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历年数列高考题汇编

历年高考真题汇编---数列

1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，11

a =，公比13q =．

（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12

n a S -=

（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列{}n b 的通项公式．

解：（Ⅰ）因为.3

1)3

(311

n n n a =?=-,23113

11)311(3

n n S -=--= 所以,2

n a S --

（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )

.......21(n +++-= 2

)

1(+-

=n n

所以}{n b 的通项公式为.2

)

1(+-

=n n b n 2、(2011全国新课标卷理）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.

(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??

????

的前项和.

解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以21

q =

。有条件可知a>0,故1

q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以11

a =。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++

(12...)(1)

n n n =-++++=-

故

12112()(1)1

n b n n n n =-=--++

12111111112...2((1)()...())22311

n n

b b b n n n +++=--+-++-=-

++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21

n n -+

3、（2010新课标卷理）

设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S

解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+

21233(222)2n n --=++++ 2(1)12n +-=。

而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。（Ⅱ）由212n n n b na n -==?知

35211222322n n S n -=?+?+?++? ①

从而 2357

222322n n S n +?=?+?+?++? ②

①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-?=++++-? 。

即 211

[(31)22]9

n n S n +=-+

4、（20I0年全国新课标卷文）

设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。解：（1）由a m = a 1 +（n-1）d 及a 1=5，a 10=-9得

112599{

a d a d +=+=-

解得

{a d ==-

数列{a n }的通项公式为a n =11-2n 。 ……..6分

(2)由(1) 知S n =na 1+

(1)2

n n -d=10n-n 2。

因为S n =-(n-5)2+25.

所以n=5时，S n 取得最大值。 5、（2011年全国卷）

设等差数列{}n a 的前N 项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S 6、（ 2011辽宁卷）

已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列?

?-12n n a 的前n 项和．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11

21210,a d a d +=??+=-?

解得11,

1.a d =??=-?

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分（II ）设数列1{

}2n n n a n S -的前项和为，即2

111

,122

n n n a a S a S -=+++= 故， 12.2242n n n

S a

a a =+++ 所以，当1n >时，

121

1111222211121()

2422

121(1)22

n n n n n n

n n n n

S a a a a a a n

------=+++--=-+++--=--- =

.2n n 所以1.2

n n n S -= 综上，数列11

{

}.22n n n n a n

n S --=的前项和 7、（2010年陕西省）

已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;

（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，

由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d

++，

解得d ＝1，d ＝0（舍去），故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m

a =2n ，由等比数列前n 项和公式得

S n =2+22

+23

+ (2)

=2(12)12

n --=2n+1

-2

8、（2009年全国卷）

设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q

由3317a b +=得212317d q ++= ① 由3312T S -=得24q q d +-= ② 由①②及0q >解得 2,2q d == 故所求的通项公式为 121,32n n n a n b -=-=? 9、（2011福建卷）

已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3. （I ）求数列{a n }的通项公式；

（II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值. 10、（2011重庆卷）

设

是公比为正数的等比数列，

(Ⅰ)求的通项公式;https://www.wendangku.net/doc/c816220069.html,

(Ⅱ)设

是首项为1，公差为2的等差数列，求数列

的前项和

11、（2011浙江卷）

已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，4

a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）对*N n ∈，试比较

n a a a a 2

322221...111++++与11

a 的大小．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214

111

()a a a =? 即2111()(3)a d a a d +=+，从而21a d d = 因为10,.d d a a ≠==所以

故通项公式.n a na =

（Ⅱ）解：记22222111

,2n n

n n T a a a a a =

+++= 因为

所以211

(1())

111111122()[1()]12222

12n n n n T a a a -=+++=?=--

从而，当0a >时，11n T a <

；当1

10,.n a T a <>时 12、（2011湖北卷）

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。 (I) 求数列{}n b 的通项公式；

(II) 数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列54n S ?

?+???

?是等比数列。

13、（2010年山东卷）

已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令1

n n a b （*

N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T 。解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，

由于73=a ，2675=+a a ，所以721=+d a ，261021=+d a ，解得31=a ，2=d ，由于d n a a n )1(1-+=，2

)

(1n n a a n S += ，所以12+=n a n ，)2(+=n n S n

（Ⅱ）因为12+=n a n ，所以)1(412

+=-n n a n

因此)1

1(41)1(41+-=+=

n n n n b n

故n n b b b T +++= 21)1

113121211(41+-++-+-=

n n )11

1(41+-=

n )

1(4+=

n n 所以数列{}n b 的前n 项和)1(4+=n n T n 14、（2010陕西卷）

已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，

由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d

++，

解得d ＝1，d ＝0（舍去），故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m

a =2n ，由等比数列前n 项和公式得

S m =2+22

+23

+ (2)

=2(12)12

n --=2n+1

-2.、

15、（2010重庆卷）

已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；

（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .

