1)=+-+-++ n n n n n S a a d a d a d （2） （1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()2 += n n n a a S 探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？ =n S 123n a a a a ++++ 22111111--=+++++ n n a a q a q a q a q 221 --=+++++ n n n n n n n n a a a a S a q q q q 学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n 项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n 项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义： 1 )（++=∈n n a q n N a 变形：1+=n n a q a 具体：12=a q a 23=a q a 34=a q a …… 学生分组讨论推导等比数列的前n 项和公式，学生不难发现： 由于等比数列中的每一项乘以公比q 都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n 项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++ （1） 23111111-= +++++ n n n qS a q a q a q a q a q （2） 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 等比数列及其前n 项和（讲义） 知识点睛 一、等比数列 1． 等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0)q ≠表示． （1）等比中项 （2）等比数列的通项公式：11n n a a q -=． 2. 等比数列的性质 （1）通项公式的推广：*()，n m n m a a q m n N -=∈． （2）若{}n a 是等比数列，且*()，，，k l m n k l m n N +=+∈， 则k l m n a a a a =??． （3）若{}n a 是等比数列，则k a ，k m a +，2k m a +，…*()，k m N ∈组成公比为m q 的等比数列． （4）若{}n a 是等比数列，则{}n a λ，{}||n a ，1{}n a ，{}2 n a 也是等比数列． （5）若{}n a ，{}n b 是等比数列，则{}n n a b ?，{ }n n a b 也是等比数列． （6）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时， 数列{}lg n a 是公差为lg q 的等差数列． 二、 等比数列的前n 项和公式 1. 对于等比数列 1a ，2a ，3a ，…，n a ，… 当1q ≠时， 它的前n 项和的公式为1(1) 1n n a q S q -=-或11n n a a q S q -=-． 当1q =时， 它的前n 项和的公式为1n S na =． 推导过程：错位相减法 2. 等比数列各项和的性质 （1）若m S ，2m S ，3m S 分别是等比数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则m S ，2m m S S -，32m m S S -成等比数列，其公比为m q ． （2）等比数列的单调性 ①当101a q >??>?或10 01a q ??<?时，{}n a 是递减数列； ③当101a q ≠??=?时，{}n a 是常数列； ④当0q <时，{}n a 是摆动数列． 精讲精练 1. 设{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比是（ ） A ．0 B ．1或-2 C ．-1或2 D ．-1或-2 数列 等比数列前n项和公式 ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理3)公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n,且-3a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=() A.-20 B.0 C.7 D.40 解析:设数列的公比为q(q≠1),则∵-3a1,-a2,a3成等差数列, ∴-3a1+a3=-2a2,∵a1=1,∴-3+q2+2q=0, ∵q≠1,∴q=-3.∴S4=1-3+9-27=-20.故选A. 答案:A ■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理11)已知函数y=x3在x=a k时的切线和x轴交于a k+1,若a1=1,则数列{a n}的前n项和为() A.n B. - C.3- D.3- - 解析:∵函数y=x3,∴y'=3x2,∴- - =3, 即 - =3, 化简,得3a k+1=2a k,即, 又∵a1=1,∴S n=- - =3- - ,故选D. 答案:D ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,数列与不等式相结合问题,填空题,理16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n+1=2a n,则使不等式+…+<5×2n+1成立的n的最大值为.解析:当n=1时,a1+1=2a1,解得a1=1. 当n≥2时,∵S n+1=2a n,S n-1+1=2a n-1, ∴a n=2(a n-a n-1),∴ - =2. ∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列. ∴a n=2n-1,∴=4n-1. ∴+…+ =1+4+42+…+4n-1=- - (4n-1). ∴(4n-1)<5×2n+1. ∴2n(2n-30)<1,可知使得此不等式成立的n的最大值为4. 答案:4 专题2数列与函数相结合 问题 1 等比数列及其前n 项和考点与题型归纳 一、基础知识 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)前n 项和公式：S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列与指数型函数的关系 当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1 q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数 的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上； 对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 1 1－q ， 则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点． 对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点． 二、常用结论汇总——规律多一点 设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． (2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *. (3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)． 等比数列及其前n 项和 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．(2019·榆林名校联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2，则a 7＝( ) A ．－8 B ．8 C ．8或－8 D ．16或－16 解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 3＝2，∴q 2＝2，∴a 7＝a 3q 4＝2×22 ＝8.故选B. 2．(2019·六安一中调研)已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则 a 1＋a 2 b 2 的值是( ) A.52或－52 B ．－52 C.52 D ．