概率统计试题及答案1
一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）
1．一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击中击中目标这一事件)3,2,1(=i ，则3次射击 中至多2次击中目标的事件为( )： 321321321321)(;)(;)(;
)(A A A D A A A C A A A B A A A A ????
2. 袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。则第一次和第二次都取到黄球的概率是( )；
()715A ； ()49100B ； ()710C ； ()2150D
3. 设随机变量X 的概率密度为 ???≤<+=.,
0;10,)(其它x bx a x f 且 83}21{=≤X P ，则有( )；
.2
1,21)(;1,21)(;
0,1)(;2,0)(========b a D b a C b a B b a A
4．设()2
~,X N μσ，1234,,,X X X X 为X 的一个样本， 下列各项为μ的无偏估计，其中最有
效估计量为（ ）。
1234()224;A X X X X ++- 4
1
1();4i i B X =∑
14()0.50.5;C X X + 123()0.10.50.4D X X X ++
5. 设1,,n X X 是来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσ，对于σ已知和σ未知时的期望μ的假设检验，应分别采用的方法为（ ）。
A U 检验法和T 检验法
B T 检验法和U 检验法
C U 检验法和2
χ检验法 D T 检验法和F 检验法
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）
1. 若X 服从自由为n 的t 分布，则X 2服从自由度为 ， 的F 分布。
2．在长度为t 的时间间隔内到达某港口的轮船数X 服从参数为3t 的泊松分布，而与时间间隔 的起点无关（时间以小时计）．某天12时至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为 。
3．设Y X ,相互独立，且同服从于参数为λ的指数分布，),max(Y X Z =，则Z 的分布函数为： ．
4．设随机变量X 与Y 相互独立，且2
)()(,)()(σμ====Y D X D Y E X E ， 则2
)(Y X E -= ．
5．从服从正态分布的),(2
σμN 的总体中抽取容量为9的样本，样本均值1500=x ，样本标准差
为14=s ，则总体均值μ的置信水平为95%的置信区间为 ．
武汉理工大学教务处
一．1．C ； 2.A ； 3.D ； 4.B ； 5.A 。
二． 1．1,n ； 2．1
1e --； 3．2(1)z e λ-- ； 4．2
2σ 5．[114.24,135.76]。
三．1. 设A 发生0k 次概率最大，因A 发生次数X 服从二项分布B(n ，p)，
()(1)k k
n k n P X k C p p -==-,故000)(1)(0)(1)
P X k P X k P X k P X k =≥=+??
=≥=-?（, 解得0(1)1()(1)[1(1)n p n+1p n p k n+p n p +-+?=?+?
或为整数
（）]不为整数 ………8分；
2. 设{}{}A B ==任意挑选一人为男性患有色盲，
， 已知 (|)5%,(|)0.25%,()0.5P B A P B A P A ===，则有
()(|)0.55%
(|)0.95240.55%0.50.25%
()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?=
==?+?+． ……… 8分；
3. 令1,2,,1001,0i i i X i ?==?
?
第个部件正常工作，
第个部件不能正常工作.，.
则有{1}0.9,()0.9,()0.09i i i P X E X D X ====,12100,,,X X X 相互独立. …………… 3分；
于是 10010011905851( 1.67)(1.67)0.952533i i i i X P X P ==??
-??????
≥=≥-≈-Φ-=Φ=????????????
∑∑. …… 8分；
4. 当01y <<时，(){}{0arcsin }{arcsin }Y F y P sinX y P X y P y X ππ=≤=≤≤+-≤≤ arcsin 0
arcsin 1
1
2
y y
dx dx acrsiny πππ
π
π
-=
+=
?
?
； …………… 3分；
当0y ≤时，(){}0Y F y P sinX y =≤=；
当1y ≥时，(){}1Y F y P sinX y =≤=。 …………… 5分；
于是，2
2,01;()10,Y x f y y π?
