第4章 振动学基础
第4章 振动学基础
自然界到处都存在振动，海浪的起伏、心脏的跳动、活塞的往复运动以及树叶在空气中的晃动等等，这种物体在某一位置附近来回往复的运动叫机械振动，简称振动．它是物体运动的一种形式．广义的说，任何物理量随时间的周期性变化都可以叫振动．绝大多数物理量都能实现振动，最常见的是力学量和电磁学量的振动．位置、速度、加速度的振动，力、动量和能量等力学量的振动，统称为机械振动；电流、电压、电功率、电磁场等电磁学量的振动，统称为电磁振动或电磁震荡．机械振动是一种普遍而重要的运动形式，比较直观，易于理解，这种振动虽然和电磁振动有本质的不同，但他们随时间变化的情况以及许多性质在形式上都遵从相同的规律．故我们从研究机械振动入手研究振动的规律．进一步，振动是波动的基础，一切波动都是某种振动的传播过程，振动和波动是横跨物理学不同领域的物质运动的一种普遍而重要的形式．
从振动的形式来看，有连续振动和非连续(脉冲)振动，有周期振动和非周期振动等等，其中在线性回复力（如弹性力或准弹性力）作用下发生的振动是最基本的振动，其规律简单而和谐，称简谐振动．而且可以证明，一切复杂的振动都可以看作是多个不同频率的简谐振动的合成（傅里叶分解），因而讨论简谐振动也就是讨论所有振动的基础．
本章首先给出简谐振动的特征和定义，指出描述简谐振动的三个物理量：振幅、角频率和位相，接着介绍简谐振动的旋转矢量表示法，讨论简谐振动动力学和能量．然后介绍阻尼振动、受迫振动、共振．最后讨论简谐振动的合成与分解
4.1 简谐振动的运动学方程
4.1.1 简谐振动的运动学方程
物体运动时，如果离开平衡位置的位移按余弦规律随时间变化，这种运动就叫是简谐运动或简谐振动．因此，简谐振动定义（从运动学角度）的数学表达式为：
()?ω+=t A x c o s （4.1.1）
其中A 、ω和?为常量，分别叫简谐振动的振幅、角频率和初位相．
上式称为简谐振动的运动方程．可以看出决定简谐振动特征的物理量是其中A 、ω和?．它们是描写简谐振动的三个重要参量．
式（4.1.1）的函数关系可以用图4.1.1所示的曲线来表示，称简谐振动的振动曲线．振动曲线也可以实现对简谐振动的描述．
1．振幅A
A 表示质点可能离开原点的最大距离，它给出了质点
运动的范围，即A A ~-．这个量叫做振动的振幅．由于振幅A 是一个常量，因而简谐振动的全部变化都反映在余弦函数的变化之中．
2．周期、频率和角频率
振动物体运动状态完全重复一次，称为物体进行了一次全振动．物体进行一次全振动所需要的时间叫振动的周期，以T 表示．由周期函数的性质,有
图4.1.1简谐振动的振动曲线图
()()()π?ω?ω?ω2cos ]cos[cos ++=++=+=t A T t A t A x
即
π
2=
T （4.1.2）
单位时间内物体全振动的次数叫做简谐振动的频率，用ν表示．显然它是周期T 的倒数即
T 1
=
ν
（4.1.3） 也可以使用角频率表示为 πνπ
ω22==T
（4.1.4） 可见 角频率ω为π2时间内物体全振动的次数.
显然，ω，T 和ν这三个量中，只要有一个知道了，其余两个也就很容易得到．在国际单位制中，T 的单位是s ，ν的单位是Hz(或s –1)，ω的单位是rad/s(或s –1)．
角频率ω是振动系统固有的特征量，由系统特征量确定（在下一节里将对此经行讨论）．
3．相位和初相
在简谐振动方程中余弦函数的变量?ω+t 叫做振动的相位．记作
?ωφ+=t （4.1.5）
简谐振动的状态仅随相位的变化而变化，因而相位是确定简谐振动状态的物理量．相位是一个非常重要的概念，需要注意两点：相位与时间一一对应，相位不同是指时间先后不同；相位是以角度的方式出现，但并不与实际振动问题中任何真实的角度相联系（后面将进一步对此经行讨论）．上式对时间求导，可得
t
d d φ
ω=
（4.1.6） 故角频率表示相位变化的速率，是描述简谐振动状态变化快慢的物理量．ω是一个常量，表示相位是匀速变化的．
0=t 时的相位?叫初相，初相描述简谐振动的初始状态．
在时间从1t 到2t 的过程中，相位从?ωφ+=11
t 变化到?ωφ+=22t ，相位变化
t T
t t t ?=
?=-=-=?π
ωωφφφ2)(1212 （4.1.7） 式（4.1.7）的物理意义是：相位变化的大小等于相位变化的速率（角频率）与变化的时间之积．时
间每过一个周期T t
=?，则相位增加πφ2=?．
相位差与时间差的关系还常常用于讨论两个振动的同步．例如，有下列两个简谐振动：
()111cos ?ω+=t A x
()222cos ?ω+=t A x
它们的相位差（简称相差）为
()()????ω?ωφ?=-=+-+=?1212t t （4.1.8）
相差描述同一时刻两个振动的状态差．从上式可以看出，两个连续进行的同频率的简谐振动在任意时刻的相差都等于其初相差而与时间无关．由这个相差的值可以分析它们的步调是否相同．
如果0=?φ
(或者π2的整数倍)，两振动质点将同时到达各自的极大值，并且同时越过原点并
同时到达极小值，它们的步调始终相同．这种情况我们说二者同相．如图4.1.2（a ）
如果πφ=? (或者π的奇数倍)，两振动质点中的一个到达极大值时，另一个将同时到达极小
值，并且将同时越过原点并同时到达各自的另一个极值，它们的步调正好相反．这种情况我们说二者反相．如图4.1.2（b ）
当φ?为其它值时，我们一般说二者不同相．例如对于下面两个简谐振动：
)cos(2
11π
ω-=t A x
t A x ωcos 22=
相位差2πφ
=?，即2x 振动的相位始终要比1x 振动的相位大2π．
图4.1.3描出了这两个振动的振动曲线，从图中可以看出，在0
=t
时，01=x 、21πφ-=，22A x =、02=φ，即 212πφφ=-；在4T t =时变化为，11A x =、
01=φ，02=x ，42πφ=，同样有212πφφ=-．对于这种情况，我们说2x 振动在相位上超前
1x 振动2π，或说成是1x 振动落后于2x 振动2π．
严格的来说两个振动比较，相位大的一个称为超前，相位小的一个称为落后．从时间上看，时间因子大的一个称为超前，时间因子小的一个称为落后．但另一方面，由于相差的周期是π2，通常我们把
φ?的值限定在π以内．例如，当35πφ=?时，我们一般不说2x 振动在相位上超前1x 振动
5π，而改写为3235πππφ-=-=?，即改说2x 振动落后于1x 振动π．
4.1.2 简谐振动的速度与加速度
1、简谐振动的速度和加速度
由谐振方程，可求得任意时刻质点的振动速度和加速度：
()?ωω+-==
t A t x s i n d d v ??? ?
