文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 集合 函数 数列 提高题 汇总 01 教师版

集合 函数 数列 提高题 汇总 01 教师版

集合 函数 数列 提高题 汇总 01 教师版
集合 函数 数列 提高题 汇总 01 教师版

1、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若

36S S =13,则612

S

S =( ) A .

310 B .13 C .1

8 D .

1

9

4、已知},2|{N x k x x P ∈<<=,若集合P 中恰有3个元素,求k 。

答案:65≤

1、函数()

()20

54lg 43x y x x =+-+ 的定义域是_________.

答案:②),5

4

()54,21()21,43(+∞---

9、若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ?<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 (答:4006)

13、 已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为1

4

的等差数列, 则||m n -= ______ 。10、1

2

15、已知函数f (x )=x +

x

p

+m (p ≠0)是奇函数.(1)求m 的值. (2)(理)当x ∈[1,2]时,求f (x )的最大值和最小值. (文)若p >1,当x ∈[1,2]时,求f (x )的最大值和最小值. 解:(1)∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ).∴-x -

x p +m =-x -x

p

-m .∴2m =0.∴m =0. (2)(理)(ⅰ)当p <0时,据定义可证明f (x )在[1,2]上为增函数. ∴f (x )max =f (2)=2+

2

p

,f (x )min =f (1)=1+p . (ⅱ)当p >0时,据定义可证明f (x )在(0,p ]上是减函数,在[p ,+∞)上是增函数.

①当

p <1,即0<p <1时,f (x )在[1,2]上为增函数,

∴f (x )max =f (2)=2+2

p

,f (x )min =f (1)=1+p . ②当

p ∈[1,2]时,f (x )在[1,p ]上是减函数.在[p ,2]上是增函数.

f (x )min =f (p )=2p .f (x )max =max{f (1),f (2)}=max{1+p ,2+

2

p

}. 当1≤p ≤2时,1+p ≤2+

2p ,f (x )max =f (2);当2<p ≤4时,1+p ≥2+2

p ,f (x )max =f (1).

③当p >2,即p >4时,f (x )在[1,2]上为减函数,

∴f (x )max =f (1)=1+p ,f (x )min =f (2)=2+2

p . 9、求函数1x 1x y --+=的值域。

解:原函数可化为:

1x 1x 2

y -++=

,令1x y ,1x y 21-=+=,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上

界的增函数,所以1y y =,2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数

所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值2

2

2

=,显然0y >,故原函数的值域为]2,0(

4、已知二次函数f (x )=x 2

+bx +c (b ≥0,c ∈R ).若f (x )的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0],符合上述条件的函数f (x )是否存在?若存在,求出f (x )的表达式;若不存在,请说明理由.

解:设符合条件的f (x )存在,∵函数图象的对称轴是x =-2b ,又b ≥0,∴-2

b

≤0. ①当-

21<-2b ≤0,即0≤b <1时,函数x =-2

b

有最小值-1,则 ???-==???

???=+--=+-

??????

=--=-1,0011240)1(1)2(22c b c b c b b f b f 或??

?==3,4c b (舍去). ②当-1<-2b ≤-21,即1≤b <2时,则???==??????

=-=-0,

20

)0(1)2

(c b f b f (舍去)或???=-=0,2c b (舍去). ③当-

2b

≤-1,即b ≥2时,函数在[-1,0]上单调递增,则???=-=-,0)0(,1)1(f f 解得?

??==.0,2c b

综上所述,符合条件的函数有两个,f (x )=x 2

-1或f (x )=x 2

+2x .

6、将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小, 正方形的周长应为______________.

解析:设正方形周长为x ,则圆的周长为1-x ,半径r =π21x -.∴S 正=(4x )2=162

x ,S 圆=π·22π4)1(x -.

∴S 正+S 圆=π16484)(π2+-+x x (0<x <1).∴当x =4π4+时有最小值.答案:4

π4

+

7、设函数f (x )的定义域为R ,若存在常数M >0,使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立,则称f (x )为F 函数.给出下列函数:①f (x )=0;②f (x )=x 2

;③f (x )=2(sin x +cos x );④f (x )=

1

2

++x x x

; ⑤f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足对一切实数x 1、x 2,均有|f (x 1)-f (x 2)|≤2|x 1-x 2|.

其中是F 函数的序号为___________________. 答案:①④⑤

10、已知函数g (x )=lg [a (a +1)x 2

-(3a +1)x +3]的值域是R ,求实数a 的取值范围.

解:由题意知,应使h (x )=a (a +1)x 2

-(3a +1)x +3能取到一切正实数.

①a =0时,h (x )=-x +3,显然能取到一切正实数;②a =-1时,h (x )=2x +3,也能取到一切正实数; ③a ≠0且a ≠-1时,∵h (x )=a (a +1)x 2-(3a +1)x +3是二次函数,

∴必须有???≥+-+=>+.

0)1(12)13(,0)1(2

a a a Δa a 解得3323--≤a <-1或0<a ≤3323+-. 综上所述,a 的取值范围是[

3323--,-1]∪[0,3

3

23+-]. 11、若关于x 的方程()

()2

lg 20lg 8630x x x a +---=有唯一的实数根,求实数a 的取值

范围。(答:1631

62

a -

≤<-) 14、函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对于任意x 1、x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2).(1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的奇偶性并证明;

(3)如果f (4)=1,f (3x +1)+f (2x -6)≤3,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围.

(1)解:令x 1=x 2=1,有f (1×1)=f (1)+f (1),解得f (1)=0.

(2)证明:令x 1=x 2=-1,有f [(-1)×(-1)]=f (-1)+f (-1).解得f (-1)=0. 令x 1=-1,x 2=x ,有f (-x )=f (-1)+f (x ),∴f (-x )=f (x ).∴f (x )为偶函数. (3)解:f (4×4)=f (4)+f (4)=2,f (16×4)=f (16)+f (4)=3.

∴f (3x +1)+f (2x -6)≤3即f [(3x +1)(2x -6)]≤f (64).(*)∵f (x )在(0,+∞)上是增函数,

∴(*)等价于不等式组???≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或?

??≤-+-<-+,64)62)(13(,

0)62)(13(x x x x

或???????

≤≤--<>53

7,313x x x 或或?????∈<<-.,331R x x ∴3<x ≤5或-37≤x <-31或-31<x <3.