<
其它. …………… 8分；
5. ),(Y X 的联合概率密度为 2,(,);
(,)0,x y G f x y ∈?=??
其它.
(1) 2(1),01;
()(,)0,X x x f x f x y dy ∞
-∞
-<
=?
??
其它.
， …………… 5分； ⑵ 1210
12
{}(,)2y
y
y x
P Y X f x y dxdy dy dx -<<=
==
????
。 …………… 10分；
6. 设赢利为Y ，则有300,1;
150, 1.
X Y X -
≥? …………… 4分；
10
1
()300{1}150{1}300150x
x E Y P X P X e dx e dx ∞
--=-<+≥=-+??1450300e -=-. … 10分；
四. 矩估计法： 1
0()1E X x dx θ
θ
θθ==+?，令 ??1X θθ
=+，得 ?1X X θ
=- 。…… 5分 极大似然估计法：11
()(
)(01,1,,)n
n
i i i L x x i n θθθ-==<<=∏ ，令
ln ()
0d L d θθ
= ， 则有
1
ln 0n
i i n
x θ
=+=∑，于是 1
?ln n
i
i n
X
θ
==-∑。 ………… 10分
五. （1）{|}(1),0,1,,m m
n m n P Y m X n C p p m n -===-= ； …………… 3分；
（2）{,}{}{|}P Y m X n P X n P Y m X n ====== (1),0,1,,0,1,,!()!
n
m n m e
p p n m n m n m λ
λ--=-==- ；………… 3分；
（3）{}{,}(1)!()!
n m n m n m n m e P Y m P Y m X n p p m n m λλ-∞
∞
-=======--∑∑
(),0,1,!
m
p
p e m m λλ-== . ………… 2分.
武汉理工大学考试试题纸 （ A 卷）
一、单项选择题(每小题3分，满分15分)
（1）设A 、B 是两个互相对立的事件，且0)( ,0)(>>B P A P ，则下列结论正确的是
(A) 0)｜(>A B P (B) )()｜(A P B A P =
(C) 0)｜(=B A P (D) )()()(B P A P AB P =. 【 】 （2）设X 是连续型随机变量，)(x F 是X 的分布函数，则)(x F 在其定义域内一定是 （A ）非阶梯形间断函数 （B ）可导函数
（C ）阶梯函数 （D ）连续但不一定可导的函数. 【 】 （3）设)1 , 1(~ ),1 , 0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是
（A ）21}0{=
≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 2
1
}1{=≤-Y X P . 【 】
（4）设随机变量X 与Y 相互独立，2)( ,4)(==Y D X D ，则)23(Y X D -等于
（A ） 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44. 【 】 （5）设总体) ,(~2
σμN X ，121,,,,+n n X X X X 是取自总体X 的简单随机样本. 又
设样本n X X X ,,,21 的均值为X ，样本标准差为S ，则统计量 S
X
X n n n -++11
服从的分布是
(A) )1(-n t (B) )1(2
-n χ (C) )(n t (D) )(2
n χ. 【 】 二、填空题（每小题3分，满分15分）
（1）袋中有50个乒乓球，其中20个是黃球，30个是白球，两人依次从袋中各取一球，
取后不放回. 则第二个人取到黃球的概率是 .
