(第5题)
(第4题)
(小时) 75 南通市2015届高三第三次调研测试
数学Ⅰ
参考公式:锥体的体积13
V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 设集合A ={3,m },B ={3m ,3},且A =B ,则实数m 的值是 ▲ . 2. 已知复数(1i)(12i)z =+-(i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 已知实数x ,y 满足条件||1||1x y ???
≤≤,,则2z x y =+的最小值是 ▲ .
4. 为了解学生课外阅读的情况,随机统计了n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[50 150],
中,其频率分布直方图如图所示.已知[50 75),这一组的频数为100,则n 的值为 ▲ .
5. 在如图所示的算法流程图中,若输出的y 的值为26,则输入的x 的值为 ▲ .
(第10题)
C
(第11题)
6. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为x ,则2l o g x 为整数的概率为 ▲ .
7. 在平面直角坐标系xOy 中,点F 为抛物线2
8x y =的焦点,则F 到双曲线22
19
y x -=的渐近线
的距离为 ▲ .
8. 在等差数列{n a }中,若246n n a a n ++=+(n ∈N *),则该数列的通项公式n a = ▲ . 9. 给出下列三个命题: ①“a >b ”是“33a b >”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件;
③“a =0”是“函数32()f x x ax =+(x ∈R )为奇函数”的充要条件.
其中正确命题的序号为 ▲ .
10.已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ,其表面展开图如图所示,则该空间几何体的体积
V = ▲ cm 3.
11. 如图,已知正方形ABCD 的边长为2,点E 为AB 的中点.以A 为圆心,AE 为半径,作弧交
AD 于点F .若P 为劣弧 EF
上的动点,则PC PD
的最小值为 ▲ . 12. 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ?++=?+?
≤≤,,
,>.若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交
点,则实数m 的取值范围为 ▲ .
13.在平面直角坐标系xOy 中,过点P (-5,a )作圆222210x y ax y +-+-=的两条切线,切点分
别为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),且
21122112
2
0y y x x x x y y -+-+=-+,则实数a 的值为 ▲ . 14.已知正实数x ,y 满足24
310x y x y
+
++=,则xy 的取值范围为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡...指定区域....
内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1C ⊥AB ,侧面BCC 1B 1为菱形. (1)求证:平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1;
(2)如果点D ,E 分别为A 1C 1,BB 1的中点,
求证:DE ∥平面ABC 1.
16.(本小题满分14分)
已知函数()sin()f x A x ω?=+(其中A ,ω,?为常数,且A >0,ω>0,22
?ππ
-<<)的部分
图象如图所示.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)若3()2
f α=,求sin(2)6απ
+的值.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的两焦点分别为F
1(,
F
2,且经过点A 1
)2,.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)设点B ,C ,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B 与点D 关于原点O 对称.设直
线CD ,CB ,OB ,OC 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,且1234k k k k =. ①求12k k 的值; ②求OB 2+OC 2的值.
A
C
D
A 1
B 1
C 1
(第15题)
E
(第17题)
18.(本小题满分16分)
为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为200 m ,圆心角为120°的扇形空地上建造市民广场.规划设计如图:内接梯形ABCD 区域为运动休闲区,其中A ,B 分别在半径OP ,
OQ 上,C ,D 在圆弧 PQ
上,CD ∥AB ;△OAB 区域为文化展示区,AB
长为m ;其余空地为绿化区域,且CD 长不得超过....200 m . (1)试确定A ,B 的位置,使△OAB 的周长最大;
(2)当△OAB 的周长最大时,设∠DOC =2θ,试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的
函数,并求出S 的最大值.
19.(本小题满分16分) 已知数列{a n },{b n },a 1=1,2
211
1
(1)n n n n a b a a ++=-?,n ∈N *,设数列{b n }的前n 项和为S n .
(1)若12n n a -=,求S n ;
(2)是否存在等比数列{a n },使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立?若存在,求出所有满足条件
的数列{a n }的通项公式;若不存在,说明理由;
(3)若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…,求证:0≤S n <2.
20.(本小题满分16分) 已知函数1
()ln f x a x x
=-
-(a ∈R )
. (1)若a =2,求()f x 在(1,e 2)上零点的个数,其中e 为自然对数的底数; (2)若()f x 恰有一个零点,求a 的取值集合;
(3)若()f x 有两零点x 1,x 2(x 1<x 2),求证:2<x 1+x 2<13e a --1.
A
B
C
D
P
Q
(第18题)
O
南通市2015届高三第三次调研测试
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分) 如图,BC 为圆O 的直径,A 为圆O 上一点,过点A 作圆O 的切线交BC 的延长线于点P ,
AH ⊥PB 于H . 求证:PA AH PC HB ?=?.
B .[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (0,0),B (2,0),C (1,2),矩阵011
02??
??=??-??M ,点A ,B ,C 在矩阵M 对应的变换作用下得到的点分别为A ',B ',C ',求△A B C '''的面积.
(第21(A )题)
C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=??=?
,
(α为参数,r 为常数,r >0).以
O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l
cos()204
θπ
++=.若
直线l 与曲线C 交于A ,B
两点,且AB =,求r 的值.
D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知实数a ,b ,c ,d 满足a >b >c >d ,求证:
14936
a b b c c d a d
++----≥
.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)
如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,12AA AB =. (1)求1AD 与平面11BB D D 所成角的正弦值;
(2)若点E 在棱1AA 上,二面角E -BD -C 1
求
1
AE
AA 的值.
23.(本小题满分10分)
袋中共有8个球,其中有3个白球,5个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补一个相同的白球放入袋中.重复上述过程n 次后,袋中白球的个数记为X n .
(1)求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2); (2)求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式.
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
(第22题)
(第5题)
(第4题)
南通市2015届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 设集合A ={3,m },B ={3m ,3},且A =B ,则实数m 的值是 ▲ .
【答案】0
2. 已知复数z =
(1i)(12i)+-(i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .
【答案】3
3. 已知实数x ,y 满足条件||1||1x y ???
≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ .
【答案】-3
4. 为了解学生课外阅读的情况,随机统计了n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[50,150]
中,其频率分布直方图如图所示.已知在[50 75),
【答案】1000
5. 在如图所示的算法流程图中,若输出的y 的值为26,则输入的x 的值为 ▲ .
【答案】-4
6. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为x ,则log 2x 为整数的概率为 ▲ .
【答案】
4
9
7. 在平面直角坐标系xOy 中,点F 为抛物线x 2
=8y 的焦点,则F 到双曲线2
2
19
y x -=的渐近线
的距离为 ▲ .
【答案 8. 在等差数列{a n }中,若a n +a n +2=4n +6(n ∈N *),则该数列的通项公式a n = ▲ .
