苏教版高一数学诱导公式1

第九课时 诱导公式（一）

教学目标：

理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径. 教学重点：

理解并掌握诱导公式. 教学难点：

诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式. 教学过程：

学习三角函数定义时，我们强调P 是任意角α终边上非顶点的任意一点，至于α是多大的角，多小的角并不知道，那么由三角函数的定义可知：终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到公式一：

sin （k ·360°＋α）＝sin α cos （k ·360°＋α）＝cos α tan （k ·360°＋α）＝tan α，(k ∈Z ）

公式的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.下面我们来看几个例子.

［例1］求下列三角函数的值.

(1)sin1480°10′ （2）cos 9π4 （3）tan （－11π

6 ）

解：(1）sin1480°10′＝sin （40°10′＋43360°）＝sin40°10′＝0．6451 (2)cos 9π4 ＝cos （π4 ＋2π）＝cos π4 ＝2

2

(3)tan （－11π6 ）＝tan （π6 －2π）＝tan π6 ＝33.

［例2］化简1－sin 24400

利用同角三角函数关系公式脱掉根号是解决此题的关键，即

原式＝1－sin 2（3600＋800）

＝1－sin 2800 ＝co s 2800 ＝cos80°

利用这组公式可以将求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值. 初中我们学习了锐角三角函数，任意一个锐角的三角函数值我们都能求得，但90°到3600

角的三角函数值，我们还是不会求，要想求出其值，我们还得继续去寻求办法：看能不能把它转化成锐角三角函数，我们来研究这个问题.

下面我们再来研究任意角α与－α的三角函数之间的关系，任意角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y ），角－α的终边与单位圆相交于点P ′，因为这两个角的终边关于x 轴对称，所以点P ′的坐标是（x ，－y ），由正弦函数、余弦函数的定义可得.

sin α＝y cos α＝x sin （－α）＝－y cos （－α）＝x

则tan （－α）＝sin （－α）

cos （－α）

＝－tan α

于是得到一组公式(公式二)： sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos α tan （－α）＝－tan α 下面由学生推导公式三： sin （180°－α）＝sin α

cos （180°－α）＝－cos α tan （180°－α）＝－tan α

已知任意角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y ），由于角180°＋α的终边就是角α的反向延长线，所以角180°＋α的终边与单位圆的交点P ′与点P 关于原点O 对称，由此可知，点P ′的坐标是（－x ，－y )，由正弦函数、余弦函数的定义可得：

sin α＝y ，cos α＝x ，sin （180°＋α）＝－y ，cos （180°＋α）＝－x ∴sin （180°＋α）＝－sin α

cos （180°＋α）＝－cos α tan （180°＋α）＝tan α 于是我们得到一组公式(公式四)： sin （180°＋α）＝－sin α

cos （180°＋α）＝－cos α tan （180°＋α）＝tan α

分析这几组公式，它有如下的特点：

1.－α、180°－α、180°＋α的三角函数都化成了α的同名三角函数.

2.前面的“＋”“－”号是把看作锐角．．．．．时原函数的符号.即把α看作锐角时，180°＋α是第三象限角，第三象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第三象限角的余弦是负值，等号右边放“－”号；把α看作锐角时，－α是第四象限角，第四象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第四象限角的余弦是正值，等号右边放“＋”号.

这也就是说，－α、180°－α、180°＋α的三角函数都等于α的同名三角函数且前面放上把α看作锐角时原函数的符号，可以简记为：

函数名不变，正负看象限 下面我们来看几个例子. ［例3］求下列三角函数值

(1)cos225° （2）sin 11

10

π

解：(1)cos225°＝cos （180°＋45°）＝－cos45°＝－

22

； (2)sin 11

10 π＝sin （π＋π10 ）＝－sin π10 ＝－sin18°＝－0．3090.(sin18°的值系查表所得)

［例4］求下列三角函数值

(1)sin （－π

3

） （2）cos （－240°12′）

解：(1)sin （－π3 ）＝－sin π3 ＝－3

2

；

(2)cos （－240°12′）＝cos240°12′＝cos （180°＋60°12′）

＝－cos60°12′＝－0．4970 ［例5］化简

)

-?-?180?--360?+?)+?αααα180cos()sin()

sin(180cos(

解：原式＝

)180cos()180sin(sin cos αααα+??+?-?-＝)

cos (sin sin cos ααα

α-??-＝1

课堂练习：

课本P 21练习1、2、3. 课时小结：

本节课我们学习了公式一～四，这几组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结出了“函数名不变，正负看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多练习，以便掌握得更好，运用得更自如. 课后作业：

课本P 24练习13、16、17.

诱导公式（一）

1．sin(－10

3 π)的值等于 （ ）

A. 12

B.－12

C. 3

2

D.－

32

2．若cos165°＝a ，则tan195°等于 （ ） A. －1－a 2

B. －1＋a 2

a

C.

1－a 2

a

D. －1－a 2

a

3．已知cos(π＋θ)＝－1

2 ，则tan(θ－9π)的值 （ ）

A.±12

B. 3

C.± 3

D.－1

2

4．已知sin （π－α）＝log 81

4 ，且α∈(－π2 ，0)，则tan α的值是 （ ）

A. 25

5

B.－255

C.±25

5

D. －

5

2

5．下列不等式中，不成立的是 （ ） A.sin130°＞sin140° B.cos130°＞cos140° C.tan130°＞tan140° D.cot130°＞cot140°

6．求：?

?--

??690cos )6

19

cos()313

tan(330sin ππ的值.

7．求下列各三角函数值.

（1）sin （－16

3 π） （2）sin （－1200°）

（3）tan(－68

3 π) (4)tan(－855°)

（5）cos 29

6 π (6)cos(－945°)

8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－3

5 ，求tan(10π－θ)的值.

诱导公式（一）答案

1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．－23

3

7．求下列各三角函数值.

（1）sin （－16

3 π） （2）sin （－1200°）

（3）tan(－68

3 π) (4)tan(－855°)

（5）cos 29

6

π (6)cos(－945°)

分析：求三角函数值的步骤为：①利用诱导公式三将负角的三角函数变为正角的三角函数.②利用诱导公式一化为0°到360°间的角的三角函数. ③进一步转化成锐角三角函数.

解:（1）sin （－163 π）＝－sin 16

3

π

＝－sin(4π＋43 π)＝－sin 43 π＝－sin （π＋π3 ）＝sin π3 ＝3

2

(2)sin(－1200°)＝－sin1200°

＝－sin(32360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－3

2

(3)tan(－

683 π)＝－tan 683

π ＝－tan(22π＋π－π3 )＝－tan(π－π3 )＝tan π

3

＝3

(4)tan(－855°)＝－tan855°

＝－tan(22360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1 (5)cos 29

6 π＝cos(4π＋5π6 )

＝cos 5π6 ＝cos(π－π6 )＝－32

.

(6)cos(－945°)＝cos945°＝cos(22360°+225°) ＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－

2

2

. 8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－3

5

，求tan(10π－θ)的值.

分析：依据已知条件求出cos θ，进而求得tan(10π－θ)的值. 解：由已知条件得

cos(θ－π)＝－35 ，cos(π－θ)＝－3

5

，

∴cos θ＝3

5 ∵π＜θ＜2π，

∴

3π2 ＜θ＜2π ∴ tan θ＝－43

∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43