∴x 的取值范围为{x |-

37≤x <-31或-3

1

<x <3或3<x ≤5}. 评述:解答本题易出现如下思维障碍:

(1)无从下手,不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.

(2)无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反.

变式:(2006. 福建.理22.本小题满分14分)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈

(I )求数列{}n a 的通项公式;(II )若数列{b n }滿足121

11*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明:数列{b n }

是等差数列; (Ⅲ)证明:

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +-<+++<∈ (I )解:*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项,2为公比的等比数列

12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈

(II )证法一:121

11

44...4(1).n n k k k k n a ---=+ 12(...)42.n n k k k n nk +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ,②-①,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③-④,得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列

证法二:同证法一,得 1(1)20n n n b nb +--+=令1,n =得1 2.b = 设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- (1)当1,2n =时,等式成立

(2)假设当(2)n k k =≥时,2(1),k b k d =+-那么

122[2(1)]2[(1)1].1111

k k k k b b k d k d k k k k +=

-=+--=++-----这就是说,当1n k =+时,等式也成立

根据(1)和(2),可知2(1)n b n d =+-对任何*

n N ∈都成立 {}1,n n n b b d b +-=∴ 是等差数

(III )证明:

1121211,1,2,...,,12122(2)2

k k k k k k a k n a ++--==<=--12231 (2)

n n a a a n a a a +∴+++<

111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k

k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈

变式:(2006,山东,文,22,本小题满分14分) 已知数列{n a }中,111

22

n n a n a a +=

-、点(、)在直线y=x 上,其中n=1,2,3… (Ⅰ)令{}是等比数列;求证数列n n n n b a a b ,31--=-(Ⅱ)求数列{}的通项;n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ,使得数列n n S T n λ+??

????

为等差数列?若存在,试求出λ 若不存在,则说明理由

解:(I )由已知得 111,2,2n n a a a n +=

=+2213313

,11,4424

a a a =--=--=- 又11,n n n

b a a +=-- 1211,n n n b a a +++=--11112111(1)1

11222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴

====------ {}n b ∴是以34-为首项,以1

2

为公比的等比数列

(II )由(I )知,13131(),4222n n n b -=-?=-?1311,22n n n a a +∴--=-?2131

1,22

a a ∴--=-?

322311,22a a --=-???????1131

1,22

n n n a a --∴--=-?将以上各式相加得:

1213111

(1)(),2222n n a a n -∴---=-++???+

11111(1)31313221(1)(1) 2.

12222212

n n n n a a n n n ---∴=+--?=+---=+--

3

2.2

n n a n ∴=+-

(III )解法一: 存在2λ=,使数列{

}n n

S T n

λ+是等差数列 12121113()(12)2222n n n S a a a n n =++???+=++???++++???+- 11(1)(1)22321212

n n n n -+=?+--

2213333(1) 3.2222

n n n n n n

--=-+=-++

12131

(1)

313342(1).1222212

n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- 数列{}n

n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n n

S T An B A n

λ+=+、B 是常数)即2,n n S T An Bn λ+=+

又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+231

3(1)(1)222

n n n λ-=+--

∴当且仅当102

λ

-

=,即2λ=时,数列{

}n n

S T n

λ+为等差数列 解法二:存在2λ=,使数列{

}n n

S T n

λ+是等差数列 由(I )、(II )知,22n n a b n +=- (1)222n n n S T n +∴+=- (1)

222n n n n n n n T T S T n n

λλ+--++=

322n n T n λ--=+ 又12131(1)

313342(1)222212

n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- ,

13233

()222

n n n S T n n n λλ++--=+-+ ∴当且仅当2λ=时,数列{}n

n

S T n

λ+是等差数列

解法:两边取对数后转化为q pa a n n +=+1,再利用待定系数法求解。

例:已知数列{n a }中,2

111,1n n a a

a a ?=

=+)0(>a ,求数列{}.的通项公式n a 解:由211n n a a a ?=+两边取对数得a

a a n n 1

lg lg 2lg 1+=+,

令n n a b lg =,则a b b n n 1lg 21+=+,再利用待定系数法解得:1

2)1(-=n n a

a a 。

变式:(2005,江西,理,21.本小题满分12分) 已知数列:

,}{且满足的各项都是正数n a .),4(2

1

,110N n a a a a n n n ∈-=

=+(1)证明;,21N n a a n n ∈<<+

(2)求数列}{n a 的通项公式a n . 解:用数学归纳法并结合函数)4(2

1

)(x x x f -=的单调性证明: (1)方法一 用数学归纳法证明:

1°当n=1时,,2

3

)4(21,10010=-==a a a a ∴210<

1

)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时

11112()()()2k k k k k k a a a a a a ---=---+111

()(4).2

k k k k a a a a --=---

.

0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a 又

.2])2(4[2

1

)4(2121<--=-=

+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知,对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二:用数学归纳法证明:1°当n=1时,,2

3

)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<

1

)(x x x f -=

,)(x f 在[0,2]上单调递增,所以由假设 有:),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(22

1

)4(21)4(2111-??<-<---k k k k a a a a

也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立,所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有

(2)解法一:],4)2([21

)4(2121+--=-=

+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a a n

n n n n n n n n b b b b b a b 2

22121

2222211

2

)2

1()21(21)21(2121,2-+++----==?-=--=-=-= 则令, 又b n =-1,所以1212)2

1(22,)21(---=+=-=n

n n n n b a b 即 解法二: ,2)2(2

1)4(212

1+--=-=+n n n n a a a a ∴21)2(212n n a a -=-+

由(I )知,02>-n a ,两边取以2为底的对数,∴)2(log 21)2(log 212n n a a -+-=-+ 令=n b )2(log 2n a -,则n n b b 211+-=+n

n b 21-=?∴n

n a 212

2--=或1

2)2

1(2--=n n a

变式:(2006,山东,理,22,本小题满分14分)

已知a 1=2,点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2

+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+a n )}是等比数列;(2)设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n ),求T n 及数列{a n }的通项; 记b n =

211++

n n a a ,求{b n }数列的前项和S n ,并证明S n +1

32

-n T =1 解:(Ⅰ)由已知2

12n n n a a a +=+,211(1)n n a a +∴+=+12a = 11n a ∴+>,两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+,即

1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列

(Ⅱ)由(Ⅰ)知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1

122lg3lg3n n --=?=

1213n n a -∴+= (*)12(1)(1)n T a a ∴=++n ...(1+a )012222333=????n-12 (32)