【答案】2n +1
(第10题)
C
(第11题)
9. 给出下列三个命题: ①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件;
③“a =0”是“函数f (x ) = x 3+ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为 ▲ .
【答案】③
10.已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ,其表面展开图如图所示,则该空间几何体的体积
V = ▲ cm 3. 【答案
】1+
11. 如图,已知正方形ABCD 的边长为2,点E 为AB 的中点.以A 为圆心,AE 为半径,作弧交
AD 于点F .若P 为劣弧 EF 上的动点,则PC PD
的最小值为 ▲ .
【答案
】5-12. 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ?++=?+?
≤≤,,
,>.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点,
则实数m 的取值范围为 ▲ .
【答案】(-5,0)
13.在平面直角坐标系xOy 中,过点P (-5,a )作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线,切点分别
为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),且21122112
2
0y y x x x x y y -+-+=-+,则实数a 的值为 ▲ .
【答案】3或-2
14.已知正实数x ,y 满足24
310x y x y +
++=,则xy 的取值范围为 ▲ . 【答案】[1,8
3
]
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......
内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1C ⊥AB ,侧面BCC 1B 1为菱形. (1)求证:平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1;
(2)如果点D ,E 分别为A 1C 1,BB 1的中点,
求证:DE ∥平面ABC 1.
解:(1)因三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形, 故B 1C ⊥BC 1.……………………………………………………………………… 2分
又B 1C ⊥AB ,且AB ,BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线,
故B 1C ⊥平面ABC 1.
5分
因B 1C ?平面BCC 1B 1
,
故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1.
7分
(2)如图,取AA 1的中点F ,连DF ,FE . 又D 为A 1C 1的中点,故DF ∥AC 1,EF ∥AB .
因DF ?平面ABC 1,AC 1?平面ABC 1,
故DF ∥面ABC 1. ………………… 10分 同理,EF ∥面ABC 1.
因DF ,EF 为平面DEF 内的两条相交直线,
故平面DEF ∥面ABC 1.……………………………………………………………… 12分 因DE ?平面DEF ,
故DE ∥面ABC 1.…………………………………………………………………… 14分
16.(本小题满分14分)
已知函数()sin()f x A x ω?=+(其中A ,ω,?为常数,
且A >0,ω>0,22
?ππ
-<<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f (x )的解析式; (2)若3()2
f α=,求sin(2)6απ
+的值.
1 (第15题答图)
1
(第15题)
解:(1)由图可知,A =2,…………………………………………………………… 2分 T =2π,故1ω=,所以,f (x ) =2sin()x ?+.…………………………………… 4分
又22(
)2sin()233f ?ππ=+=,且22?ππ-<<,故6
?π
=-. 于是,f (x ) =2sin()6x π
-.…………………………………………………………
7分 (2)由3
()2
f α=
,得3sin()64απ-=.…………………………………………
9分 所以,sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ???
?+=-+=-???????
?…………………………
12分 =21
12sin ()68
απ--=-.……………………………………
14分
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的两焦点分别为F 1
(0),
F 2
0),且经过点
1
2
).
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)设点B ,C ,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B 与点D 关于原点O 对称.设直
线CD ,CB ,OB ,OC 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,且k 1k 2=k 3k 4. ①求k 1k 2的值; ②求OB 2+OC 2的值.
解:(1)方法一
依题意,c
a 2=
b 2+3,……………………………………………………… 2分
由22
1
3413b b +=+,解得b 2=1(b 2
=34
-,不合,舍去),从而a 2=4.
故所求椭圆方程为:2
214
x y +=.
(第17题)
离心率e
5分
方法二
由椭圆的定义知,2a
4,
即a =2.…………………………………………………………………………… 2分
又因c
b 2=1.下略.
(2)①设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则D (-x 1,-y 1),
于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+?-+=122
22221y y x x --=22
212
221(1)(1)44x x x x ----=1
4
-.………………… 8分
②方法一
由①知,k 3k 4=k 1k 2=1
4
-,故x 1x 2=124y y -.
所以,(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2,即(x 1x 2)2
=22
1216(1)(1)44
x x --=2222
1212164()x x x x -++,
所以,22
12x x +=4.…………………………………………………………………… 11分
又2=22221212()()44x x y y +++=22
2212124
x x y y +++,故22
12
1y y +=. 所以,OB 2+OC 2 =2222
1122
x y x y +++=5.………………………………………… 14分
方法二
由①知,k 3k 4=k 1k 2=14
-.
将直线y =k 3x 方程代入椭圆2
214
x y +=中,得2123414x k =+.……………………
9分
同理,2
2
2
4
4
14x k =+.
所以,2212
22
34441414x x k k +=+++=22
33
44
11414()4k k +++-=4.…………………… 11分 下同方法一.
18.(本小题满分16分)
为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为200 m ,圆心角为120°的扇形地上建造市民广场.规划设计如图:内接梯形ABCD 区域为运动休闲区,其中A ,B 分别在半径OP ,
OQ 上,C ,D 在圆弧 PQ
上,CD ∥AB ;△OAB 区域为文化展示区,AB
长为m ;其余空地为绿化区域,且CD 长不得超过....200 m . (1)试确定A ,B 的位置,使△OAB 的周长最大?
(2)当△OAB 的周长最大时,设∠DOC =2θ,试将运动休闲
区ABCD 的面积S 表示为θ的函数,并求出S 的最大值.
解:(1)设(0200]OA m OB n m n ==∈,,,,
, 在△OAB 中,22222cos
3
AB OA OB OA OB π
=+-??,
即222m n mn =++,…………………………………………………… 2分
所以,22
2
2
2()3
()()()44
m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥,…………
4分
所以100m n +≤,当且仅当m =n =50时,m n +取得最大值,此时△OAB 周长取得最大值. 答:当OA OB 、都为50 m 时,△OAB 的周长最大. 6分
(2)当△AOB 的周长最大时,梯形ACBD
为等腰梯形. 过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ,交AB 于E , 则E F 、分别为AB ,CD 的中点,
所以DOE θ∠=,由CD 200≤,得(0]6 θπ
∈,.
8分
在△ODF 中,200sin 200cos DF OF θθ==,
. 又在△AOE 中,cos
253
OE OA π
==,故200cos 25EF θ=-. 10分
所以,1
400sin )(200cos 25)
2S θθ=-
=8sin )(8cos 1)θθ-
8sin 64sin cos θθθθ=-+,(0]6
θπ∈,.…………
12分
令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+,(0]6
θπ
∈,,
B C
D
Q
(第18题)
O B
C
D
Q
(第18题答图)
O E
F
()8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++,(0]6
θπ
∈,,
又y =16sin()6πθ-+及y =cos 2θ在(0]6
θπ
∈,上均为单调递减函数,
故()f θ'在(0]6
θπ
∈,上为单调递减函数.