（2）若随机变量) ,2(~2
σN X ，且3.0}42{=< （3）设射手每次击中目标的概率为0.4，今射手向目标射击了10次，若X 表示射手击中 目标的次数，则=)(2 X E . （4）设随机变量X 的方差是2，则由切比雪夫不等式可得≤≥-}2)({X E X P . （5）设n X X X ,,,21 是取自总体) ,(~2 σμN X 的样本，并且21 1 1 )(i n i i X X C -∑-=+是参 数2 σ的无偏估计量，则常数 C = . 三、计算题（满分10分） 已知)1 ,0(~N X ，求随机变量函数X Y 2=的概率密度. 四、计算题（满分10分） 设事件A 、B 满足条件41 )(= A P ，2 1)｜()｜(==B A P A B P . 定义随机变量X 、Y 如下： ???=，A A X 生不发 若,0 发生， 若,1 ? ??=，B B Y 生不发 若,0 发生， 若,1 求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律. 五、计算与解答题（满分10分） 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为： ? ??<<<=.其他0,, 10 , ,),(x x y A y x f （1）求常数A ； （2）计算协方差),cov(Y X ； （3）说明X 与Y 的相关性. 六、计算题(满分10分) 设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利 用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 七、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为： ???<<+=其他，, 0, 10,)1();(x x x f θθθ )1(->θ n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量. 八、计算题（满分10分） 从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 九、计算题（满分10分） 设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间. 附表： (2.18)0.9854Φ=，(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975Φ=， 2622.2)9(025.0=t ，2498.3)9(005.0=t ，2281.2)10(025.0=t ，1693.3)10(005.0=t 武汉理工大学教务处 | 课程名称—概率论与数理统计——（ A 卷） | 一. 选择题（每小题3分，共15分） 1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 装 二. 填空题（每小题3分，共15分） | 1.0.4 2. 0.2 3.18.4 4. 12 5.12(n-1) | 三. （10分）0()()()22 Y X X y y y F y F F >=--时， ………………4分 2 81 ()()2y Y Y f y F y e π -'== ………………8分 0()0Y y F y ≤=时, 2 81,0()20,0y Y e y f y y π-?>? =??≤? ………………10分 | 四. （10分）,)X Y (的可能取值（0，0），（0，1）（1，0）（1，1）………2分 1 {1,1}()()()8 P X Y P AB P A P B A ===== ………………4分 1 {1,0}()()()8P X Y P AB P A P AB ====-= ………………6分 ()1 {0,1}()()()8 P AB P X Y P AB P AB P A B ==== -= ………………8分 1115 {0,0}18888 P X Y ===---= ………………10分 五. （10分）（1）由 (,)1f x y dxdy +∞+∞ -∞ -∞ =?? ，得A ＝1 …………2分 （2）1 ()0x x D E XY xydxdy dx xydy -===???? 2 ()3 D E X xdxdy == ?? ………6分 ()0D E Y ydxdy = =?? cov ,)()()()0X Y E XY E X E Y (＝－＝ ……………9分 （3）0XY ρ= X 与Y 不相关 …………10分 六.（10分）设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)X b ……………2分 10000*0.7 (0,1)10000*0.7*(10.7) X N -- （近似） ……………5分 100 {69007100}2( )10.9712100 P X ≤≤=Φ-= …………10分 七.（10分）1 1 1 ()(2 E X dx θθθθ++== +?+1)x ……………3分 解 12X θθ+=+，得θ的矩估计量为21 1X X -- ……………5分 1 ()1( ) n i i L x θ θθ=+∏n ＝（） 1 ln ln 1ln n i i L n x θθ ==+∑（）+ ……………7分 令1 ln ln 01n i i d L n x d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为1 1ln n i i n X =-- ∑ …………10分 八.（10分） 3.4 (0,1)6 X n N - ………………3分 3.42{1.4 5.4}{ }2()1663 X n n P X P n -<<=<=Φ- ……………7分 解2( )10.953 n Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ……………10分 九.（10分）T = (1)X n t n S μ -- 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ………4分 0.0050.005{(1)(1)}0.99S S P X t n X X t n n n - -<<+-= ..................8分 所求为（1485.61，1514.39） (1) 武汉理工大学考试试题纸（A 卷）（闭卷） 1．