122

3+++=n-1

…+2=n 2-1

3

由(*)式得1

2

31n n a -=-

(Ⅲ)2

102n n a a a +=+ , 1(2)n n n a a a +∴=+,11111()22

n n n a a a +∴

=-+ 11122n n n a a a +∴

=-+,又112n n n b a a =++,1

11

2()n n n b a a +∴=-

12n S b b ∴=++n …+b 122311111112(

)n n a a a a a a +=-+-+-…+11

112()n a a +=- 1

221131,2,31n n

n n a a a -+=-==- 2

2131

n

n S ∴=-

-,又2

1

3n

n T -=,2

131

n n S T ∴+

=-

29.(2006年安徽卷)数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()211

,1,1,2,2

n n a S n a n n n =

=--=??? (Ⅰ)写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥,并求n S 关于n 的表达式; (Ⅱ)设()()()1

/,n n n n n S f x x b f p p R n

+=

=∈,求数列{}n b 的前n 项和n T 。 解:由()21n n S n a n n =--()2n ≥得:()21()1n n n S n S S n n -=---,即

()221(1)1n n n S n S n n ---=-,所以

1111

n n n n

S S n n -+-=-,对2n ≥成立。 由

1111n n n n S S n n -+-=-,121112n n n n S S n n ----=--,…,2132

121

S S -=相加得:1121n n S S n n +-=-,又1112S a ==,所以21

n n S n =+,当1n =时,也成立。 (Ⅱ)由()11

1

n n n n S n f x x x n n ++=

=+,得()/n n n b f p np ==。 而23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+ ,

234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+ , 2

3

1

1

1(1)

(1)1n n n n n n p p P T p p p p

p np

np p

-++--=+++++-=--

(21) 已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ,且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++= (1)求{n a }的通项公式; (2)设数列{n b }满足1)12

(=-n

b n a ,并记n T 为{n b }的前n 项和,求证:*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+

(21)(本小题12分) (Ⅰ)解:由)2)(1(6

1

1111++=

=a a S a ,解得a 1=1或a 1=2,由假设a 1=S 1>1,因此a 1=2。 又由a n +1=S n +1- S n =)2)(1(61

)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ,

得a n +1- a n -3=0或a n +1=-a n

因a n >0,故a n +1=-a n 不成立,舍去。

因此a n +1- a n -3=0。从而{a n }是公差为3,首项为2的等差数列,故{a n }的通项为a n =3n -2。

(Ⅱ)证法一:由1)12(=-b n a 可解得133log 11log -=???? ??+=n n

a b z n z z ; 从而??

? ??-=+++=133··56

·23log 21n n b b b T z n n 。

因此23n 2·

133··56

·23log )3(log 133

+??

? ??-=+-+n n a T z n z n 。 令23n 2·133··56

·23)(3+??? ??-=n n x f ,则233

)23)(53()33(23n 33n ·5323)()1(+++=

??? ??++++=+n n n n n n f n f 。 因079)23)(53()33(22>+=++-+n n n n ,故)()1(n f n f >+. 特别的120

27

)1()(>=

≥f n f 。从而0)(log )3log(13>n f a T n n =+-+,即)3(log 1

32++n n a T >。 证法二:同证法一求得b n 及T n 。由二项式定理知当c >0时,不等式c c 31)1(3++>成立。 由此不等式有3

3

3

213115112112log 13??? ?

?-+??? ??+??? ??+=+n T n ??

?

??-+??? ??+

??? ??

+13315312312log 2

n > =)3(log )23(log 1

32

3··48·25·2log 222+=+=-+n a n n n 。

证法三:同证法一求得b n 及T n 。令A n =n n 33··56·23 ,B n =n n 313··67·43+ ,C n =132

·78·45++n n 。 因

1323313133+++-n n n n n n >>,因此2

233

+=

n C B A A n n n n >。从而 323

22log 133··5

6·322log 13x n A n n T =??? ??-=+ >)3(log )23(log 2log 222+=+=n n n n a n C B A 。

(22)(本小题满分14分)已知函数f (x )=x 2-4,设曲线y =f (x )在点(x n ,f (x n ))处的切线与x 轴的交点为(x n +1,u )(u ,N +),其中为正实数.(Ⅰ)用x x 表示x n +1; (Ⅱ)若a 1=4,记a n =lg

2

2

n n x x +-,证明数列{a 1}成等比数列,并求数列{x n }的通项公式; (Ⅲ)若x 1=4,b n =x n -2,T n 是数列{b n }的前n 项和,证明T n <3.

解析:本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决问题的能力. (Ⅰ)由题可得'()2f x x =.

所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是:()'()()n n n y f x f x x x -=-.

即2

(4)2()n n n y x x x x --=-.令0y =,得21(4)2()n

n n n x x x x +--=-.即2142n n n x x x ++=. 显然0n x ≠,∴12

2n n n

x x x +=

+.

(Ⅱ)由122n n n x x x +=+,知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=

,同理2

1(2)22n n n

x x x +--=. 故

21122()22n n n n x x x x ++++=--.从而1122

lg 2lg 22

n n

n n x x x x ++++=--,即12n n a a +=.所以,数列{}n a 成等比数列. 故111111222lg 2lg32n n n n x a a x ---+===-.即1

2l g 2l g 3

2

n n n x x -+=-.从而1

2232n n n x x -+=-,

所以1

1

222(31)31n n n x --+=- (Ⅲ)由(Ⅱ)知1

1

222(31)3

1

n n n x --+=

-,∴1

24203

1

n n n b x -=-=

>-

∴1

1111212222311111

3313133

n n n n n n b b ----+-==<≤=-+,当1n =时,显然1123T b ==<.

