导数压轴题型归类总结
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31)
(一)作差证明不等式
(二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 (51)
(一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数
(三)恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84)
七、导数结合三角函数 (85)
书中常用结论
⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x
x
<,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. (切线)设函数a x x f -=2)(.
(1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值;
(2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21.
解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3
3
±=x .
所以当33=
x 时,)(x g 有最小值9
32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=
曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12
122x a x x +=,∴12
1
112
11222x x a x x a x x x -=-+=-
∵a x >1,∴
021
21
<-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a
x x a x x a x x =?>+=+=
1
1111212222222 所以a x x >>21.
2. (2009天津理20,极值比较讨论)
已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率;
⑵当2
3
a ≠
时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当
.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[]
.42)2()('22x e a a x a x x f +-++=
.223
2
.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令
以下分两种情况讨论:
①a 若>
3
2
,则a 2-<2-a .当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表:
)(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数
.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在函数
②a 若<3
2
,则a 2->2-a ,当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表:
所以)(x f .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极小值在函数
3. 已知函数2
21()2,()3ln .2
f x x ax
g x a x b =
+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点,且在公共点处的切线相同,若0a >,试建立b 关于a 的函数关系式,并求b 的最大值;
⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数,求a 的取值范围。
4. (最值,按区间端点讨论)
已知函数f (x )=ln x -
a x
. (1)当a>0时,判断f (x )在定义域上的单调性;
(2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3
2
,求a 的值.
解:(1)由题得f (x )的定义域为(0,+∞),且 f ′(x )=
1x +2a x =2
x a
x
+. ∵a >0,∴f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知:f ′(x )=
2
x a
x
+, ①若a ≥-1,则x +a ≥0,即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立,此时f (x )在[1,e ]上为增函数, ∴f (x )min =f (1)=-a =
32,∴a =-3
2
(舍去). ②若a ≤-e ,则x +a ≤0,即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立,此时f (x )在[1,e ]上为减函数, ∴f (x )min =f (e )=1-
a e =3
2
,∴a =-2e (舍去).
③若-e 当1 ∴f (x )min =f (-a )=ln(-a )+1=3 2 ?a 综上可知:a . 5. (最值直接应用)已知函数)1ln(2 1)(2 x ax x x f +--=,其中a ∈R . (Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间; (Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围. 解:(Ⅰ)(1) (),(1,)1 x a ax f x x x --'= ∈-+∞+. 依题意,令(2)0f '=,解得 13a =. 经检验,1 3 a =时,符合题意. (Ⅱ)解:① 当0=a 时,()1 x f x x '= +. 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(-. ② 当0a >时,令()0f x '=,得10x =,或21 1x a =-. 当10< 所以,()f x 的单调增区间是(0, 1)a -;单调减区间是)0,1(-和(1,)a -+∞. 当1=a 时,)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时,210x -<<,()f x 与()f x '的情况如下: 所以,()f x 的单调增区间是(1,0)a -;单调减区间是(1,1)a --和(0,)+∞. ③ 当0 当10< (1,)a -+∞; 当1=a 时,)(x f 的减区间是),1(+∞-; 当1a >时,()f x 的增区间是1(1,0)a -;减区间是1 (1,1)a --和(0,)+∞. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 0a ≤时,)(x f 在(0,)+∞上单调递增,由0)0(=f ,知不合题意. 当10< (1)f a -, 由1 (1)(0)0f f a ->=,知不合题意. 当1≥a 时,)(x f 在(0,)+∞单调递减, 可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ,符合题意. 所以,)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时,a 的取值范围是[1,)+∞. 