16、（2010北京卷）

已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。

因为366,0a a =-= 所以112650a d a d +=-??+=? 解得

110,2

a d =-= 所以10(1)2212n a n n =-+-?=-

（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-

所以824q -=- 即q =3

所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)

4(13)1n n n b q S q

=-- 17、（2010浙江卷）

设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2S 6＋15＝0.

（Ⅰ）若S 5＝S .求S n 及a 1; （Ⅱ）求d 的取值范围. 解：(Ⅰ)由题意知S 0=

-15

S -3,a =S -S =-8 所以11

105,58.Sa d a d +=??-=-?解得a 1=7所以S =-3,a 1=7

(Ⅱ)因为SS +15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d )2=d 2-8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤

18、（2010四川卷）已知等差数列

{}

n a 的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列{}

n a 的通项公式；

（Ⅱ）设

1*(4)(0,)

n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列

{}

n b 的前n 项和

Ⅱ）由（Ⅰ）得解答可得，

n n b n q -= ，于是

0121

123n n S q q q n q

-=++++ ．

若1q ≠，将上式两边同乘以q 有()121121n n n qS q q n q n q -=+++-+ ．

两式相减得到

()121

11n n n q S n q q q q --=----- 11n

q nq q -=-

- ()1111n n nq n q q +-++=-．

于是()()

1n n n nq n q S q +-++=

-．

若1q =，则

()11232

n n n S n +=++++=

．

所以，()

()()()()1

21,1,211,1.1n n n n n q S nq n q q q ++?=??

=?-++?≠?-?…………………………………（12分）

19、（2010上海卷）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ 证明：{}1n a -是等比数列；

解：由*585,n n S n a n N =--∈ （1）可得：1111585a S a ==--，即114a =-。

同时 11(1)585n n S n a ++=+-- （2）

从而由(2)(1)-可得：1115()n n n a a a ++=--

即：*15

1(1),6

n n a a n N +-=-∈，从而{1}n a -为等比数列，首项1115a -=-，公比

为56，通项公式为15115*()6n n a --=-，从而15

15*()16n n a -=-+ 20、（2009辽宁卷）

等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a -3a =3，求n s

解：（Ⅰ）依题意有

)(2)(2

111111q a q a a q a a a ++=++ 由于 01≠a ，故

022=+q q 又0≠q ，从而

－

（Ⅱ）由已知可得3212

1=--）（a a

故41=a

从而）

）（（）

（）

）（（n n

n 211382112114--=----=S

历年高考真题汇编---数列

1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，11

a =，公比13q =．

（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12

n a S -=

（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列{}n b 的通项公式．

2、(2011全国新课标卷理）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.

(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??

????

的前项和.

3、（2010新课标卷理）

设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （3）求数列{}n a 的通项公式；（4）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 4、（20I0年全国新课标卷文）

设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。 5、（2011年全国卷）

设等差数列{}n a 的前N 项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S 6、（ 2011辽宁卷）

已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列?

?-12n n a 的前n 项和． 7、（2010年陕西省）

已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;

（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n .

8、（2009年全国卷）

设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。 9、（2011福建卷）

已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3. （I ）求数列{a n }的通项公式；

（II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值. 10、（2011重庆卷）

设

是公比为正数的等比数列，

(Ⅰ)求的通项公式;https://www.wendangku.net/doc/c816220069.html,

(Ⅱ)设

是首项为1，公差为2的等差数列，求数列

的前项和

11、（2011浙江卷）

已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，4

a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）对*N n ∈，试比较

n a a a a 2

322221...111++++与11

a 的大小． 12、（2011湖北卷）

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。 (I) 求数列{}n b 的通项公式；

(II) 数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列54n S ?

?+???

?是等比数列。

13、（2010年山东卷）

已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令1

n n a b （*N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T 。 14、（2010陕西卷）

已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 15、（2010重庆卷）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；

（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 16、（2010北京卷）

已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。（Ⅰ）求||n a 的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式 17、（2010浙江卷）

设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2S 6＋15＝0.

（Ⅰ）若S 5＝S .求S n 及a 1; （Ⅱ）求d 的取值范围. 18、（2010四川卷）已知等差数列

{}

n a 的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列{}

n a 的通项公式；

（Ⅱ）设

1*(4)(0,)

n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列

{}

n b 的前n 项和

19、（2010上海卷）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ 证明：{}1n a -是等比数列； 20、（2009辽宁卷）等比数列{

a }的前n 项和为n

s ，已知

1S ,3S ,2

S 成等差数列

（1）求{n

a }的公比q ；

（2）求

1a -3a =3，求n s