因1()4)62f π'=--?>0,故()f θ'>0在(0]6
θπ
∈,上恒成立,………
14分
于是,()f θ在(0]6
θπ∈,上为单调递增函数.
所以当6
θπ
=时,()f θ有最大值,此时S
有最大值为625(8+. 答:当6
θπ
=
时,梯形ABCD
面积有最大值,且最大值为625(8+ m 2.… 16分
19.(本小题满分16分) 已知数列{a n },{b n }中,a 1=1,2
211
1
(1)n n n n a b a a ++=-?,n ∈N *,数列{b n }的前n 项和为S n .
(1)若12n n a -=,求S n ;
(2)是否存在等比数列{a n },使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立?若存在,求出所有满足条件
的数列{a n }的通项公式;若不存在,说明理由;
(3)若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…,求证:0≤S n <2.
解:(1)当a n =12n -时,b n =11(1)42n -?=23
2n +.………………………………………
2分 所以,S n =1231133
(1)82242n n -++++=- .………………………………………
4分
(2)满足条件的数列{a n }存在且只有两个,其通项公式为a n =1和a n =1(1)n --. 证明:在2n n b S +=中,令n =1,得b 3=b 1. 设a n =1n q -,则b n =211
(1)n
q q -.………………………………………………… 6分
由b 3=b 1,得2321111(1)(1)q q q q
-
=-.
若q =1±,则b n =0,满足题设条件.此时a n =1和a n =1(1)n --.………………… 8分
若q 1≠±,则
311
q q
=,即q 2 =1,矛盾. 综上,满足条件的数列{a n }存在,且只有两个,一是a n =1,另一是a n =1(1)n --. 10分
(3)因1=a 1≤a 2≤…≤a n ≤…,故0n a >,0<1n n a a +≤1,于是0<2
21n
n a a +≤1.
所以,2
211
1
(1)n n n n a b a a ++=-?≥0,n =1,2,3,….
所以,S n =b 1+b 2+…+b n ≥0.………………………………………………………… 13分
又,2
211
1
(1)n n n n a b a a ++=-?=1111(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-?
=11111(1)()n n n n n n a a a a a a ++++
-?≤1
11
2()n n a a +-. 故,S n =b 1+b 2+…+b n ≤12231
111111
2(
)2()2()n n a a a a a a +-+-++- =11112(
)n a a +-=1
1
2(1)n a +-<2. 所以,0≤S n <2.…………………………………………………………………
16分
20.(本小题满分16分) 已知函数1
()ln f x a x x
=-
-(a ∈R )
. (1)若a =2,求函数()f x 在(1,e 2)上的零点个数(e 为自然对数的底数); (2)若()f x 恰有一个零点,求a 的取值集合;
(3)若()f x 有两零点x 1,x 2(x 1<x 2),求证:2<x 1+x 2<13e a --1.
解:(1)由题设,()f x '=21x
x
-,故()f x 在(1,e 2)上单调递减.…………………… 2分
所以()f x 在(1,e 2)上至多只有一个零点. 又221
(1)(e )1()e
f f =?-<0,故函数()f x 在(1,e 2)上只有一个零点.…………… 4分 (2)()f x '=
2
1x
x -,令()f x '=0,得x =1.
当x >1时,()f x '<0,()f x 在(1 )+∞,
上单调递减;
当0<x <1时,()f x '>0,()f x 在(0,1)上单调递增,
故max [()]f x =f (1)=a -1.……………………………………………………… 6分 ①当max [()]f x =0,即a =1时,因最大值点唯一,故符合题设;…………… 8分
②当max [()]f x <0,即a <1时,f (x )<0恒成立,不合题设; ③当max [()]f x >0,即a >1时,一方面,e a ?>1,1
(e )e a a
f =-
<0; 另一方面,e a -?<1,(e )2e a a f a -=-≤2a -e a <0(易证:e x ≥e x ), 于是,f (x )有两零点,不合题设.
综上,a 的取值集合为{1}.………………………………………………………… 10分 (3)证:先证x 1+x 2>2. 依题设,有a =111ln x x +=221
ln x x +,于是212121
ln x x x x x x -=.
记
21x x =t ,t >1,则11ln t t tx -=,故11
ln t x t t
-=. 于是,x 1+x 2=x 1(t +1)=21ln t t t
-,x 1+x 2-2=21
2(ln )
2ln t t t t --.
记函数g (x )=21
ln 2x x x
--,x >1.
因2
2(1)()2x g x x -'=>0,故g (x )在(1 )+∞,
上单调递增. 于是,t >1时,g (t )>g (1)=0.
又ln t >0,所以,x 1+x 2>2.…………………………………………………………… 13分 再证x 1+x 2<13e a --1.
因f (x )=0?h (x )=ax -1-x ln x =0,故x 1,x 2也是h (x )的两零点. 由()h x '=a -1-ln x =0,得x =1e a -(记p =1e a -).
仿(1)知,p 是h (x )的唯一最大值点,故有12
()0.h p x p x ???<>,
<
作函数h (x )=2()ln ln x p x p x p ---+,则2
2
()()()x p h x x x p -'=+≥0,故h (x )单调递增.
故,当x >p 时,h (x )>h (p )=0;当0<x <p 时,h (x )<0.
于是,ax 1-1=x 1ln x 1<
11112()
ln x x p x p x p
-++.
整理,得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+>0, 即,21111(3e 1)e a a x x ----+>0.
同理,2
1122(3e 1)e a a x x ----+<0.
故,21122(3e 1)e a a x x ----+<21111(3e 1)e a a x x ----+,
1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---<,
于是,1123e 1a x x -+-<.
综上,2<x 1+x 2<13e a --1.………………………………………………………
16分
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的
............答题区域内作答
........若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,BC为圆O的直径,A为圆O上一点,过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P,AH⊥PB于H.
求证:P A·AH=PC·HB.
证:连AC,AB.
因BC为圆O的直径,故AC⊥AB.
又AH⊥PB,故AH2=CH·HB,即AH HB
CH AH
=.………………………………5分
因P A为圆O的切线,故∠P AC=∠B.在Rt△ABC中,∠B+∠ACB=90°.
在Rt△ACH中,∠CAH+∠ACB=90°.所以,∠HAC=∠B.
所以,∠P AC=∠CAH,
所以,PC PA
CH AH
=,即
AH PA
CH PC
=.