?++=2cos π?ωωt A （4.1.9） ()?ωω+-==t A t
x a c o s d d 2
22()π?ωω++=t A c o s 2 （4.1.10）
广义地说，简谐振动的位移x 、速度v 、加速度a 都是简谐振动．它们振动的频率相同；它
们的振幅分别为A 、A ω=max v 和A a 2
max ω=，
即依次多一个因子ω；它们的相位依次超前
2π．它们的相互关系可用图4.1.4所示的曲线
表示，从图中可以看出，它们的频率相同，相位依次超前2π
，因而加速度和位移反相．和振动
a 两同相振动的振动曲线
b 两反相振动的振动曲线
图4.1.2 同相与反相的振动曲线
图
4.1.3 振动的领先与落后
图4.1.4 位移、速度、加速度
方程比较亦可以看出
x t
x
a 222d d ω-== （4.1.11）
这一关系式说明，简谐振动的加速度和位移的大小成正比而方向相反．
2．振幅、初相与初始条件的关系
0=t 时的位移和速度称为初始条件．由简谐振动方程和其速度方程，我们有
?cos 0A x = （4.1.12）
?ωsin 0A -=v （4.1.13）
所以我们有
2
20
20
ωv +
=x A （4.1.14）
???
?
??
-
=00x ω?v arctan （4.1.15） 上述关系式称为振幅和初相与初始条件的关系．由此可知，只要初始条件确定质点简谐振动的
振幅和初相就是确定的．
4.1.3 简谐振动的旋转矢量表示法
简谐振动除了用谐振方程和谐振曲线来描述以外，还有一种很直观，很方便的描述方法，那就是旋转矢量表示法．如图4.1.5所示，在一个平面上作一个ox 坐标轴，以原点o 为起点作一个长度为A 的矢量
A ，A 绕原点o 以匀角速度ω沿逆时针方向旋转，称为旋转矢量．设0=t 时矢量A 与x 轴的夹角为?，则任意t 时A 与x 轴的夹角为
?ωφ+=t ，矢量的端点M 在x 轴上投影点P 的坐标为
()?ω+=t A x cos
这与简谐振动的运动方程完全相同．由此可知，旋转矢量的端点在x 轴上投影的运动就是简谐振动．
一个旋转矢量与一个简谐振动相对应，其对应关系是：旋转矢量的长度就是振动的振幅，因而旋转矢量又称为振幅矢量；矢量的角位置就是振动的相位，矢量的初角位置就是振动的初相，矢量的角位移就是振动相位的变化；矢量的角速度就是振动的角频率，即相位变化的速率；矢量旋转的周期和频率就是振动的周期和频率．
我们在讨论一个简谐振动时，用上述方法作一个旋转矢量来帮助分析，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有利于问题的解决．但同时应当注意，旋转矢量是为形象化描述简谐振动而引入的辅助工具，是虚构的，本生并不真实存在．简谐振动中的角频率、相位与物理过程中真实的角速度、角度不能混淆起来，它们只对应旋转矢量的角速度和角度．
如图4.1.6所示，为0=t 时刻两个振动的旋转矢量图（为突出相位关系，这里假设它们的振幅相等）．其中1A 是1x 振动对应的旋转矢量，2A 是2x 振动对应的旋转矢量．由于旋转矢量的角位置表示振动的相位，因而它们的夹角代表它们的相位差．如果是两个同频率
图4.1.6 振动超前与滞后
x
6π
x
ω
图4.1.5谐振动的旋转矢量
?
的简谐振动，则旋转矢量的角速度相同，它们的相位差不随时间改变．从图中可以看出，2x 振动的相位(矢量的角位置)始终要比1x 振动的相位大3π，即超前3π．从时间上说2x 振动到达一个状态
后，1x 振动总要在6T
后才能到达这个状态，即2x 振动超前1x 振动T ．
例4.1.1 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为A ，周期为T ．
(1) 当0=t
时，质点位于20A x =处，且向x 轴正向方运动，求质点振动的初相；
(2) 质点从0=x 处运动到2A x =处的c 点最少需要多少时间？
解：(1) 当0=t
时，质点的位移20A x =，故其旋
转矢量此时与x 轴的夹角应为3π?=或π?-=，如
图4.1.7 (a )．若3π?
=，注意到矢量的转动方向是沿逆
时针方向的，所以此时矢量端点M 的投影正向x 轴负方向运动，这不合题意；若3π?
-=，此时矢量端点M 的投
影正向x 正方向运动．故质点振动的初相应为3π?
-=．
(2) 如图4.1.7 (b )所示，质点从0=x 处运动到
2A x =处的过程，即质点从x 轴上的O 点运动到c 点的过程．由于质点在x 轴上的运动不是匀速
的，所以，这一运动时间不能直接判断出来．然而，在旋转矢量图中，这一过程对应于旋转矢量是从2π?