当1n >时,21121111()()333n n n n b b b b ---<

<<< ,∴12n n T b b b =+++ 111111

()33

n b b b -<+++ 11

[1()]

3113

n b -=

-133()33n =-?<.综上,3n T <(*)n N ∈. 20. {}n a 是等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列,11221,a b a b a ==≠,记n S 为数列{}n b 的前n 项和, (1)若(,k m b a m k =是大于2的正整数),求证:11(1)k S m a -=-;(4分)

(2)若3(i b a i =是某一正整数),求证:q 是整数,且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项;(8分) (3)是否存在这样的正数q ,使等比数列{}n b 中有三项成等差数列?若存在,写出一个q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4分)

20. 解:设{}n a 的公差为d ,由11221,a b a b a ==≠,知0,1d q ≠≠,()11d a q =-(10a ≠) (1)因为k m b a =,所以()()1

11111k a q

a m a q -=+--,

()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-,

所以()()()

()1111111111k k a q a m m q S m a q

q

------=

=

=--

(2)()()2

3111,11i b a q a a i a q ==+--,由3i b a =,

所以()()()()22

111,120,q i q q i q i =+----+-=解得,1q =或2q i =-,但1q ≠,所以2q i =-,

因为i 是正整数,所以2i -是整数,即q 是整数,设数列{}n b 中任意一项为

()11n n b a q n N -+=∈,设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--

现在只要证明存在正整数m ,使得n m b a =,即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可,()()11

221

111,111

n n n q q

m q m q q q q ----=+---==+++- ,所以

222n m q q q -=+++ ,若1i =,则1q =-,那么2111,222

n n b b a b b a -====,当3i ≥时,因为1122,a b a b ==,只要考虑3n ≥的情况,因为3i b a =,所以3i ≥,因此q 是正整数,所以m 是正整数,

因此数列{}n b 中任意一项为

()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++ 项相等,从而结论成立。

(3)设数列{}n b 中有三项()

,,,,,m n p b b b m n p m n p N +

<<∈成等差数列,则有

2111111,n m p a q a q a q ---=+设()

,,,n m x p n y x y N +

-=-=∈,所以21

y x q q

=

+,令1,2x y ==,则3210,q q -+=()()2110q q q -+-=,

因为1q ≠,所以210q q +-=,

所以()1

2

q =舍去负值,

即存在12

q =

使得{}n b 中有三项()13,,m m m b b b m N +

++∈成等差数列。 20.已知数列{}n a 和{}n b 满足:11a =,22a =,0n a >

,n b =*n ∈N )

,且{}n b 是以q 为公比的等比数列.(I )证明:22n n a a q +=;

(II )若2122n n n c a a -=+,证明数列{}n c 是等比数列;(III )求和:

1234212111111

n n

a a a a a a -++++++

. 20.解法1:(I )证:由1

n n b q b +=

n q ==,∴ 22()n n a a q n +=∈N*. (II )证:2

2n n a q q -= ,2

22

21231n n n a a q a q

---∴=== ,22

2222n n n a a q a q

--=== ,

22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=.

{}n c ∴是首项为5,以2q 为公比的等比数列.

(III )由(II )得

2221

1

11n

n q a a --=

,222211n n q a a -=,于是

1221321242111111111n n n a a a a a a a a a -????+++=+++++++ ? ????? 24222422121111111111n n a q q q a q q q --????=

+++++++++ ? ????? 2122311112n q q q -??

=++++ ???

. 当1q =时,

2422122111311112n n a a a q q q -??+++=++++ ??? 3

2

n =. 当1q ≠时,2422122111311112n n a a a q q q -??+++=++++ ??? 223121n q q --??-= ?

-??2222312(1)n n q q q -??

-=??-??

. 故21222223

121111 1.(1)n

n n n q q a a a q q q -?=??+++=???

3-?≠???2-?

?? , ,

, 解法2:(I )同解法1(I ).

(II )证:222*1212221221221222()22n n n n n

n n n n n

c a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ,又11225c a a =+=,

{}n c ∴是首项为5,以2q 为公比的等比数列.

(III )由(II )的类似方法得222221212()3n n n n a a a a q q ---+=+=,

34212121221234212111

n n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ , 2222212442123322

k k k k k k k a a q q

a a q --+---+== ,12k n = ,,,.2221221113

(1)2n k q q a a a --+∴+++=+++ .

集合与函数概念单元测试题-有答案

高一数学集合与函数测试题 一、选择题(每题5分,共60分) 1、下列各组对象:?2008年北京奥运会上所有的比赛项目;②《高中数学》必修1中的所有难题;③所有质数;⑷平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体;⑤在数轴上与原点O非常近的点。其中能构成集合的有() A . 2组B. 3组C. 4组 D . 5组 2、下列集合中与集合{x x 2k 1, k N }不相等的是( ) A. {x x 2k 3,k N} B. {x x 4k 1,k N } C. {x x 2k 1,k N} D. {x x 2k 3, k 3,k Z} 2 3、设f(x)学」,则半等于()X 1f(1) A . 1 B . 1 C . 3 D 3 5 5 4、已知集合 A {xx24 0},集合B {x ax 1},若B A ,则实数a的值是() A . 0 B . 1 C . 0 或—D.0或1 2 2 2 5、已知集合 A {( x, y) x y 2} , B {(x,y)x y 4},则AI B() A . {x 3,y 1} B .(3, 1) C . {3, 1} D.{(3, 1)} 6、下列各组函数 f (x)与g(x)的图象相同的 是 ( ) (A) f (x) x,g(x) (.x)2(B) 2 2 f(x) x ,g(x) (x 1) (C)f(x) 1,g(x) x0 x (D) f(x) |x|,g(x) (x 0) x (x 0) 7;l是定义在'■上的增函数则不等式畑"厮一劭的解集

是() (A)(0 ,+ OO)(B)(0,2)(C)(2 , + OO )(D) (2,兰) 7 8已知全集U R,集合A {x x 1或x 2},集合B {x 1 x 0},则AU C U B() A. {x x 1或x 0} B. {x x 1或 x 1} C. {x x 2或x 1} D. {x x 2或 x 0} 9、设A 、B为两 个 -非空集 合, 定义A B { (a,b) a A,b B} ,若A {1,2,3}, B {2,3 ,4},则 A B中的兀素个数为() A. 3 B.7 C.9 D.12 10、已知集合 A {yy x21},集合 B {xy22x 6},则Al B ( ) A ? {(x,y) x 1,y 2} B. {x1 x 3} C. {x| 1 x 3} D. 11、若奇函数f x在1,3上为增函数,且有最小值0,则它在3, 1上 () A.是减函数,有最小值0 B.是增函数,有最小值0 C.是减函数,有最大值0 D.是增函数,有最大值0 12、若1,a,b 0,a2,a b,则a2005 b2005的值为( ) a (A)0 (C) 1 (B)1 (D)1 或1