所以,PA HB
PC AH
=,即P A·AH=PC·HB.…………………………………………10分
B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(2,0),C(1,2),矩阵
01
1
2
??
??
=
??
-
??M,
点A,B,C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A',B',C',求△A B C
'''的面积.
解:因
00
00
????
=
????
????
M,
20
01
????
=
????
-
????
M,
2
1
1
2
2
??
????
=
????
-
??
??
M,
即
1
(00)(01)(2)
2
A B C
'''
--
,,,,,.……………………………………………………6分
故
1
21
2
S A B''
=??=.………………………………………………………………10分
(第21(A)题答图)
(第21(A)题)
C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=??=?
,
,(α为参数,r 为常数,r >0).以
原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程
为
cos()204
θπ
++=.若直线l 与曲线C 交于A ,B
两点,且AB =,求r 的值.
解
cos()204
θπ
++=,得cos sin 20ρθρθ-+=,
即直线l 的方程为20x y -+=.…………………………………………………… 3分
由cos sin x r y r αα=??=?,,
得曲线C 的普通方程为222x y r +=,圆心坐标为(0,0),……… 6分
所以,圆心到直线的距离d
AB =,则2r =.……………… 10分
D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知实数a ,b ,c ,d 满足a >b >c >d ,求证:
14936
a b b c c d a d
++----≥
. 证:因a >b >c >d ,故a -b >0,b -c >0,c -d >0. 故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ??-+-+-++++= ?---??
≥,…………… 6分 所以,
14936
a b b c c d a d
++----≥
.………………………………………………… 10分
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)
如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,12AA AB =. (1)求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值;
(2)点E 在侧棱1AA 上,若二面角E -BD -C 1 求1
AE
AA 的值. A B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
(第22题)
解:(1)以D 为原点,DA ,DC ,DD 1分别为x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示空间直角坐标系D -xyz . 设1AB =,则D (0,0,0),A (1,0,0), B (1,1,0),C (0,1,0),D 1(0,0,2),
A 1(1,0,2),
B 1(1,1,2),
C 1(0,1,2).
2分
(1)设1AD 与面11BB D D 所成角的大小为θ,
1(102)AD =-
,,,
设平面11BB D D 的法向量为n =(x ,y ,z ),
(1,1,0)DB = ,1(0,0,2)DD = ,则10,0DB DD ?=?=
n n ,即0,0x y z +==.
令1x =,则1y =-,所以(110) =-,,n ,111sin |cos ,|||||||
AD AD AD θ?=<>==
n n n ,
所以1AD 与平面11BB D D .………………………… 6分
(2)设E (1,0,λ),0≤λ≤2.
设平面EBD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),平面1BDC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),
(110)(10)DB DE λ== ,,,,,,
由1100DB DE ?=?=
,n n ,得11110,0x y x z λ+=+=, 令11z =,则11,x y λλ=-=,1(,,1)λλ=-n ,1(0,1,2)DC =
,
由22100DB DC ?=?=
,n n ,得2222020x y y z +=+=,, 令z 2=1,则x 2=2,y 2=-2,2(2,2,1)=-n ,121212cos ,||||?<>=
=n n n n n n ,
=,得1λ=.所以
1
1
2AE AA =.…………………………… 10分
23.(本小题满分10分)
袋中共有8个球,其中有3个白球,5个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补一个白球放入袋中.重复上述过程n 次后,袋中白球的个数记为X n . (1)求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2);
(2)求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式.
解:(1)由题意可知X 2=3,4,5. 当X 2=3时,即二次摸球均摸到白球,其概率是P (X 2=3)=1133
1188C C C C ?=964
;
当X 2=4时,即二次摸球恰好摸到一白,一黑球,其概率是P (X 2=4)=11113554
11118888C C C C C C C C +=3564;
当X 2=5时,即二次摸球均摸到黑球,其概率是P (X 2=5)=1154
1188C C C C =516
.……
3分
所以随机变量X 2的概率分布如下表:
数学期望E (X 2)=9355267
34564641664
?
+?+?=
.……………………………… 5分 (2)设P (X n =3+k )=p k ,k =0,1,2,3,4,5.
则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1,E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5.
P (X n +1=3)=038p ,P (X n +1=4)=58p 0+48p 1,P (X n +1=5)=48p 1+58p 2,P (X n +1=6)=38
p 2+6
8p 3,
P (X n +1=7)=28p 3+78p 4,P (X n +1=8)=18p 4+8
8
p 5,
所以,E (X n +1)
=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88
p 5)
=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =7
8(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =7
8
E (X n )+1. 由此可知,E (X n +1)-8=7
8
(E (X n )-8).
又E (X 1)-8=358-,所以E (X n )=1357
8()88n --.…………………………… 10分
(第4题) 江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题 参考公式:柱体的体积公式V Sh =柱体,其中S 为柱体的底面积,h 为高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-,,,,,,,,则U A =e ▲ . 2. 已知复数12i 3 4i z a z =+=-,,其中i 为虚数单位.若 1 2 z z 为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 3. 某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[]40100,上,其频率分布直方图如图所示, 则成绩不低于60分的人数为 ▲ . 4. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值为 ▲ . 5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC ,BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积 大于32 cm 2 的概率为 ▲ . 6. 在ABC △中,已知145AB AC B ===?,,则BC 的长为 ▲ . 成绩/分 (第3题)
7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 与双曲线2 2 13 y x -=有公共的渐近线,且经过点 () 23P -,,则双曲线C 的焦距为 ▲ . 8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知角αβ,的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点 (12)A ,,(51)B ,,则tan()αβ-的值为 ▲ . 9. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若396S S S ,,成等差数列,且83a =,则5a 的值为 ▲ . 10.已知a b c ,,均为正数,且4()abc a b =+,则a b c ++的最小值为 ▲ . 11.在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ?? -+?? ++?≤, ≥,≥表示的平面区域 内,则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ . 12.设函数31e 02()320x x f x x mx x -?->?=??--?≤,,,(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 ▲ . 13.在平面四边形ABCD 中,已知1423AB BC CD DA ====,,,,则AC BD ?u u u r u u u r 的值为 ▲ . 14.已知a 为常数,函数22 ()1x f x a x x = ---的最小值为23-,则a 的所有值为 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域....... 内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中,设向量()cos sin αα=,a ,()sin cos ββ=-,b ,() 312=-,c . (1)若+=a b c ,求sin ()αβ-的值; (2)设5π6α=,0πβ<<,且()//+a b c ,求β的值. 16.(本小题满分14分) 如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AB AC ,点E ,F 分别在棱BB 1 ,CC 1上(均异于 端点),且∠ABE ∠ACF ,AE ⊥BB 1,AF ⊥CC 1. 求证:(1)平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ; A B C F E