6. (2010北京理数18) 已知函数()f x =ln (1+x )-x +2 2 x x (k ≥0). (Ⅰ)当k =2时,求曲线y =()f x 在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 的单调区间. 解:(I )当2k =时,2()ln(1)f x x x x =+-+,1 '()121f x x x = -++ 由于(1)ln 2f =,3 '(1)2 f =, 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3 ln 2(1)2 y x -=- 即322ln 230x y -+-= (II )(1) '()1x kx k f x x +-=+,(1,)x ∈-+∞. 当0k =时,'()1x f x x =-+. 所以,在区间(1,0)-上,'()0f x >;在区间(0,)+∞上,'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-,单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时,由(1)'()01x kx k f x x +-= =+,得10x =,210k x k -=> 所以,在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上,'()0f x >;在区间1(0,)k k -上,'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞,单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时,2 '()1x f x x = + 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时,(1)'()01x kx k f x x +-= =+,得11(1,0)k x k -=∈-,20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上,'()0f x >;在区间1(,0)k k -上,'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞,单调递减区间是1(,0)k k - 7. (2010山东文21,单调性) 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+ -∈ ⑴当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; ⑵当1 2 a ≤时,讨论()f x 的单调性. 解:⑴ln 20x y -+= ⑵因为 11ln )(--+ -=x a ax x x f , 所以 211)('x a a x x f -+-=2 21x a x ax -+--=,),0(+∞∈x , 令 ,1)(2 a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x 8. (是一道设计巧妙的好题,同时用到e 底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零 点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密) 已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )- 1 1 x x +-,求函数φ (x )的单调区间; ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0,f (x 0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0,使得直线l 与曲线y =g (x )相切. 解:(Ⅰ) ()1 ()1x x f x x ?+=--11ln -+-=x x x ,()()()2 2 211121-?+= -+='x x x x x x ?. ∵0x >且1x ≠,∴()0x ?'>∴函数()x ?的单调递增区间为()()∞+,和1 1,0. (Ⅱ)∵1 ()f x x '= ,∴001()f x x '=, ∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -= -, 即00 1 ln 1y x x x =+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x x e , ∵()x g x e '=,∴101x e x = ,∴10ln x x =-,∴0ln 10 1()x g x e x -==. ∴直线l 也为()00011ln y x x x x - =+, 即0000 ln 1 1x y x x x x =++, ② 由①②得 00 ln 1ln 1x x x x -= +,∴0001 ln 1x x x +=-. 由(Ⅰ)可知,()x ?1 ln -- =x x 在区间1,+∞()上递增. 又12()ln 011 e e e e e ?+-=-=<--,2222 2 213()ln 01e e e e e ?+-=-=>-, 结合零点存在性定理,说明方程()0x ?=唯一0x ,故结论成立. 9. (最值应用,转换变量) 设函数221 ()(2)ln (0)ax f x a x a x +=-+<. (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性; (2)当(3,2)a ∈--时,任意12,[1,3]x x ∈,12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立,求实数m 的取值范围. 解:⑴221()2a f x a x x -'=+-222(2)1ax a x x +--=2(1)(21) ax x x +-=. 当2a <-时,112a -<,增区间为11(,)2a -,减区间为1(0,)a -,1 (,)2+∞. 当2a =-时,11 2a -=,减区间为(0,)+∞. 当20a -<<时,112a ->,增区间为11(,)2a -,减区间为1(0,)2,1 (,)a -+∞. ⑵由⑴知,当(3,2)a ∈--时,()f x 在[1,3]上单调递减, ∴12,[1,3]x x ∈,12|()()|f x f x -≤(1)(3)f f -1 (12)[(2)ln 36]3 a a a =+--++, 即12|()()|f x f x -≤2 4(2)ln 33 a a -+-. ∵12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立, ∴(ln 3)2ln 3m a +->24(2)ln 33a a -+-,即2 43ma a >-, 又0a <,∴2 43m a <-. ∵(3,2)a ∈--,∴132384339a - <-<-,∴m ≤133 -. 10. (最值应用) 已知二次函数()g x 对x R ?∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-,设函数 19 ()()ln 28 f x g x m x =+++(m R ∈,0x >). (Ⅰ)求()g x 的表达式; (Ⅱ)若x R +?∈,使()0f x ≤成立,求实数m 的取值范围; (Ⅲ)设1m e <≤,()()(1)H x f x m x =-+,求证:对于12[1,]x x m ?∈,,恒有 12|()()|1H x H x -<. 