12 解析：选C 由题意得a 1＋a 2＝5，b 2 2＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以 a 1＋a 2 b 2＝5 2 .故选C. 3．(2019·湖北稳派教育联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 11＝4，a 6a 12 ＝8，则a 8a 9＝( ) A ．12 B ．4 2 C ．6 2 D ．32 解析：选B 由等比数列的性质得a 28＝a 5a 11＝4，a 29＝a 6a 12＝8，∵a n >0，∴a 8＝2，a 9 ＝22，∴a 8a 9＝4 2.故选B. 4．(2019·成都模拟)设{a n }是公比为负数的等比数列，a 1＝2，a 3－4＝a 2，则a 3＝( ) A ．2 B ．－2 C ．8 D ．－8 解析：选A 法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝2，a 3－a 2＝a 1(q 2－q )＝4，所以q 2－q ＝2，解得q ＝2(舍去)或q ＝－1，所以a 3＝a 1q 2＝2，故选A. 法二：若a 3＝2，则a 2＝2－4＝－2，此时q ＝－1，符合题意，故选A. 5．(2019·益阳、湘潭高三调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9 a 5－a 7 的值为( ) §2.5等比数列前n项和公式教学设计 一、教材分析 1、教学内容：《等比数列的前n项和》是高中数学人教版《必修5》第二章《数列》第5节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用． 2、教材分析：《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错． 3、任教班级学生特点：我班学生基础知识还行、思维较活跃，应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题． 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能简单的应用公式. 2．过程与方法 在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思维品质． 等比数列及其前n项和 一、单选题(共10道，每道10分) 1.公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的通项公式 2.等比数列中，，，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 3.在等比数列中，已知，，则( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 4.公比为4的等比数列的各项都是正数，且，则( ) A. B.1 C.4 D.16 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 5.在正项等比数列中，，是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 6.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有( )只蜜蜂． A. B. C. D. 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的通项公式 7.在等比数列中，表示前n项的和，若，，则公比q=( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 8.等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 9.设等比数列的前n项的和为，已知，，则( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 10.已知是首项为1的等比数列，是其前n项和，且，则数列的前5项和为( ) A. B. C. D. 《等比数列的前n项和公式》的教案 教学目标 1、认知目标：理解并掌握等比数列的前n项和公式及证明方法；熟练掌握运用等比数列的前 n项和公式求和。 2、素质目标：向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类与讨论等数学思想。培养学生数学 思维的深刻性、广阔性等思维品质。 3、情感目标：培养学生热爱科学、热爱自然的良好品质，激发学生的学习兴趣。 重点、难点 重点：等比数列前n项和公式及初步应用 难点：等比数列前n项和公式的推导方法。 教学方法 本节课采用“多媒体优化组合一激励一发现”式教学模式进行教学。 教学手段 教学中，利用投影仪、微机这些现代化教学媒体来激发学生的学习兴趣，启迪学生思维，增强课堂容量，提高课堂效益。 教学过程 1、课题的引入（微机演示） 引例：某建筑队，由于资金短缺，向某砖厂借砖盖房，双方约泄，在一个月（30天）内，每天砖厂向建筑队提供10000块砖，为了还本付息，建筑队第一天要向厂方返还一块砖, 第二天返还2块砖，第三天返还4块砖，……。即每天返还的砖是前一天的2倍，请问，假如你是厂长或建筑队长，你会在这个合约上签字吗？ 分析：（建立数学模型） 对于有30项每一项都是10000常数列，英和就是30X 10000. 而对于首项为1、公比为2、有30项的等比数列来说，这30项的和怎么计算？有没有具体的计算公式呢？ 回答是肯定的一一即等比数列的前n项和公式。 2、公式的推导（多媒体演示） 提问：什么是一个数列的前n项和公式？等差数列的前n项和公式是怎样推导的？ （微机演示） 设等比数列｛a』的首项是a 公比是q,记 s n=ai+aiq+aiq2+ ........ +aiq nU 等比数列及其前?项和(讲义) 知识点睛 一、等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母g(qHO)表示. <1)等比中项 ?-| (2)等比数列的通项公式：5=吋2.等比数列的性质 通项公式的推广：绻="01"(加，//€ N*). 若｛%｝是等比数列，且"伙，“亡N"), 若｛幼｝是等比数列，则“，仏，味+加，…伙，加eNj 组成公 Um 比为/的等比数列. ◎ 若0｝是等比数列，则仙｝, ｛\a I｝, ｛-), ｛/｝也是 It n n n 等比数列? ? 若｛“｝, ｛"｝是等比数列，则｛“*｝｛:｝也是等比/r ?If If I 数列. e 当数列｛勺｝是各项均为正数的等比数列时, 数列｛ig"”｝是公差为igq的等差数列. 二、 等比数列的前“项和公式 1.对于等比数列 it\, (ty, a?, ***? cifj, * a （l_b ） 它的前"项和的公式为s 〃 ---- ---- I 一 0 当<7= 1时， 它的前n 项和的公式为S“ = .推导过程：错位相减法 a —a q ?或 s =, “ ”一 \-q' 2.等比数列各项和的性质 （1） 若S,”，Sy s,”分别是等比数列｛“”｝的前加项，前加 项，前3加项的和，则S 瞅, 其公比为/. （2） 等比数列的单调性 q>0或绚<0 时， ■ ② 当$|>0或■ 10 < ^ < 1 [g > 1 ③ 当瓜工0时，｛a ｝是常数列. s 加- \|，s 如一s?朋成等比数列, ①当 t/i<0 时， 0 V qvl 于时，｛?｝是递减数列; ir ?｝是递增数列: ir ④当g<0时，｛4｝是摆动数列. 2.5等比数列的前n 项和(1) 课前预习 ● 温故知新 学前温习 1．等比数列的定义： 2．等比数列的通项公式： ． 3．还记得等差数列的前n 项和公式吗？ 若{n a }是等差数列，则n S = . 新课感知 等比数列的前n 项和公式 当1≠q 时，n S = 或 当1q =时，= n S 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲 1.等比数列的前n 项和公式的推导 （1）公式的推导方法一(错位相减法)：。 由等比数列的通项公式可知： ∵1 1211121-++++=+++=n n n q a q a q a a a a a S ΛΛ （1） q n n q a q a q a q a S 131211++++=Λ （2） ()()21-得：()n n q a a S q 111-=- ∴当1≠q 时，等比数列的前n 项和公式为 当1=q 时1na S n = (2).