南通市2021届高三第一次调研测试 数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}26A x x =∈< 位:h )近似满足锤子数学函数关系式0 (1e )kt k x k -= -,其中0,k k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位:mg/h ).经测试发现,当23t =时,0 2k x k =,则该药物的消除速率k 的值约为(ln 20.69)≈ A . 3100 B . 310 C . 103 D . 100 3 【答案】A 5.(12)n x -的二项展开式中,奇数项的系数和为 A .2n B .12n - C .(1)32n n -+ D .(1)32 n n -- 【答案】C 6.函数sin 21 x y x π=-的图象大致为 【答案】D 7.已知点P 是ABC ?所在平面内一点,有下列四个等式: 甲:PA PB PC ++=0; 乙:()()PA PA PB PC PA PB ?-=?-; 丙:PA PB PC ==; 丁:PA PB PB PC PC PA ?=?=?. 南通市2013届高三第一次调研测试数学I (考试时间:120分钟满分:160分) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知全集U=R,集合{} 10 A x x =+>,则 U A= e ▲. 答案:(,1] -∞-. 2.已知复数z=32i i -(i是虚数单位),则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限. 答案:三. 3.已知正四棱锥的底面边长是6 ,这个正四棱锥的侧面积是▲. 答案:48. 4.定义在R上的函数() f x,对任意x∈R都有(2)() f x f x +=,当(2,0) x∈-时,()4x f x=, 则(2013) f=▲. 答案:1 4 . 5.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则p是q的▲.(从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)答案:否命题. 6.已知双曲线 2 2 22 1 y x a b -=的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合, ,则该双曲线的标准方程为▲. 答案: 2 2 1 y x-=. 7.若S n为等差数列{a n}的前n项和,S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为▲. 答案 :± 8.已知实数x∈[1,9],执行如右图所示的流程图,则输出的x不小于55的概率为▲. 答案:3 8 . 9.在△ABC中,若AB=1,AC |||| AB AC BC += ,则 || BA BC BC ? = ▲. A B C D E F A 1 B 1 C 1 (第15题) 答案:12 . 10.已知01a <<,若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+,且x y <+λ,则λ的最大值为 ▲ . 答案:-2. 11.曲线2(1)1 ()e (0)e 2x f f x f x x '= -+在点(1,f (1))处的切线方程为 ▲ . 答案:1 e 2 y x =- . 12.如图,点O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅 为3cm ,周期为3s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm . 答案:-1.5. 13.已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ,B 两点,点00(,)P x y 在直线y =2x 上, 且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ . 答案:(1,0)(0,2)- . 14.设P (x ,y )为函数21y x =-(x 图象上一动点,记3537 12 x y x y m x y +-+-= + --,则当m 最小时,点 P 的坐标为 ▲ . 答案:(2,3). 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请把答案写在答题卡相应的 位置上.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分) 如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点,F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点,D 是棱BC 的中点.求证: (1)//EF 平面ABC ; (2)平面AEF ⊥平面A 1AD . 解:(1)连结11A B A C 和. 因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点, 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点. 所以//EF BC . ……………………………………………3分 又BC ?平面ABC 中,EF ?平面ABC 中, 故//EF 平面ABC . …………………………………6分 (第12题) O A B C D E F A 1 B 1 C 1 (第15题) 2016年江苏南通市高三一模数学试卷 一、填空题(共14小题;共70分) 1. 已知集合,,那么 ______. 2. 若复数满足,则的值为______. 3. 若从,,,这四个数中一次随机地取两个数,则所取两个数的乘积是偶数的概率为______. 4. 运行如图所示的伪代码,其输出的结果的值为______. S←0 I←0 While S≤10 S←S+I^2 I←I+1 End While Print S 5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况,某地区调查了户家庭的月消费金额(单位:元), 所有数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则被调查的户家庭中,有______ 户的月消费额在元以下. 6. 已知等比数列的前项和为,若,,则的值为______. 7. 在平面直角坐标系中,已知双曲线过点,其一条渐近线的 方程为,那么该双曲线的方程为______. 8. 若正方体的棱长为,是棱的中点,则三棱锥的体积为 ______. 9. 若函数为奇函数,则的值为______. 10. 已知,那么的值为______. 11. 在平面直角坐标系中,已知点,.若直线上存在点使得 .则实数的取值范围是______. 12. 在边长为的正三角形中,若,,与交于点,则的 值为______. 13. 在平面直角坐标系中,直线与曲线和均相切,切点分别为 和,则的值为______. 14. 已知函数.若对于任意的,都有成立,则 的最大值是______. 二、解答题(共6小题;共78分) 15. 在中,内角,,所对的边分别为,,,且. (1)求角的大小; (2)若,,求的面积. 16. 如图,在直四棱柱中,底面是菱形,是的中点. (1)求证:; (2)求证: 平面. 17. 如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)若直线:与椭圆相交于,两点(异于点),线段被轴平分,且,求直线的方程. 18. 如图,阴影部分为古建筑物保护群所在地,其形状是以为圆心、半径为的半圆面.公 路经过点,且与直径垂直.现计划修建一条与半圆相切的公路(点在直径的延长线上,点在公路上),为切点. (1)按下列要求建立函数关系: ①设(单位:),将的面积表示为的函数; 2017届高三一模考试 数学试题Ⅰ 一:填空题 1.函数)3 3sin(2π - =x y 的最小正周期为_________。 2.设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ,则B A =____________。 3.复数2 )21(i z +=,其中i 为虚数单位,则z 的实部为_______。 4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球。摸出红球 的概率为0.48,摸出黄球的概率是0.35,则摸出蓝球的概率 为___________。 5.如图是一个算法流程图,则输出的n 的值为__________。 6.若实数y x ,满足???? ???≥≥≤+≤+0 07342y x y x y x ,则y x z 23+=的最大值为______。 7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:分), 则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为________。 8.如图,在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB=3cm ,AA 1=1cm , 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3 。 9.在平面直角坐标系xOy 中,直线02=+y x 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线,则该双 曲线的离心率为______________。 10.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为___________升。 11.在ABC ?中,若?=?+?2,则 C A sin sin 的值为___________。 12.已知两曲线)2 ,0(,cos )(,sin 2)(π ∈==x x a x g x x f 相交于点P 。