-=处转动到3π?-=处，转过了6π?=?的角度，由于旋转矢量是以匀角速度ω转动，
转动一周（π2）的时间是T ，故转过π?
=?的时间
122T T t =?=?=?π?ω?，这也就是质点从0=x 处运动到
2A x =处所需要的最短的时间．
例4.1.2 一质点作简谐振动的振动曲线如图4.1.8所示，求质点的振动方程．
解 从图中可以直接看出质点振动的振幅为cm 2=A ． 在0=t 时，质点的位移20A x -=，而质点的速度(曲线的斜率)为负值，可知质点振动的初相为21
π?=．
在s t
2=时，质点的位移00=x ，而质点的速度为负值，从矢量图分析可知，质点振动的相位应该为222ππ?+=k （因为相位是随时间单调增加的21π?=，则取252π?=，）．在0
=t 到s t
2=的过程中，相位从21π?=变化到252π?=，相位改变61112π???=-=?，经历的时间为s t
2=?，旋转矢量的角速度即振动的角频率ω为
1211//π?ω=??=t
故质点的振动方程为
???
??+=3212
11cos 2ππt x (cm )
4.2 简谐振动的动力学
4.2.1 弹簧振子的简谐振动
(a )
(b )
图4.1.7 例4.1.1题图
图4.1.8 例4.1.2题图
如图4.2.1所示，一个轻质弹簧的一端固定，另一端结一个可以在水平光滑面上自由运动的物体，若所有的摩擦都可以忽略，这就是一个无阻尼的弹簧振子．在弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置O ，以O 为原点设立Ox 坐标轴．如果移动物体到A x =
处然后释放，则物体会在Ox 坐标轴上O
点两侧作往复运动．把物体当作质点来讨论，下面证明物体对于平衡位置的位移(如果选取平衡点为坐标轴的原点，也可以称为位置)x 将按余弦函数的规律随时间t 变化，因此，物体的这种振动就是简谐振动．
由于受到的合外力为正比回复力，即
kx F -= (4.2.1)
则由牛顿第二定律，可得 kx t
x
m -=22d d (4.2.2) 或 0d d 22=+x m
k
t x (4.2.3)
令
m
k
=
ω (4.2.4) 即有 0d d 2
2
2=+x t
x ω (4.2.5) 这是一个二阶线性齐次微分方程，称为简谐振动的微分方程，简称为谐振微分方程．按照微分方程理论，这个方程的通解就是
()?ω+=t A x c o s (4.1.1)
其中A 和?是积分常量，由初始条件确定．这正是简谐振动的运动学定义，可见，满足谐振微
分方程0d d 222=+x t
x
ω的物理量是一个谐振量，它的运动是简谐振动．
由此我们得到一个结论：若质点所受的合外力是正比回复力，则质点的运动是简谐振动，这可作为简谐振动的动力学定义．简谐振动的ω由上式决定．这意味着，ω是由振动系统本身的力学性质(包括物体的质量和力的性质)所决定的．所以我们把ω称为振动系统的固有角频率．
4.2.2单摆与复摆的简谐振动
1．单摆
如图4.2.2所示的单摆摆长为l ，摆锤质量为m ，可以证明，单摆的小摆角振动是简谐振动 当摆线与竖直方向成θ角时，忽略空气助力，摆球所受的合外力沿着圆弧切线方向的分力为
θsin mg ．取逆时针方向为角位移θ的正方向，则此力应写为
θsin mg F t -= (4.2.6)
当角位移θ很小时，θθ≈sin (4.2.6) 改写为
θmg F t -= (4.2.7)
由牛顿第二定律，有
22d d t
ml ma F t t θ== (4.2.8) 将 (4.2.7) 代入得
图4.2.2 单摆
图4.2.1 弹簧振子
2
2
d d t
ml mg θθ=- (4.2.9) 即
0d d 22
2
=+θωθt (4.2.10) 其中 l
g
=2ω (4.2.11)
这同样是一个谐振微分方程，表示单摆对于平衡位置的角位移θ是一个谐振量，其解为
()?ω
θθ+=t m c o s (4.2.12) 其中m θ表示角位移的振幅． 单摆的周期
g
l T πωπ22== (4.2.13)
在单摆实验中，小球只能作小角度平衡位置偏离，否则，式(4.2.7)就不成立，所受的合外力不再是线性回复力，小球的运动自然就不能看作为简谐振动．至于多大角度称为小角度，这要根据研究具体问题的精度来确定，在通常的近似要求下，当摆角小于5o时，小球的运动，就可以看作为简谐振动．
2．复摆
如图4.2.3，质量为m 的刚体可绕过O 点的固定轴作无摩擦转动，将其轻轻拨离平衡位置一个小角度，然后让它作自由运动，可以证明，刚体的运动可近似看作为简谐振动．这一套实验装置称为复摆．
刚体在运动过程中所受到的合外力矩
θsin mgl M -= (4.2.14)
当05<θ
，θθk mgl M -=-=，为正比回复力矩．
则由转动定律可得
θθ
k t
I -=22d d (4.2.15) 即有 0d d 22=+θωθ
t (4.2.16) 其中 I
mgl I k ==2
ω (4.2.17)
表示刚体对于平衡位置的角位移θ是一个谐振量，因此可以说，若刚体所受的合外力矩是正比回复
力矩，则刚体的转动是简谐振动．
可见．复摆与单摆遵守相同的动力学方程，它们的运动学方程也相同． 事实上，单摆可以看成是复摆的特例．故在复摆的表达式(4.2.17)里， 取2ml I =，即得到单摆
的角频率
l
g
ml mgl I k ===
22ω (4.2.11) g
l
T π
ω
π
22==
(4.2.13) 图 4.2.3 复摆
与前面的讨论一致．
例4.2.1 如图4.2.4，质量为m 直径为d 的比重计，放在密度为ρ的液体中，如果用力下压处于平衡的比重计，试证明放手后比重计将作简谐振动，并计算其振动周期（不计液体粘滞阻力）．
