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高三数学圆锥曲线与方程一轮复习

第十二章圆锥曲线与方程

1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程． 2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点： 1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a 、b 、c 、e 、p 五个参数的求解． ②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

第1课时椭圆

1．椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．

注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．

(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是． 2．椭圆的标准方程

(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：

2=+

y a x ，其中( > >0，且=

a )

(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是

222=+

x a

y ，其中a ，b 满足：．

3．椭圆的几何性质(对

2=+

y a

x ,a > b >0进行讨论)

(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤

(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．

(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．

(4) 离心率：=e ( 与的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越；e 越接近0，椭圆越接近于．

(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=

PF ，

22PF a PF -== ．

(6) 椭圆的参数方程为． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a

(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2

(3) 面积：21F PF S ?＝2

r 1r 2 sin θ＝2

·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2

＝θ)

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点)2

,23(-

；（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A （-3）解：

19252

（2）

102

=+x

（3）

12836

变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆

120

共准线，且离心率为

1．

(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为5

4和

2，过P 作长轴的

垂线恰好过椭圆的一个焦点解：(1) 设椭圆方程

)

0,0(12

2>>=+

b a b

y a

x ，则其准线为12±=x ．

∴

?????????=+=

112c

a c c a 解得????

?==3

36b a

∴所求椭圆方程为

127

．

(2) 5

2221=+=PF PF a ，5

=∴a ．

由

，得3

102

b ．

∴所求椭圆方程为

110

或

110

．

例2. 已知点P(3, 4)是椭圆

y a

x +

＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：

(1) 椭圆的方程；

(2) △PF 1F 2的面积．解：（1）法一：令F 1(－C ，0)，F 2(C ，0) ∵ PF 1⊥PF 2，∴ 2

1PF PF k k ?＝－1

即

134

34-=-?+c

c ，解得c ＝5

∴ 椭圆的方程为

125

2=-+

a y

∵ 点P （3，4）在椭圆上，∴

12592

=-+

a b a

解得a 2

＝45或a 2

＝5 又a ＞c ，∴ a 2

＝5舍去. 故所求椭圆的方程为

120

法二：利用△PF 1F 2是直角三角形，求得c ＝5(以下同方法一) （2）由焦半径公式：

| PF 1 |＝a ＋ex ＝35

＋5

35×3＝45

| PF 2 |＝a －ex ＝35

－

35×3＝2

∴

1F PF S ?＝2

1| PF 1 |·| PF 2 |＝2

×4

×25

＝20 变式训练2：已知P （x 0,y 0）是椭圆12

2=+b

y a

x （a ＞b ＞0）上的任意一点，

F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.

证明设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r .

∵F 1、F 2为焦点，所以由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 2|=2r

∴|PF 1|+2r =2a ，即|PF 1|=2（a －r ）连结OA ，由三角形中位线定理，知 |OA |=

.)(22

1||211r a r a PF -=-?=

故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x

轴垂直时，C D AB

=．

（1）求椭圆的方程；

（2）求过点O 、1F ，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求22F A F B ?

的最大值和最小值．

解：（1）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -．设椭圆的方程：

)0(12

2>>=+

b a b

y a

x ．

解方程组241

y x x ?=-?=-? 得C （-1，2），D （1，-2）．

由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称，

∴

11||||||||

F C C D F A AB ==

，1||2

F A =

， ∴(1,

A ． …………2分

∴2

12a

b +

=又12

2==-c

a ，

因此，

111

2b b

+=+，解得21b =并推得2

2a =．

故椭圆的方程为2

y += ． …………4分

（2

）1,1a b c === ，

圆过点O 、1F ， ∴圆心M 在直线12

x =-

上．

设1(,),2

M t -则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

∴13()(2).2

r =-

--=

由,O M r =3,2

解得t =

∴所求圆的方程为2

19()(.2

x y ++±

…………………………8分

（3）由12(1,0),(1,0)F F -点 ①若AB 垂直于x 轴，则)22,1(),2

1(-

--B A ，

22(2,

(2,2

F A F B ∴=-=--

，

2217

422

F A F B ?=-= …………………………………………9分

②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为 )1(+=x k y 由??

