第1章 单自由度系统的自由振动题解

习 题

1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型,房顶质量为m ,视为一刚性杆;柱子高h ,视为无质量的弹性杆,其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解:由于两根杆都是弹性的,可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 m g k δ=

其中δ为两根杆的静形变量,由材料力学易知

δ=3

24mgh

EJ

=

则 k =3

24E J h

设静平衡位置水平向右为正方向,则有

"

m x k x =- 所以固有频率3

n 24mh

EJ p =

1-2 一均质等直杆,长为 l ,重量为W ,用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。

解:给杆一个微转角θ

2

a θ=h α

2F cos α=mg

由动量矩定理:

a

h

a

mg

a mg

Fa M ml

I M I 82

2

cos

sin 1212

2

-=-≈?-===

=αθ

αθ

题1-1图

题1-2图

θ

F sin α

2

θ

α

h

mg

θ

其中

12

c o s

s i n ≈≈θ

α

α

h l ga p h

a

mg ml n 2

2

2

2

2

30

412

1==?+θθ

g

h a

l ga

h l p T n

3π23π

2π22

2

=

==

1-3求题1-3图中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3,悬臂梁的质量忽略不计。

解:悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧,因此,k 1与k 2串联,设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联,设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联,设总刚度为k 。即为

2

1211k k k k k +=

',212132

k k k k k k ++=',4

241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=

)

(42412132314

214324212

k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p

++++++=

1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩,I 是圆盘的转动惯量,各个轴段的转动惯量不计,材料剪切弹性模量为G 。

解:

111/l GJ k = (1) 22

2/l GJ k = (2) 33

3/l GJ

k = (3)

)/(23323223l J l J J GJ k += (4)

)

(/)()4)(3)(2(1/)(233211322133212

2312

l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知

)由(

题1-3图

题1-4图

1-5如题1-5图所示,质量为m 2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的转动惯量为I ,忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力,求此系统的固有频率。

解:此系统是一个保守系统,能量守恒.如图题中的广义坐标x ,设系统的振动方程为:

sin()x A wt a =+

则系统运动过程中速度表达式为:cos()x Aw wt a =+ 系统最大位移和速度分别为:

m ax m ax x A x

A x ==

系统在运动过程中,动能表达式为:

2

2

22212221

1

11122222x

x T m x m x m r I r R ??????=+++ ? ? ?????

?? 弹性势能为:

2

2

11221

122

x U k R k x R ??=+ ?

?? 系统最大动能为:2

2

222m ax

12221

1

111()()22222Aw Aw T m Aw m Aw m r I r R ??????

=+++ ? ? ??????? 最大弹性势能为:2

2m ax

11221122

A U k R k A R ??=+ ??? 由于系统机械能守恒,因此:

m ax m ax T U =

22

222122211111()()22222Aw Aw m Aw m Aw m r I r R ??????=+++ ? ? ?????

??2

2

11221122A k R k A R ??=+ ??? 由上式可解得系统的固有频率为:

题1-5图

第1章  单自由度系统的自由振动题解

w =

1-6如题1-6图所示,刚性曲臂绕支点的转动惯量为0I ,求系统的固有频率。 解:设曲臂顺时针方向转动的?角为广义坐标,系统作简

谐运动,其运动方程为)sin(α?+Φ=t p n 。?很小,系统的动能为

2

22

12

)(2

1)(2

121?

?

?

l m a m I T O ++

=

)cos(α?

+Φ=t p p n n 所以, 2

222

2212

2m a x 2

12

12

1l

p a p m p I T n n n O Φ+

Φ+

Φ=

取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为321,,δδδ,由

∑=0)(F m

O

, 02233111=-++l k b k ga m a k δδδ (A )

由题意可知,系统势能为

a

g m l k b k a k V ?δδ?δδ?δδ?12

22222

32332

12

11])[(2

1])[(2

1])[(2

1+--+

-++

-+=

(B )