解：以平衡时比重计的质心C 所在高度处为坐标原点0，向下为正建立坐标．如图示．如果用
力下压比重计，使其偏离平衡位置．设质心C 从原点0位移至坐标x 处，此时不管它处在液体中什么位置，浮力将增加（与平衡时比较）gSx ρ，由于平衡时有G F =浮，所以，此时重力与浮力的合
力
gSx F ρ-= （1）
所以 m gSx m F t x ρ-
==22d d （2） 即： 0d d 222=+x t
x
ω （3）
其中 m
d g m gS 422
πρρω== （4） 可见它是一个简谐振动．周期为：g
m
d T
ρπωπ4/2=
= （5）
亦可直接由式（1）得kx gSx F -=-=ρ，? m
d g m gS m k 42
2
πρρω===
例4.2.2 如图4.2.5，一根均匀细棒的两端被两根长度均为L = 1.20 m 的轻绳悬挂在水平位置上， 棒作振幅甚小的扭转振动，其重心一直保持在同一竖直线上，求该系统的振动周期．
解：如图所示，设棒长为R 2，质量为m ，棒在水平面做微小转动的角位移为θ ，绳的偏转角为α， 则棒所受的转动力矩近似为
ααRmg R mg M -≈?-=)tg 2
1
(2 (1)
由于 θαR L = (2)
所以 θL
R mg M 2
-= (3) 由转动定律得 θθL R mg t
R m 222
2d d )2(121-= (4) 即
θθL g
t 3d d 2
2-=
(5) 图4.2.4 例4.2.1题图
4.2.5 例4.2.2题图
2
1
mg αtg
27.1322=π
=π
=
g
L
T ω
(s) (6) 例4.2.3 证明在稳定平衡位置附近的微小振动是简谐振动（只讨论一维情况） 证：以)(x E E P P
=表示振动系统的势能函数，将稳定平衡位置取作原点，即0=x 点处势能
最小，受力为零．按力与势能的关系有
0)d d (
=-==x P
x E F (1) 由于是稳定平衡，还有
0)d d (022>=x P
x
E (2) 现将)(x E P 在0=x 处展开成泰勒级数，即
???+++===202200)d d (!21)d d ()()(x x
E x x E x E x E x P
x P P P (3)
当x 足够小时，忽略3
x 以及更高次方项，同时考虑到第二项为零有
20220)d d (!21)()(x x
E x E x E x P
P P =+≈ (4)
两边对x 求导得：
x x
E x E x P
P 02)d d (d d =≈ (5) 即： x x
E x E x
F x P
P 02)d d (d d )(=-≈-= (6) 令 0
22)d d (
==x P
x E k 由前可知0>k 于是 kx x F -=)( (7)
这正是与位移成正比而反向的线性回复力，因此，在稳定平衡位置附近的微小振动是简谐振动，而且其振动的角频率
21
022)(1??
????===x P
dx E d m m k ω (8)
4.3 简谐振动的能量
4.3.1简谐振动的能量
下面我们以弹簧振子为例来讨论简谐振动的能量．实际上，任何一个简谐振动的物体，由于
它们受到的合外力为正比回复力kx F
-=，都相当于一个弹簧振子．不同的是，它们的k 值不是劲
度系数，而是其它的由系统的力学性质决定的常数而已．
利用简谐振动方程及其速度方程，可得任意时刻一个弹簧振子的弹性势能和动能
()?ω+==t kA kx E p 222cos 21
21 (4.3.1)
()?ωω+==t A m m E k 2
222s i n
2
121v (4.3.2) 由
m
k
=
2ω (4.2.4) 可得到
()?ω+=t kA E k 22sin 21
(4.3.3)
因此，弹簧振子的机械能为
22
1
kA E E E p k =+= (4.3.4)
可见弹簧振子的机械能不随时间改变，即其能量守恒．这是由于无阻尼自由振动的弹簧振子是一个孤立系统，在振动过程中没有外力对它做功的缘故．
上面的结果还表明弹簧振子的总能量和振幅的平方成正比，这一点对其它的简谐振动系统也是正确的．这意味着振幅不仅描述简谐振动的运动范围，而且还反映振动系统能量的大小．
把动能和势能的表达式改写为
()()[]?ω?ω22c o s 141c o s 21222++=+=t kA t kA E P (4.3.5)
()()[]π?ω?ω+++=+=22c o s 14
1s i n
2122
2t kA t kA E k (4.3.6) 可见弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振，如图4.3.1．它们的平衡点在系统机械能一半的地方处即
2412kA E =处，能量的振幅亦为24
1
2kA E =．动能和势能谐振的频率均为位移振动频率的两倍，它们振动的相位相反，因而它们的总和即机械能守恒． 弹簧振子的动能和势能在一个周期内的平均值
()2
02204
1cos 2111kA dt t kA T dt E T E T T P P ==+==
???ω (4.3.7) ()2022041
sin 2111kA dt t kA T dt E T E T T k k ==+==???ω (4.3.8)
即弹簧振子的动能和势能的平均值相等而且等于总机械能的一半．这一结论也同样适用与其它简谐振动．
4.3.2从振动能量建立动力学方程
例4.2.3 从能量的角度证明在稳定平衡位置附近的微小振动是简谐振动．下面，讨论从振动能量出发建立其动力学方程．
简谐振动系统的机械能守恒，意味着机械能对时间的导数为零．由(4.3.4)式有
图4.3.1 简谐振动的能量曲线
021)d d (21d d d d 22=????
