数学建模综合实验

交通流量问题

一、问题

如图给出了某城市单行街道的交通流量（每小时过车数）

x2

300

300

300

x3 x1

x4 x5 x6

x7

x8 x9 x10

500 100 400 200 600 200

400 600

700

500

假设：1、全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；

2、全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的

流量。

试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量。二、实验目的：

学会应用线性代数中线性方程组的有关知识建立交通流量问题的数学模型，并用数学软件求其问题的全部解。

三、建模及使用MATLAB软件求解

动物繁殖问题

一、问题

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？

二、实验目的：

巩固线性代数的有关知识，培养学生用矩阵知识解决实际问题的能力。

三、问题分析与模型建立

因年龄组为5岁一段，故将时间周期也取为5。15年后就

经过了3个周期。设)

(k i x 表示第k 个时间周期第i 组年龄阶

段的动物数量（3,2,1;3,2,1==i k ）

因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活的动物的数量，所以有：

)

3,2,1(4

1,21)

1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k 有因为某一时间周期第一年龄组动物的数量是由上一时间

周期各年龄组出生的动物的数量，所以有：

)

3,2,1(34)1(3

)1(2)(1=+=--k x x x k k k 于是我们得到递推关系式：

)3,2,1(4

12134)1(2)(3)

1(1

)(2)

1(3)1(2

)(1=??

?????==+=----k x x x x x x x k k k k k k k

即：)

3,2,1()

1()

(==-k Lx

x

k k 其中

?

?

??? ??=??????

?? ??=100010001000,04

100021340)

0(x L 四、模型求解(MATLAB)

五、结果分析

15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0~5岁的

有14375头，占86.47%；6~10岁的有1375头，占8.27%；

11~15岁的有875头，占5.226%。15年间动物总增长为13625头，总增长率为454.16%。

生物种群数量问题

一、问题

种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的是当前种群的数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少。而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能是达到某一固定的数量值记为m x ，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量

与当时种群数量x 的比记为：0,,)(>-=s r sx r x r ，其中

r 相当于

0=x 时的增长率，称为固有增长率。记当前（即0=t 时）种群数量为0x ，

时刻t 种群数量为)(t x 。若利用统计数据可知0,,x r x m ，那么未来时间里种群数量如何呢？

二、实验目的

1、进一步理解极限的概念，了解常微分方程理论的应用；

2、通过一个简单的差分方程的迭代结果了解混沌现象。三、实验内容及要求

1、设)(t x 是连续、可微函数，请给出未来时间里种群的数量满足的数学模型；

2、由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖,所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况，请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型；

3、设n t =（n 为整数），,3),()1(=+=

r t x x r r

x m

n 先对上述离散模型进行

变形，然后在0x 分别取0.1,0.1000001,0.10000001时利用计算机进行迭代60次。要求在计算机上输出结果和作图，并观察结果和得出结论。

四、问题分析与模型建立

1、由于)(x r 为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以

t 到t t ?+时间内种群数量的增量为：

t t x x r t x t t x ?=-?+)()()()( （1）

又由于sx r x r -=)

(，而当m x x =时增长率为零，即0)(=m x r ，所以m x r s =。则x x r

r x r m

-

=)(代入（1）得： t t x x rx

r t x t t x m

?-=-?+)()()()(

由此得到任意时刻

t 种群数量所满足的数学模型为： ??

?

??=-=0)0()1(x x x x x r dt

dx m

2、由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群的增长状况，则令

1=?t ，t 视为整数及x x r

r x r m -=)(代入（1）得：

)()()()1(t x x rx

r t x t x m

-=-+

所以任意时刻

t 种群数量所满足的离散数学模型为： ???

?