若两曲线在点P 处的切线互相垂直, 则实数a 的值为______________。 13.已知函数|4|||)(-+=x x x f ,则不等式)()2(2 x f x f >+的解集用区间表示为__________。 14.在平面直角坐标系xOy 中,已知B ,C 为圆42 2 =+y x 上两点,点)1,1(A ,且AC AB ⊥,则线段BC 的长的取值围是_____________。 二:解答题 15.(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆 交于点A ,以OA 为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B ,5 5 2= AB 。 (1)求βcos 的值; (2)若点A 的横坐标为13 5 ,求点B 的坐标。 南通市2017届高三最后一卷 数 学 2017.05 注意事项: 1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡... 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置....... 上. 1.已知集合{}|11=-<≤A x x ,{}|02=<≤B x x ,则=U A B ▲ . 2.设复数()2 2=+z i (i 为虚数单位),则z 的共轭复数为 ▲ . 3.根据如图所示的伪代码,当输入x 的值为e (e 为自然对数的底数)时,则输出的y 的值为 ▲ . 4.甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,则平均数较小的一组数为 ▲ .(选填“甲”或“乙”) 5. 在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A=75°,B=45°, c=b 的值为 ▲ . 6.口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球. 先从口袋中摸出1 只球,记下颜色后放回口袋,然后再摸出一只球,则出现“1只白球,1只黑球”的概率为 ▲ . 7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线的渐进线方程为=±y x ,且它的一个焦点与抛物线28=x y 的焦点重合,则该双曲线的方程为 ▲ . 8.已知函数()=y f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的奇函数,且当(),0∈-∞x 时,()12=-x f x ,则当()0,∈+∞x 时,()f x 的解析式为()f x = ▲ . 9.一个封闭的正三棱柱容器,高为8,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面所在的平面与各棱交点E 、F 、F 1 、E 1,分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为 ▲ . 10.如图,△ABC 中,M 是中线AD 的中点,若2=u u u r AB ,3=u u u r AC ,0 60∠=BAC , 则?u u u u r u u u u r AM BM 的值为 ▲ . (第3题图) 8 1 9 9 1 2 3 7 甲 乙 (第4题图) 2 5 3 3 5 数学Ⅰ参考答案与评分标准 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,4},则 U A = ▲ . 【答案】{3,5}. 2. 已知复数1z 13i =+,2z 3i =+(i 为虚数单位).在复平面内,12z z -对应的点在第 ▲ 象限. 【答案】二. 3. 命题:“x ?∈R ,0x ≤”的否定是 ▲ . 【答案】x ?∈R ,||0x >. 4. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ . 【答案】3. 5. 设实数x ,y 满足0 0 3 24 x y x y x y ???? +??+?≤≤≥,≥,, , 则32z x y =+的最大值是 ▲ . 【答案】7. 6. 如图是一个算法的流程图.若输入x 的值为2,则输出y 的 值是 ▲ . 【答案】32 -. 7. 抽样统计甲,乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI),数据如下: 则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ (填甲或乙). 【答案】乙. 8. 已知正三棱锥的侧棱长为1.现从该正三棱锥的六条棱中随机选取 两条棱,则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ . 【答案】25 . 9. 将函数()()sin 2f x x ?=+()0?<<π的图象上所有点向右平移π6 个单位后得到的图象关于原点 对称,则?等于 ▲ . 【答案】π3 . (第6题) 10.等比数列{a n }的首项为2,公比为3,前n 项和为S n .若log 3[12a n (S 4m +1)]=9,则1n +4 m 的最小值 是 ▲ . 【答案】52 . 11.若向量()cos sin αα=, a ,()cos sin ββ=, b ,且2+?≤a b a b ,则cos()αβ-的值是 ▲ . 【答案】1. 12.在平面直角坐标系xOy 中,直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线,则当a >0时,实数b 的最小 值是 ▲ . 【答案】1-. 13.已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -,N ={|P PA ,(1,0),(1,0)}A B -,则表示M ∩N 的图形 面积等于 ▲ . 【答案】43 π+ 14.若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ,在闭区间[1 1]t t -+,上总存在两实数1x 、2x , 使得12|()()|f x f x -≥8成立,则实数a 的最小值为 ▲ . 【答案】8. 二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域.......内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,//AB CD ,1AB BC ⊥,且1AA AB =. (1)求证:AB ∥平面11D DCC ; (2)求证:1AB ⊥平面1A BC . (1)证明:在四棱柱1111ABCD A B C D -中,//AB CD , AB ?平面11D DCC , CD ?平面11D DCC , 所以//AB 平面11D DCC . ……………………………………………………………………6分 (2)证明:在四棱柱1111ABCD A B C D -中,四边形11A ABB 为平行四边形,又1AA AB =, 故四边形11A ABB 为菱形. 从而11AB A B ⊥.…………………………………………………………………………… 9分 A 1 B 1 C 1 C D A B D 1 (第15题) 2019届江苏省南通市高三第一次模拟 数 学 理 科 (满分160分,考试时间120分钟) 参考公式: 柱体的体积公式:V 柱体=Sh ,其中S 为柱体的底面积,h 为高. 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知集合A ={1,3},B ={0,1},则集合A ∪B = . 2. 已知复数z =2i 1-i -3i (i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 3. 某中学组织学生参加社会实践活动,高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下: 次数 2 3 4 5 人数 20 15 10 5 则平均每人参加活动的次数为 . 4. 如图是一个算法流程图,则输出的b 的值为 . 5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组,甲、乙两位同学各随机参加一个,则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 . 6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ,侧面的对角线长是35cm ,则这个正四棱柱的体积为 cm 3. 7. 若实数x ,y 满足x ≤y ≤2x +3,则x +y 的最小值为 . 8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线为l ,直线l 与双曲线 x24 -y 2=1的两条渐近线分别交于A ,B 两点,AB =6,则p 的值为 . 9. 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y =3x +t 与曲线y =a sin x +b cos x(a ,b ,t ∈R )相切于点(0,1),则(a +b )t 的值为 。 10. 已知数列{a n }是等比数列,有下列四个命题: ① 数列{|a n |}是等比数列; ② 数列{a n a n +1}是等比数列; ③ 数列? ??? ?? 1an 是等比数列; ④ 数列{lg a2n }是等比数列. 其中正确的命题有 个. 11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且f (x +2)=f (x ).当0 江苏南通2019高三第一次调研考试-数学(word 版) 参考答案与评分标准 〔考试时间:120分钟 总分值:160分〕 【一】填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分、请把答案填写在答题卡相应的位 置上、 1、全集U =R ,集合{}10A x x =+>,那么U A =e ▲ 、 答案:(,1]-∞-、 2、复数z =32i i -(i 是虚数单位),那么复数z 所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限、 答案:三、 3、正四棱锥的底面边长是6 ,那个正四棱锥的侧面积是 ▲ 、 答案:48. 