=-++=0

22)

1(2

y x x k y 得 0)1(24)21(2

222=-+++k x k x k

0882

>+=?k ，∴方程有两个不等的实数根．

设),(11y x A ，),(22y x B . 2

221214k

x x +-

=+, 2

2121)

1(2k

x x +-=

?………………………………11分

),1(),,1(222112y x B F y x A F -=-=∴

)1)(1()1)(1()1)(1(212

21212122+++--=+--=?x x k x x y y x x B F A F

2122121))(1()1(k x x k x x k +++-++= 2

1)214)(1(21)

1(2)1(k k

k +++-

-++-+=

)21(292

7211

k k

1211

0,121,02

≤+<

≥+≥k

k k

7,1[22-∈?∴B F A F ，所以当直线l 垂于x 轴时，B F A F 22?取得最大值

当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22?取得最小值1-

变式训练3：在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1, 0)、B (1, 0), 动点C 满足条件：△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (1)求W 的方程；

(2)经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围；

（3）已知点M （2，0），N （0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k ，使得向量O P O Q + 与MN

共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C （x , y ）,

∵ 2AC BC AB +=+＋2AB =,

∴ 2AC BC +=>,

∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点.

∴ =1a c =. ∴ 2221b a c =-=.

∴ W : 2

212

x y += (0)y ≠. …

(2) 设直线l 的方程为

y kx =+2

(12

kx ++

整理，得

()102

k x +++=.

①

因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于

184(

)4202

k k k ?=-+=->，解得2

k <2

k >

∴ 满足条件的k 的取值范围为 ,)2

k ∈

-∞-+∞ （

（3）设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则O P O Q

+ ＝（x 1+x 2，y 1+y 2),

由①得1212x x k

+=+ ②

又1212()y y k x x +=++ ③

因为M ，(0, 1)N ，

所以( 1)M N

.………

所以OP OQ +

与MN

共线等价于1212)x x y y ++.

将②③代入上式，解得2k =

所以不存在常数k ，使得向量O P O Q +

与MN

共线. 例4. 已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x

，两条准线间的距离为6. 椭圆W 的

左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、

B ，点A 关于x 轴的对称点为

C .

（1）求椭圆W 的方程；（2）求证：CF FB λ=

(λ∈R )；（3）求MBC ?面积S 的最大值. 解：（1）设椭圆W 的方程为222

1x y a

=，由题意可知

222

,3,26,c a a b c a c ?=???=+????=??

解得a =，2c =

，b =，

所以椭圆W 的方程为

=．……………………………………………4分

（2）解法1：因为左准线方程为2

x c

=-，所以点M 坐标为(3,0)-.于是可设直线l 的方程为

(3)y k x =+．

22(3),16

2y k x x y =+???+=?

?得2222

(13)182760k x k x k +++-=. 由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知

(18)4(13)(276)0k k k ?=-+->，解得2

k <

．

设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y , 则2122

1813k x x k

-+=

+，2

122

27613k x x k

+，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+．

因为(2,0)F -，11(,)C x y -，

所以11(2,)FC x y =+- ，22(2,)FB x y =+

又因为1221(2)(2)()x y x y +-+-

1221(2)(3)(2)(3)x k x x k x =+++++ 1212[25()12]k x x x x =+++

541290[

12]1313k k k k

--=+

+++

(5412901236)

013k k k k k

--++=

=+，

所以CF FB λ=

． ……………………………………………………………10分

解法2：因为左准线方程为2

x c

=-，所以点M 坐标为(3,0)-.

于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y , 则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+．由椭圆的第二定义可得

22113||||||

x y FB FC x y +==+,

所以B ，F ，C 三点共线，即CF FB λ=

．…………………………………10分

(3)由题意知

1211||||||||22

S M F y M F y =

121||||2

M F y y =

?+ 121|()6|2

k x x k =

3||13k k

+312

3||

k k =

≤

+，

当且仅当213

k =

时“=”成立，

所以M B C ?面积S 的最大值为

．变式训练4：设1F 、2F 分别是椭圆

=的左、右焦点.

（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值；

（2）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===

设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--?---=?y x y x y x PF PF

115

442

+x x x

]5,5[-∈x ，

0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3；

当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4

（2）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y

由方程组22

2222

1(54)5012520054

(5)x y

k x k x k y k x ?+=?+-+-=??=-?

，得

依题意2

20(1680)05

k k ?=->-

，得

当5

<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，

则4

5252

5502

102

21+=

k x x x k

k x x

520)54525(

)5(2

00+-=

-+=-=∴k

k k

k k x k y

又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R

k k l R F

1204204

5251)4

520(02

222

2-=-=

=?∴k

k k

k k k k k R F

∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立，所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|

综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|

1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．

2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏． 3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．

4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会． 5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．

第2课时双曲线

1．双曲线的两种定义

(1) 平面内与两定点F 1，F 2的常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是． ②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．

(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在上)的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．