填空题（15分） （1）设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P （2）设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量2 X Y =的 概率密度函数为=)(y f Y . （3）设随机变量X 和Y 的期望分别为2-和2，方差分别为1和4，0.5XY ρ=-， 由切比雪夫不等式，(6)________P X Y +≥≤ ． （4）设某种清漆干燥时间),(~2σμN X （单位：小时），取容量为n 的样本,其 样本均值和方差分别为2,X S ，则μ的置信度为1-α的单侧置信上限为： . （5）设),,,(21n X X X 为取自总体),(~2σμN X 的样本，参数2,σμ均未知， ∑==n i i X n X 11，21 2 )(X X Z n i i -=∑=，则对于假设00=μ： H 作t 检验时，使用 的检验统计量T ＝ （用X 与Z 等表示）. 2．（10分）设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 3. （10分）设随机变量X 的概率分布为f x A x x ()=< ? ，，其它01 0，以Y 表示对X 的三次独立 重复观察中事件{}X ≤1 2 出现的次数，试确定常数A ，并求概率P Y {}=2。 4. （15分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为 ???<<=-其它, 00,),(y x e y x f y 求：（1）随机变量X 的密度函数)(x f X ；（2）概率}1{≤+Y X P 。 5. （10分）已知随机变量X 、Y 分别服从正态分布)3, 0(2N 和)4,2(2N ，且X 与Y 的相关系 数ρX Y =-12/，设Z XY =+//32，求：（1）数学期望E Z ，方差D Z ；（2）X 与Z 的相关系数ρX Z 。 6. （10分）证明：（马尔科夫定理）如果随机变量序列 ,,,,21n X X X ，满足 0)(1 lim 1 2=∑=∞→n k k n X D n 则对任给0>ε，有 1)(1 1lim 11=? ?????<-∑∑==∞→εn k k n k k n X E n X n P . 7. （15分）设),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2 n S 为 样本二阶中心矩，2 S 为样本方差，问下列统计量：（1）2 2 σ n nS ，（2） 1 /--n S X n μ，（3）2 1 2 )(σμ∑=-n i i X 各服从什么分布？ 8．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X 的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 1．（15分）（1）4/7；（2）1 04()4 Y y y f y ?< =???其他 ;（3） 112 (4)上限为(1)S X t n n α+ -; （5） )1(-n n Z X 2．（10分）解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。 则A A A 123 =Ω，且P A i () >0，A A A 123、、两两互不相容， （1） 由全概率公式得∑=?= 3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 400 13 100541100441100221=?+?+?= （2）由贝叶斯公式得 P AA (|)1=∑=3 111)|()()|()(j j j A A P A P A A P A P 13 4400 13100221=? = 3. （10分）解：由归一性? ?∞ +∞ -= ==2 )(11 0A Axdx dx x f 所以A =2。即 ?? ?<<=其它 ，，01 02)(x x x f 4 12)()21(}21{21 021====≤??∞-xdx dx x f F X P 所以)4 1 3(~，B Y ，从而 }2{=Y P =64 943)4 1(2 2 3=?C 4. （15分）解：（1）x ≤0时，f x X ()=0； x >0时，f x X ()= f x y d y e d y e y x x (,)==--+∞ -∞ +∞ ?? 故随机变量X 的密度函数f x X ()=e x x x -<≤?? ? ，，000 （2）P X Y {}+≤1==--+≤? ???f x y d x d y d x ed y y x x X Y (,)10 1 21 =+---e e 1 1 2 12 5. （10分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 E Z 122 1 031)2()3()23( =?+?=+=+=Y E X E Y X E D Z =+=++D X Y D X D Y X Y ()()()()3232 232 C o v ， DY DX DY DX XY ρ21 3122 1 3122??++= 324143)21(21312421 3312222 =-+=??-???+?+ ?= （2）C o v C o v C o v C o v ()()(,)(,)X Z X X Y X X X Y ，，=+=+13121 31 2 =+ =131 2 0D X D X D Y X Y ρ 从而有X 与Z 的相关系数ρX Z X Z D X D Z = =C o v (,) 6. （10分）证明： )(1 )1(),(1)1(1 2111∑∑∑∑======n k k n k k n k k n k k X D n X n D X E n X n E ，由切贝雪夫不等式， 得 2 21 11)(1)(1 1lim ε εn X D X E n X n P n k k n k k n k k n ∑∑∑===∞→-≥? ?????<-， 根据题设条件，当∞→n 时, 1)(1 1lim 11≥? ?????<-∑∑==∞→εn k k n k k n X E n X n P ， 但概率小于等于1，故马尔科夫定理成立. 