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题 附答案解析 Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高一数学必修一 集合与函数的概念单元测试 附答案解析 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合M ={x |x 2+2x =0,x ∈R },N ={x |x 2-2x =0,x ∈R },则M ∪N =( ) A .{0} B .{0,2} C .{-2,0} D .{-2,0,2} 2.设f :x →|x |是集合A 到集合B 的映射,若A ={-2,0,2},则A ∩B =( ) A .{0} B .{2} C .{0,2} D .{-2,0} 3.f (x )是定义在R 上的奇函数,f (-3)=2,则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A .(3,-2) B .(3,2) C .(-3,-2) D .(2,-3) 4.已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ) A .1 B .3 C .5 D .9 5.若函数f (x )满足f (3x +2)=9x +8,则f (x )的解析式是( ) A .f (x )=9x +8 B .f (x )=3x +2 C .f (x )=-3x -4 D .f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4 6.设f (x )=??? x +3 x >10, fx +5 x ≤10,则f (5)的值为( ) A .16 B .18 C .21 D .24 7.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0},若S ∩T ={(2,1)},则 a , b 的值为( ) A .a =1,b =-1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =1 D .a =-1,b =-1 8.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A .(-1,1) C .(-1,0) 9.已知A ={0,1},B ={-1,0,1},f 是从A 到B 映射的对应关系,则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 10.定义在R 上的偶函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2- x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n ∈N *时,有( ) A .f (-n )

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲:函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1.下面函数与y x =为同一函数的是() 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解:ln ln x y e x e x === Q,且定义域 () , -∞+∞,∴选D 2.已知?是f的反函数,则() 2 f x的反函 数是() () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x:() 1 , 2 x y =?互 换x,y位置得反函数() 1 2 y x =?,选A 3.设() f x在() , -∞+∞有定义,则下列函数 为奇函数的是() ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解:() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4.下列函数在() , -∞+∞内无界的是() 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法:A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界, B arctan 2 x π <有界, C sin cos x x +≤ 故选D 5.数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的() A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解:Q{}n x收敛时,数列n x有界(即 n x M ≤),反之不成立,(如() {}11n--有界, 但不收敛, 选A 6.当n→∞时,2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小, 则k= () A 1 2 B 1 C 2 D -2 解:Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==,2 k=选C 二、填空题(每小题4分,共24分) 7.设() 1 1 f x x = + ,则() f f x ?? ??的定义域 为

三角函数数列公式大全

三角函数数列公式大全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

三角函数公式:(1).弧度制:180o rad π=,'18015718o o rad π = ≈ 弧长公式:l r α=,扇形面积公式:2112 2 S r lr α== (2)定义式:设角α终边上一点为(),P x y ,22r OP x y ==+则: sin ,cos ,tan ;y x y r r x ααα= == (3)同角基本关系式:22sin sin cos 1,tan ;cos α αααα +== (4)诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。 (5)两角和差公式:()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβ αβαβ ±±= (6)二倍角公式:2 2tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan α ααααα == - 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-; (7)降幂公式: ()()22111 sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222 ααααααα==-=+ (8)合一公式:()22sin cos sin ,a b a b ααα?+=++其中tan b a ?=。 2.三角函数图像和性质:

(二)、函数图像的四种变换: (三)、函数性质: 1.奇偶性: (1)定义:奇函数:对于定义域内任何自变量x ,都有()()f x f x -=-,则称()f x 为奇函数。 偶函数:对于定义域内任何自变量x ,都有()()f x f x -=,则 称()f x 为偶函数。 (2)图像:奇函数图像关于原点对称,若自变量可以取0,则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。 (3)常见的奇函数:,,a k y kx y y x x ===(a 为奇数), (),0,k y x k R k x =+ ∈≠sin ,y x =tan ;y x = 常见的偶函数:,a y m y x ==(a 为偶数),cos y x =,y x =。 (4)奇偶函数四则运算与复合:

集合与函数概念单元测试题_有答案

高一数学集合与函数测试题 一、 选择题(每题5分,共60分) 1、下列各组对象:○12008年北京奥运会上所有的比赛项目;○2《高中数学》必修1中的所有难题;○3所有质数;○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体;○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有( ) A .2组 B .3组 C .4组 D .5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是( ) A .{23,}x x k k N =+∈ B .{41,}x x k k N +=±∈ C .{21,}x x k k N =+∈ D .{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+,则(2)1()2 f f 等于( ) A .1 B .1- C .35 D .35- 4、已知集合2{40}A x x =-=,集合{1}B x ax ==,若B A ?,则实数a 的值是( ) A .0 B .12± C .0或12± D .0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=,{(,)4}B x y x y =-=,则A B =I ( ) A .{3,1}x y ==- B .(3,1)- C .{3,1}- D .{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是( ) (A )2)()(,)(x x g x x f == (B )22)1()(,)(+==x x g x x f (C )0)(,1)(x x g x f == (D )???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集

集合与函数的概念测试题及答案

《集合与函数的概念》测试题 一、选择题(每小题5分,60分) 1、设集合{}Z x x x A ∈<≤-=,23,{}N x x x B ∈≤+=,31,则B A ?中元素的个数是( ) A .5 B .6 C .7 D .8 2、若全集U N =,{}260,M x x x N =->∈,则U C M =( ) A.{}2,1 B. {}3,2,1 C.{}2,1,0 D.{}3,2,1,0 3、下列四个方程中表示y 是x 的函数的是() (1) 26x y -= 2(2) 1x y += 2(3) 1x y += (4) x y = A.(1)(2) B.(1)(4) C.(3)(4) D.(1)(2)(4) 4、下列各组函数中,两个函数相等的是( ) A.2()(1),()1f x x g x x =-=- B.2()1,()11f x x g x x x =-=+?- C.22()(1),()(1)f x x g x x =-=- D.33()1,()1f x x g x x =-=- 5、设函数221,11 (),()(2) 2,1x x f x f f x x x ?-≤=?+->?则的值为( ) A.1516 B.2716- C.89 D.18 6、设集合M=},21 4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则( ) A .M =N B .M N ? C .M N ù D .M ∩=N ? 7、1)3()(2-++=x a x x f 在),1[+∞上是增函数,则a 的取值范围是( ) A.5-≤a B. 5-≥a C.1-a 8、下列四个函数中,满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞,都有1212[()()]()0f x f x x x -->”的是( ) A.()3f x x =- B.2()3f x x x =- C.()f x x =- D.1 ()1f x x =-+ 9、若函数()y f x =的定义域是[0,2],则函数(2) ()1f x g x x =-的定义域是( ) A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1][1,4] D.(0,1) 10、若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,在区间)0,(-∞上是减函数,且0)2(=f , 则使0)(