设P 到1F 的对应准线的距离为d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e

d PF d PF ==

2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12

y a x

，焦点在

轴上；12

x a

，焦点在轴上．其中：a 0，b 0，=2

a ．

(2) 双曲线的标准方程的统一形式：

)0(12

<=+nm ny mx

3．双曲线的几何性质(对

,0,12

2>>=-

b a b

y a

x 进行讨论)

(1) 范围：∈x ，∈y ．

(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．

(3) 顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，准线方程为，渐近线方程为．

(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越，e 越小，双曲线开口越，

焦准距P ＝．

(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若),(00y x P 是双曲线右支上任意一点，

1PF ，=

PF ，若),(00y x P 是双曲线左支上任意一点，=

PF ，=

PF ．

(6) 具有相同渐近线x

a b y ±

=的双曲线系方程为

(7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为，离心率为． (8)

2=-b

y a

x 的共轭双曲线方程为

．

例1．根据下列条件，写出双曲线的标准方程

(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．

(2) 与双曲线x 2－2y 2

＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．解：(1)∵顶点为(0，6)，设所求双曲线方程为1

2=-

x a

y ∴6=a

又∵5.1=e ∴95.1=?=?=b e a c 故所求的双曲线方程为

145

(2) 令与双曲线x 2

－2y 2

＝2有公共渐近线的双曲线为x 2

－2y 2

＝k ∵ 双曲线过M （2，－2） ∴ 4－2×4＝k 得k ＝－4 ∴ x 2－2y 2＝－4即

变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线116

y 9

x 2

=-有共同渐近线，且过点（-3，32）；

（2）与双曲线

16x 2

有公共焦点，且过点（23，2）

解：法一：（1）双曲线

116

的渐近线为x

4y ±

令x=-3，y=±4，因432<，故点（-3，32）在射线x

34y -=（x≤0）及x 轴负半轴之间，

∴ 双曲线焦点在x 轴上设双曲线方程为

y a

x 2

2=-

，（a>0，b>0）

????

???=--=1b )32(a )3(34a b

22 解之得：??

?==

4b 49a 22

∴ 双曲线方程为

（2）设双曲线方程为

y a

x 2

2=-

（a>0，b>0）

则 ???

??=-=+1b 2a

)23(20b a 222222

解之得：?????==8

b 12

a 22

∴ 双曲线方程为

法二：（1）设双曲线方程为λ

（λ≠0）

∴

-16

)32(9

)3(2

∴ 4

∴ 双曲线方程为

（1）设双曲线方程为

1k 4y

16x

=+-

-????

??>+>-0k 40k 16 ∴

16)

23(2

=+-

解之得：k=4 ∴ 双曲线方程为18

评注：与双曲线

y a

x 2

2=-

共渐近线的双曲线方程为

λ=-

y a

x （λ≠0），当λ>0时，焦点在x 轴上；

当λ<0时，焦点在y 轴上。与双曲线

y a

x 2

2=-

共焦点的双曲线为

y k

x 2

=--

+（a 2

+k>0，

b 2

-k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的

几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）. 解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程为

2=-

y a

（a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,

55(12

252

2=--

y .112

132

2=-

解方程组???????=-=--(2)

112

13(1) 1)

55(122522

222

22b y b

y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程（1）得

,1)5512

252

2=--b

化简得 19b 2

+275b －18150=0 （3）

解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：

.1625

144

变式训练2：一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2 s .

（1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知A 、B 两地相距800 m ，并且此时声速为340 m/s ，求曲线的方程.

解（1）由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上.

因为爆炸点离A 处比离B 处更远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上.

（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy ，使A 、B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合.

设爆炸点P 的坐标为（x ,y ），则,6802340=?=-PB PA 即2a =680,a =340.又,800=AB ∴2c =800,c =400,b 2=c 2－a 2=44400. ∵,0680 =-PB PA ∴x >0.所求双曲线的方程为：144400

115600

(x >0). 例3.

ABC

?中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4

=BC

，且A

B C sin 2

1sin sin

-，求顶点A 的轨迹

方程．

解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4

=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．利

用正弦定理，从条件得2

421=?=-b

c ，即

=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦

点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为3

的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1

(1>x )．

变式训练3：已知双曲线)0,0(12

2>>=-

b a b

y a

x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离

为l .

（1）求双曲线的方程；

（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值

（1）解：依题意有：.

3,1,,12,32

2222==????

????

?=+==b a c b a c

a b

解得

可得双曲线方程为.13

（2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性

33,33,

),,(2

0202

020

0-=-==-

--=

++?