??+=kx t x m t t E (4.3.9)
化简(4.3.9)式，得
x t x 222
d d ω-= (4.3.10) 其中 m
k =2
ω
这正是简谐振动的动力学方程．它表明，如果一个振动系统的机械能守恒，则可以判断这个振动就是简谐振动．不仅如此，它还给我们提供了又一种证明简谐振动的方法：先写出振动体系的能量关系，如果体系的能量守恒，那么，将能量守恒关系式对时间求一次导数．就可以得到简谐振动系统的动力学方程．
例4.3.1 如图4.3.2，定滑轮的半径为R ，转动惯量为I ，弹簧的劲度系数为k ，物体质量为
m ．不计体系的摩擦损耗，证明将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动，并求周期．
证明1：直接建立动力学方程
取物体的平衡位置O 为原点，向下为正，建立坐标，如图4.3.2所示，m 在平衡位置时弹簧已伸长0l ? 故
0l k mg ?= (1)
当m 位于y 位置时，弹簧伸长0l y ?+，因而，弹簧中的张力
)(02l y k T ?+= (2)
由牛顿第二定律和转动定律列方程：
ma T mg =-1 (3)
βI R T R T =-21 (4)
βR a = (5)
联立（1）——（5）解得 m
R I ky
a +-=)/(2
0/d d 2
22=++?y R
I m k
t y (6) 即 0d d 222=+y t
y
ω (7) 其中 2
2
2)/(mR
I kR m R I k +=+=ω (8) 故物体系作简谐振动，其周期为
2
222kR I
mR T +==π
π
(9) 证明2：从能量的角度建立动力学方程
选择地球、滑轮、物体与弹簧为物体系，以平衡位置为原点，向下为y 轴正方向，建立坐标系．物体系的机械能为
m g y y y kx I m E -+++=20222
12121)(v ω
(1) 图4.3.2 例4.3.1题图
考虑到物体系只受保守内力作用，机械能守恒，对(1)式求时间的一次导数并作整理可得
0d d 2
22=++R I m ky
t y / (2)
对比简谐振动的动力学公式可知，物体的振动是简谐振动．且角频率为
2
R
I m k
/+=
ω (3) 物体系作简谐振动的周期为
2
22kR
I
mR T +=π (4) 可见，从能量的角度建立动力学方程更加简节．
4.4 阻尼振动 受迫振动 共振
4.4.1阻尼振动
简谐振动是一种理想的运动模型，即谐振子系统作无能量损耗的自由振动．它是一种等幅振动，其机械能始终守恒．但是，完全不受阻力的简谐振动在现实中是不存在的，物体的任何机械运动，总会受到来自外界的阻力，物体系也总是要克服外界的阻力做功并消耗自身的能量．因此，如果没有来自外界的能量补充，振动系统振幅就要衰减．这种振幅随时间不断衰减的振动，称为阻尼振动．
振动系统能量的消耗方式通常有一下两种：一是因为摩擦阻力使振动系统的能量逐渐转变为热能；二是由于振动向外传播，以波的形式向外辐射能量．前者称为摩擦阻尼，后者称为辐射阻尼．对于机械振动能量的损耗主要来自摩擦阻尼．下面，我们仅考虑摩擦阻尼的情况．
实验表明，当物体以不太大的速率在粘性介质中运动时，介质对物体的阻力与物体的运动速率成正比，方向与物体运动方向相反，即
v γ-=f (4.4.1)
其中，γ为正的比例常数，它的大小由物体的形状、大小、表面情况以及周围介质的性质决定．
设作阻尼振动物体的质量为m ，在回复力和摩擦阻力共同作用下，其动力学方程可写为
22
d d t
x m kx =--v γ (4.4.2) 令 m k =0ω，m
2γ
β= (4.4.3)
其中，β 称为阻尼系数，反映系统受到阻尼的大小，0ω为无阻尼时振子的固有频率，由振动系统
的性质决定．
将(4.4.3)式代入(4.4.2)式可得
0d d 2d d 0
2
2=++x t x t x ωβ (4.4.4) 这是一个微分方程，根据微分方程理论，对一个确定的振动系统，当β在不同的范围取值（即阻尼的大小在不同的范围）时，分别有三种可能的解（即三种可能的运动情况）．
1、小阻尼情形
当阻尼较小，即0ωβ
<时，微分方程(4.4.4)式的解为
)cos(?ωβ+=-t e A x t 0 (4.4.5)
其中
220βωω-=
(4.4.6)
由(4.4.5)式，在小阻尼情况下，系统的振幅t e A t A β-=
0)(呈指数规律衰减(如图4.4.1)，阻尼系数愈
大，振幅衰减愈快．显然，物体的振动已不是严格的周期运动，因为位移并没有恢复原值．这时我们将其视为准周期振动，其周期也称为准周期，即位相变化π2所经历的时间，亦即连续两次同方向经过平衡位置的时间间隔，这样小阻尼振动的周期为
02202T T >-=
β
ωπ (4.4.7) 由(4.4.7)式，在有阻尼情况下，阻尼振动的周期要大于对应的无阻尼简谐振动的周期．即在有阻尼情况下，系统振动的节奏会变得更为缓慢．
由于振幅t e A t A β-=
0)(，不断减小，能量也不断减小，考虑到
振动的能量与振幅的平方成正比，所以有
t e E E β20-= (4.4.8)
能量减少到初值的e 1所经历的时间为
β
τ21
=
(4.4.9) 这一时间可以作为阻尼振动的特征时间而称为时间常量，或称鸣响时间．阻尼越小，则时间常量越
大，鸣响时间越长．
为了更直观反映阻尼振动，常用鸣响时间内振动的次数来反映振动的优劣即品质，振动的次数越多品质越好．技术上把这一次数的π2倍来定义为阻尼振动的品质因素，用Q 表示，即