集合与函数概念单元测试题(含答案)

新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分)。 1.用描述法表示一元二次方程的全体,应是 ( ) A .{x |ax 2+bx +c =0,a ,b ,c ∈R } B .{x |ax 2+bx +c =0,a ,b ,c ∈R ,且a ≠0} C .{ax 2+bx +c =0|a ,b ,c ∈R } D .{ax 2+bx +c =0|a ,b ,c ∈R ,且a ≠0} 2.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 3.设集合P={立方后等于自身的数},那么集合P 的真子集个数是 ( ) A .3 B .4 C .7 D .8 4.设P={质数},Q={偶数},则P ∩Q 等于 ( ) A . B .2 C .{2} D .N 5.设函数x y 111+=的定义域为M ,值域为N ,那么 ( ) A .M={x |x ≠0},N={y |y ≠0} B .M={x |x <0且x ≠-1,或x >0},N={y |y <0,或0<y <1,或y >1} C .M={x |x ≠0},N={y |y ∈R } D .M={x |x <-1,或-1<x <0,或x >0=,N={y |y ≠0} 6.已知A 、B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是 ( ) A .x =60t B .x =60t +50t C .x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D .x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7.已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 ( ) A .1 B .3 C .15 D .30 8.函数y=x x ++-1912是( )

集合与函数概念测试题

新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题(1) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分)。 1.用描述法表示一元二次方程的全体,应是 ( ) A .{x |ax 2 +bx +c =0,a ,b ,c ∈R } B .{x |ax 2 +bx +c =0,a ,b ,c ∈R ,且a ≠0} C .{ax 2 +bx +c =0|a ,b ,c ∈R } D .{ax 2 +bx +c =0|a ,b ,c ∈R ,且a ≠0} 2.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 3.设集合P={立方后等于自身的数},那么集合P 的真子集个数是 ( ) A .3 B .4 C .7 D .8 4.设P={质数},Q={偶数},则P ∩Q 等于 ( ) A . B .2 C .{2} D .N 5.设函数x y 111+ = 的定义域为M ,值域为N ,那么 ( ) A .M={x |x ≠0},N={y |y ≠0}

B .M={x |x <0且x ≠-1,或x >0}, N={y |y <0,或0<y <1,或y >1} C .M={x |x ≠0},N={y |y ∈R } D .M={x |x <-1,或-1<x <0,或x >0} ,N={y |y ≠0} 6.已知A 、B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时 的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是 ( ) A .x =60t B .x =60t +50t C .x =???>-≤≤)5.3(,50150) 5.20(,60t t t t D .x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7.已知g (x )=1-2x , f [g (x )]=)0(122 ≠-x x x ,则 f (2 1)等于 ( ) A .1 B .3 C .15 D .30 8.函数y= x x ++ -1912是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .非奇非偶数 9.下列四个命题 (1)f(x)= x x -+-12有意义; (2)函数是其定义域到值域的映射; (3)函数 y=2x(x N ∈)的图象是一直线;

沪教版高三C专题(二轮复习-函数与数列3星)

专题:函数与数列★★★ 教学目标 1.理解并能知道数列是一个定义域在N *上的函数; 2.掌握好等差数列的相关函数性质. 知识梳理 5 min 1.数列的定义:数列可以看作以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数()n a f n =,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值; 2.等差数列的通项公式:11(1)()n a a n d dn a d n N * =+-=+-∈,不难看出: 当0d =,则等差数列为一个常数列; 当0d ≠,则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数. 3.等差数列的前n 项和公式:2111()(1)()()2222 n n n a a n n d d S a n d n a n n N *+-= =+=+-∈. 当0d =,则等差数列前n 项和为一次函数(10a ≠); 当0d ≠,则等差数列前n 项和为过原点的二次函数,开口方向由d 的符号决定. 典例精讲 33 min 例1.(★★)设数列{}n a 的通项公式是14 13--=n n a n ,则该数列中最最大的项是第__________项,最小 的项是第__________项. 解:131414131413 1141414 n n n a n n n --+--= ==+---, 由函数图象可知:最大的项是第4项,最小的项是第3项. 例2.(★★★)已知数列2 n a n kn =-为递增数列,则k 的取值范围是__________. 解:结合函数图象可知:对称轴3 (,)22 k n = ∈-∞,则3k <.

例3.(★★★)已知数列{}n a 满足1116,2n n a a a n +=-=,则n a n 的最小值为__________. 解:由题意得:2 16n a n n =-+,16 121617n a n n n ∴ =+-≥-=, 当且仅当16 n n = ,即4n =时等号成立. 课堂检测 1.(★★★)公差为d ,各项均为正整数的等差数列中,若11,51n a a ==,则n d +的最小值为__________. 解:150(1)1n a a n d d n =+-?= -,则5050 11250111 n d n n n n +=+=-++≥+--, 但n N * ∈ ,∴能成立,所以根据分析得:当115n d =?? =?或6 10n d =??=? 时,原式有最小值16. 2.(★★★)已知数列{}n a 的通项公式为9(1)( )10 n n a n =+,是否存在自然数m ,使对于一切n N *∈,n m a a ≤恒成立?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由. 解:本题只要求出数列n a 的最大值即可,所以根据119 8n n n n a a n a a n -+≥≤?????≥≥??, 所以8m =或9m =时满足题意. 3.(★★★)已知等差数列{}n a 中,120032004200320040,0,0a a a a a >+>?<,则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是__________. 解:由题意得:2003140054005200414007400720032004140064006000 00000 a a a S a a a S a a a a S >+>>?????? +>>???,所以4006n =. 4.(★★★★)已知函数121()(0),,4x f x m x x R m =>∈+,当121x x +=时,12 1 ()()2 f x f x +=. (1) 求()f x 的解析式; (2) 数列{}n a ,若1 21(0)()()( )()n n n a f f f f f n n n n -=+++++ ,求n a ; (3) 对任意的自然数n N * ∈,1 1 n n n n a a a a ++<恒成立,求正实数a 的取值范围. 解:(1)令1212x x == ,则有111222m m +=++,得2m =.1 ()42 x f x =+;

