拟线性椭圆算子的(S)+性质与p(x)-Laplace型方程

椭圆方程的一个性质和应用

椭圆方程的一个性质和应用 于志洪金建荣 学习椭圆方程时，大家会发现这样一类椭圆，它们有一个共同特征，即离心率相同。 F 面将共离心率的椭圆方程的一个性质及其应用介绍给同学们，供大家学习时参考。 -.性质 X 2 和椭圆— a 2 y 2 1(a b b 2 0) 有相同离心率的椭 圆方程都具有 2 X -2 a （0）的特征。 2 X -2 a 程。 2 y 产 b 2 . 2 X a 2 .a y 2 2 1和椭圆 b 2 \ a 2 b 2 a. y 2 2 1和椭圆 b 2 X 2 设椭圆 1的离心率分别为e 和e'，则 a 2 b 2 a e' .a 2 b 2 e'，故椭圆 0）有相同的离心 率。 也就是说，和椭圆飞 a b 0）有相同的离心率的椭圆方程都具有 0）的特 征。 应用 X 2 2 y 2 1有相同离心率，且与直线 3X 例.求和椭圆 4 （2003年全国重点名校高考模拟题） 2、7y 16 0相切的椭圆方 解法1 :由以上性质，可设所求椭圆方程为 2小 16 0相切，故由方程组x 2 4y 2 得16y 2 16-. 7y 64 9 0。其判别式 2 2 4，故所求椭圆方程为 X y 1 16 4 3x 迂 4 ，3X 16、、7)2 y 2 ( 2, 7y 16 4 16 解法2 :设所求椭圆方程为 X 2 4y 2 0）。因其与直线 0联立消去X ，整理 （64 9 ）0，解得 因它与直线 3X 27y 16 0相切，则设切点为（ 27 4 X 1, 表示为同一直线，所以 X 1 4y 1 X 1 y 1），故切线方程为 3 4 y 1 X 1X 4y 』 4 。两直线 ￥。将 X 1和y 1同时代入椭圆方 程，得（？ ）2 4（乂 4 8 2 故所求椭圆方程为 — 16 )2 化简整理得 0，解得 4或 0 （舍去）。 2 y_ 4 X 2 2 a 2 ?. ， bi 。设切点为 (2 cos 解法3 :设所求椭圆方程为 2 即— 4 r~ . 、sin 则 a 2 4 ， b 2 ， ），则椭圆的切线方程为