?=-+=+0

)0()()1()1(x x t x x rx r t x m

食谱问题

一、问题

某公司饲养实验用的动物以供出售。已知这些动物的生长对饲料中的三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生素100mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg的成本如表1所示，每种饲料1kg所含营养成分如表2所示，。

求既能满足动物生长需要又使总成本最低的饲料配方。

表1 五种饲料单位质量（1kg）成本

饲料A1A2A3A4A5

成本（元）0.2 0.70.40.30.5

表2 五种饲料单位质量（1kg）所含营养成分

饲料蛋白质(g)矿物质(g)维生素(g) A10.300.100.05

A2 2.000.050.10

A3 1.000.020.02

A40.600.200.20

A5 1.800.050.08

二、问题分析与模型建立

设)5,4,3,2,1(

=j x j 表示混合饲料中所含的第j 种饲料的数量。由于提

供的蛋白质总数必须满足每天的最低需求量70g ，故应有：

7080.160.000.100.230.054321≥++++x x x x x

同理，考虑矿物质和维生素的需要，有：

10

08.020.002.010.005.0305.020.002.005.010.05432154321≥++++≥++++x x x x x x x x x x

混合饲料成本的目标函数为：

543215.03.04.07.02.0x x x x x f ++++=

决策变量j x 非负

由于希望调配出来的混合饲料成本最低，所以该饲料配比问题是一个线性规划模型：

???

?

??

?=≥≥++++≥++++≥++++++++=5,4,3,2,1,01008.020.002.010.005.0305.002.000.105.010.07080.160.000.100.23.0..5.03.04.07.02.0min

5432154321543215

4321j x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f j

三、MATLAB 软件实现

四、实验作业

某工厂生产四种不同型号的产品，而每件产品的生产要经过三个车间的加工，根据该厂现有设备和劳动力等生产条件，可以确定各车间每日的生产能力（我们把它们折合成有效工时数来表示）。各车间每日可利用的有效工时数、每个产品在各车间加工时所花费的工时数以及每件产品可获得的利润见下表。问每种产品每季度各应该生产多少，才能使这个工厂每季度生产总值最大？

每件产品所需的加工工时车间1#2#3#4#有效工时（h/d）

I 0.8 0.8 1.1 1.2 160

II 0.6 0.8 0.7 0.8 120

III 0.4 0.5 0.7 0.7 100 利润（元/件） 6 8 9 10

保险储备策略问题

一、问题

某企业每年耗用某种材料3650件，每日平均耗用10件，材料单价10元，一次订购费25元，每件年储存费2元，每件缺货一次4元，平均交货期10天，交货期内不同耗用量x的概率分布如下：

Xi 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 Pi 0.01 0.02 0.05 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.04 0.02 0.01 求使平均费用达到最小的订货量、订购次数及含有保险存量的最佳存货点。

二、实验内容与要求

1、求最佳订货量及订货次数

不考虑缺货，看作确定性不允许缺货模型。日需求量为已知常数，周期初始储存为订货量，当储存量耗尽时，所订货物即可到达，建立目标函数使单位时间的平均费用最小。

2、求最佳订货点和保险储备量

考虑订货期内需求增加引起缺货，建立保险储备。订货期内缺货，采取缺货不处理方式，寻求目标函数使年度总费用最小。三、符号假设

1C -----订购费（元/次）； 2C -----储存费（元/件.天）； 3C -----缺货费（元/次.件）； U -----单价（元/件）；

D -----年需求量； R-----日平均需求量； T-----订货周期；

Q-----订购量；N-----订货次数；S-----订货点；L-----平均送货期； B-----保险储备量

四、问题分析与模型建立

1、求最佳订货量及订货次数

由于日需求量R为已知常数，则可假定为确定性不允许缺货模型，货

Q （1）

物订购量：RT

均匀下降，当降到零时订货即可到达，目标函数为每天的平均费用。

记任意时刻t的库存量为q，则q的变化规律如图所示：

q

Q

O T 2T

由于T t <≤0间无订货，对于足够小的t 有：

T t t R t q t t q <≤?-=?+0,)()(

即R t q -=')

(，又Q q =)0(，故Rt Q t q -=)(，即

Rt RT t q -=)

(

由（1）式得一周期内的储存量为： 20

2

1)(RT dt t q T

?= 于是每天的储存费为 RT C T RT C 22

2

2

1

21= 每天的订货费为

RU T C T URT C +=+1

1 每天的平均费用 RT C RU T C T C 212

1

)(++= 欲求最佳订货量*

Q 及订货次数，归结为求订货周期

T 使)(T C 最小。