--=?P P P

P P P P P PN PM P P x y x y y x x

x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设

所以.33

33320

02=-+--=

x x k k P

P PN PM

例4. 设双曲线C ：

=-y x

的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于

不同的两点P 、Q 。

（1）若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ，且121=?Q A P A ，求点T 的坐标；（2）求直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的轨迹E 的方程；

（3）过点F （1，0）作直线l 与（Ⅱ）中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设FB FA λ=，若

||],1,2[TB TA +--∈求λ（T 为（Ⅰ）中的点）的取值范围。

解：（1）由题，得)0,2(),0,2(21A A -，设),(),,(0000y x Q y x P - 则).,2(),,2(002001y x Q A y x P A --

由.3,1212

021=-=--?=?y x y x Q A P A 即 …………① 又),(00y x P 在双曲线上，则

.12

0=-y x …………②

联立①、②，解得 20±=x 由题意， .2 ,000=∴>x x

∴点T 的坐标为（2，0） …………3分

（2）设直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的坐标为（x ，y ）由A 1、P 、M 三点共线，得 )2()2(00+

x y y x …………③ …………1分

由A 2、Q 、M 三点共线，得 )2()2(00-

-=-

x y y x …………④ …………1分

联立③、④，解得 .2,200x

y y x x =

…………1分

∵),(00y x P 在双曲线上，

∴.1)2(

)

2(2

2=-x

y x

∴轨迹E 的方程为

).0,0( 12

≠≠=+y x y x

…………1分

（3）容易验证直线l 的斜率不为0。故可设直线l 的方程为 12

=++=y

ky x ，代入

中，得

.024)2(2

=+++ky y k

设 00),,(),,(212211≠≠y y y x B y x A 且则由根与系数的关系，得2

21+-

=+k

k y y ……⑤

21+-

y y ……⑥ …………2分

∵，FB FA λ= ∴有.02

<=λλ，且y y

将⑤式平方除以⑥式，得

421

422

1+-

=++

?+-

=++k

k k

k y y y y λ

λ …………1分

由021

5]1,2[≤++

?-≤+

≤-

?--∈λλλ

λλ

7207

202

≤

≤?≤

?≤+-

≤-?k

k k

k …………1分

∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x TB TA y x TB y x TA +-+=+∴-=-= 又.2

)1(42)(4,2

21212

21++-

=-+=-+∴+-=+k

k y y k x x k

k y y

故2212212)()4(||y y x x TB TA ++-+=+

)

2(8

)2(28)2(16)

2(4)

2()

1(15+++-+=

++=k

k k

)

2(82

2816++

令7

20.2

≤≤+=

k k

t ∴2

12116

≤

+≤

，即 ].2

167

[

∈t

∴.2

17)4

7(816288)(||2

22-

=+-==+t t t t f TB TA

而 ]2

1,16

7[∈t ， ∴].32

169,4[)(∈t f

∴].8

213,

2[||∈+TB TA

变式训练4：)已知中心在原点，左、右顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率为

21的双曲线C 经过点P （6,6），

动直线l 经过△A 1PA 2的重心G 与双曲线C 交于不同两点M 、N ，Q 为线段MN 的中点（1）求双曲线C 的标准方程

（2）当直线l 的斜率为何值时，022=?PA QA 。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。解（1）设双曲线C 的方程为

()0,012

2>>=-

b a b y a

x ,

34,

7,3

7,3212

=∴=

∴=a

b a

b a e e 即

又P （6,6）在双曲线C 上，136362

∴

由①、②解得.12,92

==b a 所以双曲线C 的方程为

112

。

（2）由双曲线C 的方程可得()()()6,6P ,0,3,0,321又A A - 所以△A 1PA 2的重点G （2,2）

设直线l 的方程为()22+-=x k y 代入C 的方程，整理得

①

②②

()()()()()()

0022112

,,,,,0

421211234y x Q y x N y x M k k x k k x

k 又设=+---+-

()()()()()

63116,1,0.

63183

,2.

31822;43162

222

002

102222-=-+-∴

-=?∴=?-+-=

=--=

+-=--=

k k

k k k PA QA k k

k x y k k k

k x k y k

k k x x x QA PA QA PA

整理得041032=+-k k 解得313

5±

由③，可得()

?????>+--=?≠-0

1685480

342

k k k

解得3

32,54

645

64±

≠-<<+-

k k 且

由④、⑤，得3

1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a 、b 、c 、e 的关系．

2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．

3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）． 4．求双曲线的方程的常用方法： (1) 定义法．

(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．

5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．

第3课时抛物线

1．抛物线定义：平面内到和距离的点的轨迹叫抛物线，叫抛物线的焦点，叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)． 2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① px