椭圆的标准方程与性质

椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a

标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结

类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3

二四阶拟线性椭圆方程组的弱解存在性

摘要利用变分方法，讨论了二四阶拟线性椭圆方程组对更一般的f、g在较弱的条件下获得弱解的存在性。 关键词拟线性椭圆方程组变分法弱解 Existence of the Weak Solution for Second and Fourth-Order Quasilinear Elliptic Equations／／ＤｉＦａｎｇ AbstractＵｓｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｓｅｃｏｎｄａｎｄｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｔｏｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｆ，ｇｕｎｄｅｒｔｈｅｗｅａｋｅｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Key wordsｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ；ｃａｌｃｕｌｕｓｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎｓ；ｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ Author＇s addressＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒ，ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳａｎ－Ｊｉａｎｇ，２１００１２，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ １引言 设Ω为Ｒｎ的有界开子集，本文考虑二四阶拟线性椭圆方程组问题。 －ｄｉｖ（ｇ １ （｜荦ｕ｜２）荦ｕ）＝ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）在Ω中 △（ｇ ２ （（△ｕ）２）△ｕ）＝ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）在Ω中 ｕ｜ 坠Ω＝ｖ｜ 坠Ω ＝△ｖ｜ 坠Ω ＝ 荦荦荦荦荦荦荦荦荦 荦荦荦荦０ （１．１） 本文的目的是用变分方法，研究二四阶拟线性椭圆方程组问题（１．１）对更一般的函数ｆ、ｇ，在较弱的条件下获得弱解的存在性。 ２基本引理 设Ω奂Ｒｎ为有界开子集。又设Ｈ：Ω×Ｒ→Ｒ为ｃ１类的，（Ｈｕ，Ｈｖ）＝（ｆ，ｇ）且ｆ，ｇ：Ω×Ｒ→Ｒ为Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数，且满足下列条件： （ｉ）存在ａ，ｂ≥０和ｆ１，ｇ１缀Ｌｑ（Ω）使 ｜ｆ（ｘ，ｓ，ｔ）｜≤ａ（｜ｓ｜２＋｜ｔ｜２）ｒ／２＋ｆ１（ｘ），｜ｇ（ｘ，ｓ，ｔ）｜≤ｂ（｜ｓ｜２＋｜ｔ｜２）ｒ／２＋ｇ１（ｘ），ａ．ｅ．ｘ缀Ω，坌ｓ缀Ｒ，这里１≤ｒ＜（ｎ＋２）／（ｎ－２）（ｎ≥３），ｐ＝ｒ＋１和１／ｐ＋１／ｑ＝１。 （ｉｉ）存在λ缀Ｌ∞（Ω）使 ｌｉｍｓｕｐ｜μ｜→∞２Ｆ（ｘ，ｕ，ｖ） ｕ＋｜ｖ｜ ≤λ（ｘ）， ａ．ｅ．ｘ缀Ω，这里Ｆ（ｘ，ｕ）＝ ｕ ０ 乙ｆ（ｘ，ｓ）ｄｓ 设ｇ１，ｇ２缀Ｃ（Ｒ，Ｒ），为连续的非减函数。又设ｇ１和ｇ２满足下列条件： （ｉｉｉ）存在α１，α２，β１和β２缀Ｒ使 ０＜α１≤ｇ１（ｔ）≤β１，０＜α２≤ｇ２（ｔ）≤β２ 在上述条件下，通过方法我们给出问题（１．１）的弱解的存在性定理。 给定的开集Ω奂Ｒｎ。设Ｖ表示Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｈ１ ０ （Ω）×Ｈ（Ω） ∩Ｈ１ ０ （Ω），Ｖ上的范数定义为 ｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２＝ Ω 乙｜荦ｕ｜２＋（△ｖ）２ 乙乙ｄｘ（２．１） 设λｋ（ｋ＝１，２，…）表示为特征值问题 △ｕ＋λｕ＝０在Ω中， ｕ｜ 坠Ω ＝ 乙 ０ （２．２）的特征值，准ｋ（ｋ＝１，２，…）为相应的特征函数（关于Ｌ２（Ｄ）的内积适当规范化）。其中每一特征值λｋ依重数重复计数，且０＜λ１＜λ２≤λ３≤…，λｋ→∞，φ１（ｘ）＞０，ｘ缀Ω。 △２ｕ＝μｕ在Ω中， ｕ｜ 坠Ω ＝△ｕ｜ 坠Ω ＝ 乙 ０ （２．３） 有无穷多特征值μ ｋ ＝λ２ ｋ ，ｋ＝１，２，…， 对应特征函数准ｋ（ｘ）． ｛准ｋ｝构成Ｖ的一组正交基，因此，Ｖ的元素（ｕ，ｖ）能表成 ｕ＝ ∞ ｋ＝１ Σａｋ准ｋ，ｖ＝∞ ｋ＝１ Σｂｋφｋ，∞ ｋ＝１ Σａ２ｋ＜∞，∞ ｋ＝１ Σｂ２ｋ＜∞，（２．４）用Ｖ＇表示Ｖ的对偶空间，＜，＞表示Ｖ＇与Ｖ之间的对偶积。 定义映像Ｂｇ：Ｖ→Ｖ＇为 ＜Ｂ ｇ （ｕ，ｖ），（准，ψ）＞＝ Ω 乙［ｇ１（｜荦ｕ｜２）荦ｕ荦准＋ｇ２（（△ｖ）２）△ｕ△ψ］ｄｘ（２．５）坌（ｕ，ｖ），（准，ψ）缀Ｖ． 定义２．１．称ｕ缀Ｖ为问题（１．１）的弱正解，如果下列等式成立 ＜Ｂ ｇ （ｕ，ｖ），（准，ψ）＞＝ Ω 乙［ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）准＋ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）ψ］ｄｘ（２．６）坌（准，ψ）缀Ｖ． 下面是本文得到的主要结果： 定理２．１．设α１≤α２，又设（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ）成立．假定在Ω上λ（ｘ）≤α１λ１（１＋λ１），在Ω的正测子集上λ（ｘ）＜α１λ１（１＋λ１）．则问题（１．１）至少有一个弱解。 定理２．２，设α１≥α２又设（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ）成立．假定在Ω上λ（ｘ）≤α２λ１（１＋λ１），在Ω的正测子集上λ（ｘ）＜α２λ１（１＋λ１）．则问题（１．１）至少有一个弱解。 ３定理的证明 设Ω奂Ｒｎ为有界开子集，设Ｖ＝Ｈ１ ０ （Ω）×Ｈ（Ω）∩Ｈ１ ０ （Ω）。 中图分类号：Ｏ１３文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－７８９４（２０１２）３３－０１００－０２１００