7. （15分）解：（1）由于 )1(~)1(2 2 2 --n S n χσ，又有2 1221)(1S n n X X n S n i i n -=-=∑= 2 2)1(S n nS n -=，因此 )1(~22 2 -n nS n χσ； （2）由于 )1(~/--n t n S X μ，又有 1 -= n S n S n ，因此 )1(~1 /---n t n S X n μ； （3）由),,2,1)(,(~2n i N X i =σμ得： ),,2,1)(1,0(~n i N X i =-σ μ ，由2χ分布的定义得： )(~)(22 1 2 n X n i i χσμ∑=-. 8．（15分）解：（1）2 EX θ = ，令 2 X θ =，得θ的矩估计量1 ?2X θ=； 似然函数为：()12121 ,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θ θθ?< ，其它 其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212() ?max ,,,n n X X X X θ== 。 （2） 因为1 ?2E EX θθ==，所以1?θ为θ的无偏估计量。 又因为()n X 的概率密度函数为：1()1 ,0()0,n n x n x f x θθθ-???< =??? ?? 其它 所以1 ()0 1 1 n n x n EX xn dx n θ θθθ -?? = = ?+?? ? 因此2 ?θ为θ的有偏估计量，而3()1 ?n n X n θ+=为θ的无偏估计量。 （3） 22 1 /12 ?443D DX n n θθθ==?= ， 2 3(2)2 12 20 2211?11111?(2)(2)3n n D DX n n x n x n dx n n D n n n n θθθθθθθθ-+??= ??? ?? +??????=- ? ? ? ? ?+?? ?????? =>=≥+? 于是3 ()1?n n X n θ+=比1 ?2X θ=更有效。 武汉理工大学考试试题纸（ A 卷） 课程名称 概率论与数理统计 专业班级 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 题分 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1、设连续随机变量X 的概率密度为??? ??<<=其它 202 )(x x x f 则}11{≤≤-x P ＝( ) A 0 B 0.25 C 0.5 D 1 2. ???? ???≥<≤+ <=2 /11 2/10210 )(x x x x x F ，则)(x F 是 。 A 、是随机变量X 的分布函数，但既非离散也非连续型随机变量X 的分布函数 B 、不是随机变量X 的分布函数 C 、离散型随机变量X 的分布函数 D 、连续型随机变量X 的分布函数 3 设随机变量X 概率密度函数?? ?∈=其它 ],0[2)(A x x x P ，则常数A=（ ） A 、 14 B 、1 2 C 、1 D 、2 4 X 服从参数1 9 λ=的指数分布，则P }{39x <<=（ ） A 、 31 e －1e B 、311()9e －1e C 、dx x e )9(93?- D 、F(99)－F(39) 5 设总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 为来自总体X 样本， ∑==n i i X n X 1 1 ,在显著性水平α下, 20:σH ≤20 σ，21:σH >20σ (2 0σ为已知数)，2 012 2)(σχ∑=-=n i i X X 则当（ ），拒绝0H . A 、)1(2 12 2-≥- n αχχ B 、)1(2 22-≤n αχχ C 、)1(12 2 -≤-n α χ χ D 、)1(2 2-≥n αχχ 二、填空题(本大题共5空，每空3分，共15分) 1、设两两独立的三个随机事件A ，B ，C 满足ABC=φ，且P （A ）=P （B ）=P （C ）=x ，则当x= 时， 4 3)(= C B A P 2、设随机事件A 与B 相互独立，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，且3 1 )(=A P ，则P （B ）= . 3、设随机变量X ~)(λE 即指数分布，则X 的密度函数为 ，=)(X D 4、设二维随机向量),(Y X 的概率密度为? ??≤≤≤≤+=其他01 010),(y x y x y x f 则当10≤≤y 时， ),(Y X 关于Y 的边缘概率密度=)(y f Y . 5、设Y X ,为随机变量，且1)(,4)(,7)(===+Y D X D Y X D ，则=),(Y X Cov 以下每题12分 三 已知一批产品中有90％是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品 被误判为合格品的概率是0.05. 求：(1)任意抽查一件产品，它被判为合格品的概率； (2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率. 四 设?? ?>>=+-其他0 2),(~),()2(y x e y x f Y X y x 试求(1)分布函数),(y x F (2))(Y X P < 五 在长为l 的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望。 六 设总体X ～)1,(μN ,21,X X 是从此总体中抽取的一个样本,指出下面估计量 3211213161?X X X ++=μ , 32125 2 5152?X X X ++=μ ,是μ的无偏估计,并指出哪一个更有效. 七 设总体X 在区间],[21θθ服从均匀分布。21,θθ未知，n X X X ,,21为来自于总体的样本，求21,θθ 的矩估计量。 八 （10分）加法器在做加法运算时根据四舍五入原则先对每个加数取整后再运算。多少个数相加时，可使误 差总和的绝对值不超过10的概率大于0.95? (829.0)95.0(=Φ 52.0)05.0(=Φ95.0)645.1(=Φ975.0)96.1(=Φ) 武汉理工大学教务处 一 (本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1、B 2、A 3、C 4、A 5、D 二 (本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1、21 2、31 3、???