=，焦点为，准线为． ② px

-=，焦点为，准线为．

③ py

=，焦点为，准线为．

③③

④③

⑤

③

④

-=，焦点为，准线为．

3．抛物线的几何性质：对)

0(22>=p px y 进行讨论．

① 点的范围：、． ② 对称性：抛物线关于轴对称． ③ 离心率=e ．

④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=

PF ．

⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则

＝，21y y ．

ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()

0≠θ则

＝

．特别地，当θ

时，AB 为抛物线的通径，且

＝．

iii) S △AOB ＝（表示成P 与θ的关系式）． iv)

|1|

|1BF AF +

为定值，且等于．

例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．解：设抛物线方程为)0(22

>-=p px y ，则焦点是F )

0,2(p -

∵点A(－3，n )在抛物线上，且| AF |＝5

故??

???=++-=5

)23(62

22n p P n 解得P ＝4，6

±=n

故所求抛物线方程为6

2,82

±=-=n x y

变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．解：因为对称轴是x 轴，可设抛物线方程为px

y 22=或)

0(22

>-=p px y ∵

=p ，∴p ＝12

故抛物线方程为x

y 242

=或2

y x

24-=

例2. 已知抛物线C ：x

y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．

(1) 若3

16=

AB ，求直线l 的方程．

(2) 求

的最小值．

解：(1)解法一：设直线l 的方程为：0

1=-+my x 代入x y 42=整理得，0

442

=-+my y

设),(),,(2211y x B y x A

则21,y y 是上述关于y 的方程的两个不同实根，所以m

y y 421-=+

根据抛物线的定义知：| AB |＝2

21++x x

＝)

1(42)1()1(2

21+=+-+-m

my my

若3

16||=AB

，则3

3,3

16)1(42±

+m m

即直线l 有两条，其方程分别为：

3,013

3=--

=-+

y x y x

解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝

sin 2P (θ为AB 的倾斜角)易知sinθ＝±

3，

即直线AB 的斜率k ＝tanθ＝±3

，

故所求直线方程为：

3=-+

y x 或0

3=--

y x .

(2) 由(1)知，4)1(4||2≥+=m AB 当且仅当0

时，|AB|有最小值4．

解法二：由(1)知|AB|＝θ

sin 2P ＝

sin 4

∴ |AB|min ＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)

变式训练2：过抛物线y 2

＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无数条 D ．不存在解：B

例3. 若A(3，2)，F 为抛物线x

y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA

+的最小值及取得最

小值时的P 的坐标．解：抛物线x

y 22

=的准线方程为2

-=x

过P 作PQ 垂直于准线于Q 点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |

要使| PA |＋| PQ |最小，A 、P 、Q 三点必共线，即AQ 垂直于准线，AQ 与抛物线的交点为P 点从而|PA|＋|PF|的最小值为2

13=

此时P 的坐标为(2，2)

变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x

)

200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻

璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是。解：10≤

例4. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线． (1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？

(2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．

解：(1)F ∈l ?|FA|＝|FB|?A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意y 1，y 2不同时为0．∴上述条件等价于 y 1＝y 2?

1x x =?

(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0

∵x 1≠x 2 ∴x 1＋x 2＝0

即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 过抛物线的焦点F ．

(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ，过点A 、B 的直线方程可写为y ＝－21

＋m

所以x 1、x 2满足方程：2x 2＋21

x －m ＝0

且x 1＋x 2＝－4

1，由于A 、B 为抛物线上不同的两点，所以△＝4

1＋8m ＞0，即m ＞－

设AB 之中点为N(x 0，y 0)，则x 0＝8

=+x x

y 0＝－21

x 0＋m ＝

1＋m

由N ∈l 得：16

1＋m ＝－4

＋b

于是b ＝

5＋m ＞16

5－

1＝

即l 在y 轴上截距的取值范围是(32

9，＋∞)

变式训练4：正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积．

设C 、D 的坐标分别为(y 12，y 1)，(y 22，y 2)( y 1> y 2)，则直线CD 的斜率为1． ∴

121y y y y --＝

11y y +＝1，即y 1＋y 2＝1 ①

又| CD |＝||1212

x x k

-+＝2||21y y -

＝

(y 1－y 2)

| BC |＝

4|12

112

1+-=

+-y y y y (y 12－y 1＋4恒正)

由| CD |＝| BC |，有

(y 1－y 2)＝

1+-y y ②

解①、② 得 y 1＝2或y 1＝3 当y 1＝2时，有| BC |＝32

，此时S ABCD ＝18 当y 1＝3时，有| BC |＝5

，此时S ABCD ＝50

∴ 正方形的面积为18或50．

2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．