椭圆方程及性质的应用-课时作业

学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址]

椭圆方程及性质的应用 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0 2.若AB为过椭圆+=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大值为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离为( ) A.3 B. C. D.2 4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=(O为原点),则等于( ) A. B. C.- D.- 5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为. 7.(2013·宜春高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与其一

个交点的横坐标为b,则k的值为. 8.过椭圆+=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足=(+),则这条弦所在的直线方程是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-,),求直线l的方程. 10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=. (1)求此椭圆的方程. (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km. (1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程. (2)农艺园的最大面积能达到多少? (3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长?

二阶线性微分方程解的结构

二阶线性微分方程解的结构

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附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= (A.1) 其中n 称为方程的阶数,()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（Ａ．１），则称其为常微分方程(Ａ．1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（Ａ.1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.１ 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. (A.2) 当()0f x ≡,方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于

'()y p x y =- 而()'ln 'y y y =，从而（A.3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= ( A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程(A ．２）,在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -????=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.１ 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1)的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5)

椭圆方程及性质的应用

椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程.

2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.

二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?

注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

【课时作业 必修1】椭圆方程及性质的应用+参考答案

椭圆方程及性质的应用 （45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x2 25+y2 36 =1,则直线l与椭圆 C的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0 2.若AB为过椭圆x2 25+y2 16 =1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大 值为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 3.椭圆x2 16+y2 4 =1上的点到直线x+2y-√2=0的最大距离为( ) A.3 B.√11 C.√10 D.2√2 4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=√2 2 (O为原点),则m等于( ) A.√2 2B.√2 C.-√2 2 D.-√2 5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( ) A.√5 3B.2 3 C.√2 2 D.5 9 - 1 -

二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为√5,离心率e=2 3 的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为. 7.(2013·宜春高二检测)椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为√2 2 ,若直线y=kx与其一 个交点的横坐标为b,则k的值为. 8.过椭圆x2 6+y2 5 =1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足OP→=1 2 (OA→+OB→),则这条弦所在 的直线方程是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2√2,0)和F2(2√2,0),长轴长为6, 设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-9 10,1 10 ),求直线l的方 程. 10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),离心率e=√3. (1)求此椭圆的方程. (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km. - 1 -

二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 '()y p x y =-

而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -??? ?=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1） 的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数

椭圆标准方程及其性质知识点大全

【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点 P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点， 两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： ●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤， b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A , 12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2

离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12 ,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； M N F x y

椭圆的性质及应用

第5讲 椭圆的性质及应用 一、知识梳理 1 x 2 y 2 y 2 x 2 2、椭圆的几何性质分为两类 （1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等. 在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解. 问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？ 提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a 越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时， b a 越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率 例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝ ，D 中＝ ， 故选：B ． （2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形，

∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝1 2 ， 即椭圆的离心率e ＝12.，答案： 1 2 （3）如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ∥AB ，于是△OF A ∽△AFB ，且＝＝，即＝，可得e ＝＝． 故选：C ． （4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2 +股2 ＝弦2 ”．设F 是椭圆＝ 1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x 交椭圆于A 、B 两点，若|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”， 则此椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：∵|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，∴AF 1⊥BF 1，∴OA ＝OB ＝OF 1＝c ． ∴A （， ），∴ ? ， ，? ，e 2 ＝1﹣ ＝4﹣2，∴﹣1． 故选：A ．

椭圆标准方程及其性质知识点大全

【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 （一）椭圆的定义及椭圆的标准方程： ?椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 长轴长 AA 2,|AAj =2a ，短轴长 BB 2, |B 1B 2|=2b PF I PF 2 2a F 1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的 注意：①若（PF 1 ②若（PF 1 F I F 2），则动点P 的轨迹为线段F I F 2 ; PF 2 F 1F 2 ），则动点P 的轨迹无图形 （二）椭圆的简单几何性: 坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 2 2 养 1(a b °) 2 2 ；2 2 1(a b 0) 图形 焦占 八 F i ( c,0)，F 2(C ,0) F I (0, C )，F 2(0,C ) 焦距 F 1F 2 2C 2C 范围 性质 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (a,0) , (0, b) (0, a), ( b,0) 轴长 >■'