将(A )式代入(B )式,可得系统最大势能为,

2

222

232

2

1max 2

12

12

1l

k b k a k V Φ+

Φ+

Φ=

由, m a x m a x V T = 得

=

Φ+

Φ+

Φ2

222

2212

2

2

12

12

1l

p a p m p I n n n O 2

222

232

212

12

12

1l

k b k a k Φ+

Φ+

Φ

所以,有2

22

1222

32

12

l

m a m I l k b k a k p O n ++++=

1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统,质量为10 kg ,弹簧静伸长是1cm ,自由振动20个循环后,振幅从0.64 cm 减至0.16cm ,求阻尼系数c 。 解:振动衰减曲线得包络方程为:nt

X Ae

-=

振动20个循环后,振幅比为:

200.640.16

nT d

e

=

题1-6图

∴ln 420T d n

=

代入Td =

,得:2

2

22

ln 44()20n

n

P

N

π=

-

第1章  单自由度系统的自由振动题解

n P =

第1章  单自由度系统的自由振动题解

第1章  单自由度系统的自由振动题解

=∴2

ln 4(

)20n

2

2

4100g N

π

-

∴c = 6.9 N s /m

32c mk l

a c =

2

22n

3ml

ka p

=

1-8一长度为l 、质量为m 的均质刚性杆铰接于O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承,如题2-8图所示。写出运动微分方程,并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。

解:图(1)为系统的静平衡位置,画受力图如(2)。由动量矩定理,列系统的运动微分方程为:

02

2

0=++a k l c I ???

m

c n ml

ka p

ml

ka m

c ml

I n

32,303312

222

22

0=

=

∴=+3+∴=??

? 当n =p n 时,c =c C

3

23

23

2mk l

a m p nm c n C ===

题1-8图

O

mg

?

X O

Y O

F K

F C

1-9如题1-9图所示的系统中,刚杆质量不计,试写出运动微分方程,并求临界阻尼系数及固有频率。

解:

2

22222

2

22

2

第1章  单自由度系统的自由振动题解

22

22

022n n n c d I kb b ca a m l kb ca kb ca m l

m l

kb p m l p ca n m l

n p ca

第1章  单自由度系统的自由振动题解

m l

c p ?

???

???

??

=--=--∴++

=∴===

==

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∴===

第1章  单自由度系统的自由振动题解

第1章  单自由度系统的自由振动题解

=

当时

第1章  单自由度系统的自由振动题解

1-10如题1-10图所示,质量为2000 kg 的重物以3 cm/s 的速度匀速运动,与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m ,c =1960 Ns/m ,问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?

解:以系统平衡位置为坐标原点,建立系统运动微分方程为

022=++x p x n x n

所以有 x

+c m

x

+k m

x =0

其特征方程为:2r +19602000

r+

480202000

=0 r =-0.49±4.875i 所以:x =1c 0.49t

e

-cos4.875t+2c 0.49t

e

-sin4.875t

由于n < p n ,由已知条件,

题1-9图

题1-10图

49

.02000

219602=?=

=

m

c n ,01

.242000

480202==

=

m

k p n ,00=x ,03.00=x

m/s 。故通解为 )sin cos (21t p C t p C e

x d d nt

+=-

其中,875.42

2=-=

n

p p n d 。

代入初始条件,得

006.0,0000201==

+=

==d

d

p x p x nx C x C ,得

t p e C x d nt

sin 2-= =0.0060.49t

e

-sin4.875t

x

=0.0060.49t e -(-0.49) sin4.875t+0.006?4.875cos4.875 物体达到最大振幅时,有

0cos sin 22=+-=--t p p e C t p e nC x

d d nt d nt 既得t = 0.30 s 时,物体最大振幅为

528

.0)3.0875.4sin(006.03

.049.0=?=?-e

x cm

1-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为d p ,在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为m ω,求系统的无阻尼固有频率n p 、相对阻尼系数ζ及对数衰减率δ。

解:2

21ζ

ω-=n m p , 2

2n p p n d -=, n

p n =

ζ;

三个方程联立,解得:

2

2

222m

d m

d p p ωωζ--=

2

m 2

n 2ω-=d p p

2

2

21222???

? ??-=-=

==d m

m

d d

d

n

d p

p p p p nT ωπωππζδ

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