T
Q τ
π
2= (4.4.10)
阻尼系数是一个有量纲的物理量，用它表示系统所受阻尼大小时，必须要用具有相同量纲的物理量作比较；而品质因素是一个无量纲的物理量，它的大小可以更直观地反映系统所受阻尼的大小．
2．临界阻尼情形
当阻尼系数满足βω=0
时的阻尼振动，称为临界阻尼振动．在
临界阻尼振动条件下，(4.4.4)式的解为
)(21t C C e x t +=-β (4.4.11)
由(4.4.11)式，在临界阻尼情况下，振子的运动不再有周期性，但能较快回到平衡位置(如图4.4.2)．利用临界阻尼情形下物体可以较快地回到平衡位置的特点，在一些仪表指针设计中，通常设法使指针在临界阻尼条件下振动，这样，可以使指针很快地回到平衡位置．如在电流、电压表等仪表设计中，采用电磁阻力矩，使其指针在电路开启或关断瞬间指针的摆动处于临界阻尼振动，指针就会很快地停止摆动，便于实验测量．
图4.4.1 阻尼振动
图4.4.2 三种阻尼振动的比较
3．过阻尼情形
当阻尼系数满足βω<0时的阻尼振动，称为过阻尼振动．在过阻尼振动条件下，(4.4.4)式的解
为
t
t
e A e A x )()(20220221ωββωββ--
--+-+= (4.4.12)
由(4.4.12)式，在过阻尼情况下，振子的运动不再有周期性，且只能较缓慢地回到平衡位置(如图4.4.2)．单摆在粘稠液体中的振动，就属于过阻尼振动情形．
4.4.2受迫振动
在实际的振动系统中，阻尼或大或小总是客观存在，由于振动系统要克服阻力做功，从而不断地消耗能量，如果振动系统得不到外界能量的补充，则振动最终要停止下来．为了获得稳定、持续的振动，通常需要给阻尼振动系统一个周期性的外力，以补充阻尼振动过程中损失的能量，这种周期性的外力称为策动力，在策动力作用下的振动称为受迫振动．钟表指针在周期性弹力或电磁作用力下的稳定振动就是受迫振动的一个例子．
为研究问题的简便起见，我们假设受迫振动所受的周期性策动力为
p t F F c o s 0= (4.4.13)
作受迫振动的物体还同时受到回复力和阻力的作用，由牛顿第二定律，其动力学方程可以写为
22
0d d cos d d t
x m pt F t x kx =+--γ (4.4.14) 令 m k =0ω，m
2γβ=，m F f 00= (4.4.15) 则(4.4.14)式可改写为
pt f x t x t
x cos d d 2d d 0202
=++ωβ (4.4.16) 方程(4.4.16)式称为受迫振动的动力学微分方程，求解该微分方程可得
)c o s ()c o s (102200??βωβ+++-=-pt A e A x t (4.4.17)
其中
2
222200
4)(p p f A βω+-=
， 2
201
2arctg
p p
--=ωβ? (4.4.18)
(4.4.17)式的第一项是减幅振动，随着时间的推移，该振动的振幅逐渐逼近零；(4.4.17)式的第二项是稳定振动，其振幅不随时间推移而变化，稳定振动的频率由策动力的频率决定，与振动系统的固有频率无关．受迫振动在稳定状态下的运动方程为
)cos(1?+=pt A x (4.4.19)
稳定振动时的速度为
)2
cos(11π
?++=pt v v (4.4.20)
其中 2202220
2201)
(4)(ωβγ-+=-+=p p pf p k mp F /v (4.4.21)
比较(4.4.20)式与(4.4.13)式发现，策动力与速度之间的相位差为2
1
π
?+
，通常，外力的方向与振
子的运动方向并不一定相同．当外力方向与策动力方向性同时，策动力对振动系统作正功，振动系统吸收能量；反之，策动力对振动系统作负功，振动系统输出能量．
4.4.3共振
1．速度共振
当振动系统的固有频率、阻尼大小和策动力幅值保持不变时，适当选取策动力的频率，可使振子的速度取得最大值，这种现象，称为速度共振．由(4.4.21)式，令
0d d 1=p v 可获得速度共振的条件为
0ω=p (4.4.22)
也就是说，当策动力的频率等于振动系统的固有频率时，系统将出现速度共振现象．速度共振时的最大速度值为
β
p pf 20
=
max v (4.4.23) 对无阻尼情况下的自由振动，共振速度将达到无限大(如图4.3.3)．
将速度共振的条件
0ω=p 代入(4.4.18)的第二式可得
2
11π
??-
=?∞=tg (2
1
π
?=
不合理，应舍去) (4.4.24)
再把2π?-=代入(4.4.20)式，得稳定振动时的速度为
)cos(1pt v v = (4.4.25)
比较式(4.4.25)与(4.4.13)式可知，此时策动力的相位始终与速度相位相同，策动力对系统永远作正功，充分的把外界的能量转移给振动系统，使系统速度达到最大值，因此，速度共振又称为能量共振．
对速度共振而言，只要满足(4.4.22)式，系统都会在振动系统固有频率处出现速度共振现象，与系统受到得阻尼大小无关(如图4.4.3)．
2．位移共振
由(4.4.18)式可知，当策动力的频率趋于无限大时，稳定振动的振幅趋于零，即振动系统将不发生任何振动．而当策动力的频率趋于零时，稳定振动的振幅趋于k F 0
．当振动系统的固有频率、阻尼
大小和策动力幅值保持不变时，适当选取策动力的频率，可以获得稳定振动的最大振幅，这种现象，称为位移共振．对(4.4.18)的第一式求导，可得位移共振的条件为
22
020d d βω-=?=r p p