=-0)(x e x f λλ 00≤>x x ,21λ 4、y +21 5、1 三 A 表示合格品事件，B 产品检验合格事件 (1)887.005.01.098.09.0)(=?+?=B P (2)994.0887 .098 .09.0)|(=?= B A P 四 ?? ?>>--=--其它 00,0) 1)(1(),(2y x e e y x F y x 3 2}),{(}{= ∈= l dxdy y x l Z E 00 2 ||1 )(=3 l 六 μμ=)(1E , μμ=)(2E , 故都是μ的无偏估计 …… 4分 18736144191361)(1==++= μD , 25 9254251254)(2=++=μD , …… 4分 因为)(2μD <)(1μD , 故2μ更有效. …… 2分 七 )(21)(21θθ+=X E 2122122)(4 1 )(121)(θθθθ++-=X E S n n X )1(3^ 1--=θ S n n X )1(3^2-=+=θ 注：答案不唯一，方法和答案正确，参照此给分 八 95.0}10|{|1 >≤∑=n i i X P =?>≤≤- ∑=95.0}12/10 12/12/10{1n n X n P n i i 2?>-Φ95.01)/320(n 312≤n 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现为止所需 投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k = ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k = . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 X 0 1 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 33 1004 1000 4(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 8. 设X 服从泊松分布,分布律为 (),0,1,2,! k P X k e k k λλ-== = . 问当k 取何值时{}P X k =最大？ 解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,k = ,则 1/!/(1)!k k k e k a k e k λλλλλ+--==-, 数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大. 若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得 1) 若1λ<,则(0)P X =最大. 2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=?≥+≤?-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有 [] {}1P X k k λλλλλ?=?=? -?不是整数最大或是整数 . 12. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形. 解 () (,0)[0,1)0 ()()()0() 0x x x F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞ -∞ -∞ ==?+?+? ?? ? ()01 [1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞ -∞ +?++-?? ? () 12[2,) 1 2 ()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞ +∞-∞ +?++-+?? ??? ()() 1 1 2 [0,1)[1,2)[2,)0 1 1 ()() (2)() (2)x x I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-?? ?? ? 22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+. 11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤. 解 10 2 100 1()502 cx p x dx cxdx c +∞ -∞ === =? ? , 1/50c =. 2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0 ()()()()()()50100 x x v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞ ==+=+? ? . 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤ 8 2 8 8 2 22 ()3/550100x x p x dx dx ====? ?. 15. 设随机变量X 的密度为2 x x ce -+.求常数c . 解 222 1/2(1/2)1/41/41/41x t x x x t ce dx c e dx ce e dt ce π=++∞+∞+∞-+--+--∞ -∞-∞ ====? ? ? . 由上式得1/41/2c e π--=. 15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布: Y X 0 1 2 3 0 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0 0.1 0.1 0.1 2 0.1 0.2 求边缘分布.又问随机变量,X Y 是否独立？ 解 X 有分布 k x 0 1 2 ()k P X x = 0.4 0.3 0.3 Y 有分布 k y 0 1 2 3 ()k P Y y = 0.1 0.2 0.3 0.4 因为 0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===?, 所以X ,Y 不独立. 18． 