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2017年选修2-1《双曲线》练习题集经典(含答案解析)

《双曲线》练习题

一、选择题：

1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是( )

A.17

B.15

C.17

2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）

A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=

3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（）

A．B．

C．或D．

4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离

）

A B C D

5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的

取值范围是（）

A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）

6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）

A．2 B．C．D．

7．

的圆相切，则双曲线的离心率为（）

A B C D 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率

为( ) A. 3 B.

62 C.63

9．已知双曲线

1(0,0)x y m n m n

-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点

，则m 等于( ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,3

10．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( ) A.x 2

9－y 2＝1 B ．x 2

－y 29＝1 C.x 23－y 2

＝1

D.x 27－y 2

＝1

11．ABC ?是等腰三角形，B ∠=?

120，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ D ）

B. C. D. 12．设F 1，F 2是双曲线x 2

－

y 2

＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，

则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48

13．过双曲线x 2

－y 2

＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )

A ．28

B ．14－8 2

C ．14＋8 2

D ．8 2

14．双曲线12

=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（） A. 12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y

15．已知双曲线

﹣

=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与

双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲

线的方程为（） A ．

﹣

B ．

﹣

=1 C ．

﹣

=1 D ．

﹣

16．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|

为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B|=|F 2A|，则该双曲线的离心率是（） A ． B ．

C ．

D ．2

17．半径不等的两定圆O 1、O 2无公共点（O 1、O 2是两个不同的点），动圆O 与圆O 1、O 2都内切，则圆心O 轨迹是（） A ．双曲线的一支 B ．椭圆或圆 C ．双曲线的一支或椭圆或圆 D ．双曲线一支或椭圆

18. 过双曲线12

=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（）条。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

19．一圆形纸片的圆心为原点O ，点Q 是圆外的一定点，A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时P 的轨迹是（）

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

20．相距1600m 的两个哨所A 、B ，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是

320m/s ，在A 哨所听到的爆炸声的时间比在B 哨所听到时迟4s ，若以AB 所在直线为x 轴．以线段AB 的中垂线为y 轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（）

A ．

﹣

=1（x ＞0） B ．

﹣

=1（x ＞0）

C ．+=1

D ．+=1

21．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正

半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方

程是（） A ．

﹣

=1 B ．

﹣

=1 C ．

﹣

D ．

﹣

22．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过

F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A ．4

B ．

C ．

D ．

23．如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为

F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）

A ．3

B ．2

C ．

D ．

24．已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )

A ．22

1(1)8y x x -=<- B ．22

1(1)8

y x x -=>

C ．1822

=+y x （x > 0） D ．22

1(1)10

y x x -=> 25. 已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ，)0,2(2F ，椭圆的一个短轴端点为

B ，

直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，则21e e +取值范围为（）

A.),2[+∞

B. ),4[+∞

C.),4(+∞

D. ),2(+∞

26.的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( )

C D

27.F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，

若双曲线右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( )

A ．（2，+∞）

B ．（1，2）

C ．+∞）

D ．（1 28.已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B

两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（） A. （∞+，3）

B. （1，3）

C. （∞+，2）

D. （1，2）

29.．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2

a 2－y

b 2＝1(a >0，b >0)

称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x 2

－2y

5＋1

＝1是黄金双曲线；

②若b 2

＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是( )

A ．①②

B ．①③

C ．①③④

D ．①②③④

二、填空题：

30．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为__ ____________．

31．已知双曲线x 2

－y 2

＝1的左顶点为A 1，右焦点为

F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1·PF 2的最小值为

________．

32．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、

F 2 分别为左、右焦点，c 为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切

于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝__ ______.

33．已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、 F 2(c,0)．若双曲线

上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a

c ，则该双曲线的离心率的取值范围是_______

34.已知双曲线x 2

﹣

=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的

坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF 1|的最小值为．

三、解答题：

35．已知双曲线2

1,2

y x -=过点P （1,1）能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段的中点？

36.已知曲线C ：y 2

λ＋x 2

＝1.

(1) 由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由；

(2) 如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又

MA MB =-，求曲线C 的方程．

37．(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为)

（Ⅰ）求双曲线C 的方程

（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2?>OA OB （其中

O 为原点），求k 的取值范围

38. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．

39.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，

|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

《双曲线》练习题

一、选择题：

1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是( A )

A.17

B.15

C.17

2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B ）

A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=

3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（ B ）

A．B．

C．或D．

4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离

A ）

A B C D

5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的

取值范围是（ A ）

A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）

6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（ A ）

A．2 B．C．D．

7．

的圆相切，则双曲线的离心率为（A ）

A B C D

8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( B )

A. 3

9．已知双曲线

1(0,0)

x y

m n

-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点

，则m等于(D)

A．9 B．4 C．2 D．,3

10．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满

足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A ) A.x 2

9－y 2＝1 B ．x 2

－y 29＝1 C.x 23－y 2

＝1

D.x 27－y 2

＝1

11．ABC ?是等腰三角形，B ∠=?