离心率 ① e - (0 e 1)，② e 』1 (b )2 ③ c 2 a 2 b 2 a V a (离心率越大，椭圆越扁) 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F 1 , F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a , b , c 都大于零，其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By C 表示椭圆的充要条件是：ABC 工0,且A , B , C 同号，A 工 是 ： B o A > B 时，焦点在y 轴上，A v B 时，焦点在x 轴 上。 (三)焦点三角形的面积公式: PF 1F 2 b2 tan 2 如 图: 金 \ A 0 2 ?椭圆标准方程为：令 a 2 y_ b 2 1 (a b 0)，椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F I ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 则厶F 1PF 2为焦点三角形，其面积为 (四)通径：如图：通径长 |MN | 也 a 2 S PFF b tan —。 12 2 2 y_ b 2 (五)点与椭圆的位置关系： 2 X ?椭圆标准方程：二 a (a b 0), (1 )点P(x o , y o )在椭圆外 2 X o 2 a 2 y 。 b 2 x 1 ； (2)点 a (3)点P(x o , y o )在椭圆内 (六)直线与椭圆的位置关系 2 X o 2 a y b 2 2 ￡ 1 (a > b > 0),联立组成方程 b 2 2 ?设直线I 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆% a 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： (1)相交： 0 直线与椭圆相交；(2)相切： 0 直线与椭圆相切;

阶线性微分方程解的结构

阶线性微分方程解的结 构 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方 程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （）

假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ ） 对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ? 注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （） 其中C 是任意常数。 观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -?加上函数 ()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=? 。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程

常系数线性微分方程的解的结构分析

常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶

齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，

线性微分方程

第4章 线性微分方程 1．了解n 阶线性微分方程的概念，知道n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，了解n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理． （1）在n 阶线性微分方程 y (n ) + p 1(x )y (n -1) + … + p n -1(x )y ′+ p n (x )y = f (x ) (4.5) 中，令y ′= y 1，y ″= y 2，…，y (n -1) = y n -1，(4.5)式就可以化成一阶方程组 ? ?????? ??? ???+----====-----)()()()(d d d d d d d d 11111 122 11x f y x p y x p y x p x y y x y y x y y x y n n n n n n (4.7) (4.7)可以写成向量形式 )()(d d x x x F A Y += (4.8) （2）n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系： 方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若y=φ(x )是方程(4.5)在区间I 上的解，则y=φ(x )，y 1=φ′(x )，…，y n-1 = φ(n -1)(x )是方程组(4.7)在区间I 上的解；反之，若y=φ(x )，y 1=φ1(x )，…，y n-1=φn-1(x )是方程组(4.7)在区间I 上的解，则y=φ(x )是方程(4.5)在区间I 上的解. （3）n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理： 条件：方程y x p y x p y n n n '+++--)()(1) 1(1) ( )()(x f y x p n =+的系数)(x p k （k= 1,2,…，n ）及其右端函数f (x )在区间I 上有定义且连续； 结论：对于I 上的任一0x 及任意给定的) 1(000,,,-'n y y y ，方程的满足初始条件 00)(y x y =的解在I 上存在且唯一. 2．理解n 阶线性齐次微分方程解的结构和通解基本定理，了解n 阶线性齐次微分方程的基本解组，掌握刘维尔公式． （1）朗斯基(Wronski)行列式定义： 设函数组φ1(x )，φ2(x )，…，φn (x ) 中每一个函数φk (x )(k =1,2,…,n )均有n -1阶导数，我们称行列式 ) ()() ()(')(')(')()() ()() 1() 1(2 ) 1(1 2121x x x x x x x x x x W n n n n n n ---= ????????? 为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式. （2）n 阶齐次方程的解的线性无关性判别定理： 齐次方程0)()()(1) 1(1) (=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 的n 个解 )(1x ?，)(2x ?，…，)(x n ? 在其定义区间I 上线性无关（相关）的充要条件是在I 上存在点x 0，使得它们的朗斯基行列