4、定义在R 上的函数()f x ,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=,当(2,0)x ∈- 时,()4x f x =, 那么(2013)f = ▲ 、 答案:14 、 那么p 是q 的▲、〔从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空〕 答案:否命题、 6、双曲线2222 1y x a b -=的一个焦点与圆x 2+y 2-10x =0的圆心重合, ,那么该双曲线的标准方程为▲、 答案: 2 21520 y x -=、 7、假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 9=-36,S 13=-104, 那么a 5与a 7的等比中项为▲、 答案 :±、 8、实数x ∈[1,9],执行如右图所示的流程图, 那么输出的x 不小于55的概率为▲、 答案:38 、 9、在△ABC 中,假设AB =1,AC ||||AB AC BC +=,那么|| BA BC BC ?=▲、答案:12 、 10、01a <<,假设log (21)log (32)a a x y y x -+>-+,且x y <+λ,那么λ的最大值为▲、 答案:-2、 11、曲线2(1)1()e (0)e 2 x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为▲、 答案:1e 2 y x =- 、 12、如图,点O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,假设振 幅为3cm ,周期为3s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时、那么该物体5s 时刻的位移为▲cm 、 (第12题) O 高三年级第一学期教学质量调研(三) 数学试题 一、填空題:本大题共 14小题,每小题 5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1.已知集合 1 ()12 x A x ,集合lg 0B x x ,则A B ▲? 2.若复数z 满足 1234z i i (i 是虚数单位),则复数z 的实部是 ▲ ? 3.右图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是▲ . 4.现把某类病毒记作 m n X Y ,其中正整数6,8(m n m n ,)可以任意选 取,则m n ,都取到奇数的概率为▲ 5?在样本的频率分布直方图中,共有8个小长方形,若中间一个小长方 形的面积等于其他7个小长方形的面积的和的1 5 ,且样本容量为120,则中间一组的频数是 ▲ _? 6.若双曲线 22 2 2 10,0x y a b a b 与直线3y x 有交点,则离心率e 的取值范围为▲ . 7. 等比数列n a 中,11a ,前 n 项和为n S ,满足654320S S S , 则5S = ▲ ? 8.如图,在正三棱柱111ABC A B C 中,已知13AB AA ,点P 在棱1CC 上, 则三棱锥1P ABA 的体积为 ▲. 9.已知 1sin cos ,05 ,则 2 sin sin 2 ▲ . 11?定义:如果函数 y f x 在区间,a b ,可上存在00 (x a x b ),满足 f b f a f x b a ,则称0x 是函数y f x 在区间,a b 上的一个均 值点.已知函数 1 42x x f x m 在区间[[0,1]]上存在均值点,则实数加的取值范围是 ▲ . 2019届高三年级第二次模拟考试 数 学 (满分160分,考试时间120分钟) 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知集合A ={1,3,a},B ={4,5},若A ∩B ={4},则实数a 的值为________. 2. 复数z = 2i 2+i (i 为虚数单位)的实部为________. 3. 某单位普通职工和行政人员共280人.为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况,现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本.已知从普通职工中抽取的人数为49,则该单位行政人员的人数为________. 4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________. 5. 执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为________. i ←1 S ←2 While i<7 S ←S ×i i ←i +2 End While Print S 6. 函数y =4x -16的定义域为________. 7. 将函数y =2sin 3x 的图象向左平移π12y =f(x)的图象,则f ??π 3的值为 ________. 8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a>0,b>0)的右顶点A(2,0)到渐 近线的距离为2,则b 的值为________. 9. 在△ABC 中,已知C =120°,sin B =2sin A ,且△ABC 的面积为23,则AB 的长为________. 10. 设P ,A ,B ,C 为球O 表面上的四个点,PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA =2m ,PB =3m ,PC =4m ,则球O 的表面积为________m 2 . 11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +4)=f (x ),且在区间[2,4)上,f (x )=? ?? ??2-x ,2≤x <3, x -4,3≤x <4,则函数y =f (x )-log 5|x |的零点的个数为________. 12. 已知关于x 的不等式ax 2 +bx +c>0(a ,b ,c ∈R ) 的解集为{x |3 2018届高三年级第一次模拟考试(四) 数学 (满分160分,考试时间120分钟) 参考公式: 柱体的体积公式:V 柱体=Sh ,其中S 为柱体的底面积,h 为高. 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知集合A ={-1,0,a},B ={0,a}.若B ?A ,则实数a 的值为________. 2. 已知复数z =1+4i 1-i ,其中i 为虚数单位,则复数z 的实部为________. 3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400,400,500.为了解该校学生的 身高情况,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本,则应从高三年级抽取________名学生. 4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________. 5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择 2个,则数学建模社团被选中的概率为________. 6. 若实数x ,y 满足?????y ≥1,y ≤3,x -y -1≤0, 则2x —y 的最大值为________. 7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 为抛物线y 2 =8x 的焦点,则点F 到双曲线x 216-y 29=1的渐近线的距离为________. 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+6a 4,则a 3的值为________. 9. 在平面直角坐标系xOy 中,将函数y =sin ????2x +π3的图象向右平移φ? ???0<φ<π2个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则φ的值为________. 10. 若曲线y =x ln x 在x =1与x =t 处的切线互相垂直,则正数t 的值为________. 11. 如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ,圆柱的底面积为93cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗) (第11题) (第12题) 12. 如图,已知矩形ABCD 的边长AB =2,AD =1.点P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且∠PAQ = 江苏省南通市2021届高三上学期开学考试 数学试题 2020.9 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.记全集U =R ,集合A ={} 2 16x x ≥,集合B ={} 22x x ≥,则U (A) B = A .[4,+∞) B .(1,4] C .[1,4) D .(1,4) 2.已知5log 2a =,7log 2b =,20.5a c -=,则a ,b ,c 的大小关系为 A .b <a <c B .a <b <c C .c <b <a D .c <a <b 3.若3cos()5αβ+= ,5sin()413πβ-=,α,β∈(0,2 π),则cos()4πα+= A .3365- B .3365 C .5665 D .16 65 - 4.我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘核潜艇.船 厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为 A .30 B .60 C .90 D .120 5.函数()2sin()f x x ω?=+(ω>0,?<π)的部分图像如图所示,且()f x 的图像过A(2 π ,1),B( 2 π ,﹣1)两点,为了得到()2sin g x x ω=的图像,只需将()f x 的图像 A .向右平移56π B .向左平移56π C .向左平移512π D .向右平移512 π 第5题 第6题 6.《易经》是中国传统文化中的精髓,上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑 八卦),每一卦由三根线组成( -表示一根阳线,--表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A .18 B . 14 C .38 D .1 2 7.设F 1,F 2分别为双曲线C :22 221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与圆O : 222x y a +=相切,l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ,若PF 2⊥x 轴,则双曲线的离 心率等于 2014届南通市高三数学期末考试 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 复数i 2i z =-(其中i 是虚数单位)的虚部为 . 