数列公式大全

数列公式大全 设An为等差数列,d为公差 性质1)An=A1+(n-1)d=Am+(n-m)d Sn=n(A1+An)/2=nA1+n(n-1)d/2 2)An=Sn-S(n-1),2An=A(n-1)+A(n+1)=A(n-k)+A(n+k) 3)若a+b=c+d,则Aa+Ab=Ac+Ad 设An为某数列,Sn为前n项和,则有以下几点性质: 4)形如Sn=an^2+bn+c(ab≠0),当且仅当c=0时,An为等差数列.即当An为等差 数,Sn是不含常数项的关于n的二次函数. 5)形如aAn=bA(n-1)+c(a≠b)的数列,总可以化为等比数列,即令ax=bx+c,即 x=c/(a-b),即An-c/(a-b)=a[A(n-1)-c/(a-b)] 所以Bn=An-b/(1-a)为等比数列 6)形如aAn+bA(n-1)+cA(n-2)=0(abc≠0)的数列,总可以化为等比数列,即令 ax^2+bx+c=0的根为x1,x2,则 An-x1A(n-1)=x2[A(n-1)-x1A(n-2)] An-x2A(n-1)=x1[A(n-1)-x2A(n-2)] 令B(n-1)=An-x1A(n-1) (1) B(n-1)'=An-x2A(n-1) (2) 则Bn,Bn'为等比数列,从而可以求出Bn,Bn'。再解(1)(2)方程组可求出An。 7)若An>0,形如An^a=cA(n-1)^b的数列可化为5)的形式,即两边取对数 即:algAn=blgA(n-1)+lgc,令Bn=lgAn,即aBn=bB(n-1)+c 等差数列:Sn=a1n+n(n-1)d/2

等比数列:1:q=1时;Sn=na1 2:q#1时;Sn=a1(1-q的n次方)/(1-q) 求和 等差“(首数+末数)*项数/2 等比数列求和公式=首项*(1-比值^项数)/(1-比值) 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: 2、 等比数列求和公式: 自然数方幂和公式: 3、 4、 5、 [例] 求和1+x2+x4+x6+…x2n+4(x≠0) 解: ∵x≠0 ∴该数列是首项为1,公比为x2的等比数列而且有n+3项 当x2=1 即x=±1时 和为n+3 评注: (1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x是否为0进行讨

集合与函数概念测试题

修文县华驿私立中学2012-2013学年度第一学期单元测试卷(四) (内容:集合与函数概念 满分:150 时间:120 制卷人:朱文艺) 班级: 学号: 姓名: 得分: 一、选择题:(以下每小题均有A,B,C,D 四个选项,其中只有一个选项正确,请把你的正确答案填入相应的括号中,每小题5分,共60分) 1. 下列命题正确的是 ( ) A .很小的实数可以构成集合 B .集合{} 1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合 C .自然数集N 中最小的数是1 D .空集是任何集合的子集 2. 已知{}32|≤≤-=x x M ,{}41|>-<=x x x N 或, 则N M 等于 ( ) A. {}43|>≤=x x x N 或 B. {}31|≤<-=x x M C. {}43|<≤=x x M D.{}12|-<≤-=x x M 3. 函数2() = f x ( ) A. 1 [,1]3- B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中,是同一个关于x 的函数的是 ( ) A .2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B .()21,()21f x x g x x =-=+ C .2(),()f x x g x == D .0()1,()f x g x x == 5. 方程组? ??-=-=+122 y x y x 的解集是 ( ) A .{}1,1==y x B .{}1 C.{})1,1(|),(y x D . {})1,1( 6.设{} 是锐角x x A |=,)1,0(=B ,从A 到B 的映射是“求正切”,与A 中元素0 60相对应的B 中元素是 ( ) A .3 B . 33 C .21 D .2 2

函数导数与数列结合题

1已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值,求a的值; (2)讨论)(x f 的单调性; (3)证明:e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<++ +为自然对数的底数) (本题满分14分) (1)()()的使x f x a x x x f 0,122=++=' 一个极值点,则 ()0,00=∴='a f ,验证知a=0符合条件…………………….3分 (2)()2221212x a x ax a x x x f +++=++=' 1)若a=0时, ()+∞∴,0)(在x f 单调递增,在()0,∞-单调递减; 2)若()恒成立,对时,得,当R x x f a a ∈≤'-≤? ??≤?<0100 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………6分 3)若()020012 >++>'<<-a x ax x f a 得时,由 a a x a a 2 21111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f a a x a a x 2 21111-+-<--->或 上单调递增,在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 综上所述,若),()(1+∞-∞-≤在时,x f a 上单调递减, 若时,01<<-a 上单调递增,在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-

上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 。 若()()分单调递减,单调递增,在在时,9..................0,0)(0∞-+∞=x f a (3)由(2)知,当()单调递减,在时,∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时,由 分14.......................,.........)3 11)...(8111)(911(21311213 113113131......3131)3 11ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e x x n n n n n n =<+++∴

数列的函数特性

数列的函数特性 【学习目标】 利用函数研究数列 【学习重点】 利用函数的性质研究数列的性质 【课前预习案】 1. 如果数列{an}的第1项或前几项已知,并且数列{an}的任一项an 与它的 前一项an -1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。 2. 数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3,…, n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列________。 3. 一般地,一个数列{an},如果从________起,每一项都大于它的前一项, 即__________,那么这个数列叫做递增数列。如果从________起,每一项都小于它的前一项,即__________,那么这个数列叫做递减数列.如果数列{an}的各项________,那么这个数列叫做常数列。 【课堂探究案】 自学指导:围绕下列问题阅读课本6到8页, 1.数列的图像有什么特征: 2.什么是递增数列,递减数列,常数列,它们的图像有什么特点。 3.如何判断数列的增减性: 探究一:作数列的图像 例1.画出下列数列的图像,并判断增减性。 (1) (2) 探究二:判断数列的增减性 例2.判断下列数列的增减性; (1) (2) 归纳总结:(1)数列图像的特征: 1n n a =-+12n n a -=231n n n a +=+23n a n =-

(2)数列增减性的判断方法: 【课后检测案】 一、选择题 1.已知an +1-an -3=0,则数列{an}是( ) A .递增数列 B .递减数列 C .常数项 D .不能确定 2.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是( ) A .an +1=an +n ,n ∈N + B .an =an -1+n ,n ∈N +,n≥2 C .an +1=an +(n +1),n ∈N +,n≥2 D .an =an -1+(n -1),n ∈N +,n≥2 3.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an +1=12an +12n ,则此数列第4项是( ) A .1 B.12 C.34 D.58 4.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3…an=n2,则:a3+a5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 5.已知数列{an}满足an +1=????? 2an ? ????0≤an <12,2an -1 ? ?? ??12≤an<1.若a1=67 ,则a201的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.17 6.已知an =n -98n -99 ,则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A .a1,a30 B .a1,a9 C .a10,a9 D .a10,a30