公式的推导方法二(等比性质法)： 有等比数列的定义， q a a a a a a n n ====-1 23 12Λ 根据等比的性质，有 q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-1 12132ΛΛ 即 q a S a S n n n =--1 ?q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三（方程法）： =n S n a a a a Λ+++321＝)(13211-++++n a a a a q a Λ ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+ ?q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 2. 等比数列前n 项和公式的理解 （1）在等比数列中的通项公式和求和公式中涉及a 1，q ，a n ，S n ，n 五个量，只要知道了其中的三个量就可以通过解方程组的方法求出另外两个量，但等比数列中最基本的量是其首项a 1和公比q ，在等比数列问题中，要紧紧抓住这两个量． （2）等比数列的求和要分公比等于1和不等于1两种情况，在不能确定公比取值的情况下，要分类求和． （3）等比数列的求和公式的函数理解 当1q =时应按常数列求和，即=n S 1na ，是关于n 的正比 函数； 当1q ≠，，等比数列的前n 项和n 1111q 111n n a q a a S q q q (-)= =-+---可以看作是一个指数型函数与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数，由此可以根据前n 项和 公式判断等比数列，即非常数列为等比数列 ? * (00)n n S Aq A A q n ≠≠∈N ＝－，，。 3.错位相减法 若数列{n a }为等差数列，数列{n b }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{n a n b }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{n a n b }的各项乘以公比q ，并项后错位一项与{n a n b }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法． 应用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题： (1)注意对n n q S x x nx ?21 123－的讨论，如求＝＋＋＋＋时， x x x x ≠≠0101就应分＝、＝和且三种情况讨论． (2)注意相消的规律． (3)注意相消后式子(1－q )Sn 的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数． (4)应用等比数列求和公式必须注意公比q ≠1这一前提条件．如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况讨论。 课堂点拨 1、在等比数列{a n }中， (1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5 4，求a 4和S 5； (3)若q ＝2，S 4＝1，求S 8. 等比数列及其前n项和教案 一、知识点回顾 类型一：等比数列的前n 项和公式 例1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 举一反三： 【变式1】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【变式2】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和q 。 类型二：等比数列前n 项和公式的性质 例2．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S . 举一反三： 【变式1】等比数列{}n a 中，公比q=2, S 4=1,则S 8=___________. 【变式2】设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为 ． 例3．等比数列{}n a 中，若a 1+a 2=324, a 3+a 4=36, 则a 5+a 6=_____________. 举一反三： 【变式1】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56, 求a 7+a 8+a 9的值。 类型三：等比数列的综合应用 例4．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212 112()a a a a +=+， 345345 1111()64a a a a a a ++=++， (1)求{}n a 的通项公式. (2)设21()n n n b a a =+ ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 举一反三： §6.3 等比数列及其前n 项和 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项?G 2＝ab .( × ) (3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n ) 1－a .( × ) (6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编 2．[P51例3]已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1 4，则公比q ＝______. 答案 12 解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝1 2 . 3．[P54A 组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81 解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠 4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2 b 2的值为________． 答案 －1 2 解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1. 又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2 >0，∴b 2＝2， ∴ a 1－a 2 b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－1 2 . 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2＝________. 答案 －11 解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2， ∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4 ＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)． 答案 48 解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ， 则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).1成立的最大自然数n 等于198.其
1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是( )
等比数列及其前n项和
等比数列的前n项和例题详细解法
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计
等比数列前n项和公式-教案
等比数列常考题型归纳总结很全面
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教案-《等比数列的前n项和公式》
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等比数列及其前n项和考点与题型归纳
等比数列及其前n项和 练习题
§2.5等比数列前n项和公式教学设计
等比数列及其前n项和(含答案)
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高中数学：2.5等比数列的前n项和(1) _1
高中数学等比数列及其前n项和
高中数学《等比数列及其前n项和》(答案)