2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位:分钟)用茎叶图表示如图,图中左列表示时间的十位数,右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间(单位:分钟)的平均数为 . 3. 函数() 221 ()4 x x f x -=的值域为 . 4. 分别在集合A ={1,2,3,4}和集合B ={5,6,7,8}中各取一个数相乘,则积为偶数的概率为 . 5. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 的中心在原点,焦点在y 轴上,一条渐近线方程为0x =,则双曲线C 的离心率为 . 6. 如图是计算10 1 121k k =-∑的值的一个流程图,则常数a 的取值范围是 . 7. 函数y =() πsin 23 x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得 到,第一次变换是针对函数y = sin x 的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的.现给出下列四个变换: A. 图象上所有点向右平移π6个单位; B. 图象上所有点向右平移π3 个单位; C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变); D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变). 请按顺序写出两次变换的代表字母: .(只要填写一组) 8. 记max{a ,b }为a 和b 两数中的较大数.设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ,则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =,为偶函数”的 条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个) 9. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1:2248190x y x y +--+=关于直线l :250x y +-=对称的圆C 2的方程为 . 10. 给出以下三个关于x 的不等式:①2430x x -+<,②311x >+,③2220x m x m ++<.若③的解集非 空,且满足③的x 至少满足①和②中的一个,则m 的取值范围是 . 6 7 8 5 5 6 3 4 0 1 南通市2017届高三第一次调研测试 数学试题Ⅰ 一:填空题 1.函数)3 3sin(2π - =x y 的最小正周期为 。 2.设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ,则B A = 。 3.复数2)21(i z +=,其中i 为虚数单位,则z 的实部为 。 4 的概率为0.48,摸出黄球的概率是0.355.如图是一个算法流程图,则输出的n 的值为 。 6.若实数y x ,满足???? ???≥≥≤+≤+0 07342y x y x y x ,则y x z 23+=的最大值为 。7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:分),结果如下: 则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 。 8.如图,在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB=3cm ,AA 1=1cm , 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为 cm 3 。 9.在平面直角坐标系xOy 中,直线02=+y x 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条 渐近线,则该双曲线的离心率为 。 10.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 11.在ABC ?中,若?=?+?2,则C A sin sin 的值为 。 12.已知两曲线)2 ,0(,cos )(,sin 2)(π ∈==x x a x g x x f 相交于点P 。若两曲线在点P 处 的切线互相垂直,则实数a 的值为 。 结束 ↓ 开始 ↓ a ←1 ↓ 输出n N A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 (第4题) 2018届高三第二次调研测试 南通、徐州、扬州、宿迁、淮安等六市 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知集合{}{} 10123 102 U A =-=-,,,,,,,,则U A = e ▲ . 【答案】{}13, 2. 已知复数1 2i 34i z a z =+=-,,其中i 为虚数单位.若 12 z z 为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 【答案】43 3. 某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[ ]40100 ,上,其频率分布直方图如图 所示,则成绩不低于60分的人数为 ▲ . 【答案】30 4. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值为 ▲ . 【答案】125 5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC ,BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积大于 32 cm 2的概率为 ▲ . 【答案】1 3 6. 在A B C △中,已知145A B A C B == =? ,,则 B C 的长为 ▲ . 7. 在平面直角坐标系xO y 中,已知双曲线C 与双曲线2 2 1 3 y x - =有公共的渐近线,且经过 点( )2P -,则双曲线C 的焦距为 ▲ . 【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知角αβ,的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点 (12)A ,,(51)B ,,则tan ()αβ-的值为 ▲ . 【答案】97 9. 设等比数列{ }n a 的前n 项和为n S .若39 6 S S S ,,成等差数列,且8 3 a =,则5a 的值为 ▲ . 【答案】6- 10.已知a b c ,,均为正数,且4()a b c a b = +,则a b c ++的最小值为 ▲ . 成绩/分 40 50 60 70 80 90 100 (第3题) 2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡...相应位置上..... . 1.已知集合{1,0,2}A =-,{1,1,2}B =-,则A B =I _____. 答案:{1,2}- 解:因为{1,0,2}A =-,{1,1,2}B =-,所以{1,2}A B =-I 2.已知复数z 满足(1)2i z i +=,其中i 是虚数单位,则z 的模为_______. 答案:2 解:22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -= ==+++-,则22||=1+12z = 3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案:40 解: 3535413851405++++= 4.根据如图所示的伪代码,输出的a 的值为______. 答案:11 解:模拟演示: 1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i == 11,5a i ==此时输出11a = 5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0,且1a ,2a ,4a 成等比数列,则1a d 的值为____. 答案:1 解:由题意得:2214a a a =?,则2111()(3)a d a a d +=?+,整理得1a d =,所以 11a d = 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次,则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案:3 8 解:2231 13()()228 P C =??= 7.在正三棱柱111ABC A B C -中,12AA AB ==,则三棱锥111A BB C -的体积为____. 解:11 2232V =???8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>,若当6 x π=时,函数()f x 取得最大值,则ω的 2020年南通市高三数学参考题(35题) 一、选择题 1. (命题人:启东中学) 函数f (x )=|x 2-a | 在区间[-1,1]上的最大值M (a )的最小值是 A . 41 B .2 1 C .1 D .2 【解析】选B .f (x )是偶函数,所以M (a )是在[0,1]内的最大值,当a ≤0时,f (x )=x 2-a ,则M (a )=1-a ;当a >0时,由图像可知,若12≥a ,则M (a )=a ,若12??,≤,, M (a )min =12. 2. (命题人:海门中学吴健,审题人:沈永飞) 在网络游戏《变形》中,主人公每过一关都以 3 2 的概率变形(即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”),若将主人公过n 关不变形的概率计为P n ,则 A .P 5>P 4 B .P 8 P 16 【解析】由题32 )1(3111?-+?=--n n n P P P (*)N n ∈, 即13132--= n n P P (*)N n ∈,以n +1代n ,得n n P P 3 1 321-=+, 所以)(31 11-+--=-n n n n P P P P (*)N n ∈. 而31,110= =P P ,所以n n n P P )3 1 (321--=-+(N n ∈). 所以22121 200k k k k P P P P -+->??-, ,所以偶数项比它相邻项大,所以答案为C . 3. (命题人:海门市悦来中学何振华,审题人:沈康生) 在矩形ABCD 中,AB =3,AD =4,P 在AD 和DC 上运动,设θ=∠ABP ,将ABP ?2012-2013南通市高三数学一模
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