第一章 集合与函数概念测试题

集合与函数概念测试题 一、选择题(每小题5分,满分60分) 1.已知(){},3A x y x y =+=,(){},1B x y x y =-=,则A B = ( ). A .{}2,1 B .(){}2,1 C .{}2,1x y == D .()2,1 2.如图,U 是全集,,,M P S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是 ( ). A .()M P S B .()M P S C .()()U M P C S D .()()U M P C S 3.下列各组函数表示同一函数的是( ). (A) 2 (),()f x g x = = (B) 0 ()1,()f x g x x == (C) 2 1()1,()1 x f x x g x x -=+=- (D )2 (),()f x g x = = 4.函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是( ). (A) 0,2,3 (B) 30≤≤y (C) }3,2,0{ (D )]3,0[ 5.已知函数2 2 1()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-= ≠,则(0)f 等于( ) . (A) 3- (B) 32 - (C) 32 (D ) 3 6.函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减,则实数a 的取值范围是( ). A .3a ≥- (B) 3a ≤- (C) 5a ≤ (D )3a ≥ 7.函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,1)(+-=x x f ,则当0

高一数学集合与函数测试题及答案

第一章 集合与函数 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 如图,U 是全集,M 、P 、S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是 A.(M S P ) B.(M S P ) C. (M P ) (S C U ) D.(M P ) (S C U ) 2. 函数 ]5,2[,142 x x x y 的值域是 A. ]61[, B. ]13[, C. ]63[, D. ),3[ 3. 若偶函数)(x f 在]1,( 上是增函数,则 A .)2()1()5.1(f f f B .)2()5.1()1(f f f C .)5.1()1()2( f f f D .)1()5.1()2( f f f 4. 函数|3| x y 的单调递减区间为 A. ),( B. ),3[ C. ]3,( D. ),0[ 5. 下面的图象可表示函数y=f(x)的只可能是 y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x A. B. C. D. 6. 函数5)(3 x c bx ax x f ,满足2)3( f ,则)3(f 的值为 A. 2 B. 8 C. 7 D. 2 7. 奇函数)(x f 在区间[1,4]上为减函数,且有最小值2,则它在区间]1,4[ 上 A. 是减函数,有最大值2 B. 是增函数,有最大值2 C. 是减函数,有最小值2 D. 是增函数,有最小值2 8.(广东) 客车从甲地以60km /h 的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km /h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中,正确的是 A. B. C. D. 9. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是

三角函数与数列

三角函数与数列(高考题) 1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B. 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 3.在△ABC中,a2+c2=b2+ac. (1)求∠B的大小; (2)求cos A+cos C的最大值. 4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin 2B=b sin A. (1)求B; (2)若cos A=,求sin C的值.

5.设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值. 6.设f(x)=sin x cos x-cos2. (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 7.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.

8.已知向量=,=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=·. (1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值. 9.已知ΔABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量,, . (1)若知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1. (1)求数列{b n}的通项公式; (2)令c n=.求数列{c n}的前n项和T n. 11.设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*. (1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和. 12.已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。 (Ⅰ)求,的值;

数列常见数列公式(很全)

常见数列公式 等差数列 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即-=d ,(n≥2,n∈N),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) 2.等差数列的通项公式: 或=pn+q (p、q是常 数)) 3.有几种方法可以计算公差d ① d=-② d=③ d= 4.等差中项:成等差数列 5.等差数列的性质: m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n项和公式 6.等差数列的前项和公式 (1)(2)(3),当d≠0,是一个常数项为零的二次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)利用:当>0,d<0,前n项和有最大值可由≥0,且≤0,求得n 的值 当<0,d>0,前n项和有最小值可由≤0,且≥0,求得n 的值 (2)利用:由二次函数配方法求得最值时n的值 等比数列 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字 母q表示(q≠0),即:=q(q≠0) 2.等比数列的通项公 式:,

3.{}成等比数列=q(,q≠0)“≠0”是数列{}成等比数列的必要非充分条件 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项:G为a与b的等比中项. 即G=±(a,b同号). 6.性质:若m+n=p+q, 7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法 8.等比数列的增减性: 当q>1, >0或01, <0,或00时, {}是递减数列; 当q=1时, {}是常数列; 当q<0时, {}是摆动数列; 等比数列前n项和 等比数列的前n项和公式: ∴当时,①或② 当q=1时, 当已知, q, n 时用公式①;当已知, q, 时,用公式②. 数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例1.等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,.求数列的通项公式. 解:设数列公差为 ∵成等比数列,∴, 即 ∵,∴………………………………① ∵∴…………② 由①②得:,

函数与数列综合复习

学员编号: 年 级:高二 课 时 数:2小时 学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师:曾老师 课程主题:函数与数列综合复习 授课时间:2019. 学习目标 1.函数综合复习 2.数列综合复习 3.推升学生解题经验和运算巧 教学内容 数列综合卷一 一、选择题 1. 已知等差数列{}n a 满足56=28a a +,则其前10项之和为 ( ) A . 140 B . 280 C . 168 D . 56 2. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4, a 2+a 5, a 3+a 6…是 A .公差为d 的等差数列 B .公差为2d 的等差数列 C .公差为3d 的等差数列 D .非等差数列 3. 等差数列{}n a 的前m 项和为30,前m 2项和为100,则它的前m 3项和为( ) A.130 B.170 C. 210 D. 260 4.已知数列 满足:10a > ,11 2n n a a +=,则数列是( )[ A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 不确定 5. 已知等差数列{a n }的公差为正数,且a 3·a 7=-12,a 4+a 6=-4,则S 20为( ) A .-90 B .-180 C .90 D . 180 6.设数列的前n 项和,则8a 的值为( ) A . 15 B. 16 C. 49 D. 64 7. 已知等比数列满足,且,则当 时, ( ) {}n a {}n a {}n a 2n S n ={}n a 0,1,2,n a n >=L 25252(3)n n a a n -?=≥1 n ≥2123221log log log n a a a -+++=L

相关文档
相关文档 最新文档