设随机向量(,)X Y 服从矩形{(,):12,02D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤. 解 1 ()(622)/62/32 P X Y ≤=-??=, 1 (,1)(11)/61/122 P X Y X ≤≥=??=, (,1)1/12 (1|)1/8()2/3P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤= ==≤. 22. 随机向量(,)X Y 有联合密度 2 2 (,)(,)E c p x y I x y x y = +, 其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率. 解 ( ) 2 2 2 cos sin 200 2 2 01(,)2x r y r R x y R c p x y dxdy dxdy d cdr cR x y θ θ π θπ==+∞+∞ -∞ -∞ <+≤== = =+? ??? ?? 因而12c R π= .而 222 2 2 1{(,)}(,)2D x y r P X Y D p x y dxdy dxdy R x y π+≤∈== +???? ( ) cos sin 200 1 /2x r y r r d dr r R R θθ π θπ=== =??. 27. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,i =, 10.9α=,20.95α=,30.99α=. 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 一、填空题 1．已知()0.8,()0.5,P A P A B ==且事件A 与B 相互独立，则()P B = 0.375 ． 2．若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012.008.01 11 1 b a X Y --，且X 与Y 相互 独立，则=a 0.2 ；=b 0.3 . 3．已知随机变量~(0,2)X U ，则2()[()] D X E X = 13 ． 4．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700。设X 表示每毫升白细胞数，利用切比雪夫不等式估计{52009400}P X <<89 ≥ . 5．设123,,X X X 是总体X 的样本，11231?()4X aX X μ =++，21231?()6 bX X X μ=++是总体均值的两个无偏估计，则a = 2 ，b = 4 ． 二、单项选择题 1．甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出密码的概率分别是0.5，0.6，0.7，则密码被译出的概率为 （ A ） A. 0.94 B. 0.92 C. 0.95 D. 0.90 2．某人打靶的命中率为0.8，现独立射击5次，则5次中有2次命中的概率为（ D ） A. 20.8 B. 230.80.2? C. 22 0.85 ? D. 22350.80.2C ?? 3.设随机变量Y X 和独立同分布，则),,(~2σμN X （ B ） A. )2,2(~22σμN X B. )5,(~22σμN Y X - C. )3,3(~22σμN Y X + D. )5,3(~22σμN Y X - 4．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =?，则（ B ）. A. ()()()D XY D X D Y =? B.()()()D X Y D X D Y +=+ C.X 和Y 独立 D.X 和Y 不独立 5．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123 ,,X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是（ A ）. 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 2010―2011―2概率统计试题及答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知4 1)()()(= ==C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率______. 31) (A 83)(B 157)(C 5 2 )(D 2．设A 、B 、C 为3个事件．运算关系C B A 表示事件______. (A ) A 、B 、C 至少有一个发生 (B ) A 、B 、C 中不多于—个发生 (C ) A ，B ，C 不多于两个发生 (D ) A ，月，C 中至少有两个发生 3．设X 的分布律为),2,1(2}{ ===k k X P k λ，则=λ__________． 0)(>λA 的任意实数 3)(=λB 3 1 )(= λC 1)(=λD 4．设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f ，则)(x f 必满足______． (A ) 1)(0≤≤x f (B ) 单调不减 (C ) 1)(=? ∞+∞ -dx x f (D ) 1)(lim =+∞ →x f x 5．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平α=0.05下接受 00:μμ=H ，那么在显著性水平 α=0.01下，下列结论正确的是______． (A ) 必接受0H (B )可能接受也可能拒绝0H (C ) 必拒绝0H (D )不接受，也不拒绝0H 6．