A (4.4.26) 稳定振动的极大振幅为
2
2
00
2β
ωβ-=
f A r (4.4.27)
可见，当策动力的频率小于振动系统的固有频率，且满足(4.4.26)时，会发生位移共振．对无阻尼的简谐振动，只要满足(4.4.22)式，就会发生位移共振，在弱阻尼情况下，也可近似认为在固有频率处发生位移共振，正因为如此，在无阻尼或弱阻尼情况下可以认为速度与位移具有相同的共振条件，并可以不区分速度共振与位移共振．例如，对弹簧谐振子，其动能与势能可以互相转换，且总的机械能守恒．因此，当振子在平衡位置处达到最大动能或速度时，在回转点处就可以获得最大势能或最大位移，速度幅值的最大对应了位移幅值的最大．但是，在较大阻尼的情况下，获得速度共
图4.4.4 位移共振
图4.3.3 速度共振
振与位移共振的条件是不同的．当速度出现共振时，位移并没有共振．其原因在于，对作受迫振动的振子，在平衡点由最大幅度的速度值时，其运动受到的阻力也达到最大，因此，在平衡点上的最大动能并没有能够完全转化为回转点上的势能，以致速度幅值的最大并不对应位移幅值的最大，这一点可以由图4.4.4看出．
共振是日常生活中是极为普遍且具有重要意义的现象．我国早在公元前3世纪就有了乐器相互共鸣的文字记载．利用声波共振来提高乐器的音响效果；利用电磁共振(电谐振) 来实现收音机选台；利用核磁共振可研究物质结构及进行医疗诊断等．当然，共振也有不利的一面，例如在建筑桥梁时，就应避免发生共振现象．1940年美国华盛顿州的马海峡铁桥就是在周期性风力作用下发生共振而导致毁坏的；各种机器的转动部分都不可能造得完全对称，因此在机器转动时要产生与转动同频率的周期性力，如果力的频率接近机器的固有频率，所引起的受迫振动将影响及其加工的精度，严重的还会造成毁坏事故等，因此，在制造机器时，也要尽力避免共振现象的发生．
4.5振动的合成
4.5.1同方向同频率简谐振动的合成
前已指出，一切复杂的振动都可以看作是多个不同频率的简谐振动的合成．在实际问题中，振动的合成也是经常发生的事情．例如，当两列声波同时传到空间某一点时，该处质点的运动就是两个振动的合成．但一般的振动合成问题比较复杂，下面先讨论在振动方向和振动频率都相同的两个简谐振动的合成．
设两个振动都发生在x 方向，振动的频率均为ω，振动方程分别为 ()111cos ?ω+=t A x
()222cos ?ω+=t A x
1x 、2x 表示在同一直线上，相对于同一平衡位置的位移．按运动的迭加原理，在任意时刻合振
动的位移为
()()221121c o s c o s ?ω?ω+++=+=t A t A x x x (4.5.1) 利用三角恒等式，式(4.5.1)可以化为 ()?ω+=t A x cos
其中合振幅A 和初位?相分别为
)cos(212212221??-++=A A A A A (4.5.2)
2
2112
211cos cos sin sin tan ?????A A A A ++=
(4.5.3)
可见，同振动方向同振动频率的两个简谐振动的合振动也是简谐振动．
上述合成的计算虽然利用三角函数公式求得结果，但是利用振动的矢量图来分析，可以更简洁和直观．如图4.5.1所示，A 1，A 2分别表示简谐振动1x 和2x 的旋转矢量．他们在x 轴上投影的坐标即是简谐振动1x 和2x ．作A 1，A 2的合矢量A ，矢量A 的端点在x 轴上投影的坐标是21x x x +=，这正好是我们要求的合振动的位移．
图 4.5.1 同方向同频率简谐振动的合成
由于两个振动的角频率相同，即A 1，A 2以相同的角速度ω匀速旋转，所以在旋转过程中图中平行四边形的形状保持不变，因而合矢量A 的长度A 保持不变，并以同一角速度ω匀速旋转．因此，合矢量A 也就相应的合振动的振幅矢量，合矢量A 也是一个旋转矢量．矢量A 的端点在x 轴上的投影坐标可表示为
()?ω+=t A x cos
即合振动也是简谐振动．合振动的振幅A 等于合矢量A 的长度，合振动的初相φ就是合矢量的初角位置．在图4.5.1的1OMM ?中用余弦定理可求得合振幅A 为（4.5.2）式；由直角OMP ?可以求得合振动的初相?为(4.5.3) 式．
下面，进一步讨论合振动的振幅与两分振动的位相差12??-的关系．由式(4.5.2)可知：
（1）如果两个分振动同相，π??k 212
=-，???±±=,2,1,0k 则得
21212
2212A A A A A A A +=++= (4.5.4)
这时合振幅达到最大．此时称两个振动相互加强，如图4.5.2 a 所示．此时如果021
A A A == 则
02A A =
（2）如果两个分振动反相，π??)12(12
+=-k ，???±±=,2,1,0k 则得
21212
2212A A A A A A A -=-+= (4.5.5)
这时合振幅最小．如图4.5.2 b 所示．此时称两个振动相互抵消．此时如果21A A = 则0=A .
（3）一般地，当初位相差12??-为其它值时，合振幅的值介于21A A -和21A A +之间．如
图4.5.2 c 所示
例4.5.1 求简谐振动的合振动∑=??? ??
+=
4
4cos k k t a x πω． 解：这是5个同方向、同频率的简谐振动的合振动．t=0时合成的矢量图（如图4.5.3所示）．此处采用多边形求和的方法，从图中可以看出，合振动的振幅为
a A )21(+=，
合振动的初相为 2
π
?=
，
故合振动为
()
??? ?
?