120，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ D ）5

B. C. D.

12．设F 1，F 2是双曲线x 2

－

y 2

＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，

则△PF 1F 2的面积等于( C )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48

13．过双曲线x 2

－y 2

＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )

A ．28

B ．14－8 2

C ．14＋8 2

D ．8 2

14．双曲线12

=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（ C ） A. 12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y

15．已知双曲线

﹣

=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与

双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲

线的方程为（ D ） A ．

﹣

B ．

﹣

=1 C ．

﹣

=1 D ．

﹣

16．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|

为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B|=|F 2A|，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．

C ．

D ．2

17．半径不等的两定圆O 1、O 2无公共点（O 1、O 2是两个不同的点），动圆O 与圆O 1、O 2都内切，则圆心O 轨迹是（ D ） A ．双曲线的一支 B ．椭圆或圆 C ．双曲线的一支或椭圆或圆 D ．双曲线一支或椭圆

18. 过双曲线12

=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

19．一圆形纸片的圆心为原点O ，点Q 是圆外的一定点，A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时P 的轨迹是（B ）

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

20．相距1600m 的两个哨所A 、B ，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是

320m/s ，在A 哨所听到的爆炸声的时间比在B 哨所听到时迟4s ，若以AB 所在直线为x 轴．以线段AB 的中垂线为y 轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（ B ）

A ．

﹣

=1（x ＞0） B ．

﹣

=1（x ＞0）

C ．+=1

D ．+=1

21．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正

半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程

是（ C ）

A ．﹣=1

B ．﹣=1

C ．﹣=1

D ．﹣=1

22．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过

F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ） A ．4

B ．

C ．

D ．

23．如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为

F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（ B ）

A ．3

B ．2

C ．

D ．

24．已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( B)

A ．22

1(1)8y x x -=<- B ．22

1(1)8

y x x -=> C ．1822

=+y x （x > 0） D ．22

1(1)10

y x x -=> 25. 已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ，)0,2(2F ，椭圆的一个短轴端点为

B ，直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1

C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，

则21e e +取值范围为（ D ）

A.),2[+∞

B. ),4[+∞

C.),4(+∞

D. ),2(+∞

26.的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( D )

C D

27.F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，

若双曲线右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( A )

A ．（2，+∞）

B ．（1，2）

C ．+∞）

D ．（1 28.已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B

两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ D ） A. （∞+，3） B. （1，3） C. （∞+，2）

D. （1，2）

29.．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2

a 2－y

b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以

下几个说法：①双曲线x 2

－

5＋1

＝1是黄金双曲线；

②若b 2

＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确的是( D )

A ．①②

B ．①③

C ．①③④

D ．①②③④

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题后的横线上．) 30．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为__

31．已知双曲线x 2

－y 2

＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲

线右支上一点，则PA 1·

PF 2的最小值为___－2_____． 32．已知点P 是双曲线x 2

a 2－y 2

2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、F 2 分

别为左、右焦点，c 为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝__ b 2

______.

33．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、

F 2(c,0)．若双曲线上存在点P ，使

sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a

，则该双曲线的离心率

的取值范围是___(1，2＋1)_____ 34.已知双曲线x 2

﹣

=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的

坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF 1|的最小值为．7 三、解答题：

35．已知双曲线2

1,2

y x -=过点P （1,1）能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段的中点？

36.已知曲线C ：y 2

λ＋x 2

＝1.

(1)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由； (2)如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又9

MA MB =-

，求曲线C 的方程．解：(1)设E(x 0，y 0)，P(x ，y)，则F(x 0,0)，∵3,FP EP =，

∴(x －x 0，y)＝3(x －x 0，y －y 0)．∴00,2.3x x y y =??

?=??

代入y 2

0λ＋x 20＝1中，得4y 2

9λ＋x 2

＝1为P 点的轨迹方程．当λ＝49时，轨迹是圆．

(2)由题设知直线l 的方程为y ＝2x －2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)

，

联立方程组22,

2 1.y y x λ

?=-??+=??消去y 得：(λ＋2)x 2

－42x ＋4－λ＝0.

∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0， ∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x 1·x 2＝

4－λ

λ＋2

，而MA MB ＝x 1x 2＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1·2x 2＝3x 1x 2＝3(4－λ)

λ＋2

， ∴4－λλ＋2＝－32，解得λ＝－14.∴曲线C 的方程是x 2－y 2

＝1. 37．(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为

()2,0，右顶点为)

（Ⅰ）求双曲线C

的方程

（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2?>OA OB （其中

O 为原点），求k 的取值范围

解（1）设双曲线方程为22221-=x

y a b

由已知得2==a c ，再由222

2+=a b ，得21=b

故双曲线C 的方程为2

213

-=x y . （2

）将=y kx 2

213

-=x y

得22(13)90---=k x 由直线l

与双曲线交与不同的两点得()

13036(13)36(1)0

?-≠?

?=+-=->??

k k

即2

≠

k 且2

,1313-+=

=--A B A B x y x y k k

，由2?>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，

而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x

222937

(1)2131331

-+=++=---k k k k k k .

于是2237231+>-k k ，即22

39031-+>-k k 解此不等式得2

1 3.3

故的取值范围为3(1,,1??- ? ???

38. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．

解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)．

由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2

＋b 2

＝c 2

，∴b 2

＝1， ∴双曲线C 的方程为x 2

－y 2

＝1.

(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 2

3－y 2

＝1，

得：(1－3k 2

)x 2

－62kx －9＝0.

由题意知?????

1－3k 2

≠0，

Δ＝36(1－k 2

)>0，x A ＋x B ＝62k

1－3k

<0，

x A x B ＝－91－3k

>0，解得

62k

1－3k

2， ∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝

1－3k

2. ∴AB 的中点P 的坐标为? ??

32k 1－3k 2，21－3k 2.

设直线l 0的方程为：y ＝－1

x ＋m ，

将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝

1－3k

2. ∵33

<0.∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．

39.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，

|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，

又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，

即有椭圆的方程为+y2=1；

（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，

即有n2=1﹣，

由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），

由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，

可得s=1+，

由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，

可得s=﹣1．

假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．

可得QM⊥QN，即有?=﹣1，即st=﹣4．

即有[1+][﹣1]=﹣4，

化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，

解得m=0或8，

由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．