设随机变量X 和Y 服从相同的正态分布)1,0(N ，以下结论成立的是______． (A ) 对任意正整数k ，有)()(k k Y E X E = (B ) Y X +服从正态分布)2,0(N (C ) 随机变量),(Y X 服从二维正态分布 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 概率论与数理统计期末试卷 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B) 与不互斥 (C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C) (D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 (A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1 (C) P (A) + P (B) –P (C) ≥1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C) 三、计算与应用题（每小题8分，共64分） 1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。 求取到的两个球颜色不同的概率。 2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。 求能打开门的概率。 3. 一间宿舍住有6位同学， 求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。 4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个， 求至少取到一个次品的概率。 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B) = 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：,0 ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??为未知参数，12,, ,n X X X 为其样本，1 1n i i X X n ==∑为样本均值， 则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置 信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 概率统计试题及答案(本科完整版) 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对 a c b <<以及任意的正数0 e >，必有概率 {} P c x c e <<+ ＝ ?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中 ABC ABC ABC U U 2，3，则: P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得 ()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=??=??= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....??=-=-??= ()() ()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941 P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=??+??+??+??=+++=U U U 2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”， 则 所 求 概率为 ()()()() P W P W W R W P W W P R W ==+U 乙甲乙甲乙甲乙甲乙 ()( ) ()( ) P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲 11 111111111 n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=?+? 2010–2011学年 秋冬 学期 《 概率论与数理统计》试卷 注： ~(0,1),(){}:(1)0.84,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2)0.98 X N x P X x Φ=≤Φ=Φ=Φ=Φ=212(),(),(,)t n n F n n αααχ分别表示服从具有相应自由度的t 分布，2χ分布和F 分布的上α分位点： 2 2 2 2 0.9750.950.050.025(9) 2.70,(9) 3.32,(9)16.92,(9)19.02χχχχ====， ==0.050.025(9) 1.83,(9) 2.26t t ，0.050.05(2,9) 4.26,(9,2)19.4F F ==。 一、填空题 (每小格3分，共42分，每个分布均要写出参数) 1．设,A B 为两随机事件，已知()0.6,()0.5,()0.3P A P B P AB === ，则()P A B ?= _(1)__，()P A A B ?=_(2)_。 2．一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2,800()0,800 a x f x x x ?≥?=??是未知参数，110,,X X 为来自X 的简单随机样本，记2X S 与为样本均值和样本方差，则22X μ是的无偏估计吗？答：__(10)__；若22{}0.95P S b σ≤=，则b =_(11)__； 22{}P S σ==_(12)__；μ的置信度为95％的单侧置信下限为_(13)__；对于假设2201:1,:1H H σσ≥<的显著性水平为5％的拒绝域为_(14)__。 二．（12分）某路段在长度为t （以分计）的时间段内，在天气好时发生交通事故数1~()480t X π(泊松分布)，天气不好时事故数2~()120 t X π。设在不重叠时间段发生交通事故的次数相互独立。（1）若6:00-10:00天气是好的，求这一时段该路段没有发生交通事故的概率；（2）设明天6:00-10:00天气好的概率为 70％，求这一时段该路段至少发生一次交通事故的概率；（3）若6:00-10:00天气是好的，求该路段在6:00-10:00至少发生一次交通事故的条件下，6:00-8:00没有发生交通事故的概率。 三．（12分）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度 ,01,03(,)0,x x y x f x y <<<概率论与数理统计习题集及答案
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