++=2cos 21πωt a x
图4.5.2 合振动的振幅与分振动的关系
图4.5.3 例4.5.1题图
由此题可以看出，在计算多个同频率同振动方向的简谐振动时，旋转矢量法的显示出的巨大优越性．
4.5.2同方向、不同频率简谐振动的合成
一般地，如果同振动方向的两个分振动的频率不同，其合成将比较复杂．从矢量图来看，由于这时1A 和2A 的角速度不同，它们之间的夹角随时间改变，其合矢量也必然随时间改变，该合矢量在
x 轴上的投影所表示的合振动将不是简谐振动．
下面我们不讨论一般的情形，只讨论两个振幅相同其频率又相差不大的振动的合成．
设两个分振动的频率分别为1ω和2ω，振幅均为0A ．由于频率相同，总有某时刻两个分振动的旋转矢量重合，即二者相位同相．为简化问题同时不失一般性，我们把此刻记为时间零点，这样，两个分振动可以分别设为
)cos(101?ω+=t A x )cos(202?ω+=t A x
故合振动的振动方程为
)cos()cos(201021?ω?ω+++=+=t A t A x x x
)2
cos(
)2
cos(
21
21
20?ωωωω++-=t t A (4.5.6a)
式(4.5.6a)表明，同振动方向、不同频率的简谐振动，其合振动不再是一个简谐振动．
将式(4.5.6a) 重新记为
)c o s ()(?ω+=t t A x (4.5.6b)
其中 )2
cos(
2)(1
20t A t A ωω-=，2
1
2ωωω+=
．
不难理解，如果式(4.5.6b)中)(t A 的变化与其位相?ωφ+=t t )(的变化比较足够缓慢，我们仍可以近似将)(t A （准确的说是
)(t A ）作“振幅”看待，式(4.5.1b)给出的将是一种振幅缓慢变化的
“准简谐振动”．所谓“准”即近似的意思，就是因为这里振幅是随时间变化的．下面，我们对此进行几点讨论．
（1）一般的，如果“振幅”项
)(t A 的变化与其位相?ωφ+=t t )(的变化可以比拟，那么)(t A 将
完全失去振幅的意义．图4.5.4 a 给出了振幅相同频率分别为200Hz 、300Hz 的两个简谐振动及其合成结果，图4.5.4b 给出了频率分别200Hz 、1000Hz 的两个简谐振动及其合成结果．图中显示出了，合振动不再是一个简谐振动，但仍为周期性振动．
（2）如果两分振动的频率都较大而其差较小时，即
2112ωωωω+<<-时，
“振幅”项(a) (b)
图4.5.4 两个同方向不同频率的简谐振动的合成
)2cos(
2)(1
20t A t A ωω-=将比其位相部分)2
cos(1
2
t ωω+的变化缓慢很多，此时，则可将)(t A 作振幅看．合振动也近视看作简谐振动．图4.5.5给出了频率分别为20Hz 、22Hz ，在同一直线的两个简谐振动及其合成结果．
这种两分振动的频率都较大而频差很小的同方向的简谐振动在合成时，产生合振动的振幅时而加强、时而减弱的现象称为拍．单位时间内振幅取得最大或最小的次数称为拍频．拍频的值可以由振幅函数
)2
cos(
2)(1
20t A t A ωω-=得到：
由于余弦函数的绝对值在一个周期内两次达到最大值和最小值，所以，单位时间内振幅取得最大或最小的次数（即拍频）应为)2
cos(
1
2t ωω-的频率为的两倍，所以拍频
121
2)2
(212ννωωπν-=-?='A (4.5.7)
（3）从旋转矢量的角度来理解上述结果也是自然的，单位时间内振动2的旋转矢量比振动1的旋转矢量多旋转12
νν-转，故两矢量重合与反向的次数即振幅取得最大或最小的次数（拍频）亦为
12νν-．
拍现象在声振动、电磁振荡和波动中经常遇到．例如，当两只频率相近、平行放置的音叉同时振动时，就能听到时强时弱的“嗡、嗡……”的拍音．利用这个原理，可以用标准音叉来校准钢琴的音频，因为只要钢琴音频与标准音叉又微小差别，就可以听到拍音（人耳能分辨的拍音低于每秒7次）．拍振动还有许多实际应用．乐器中的双簧管就是利用两个簧片振动的微小差别产生出颤动的拍音；超外差式收音机就是利用外来信号与本机振荡之间的差拍频率；雷达依靠发射波与反射波之间的拍振动来判断观察目标的运动速度等．
上述关于拍现象的讨论只限于线性叠加，如果考虑两振动的某些非线性耦合现象，拍频可能“消失”，出现“同步锁模”现象（即：两个本来有频率差的振动被“锁定”在同一频率上的现象），只有当这种非线性耦合可以忽略不计时，拍振动才又重新出现．惠更斯曾经观察到悬挂在墙壁上的两个靠近时钟，会相互影响而同步；19世纪，瑞利观察到两风琴管靠近时会同步，而远离时出现拍频现象．以后的观察表明，这种锁模现象也会发生在“生物钟内”．
图4.5.5两个同方向、频率相近的简谐振动的合成
4.5.3相互垂直的简谐振动的合成
设一个质点同时参与两个相互垂直方向的简谐振动，一个沿x 轴方向，另一个沿y 轴方向，其振动频率相同，振动方程分别为： )cos(11?ω+=t A x
)cos(22?ω+=t A y
这是含参变量t 的运动方程，消去时间t ，可得合振动轨迹方程
)(sin )cos(2122
12212
2
2212????-=--+A A xy A y A x (4.5.8) 由此可知，质点合振动的轨迹一般为一椭圆，如图4.5.6所示，因为质点在两个垂直方向的位移
x 和y 只在一定范围内变化，所以，椭圆轨道不会超出以12A 和22A 为边长的矩形范围．当两个分振动的振幅1A 、2A 给定时，椭
圆的形状由12???
-=?决定．图4.5.6给出了4
π
?=
?时，互相
垂直两振动的合成，合振动为一逆时针旋转的椭圆．下面讨论几种特殊情况．
(1). 当012=-=????
时，轨迹方程(4.5.2)简化为
x A A y 1
2
=
(4.5.9) 即合振动为一三象限的一条直线．任意t 时刻质点离平衡位置的位移为
)cos(222122φω++=+=t A A y x S (4.5.10)
即合振动仍然为简谐振动．如图（4.5.7a ）．
(2). 当π???
=-=?12时，轨迹方程为
x A A y 1
2
-
= (4.5.11) 合振动为二四象限的一条直线．仍然为简谐振动．如图 (4.5.7b ) (3). 当2
12π
???
±
=-=?时，轨迹方程为
图4.5.6 相互垂直振动的合成
图4.5.7 两个相互垂直、同频率简谐振动的合成