解:(Ⅰ)设()2 g x ax bx c =++,于是 ()()()()2 2 11212212g x g x a x c x -+-=-+=--,所以121. a c ?=? ??=-?, 又()11g =-,则12b =-.所以()211 122g x x x =--. …………3分 (Ⅱ)() 2 191()ln ln (0). 282 f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R , 当m >0时,由对数函数性质,f (x )的值域为R ;…………4分 当m =0时,2 ()02 x f x =>对0x ?>,()0f x >恒成立; …………5分 当m <0 时,由()0m f x x x x '=+=? =,列表: []min ()2 m f x f m ==-+这时, []min 0()0e<0.2 m m f x m m ?-+>?>??-?, 所以若0x ?>,()0f x >恒成立,则实数m 的取值范围是(e 0]-,. 故0x ?>使()0f x ≤成立,实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞,.…………9分 (Ⅲ)因为对[1]x m ?∈,,(1)() ()0x x m H x x --'= ≤,所以()H x 在[1,]m 内单调递减. 于是21211 |()()|(1)()ln . 22H x H x H H m m m m -≤-=-- 2121113 |()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -----< 记13()ln (1e)22h m m m m m =--<≤,则() 2 2 1133111()022332h'm m m m =-+=-+>, 所以函数13 ()ln 22h m m m m =--在(1e],是单调增函数, 所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2e h m h -+≤=--=<,故命题成立. …………12分 11. 设3x =是函数()() ()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. (1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间; (2)设()2250,4x a g x a e ??>=+ ??? ,若存在[]12,0,4ξξ∈,使得()()121f g ξξ-< 成立,求a 的取值范围. 解:(1)∵()() 2 3x f x x ax b e -=++ ∴()()()()' ' 32321x x f x x a e x ax b e --=++++-()232x x a x b a e -??=-+-+-?? 由题意得:()'30f =,即()23320a b a +-+-=,23b a =-- ∴()()2323x f x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++ 令()' 0f x =得13x =,21x a =-- ∵3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点 ∴12x x ≠,即4a ≠- 故a 与b 的关系式为()23,4b a a =--≠-. 当4a <-时,213x a =-->,由()' 0f x >得单增区间为:()3,1a --; 由()' 0f x <得单减区间为:(),3-∞和()1,a --+∞; 当4a >-时,213x a =--<,由()' 0f x >得单增区间为:()1,3a --; 由()' 0f x <得单减区间为:(),1a -∞--和()3,+∞; (2)由(1)知:当0a >时,210x a =--<,()f x 在[]0,3上单调递增,在[]3,4上单调递减,{},)32()4(),0(min )(3min e a f f x f +-==()()max 36f x f a ==+, ∴()f x 在[]0,4上的值域为]6,)32([3++-a e a . 易知()2 254x g x a e ??=+ ??? 在[]0,4上是增函数, ∴()g x 在[]0,4上的值域为2 242525,44a a e ????+ + ??????? . 由于()2 22516042a a a ????+-+=-≥ ? ???? ?, 又∵要存在[]12,0,4ξξ∈,使得()()121f g ξξ-<成立, ∴必须且只须()202561 4a a a >? ? ???+-+< ??? ??解得:302a <<. 所以,a 的取值范围为30,2?? ??? . 12. 2()()()x f x x ax b e x R =++∈. (1)若2,2a b ==-,求函数()f x 的极值; (2)若1x =是函数()f x 的一个极值点,试求出a 关于b 的关系式(用a 表示b ),并确 定()f x 的单调区间; (3)在(2)的条件下,设0a >,函数24()(14)x g x a e +=+.若存在]4,0[,21∈λλ使得 1|)()(|21<-λλf f 成立,求a 的取值范围. 解:(1)∵22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++ 当2,2a b ==-时,2()(22)x f x x x e =+-,则'()f x 2(4)x x x e =+. 令'()0f x =得2(4)0x x x e +=,∵0x e ≠,∴240x x +=,解得124,0x x =-= ∵当(,4)x ∈-∞-时,'()0f x >, 当(4,0)x ∈-时'()0f x <,当(0,)x ∈+∞时'()0f x > ∴当4x =-时,函数()f x 有极大值,4 6()f x e 极大= , 当0x =时,函数()f x 有极小值,()2f x =-极小. (2)由(1)知2()[(2)()]x f x x a x a b e '=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点 ∴(1)0f '= 即[1(2)()]0e a a b ++++=,解得32b a =-- 则2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--=(1)[(3)]x e x x a -++ 令()0f x '=,得11x =或23x a =-- ∵1x =是极值点,∴31a --≠,即4a ≠- . 当31a -->即4a <-时,由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞ 由()0f x '<得(1,3)x a ∈-- 当31a --<即4a >-时,由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈--. 综上可知: 当4a <-时,单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞,递减区间为(1,3)a -- 当4a >-时,单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞,递减区间为(3,1)a --。 (3)由2)知:当a >0时,()f x 在区间(0,1)上的单调递减, 在区间(1,4)上单调递增, ∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+ 又∵(0)f =(23)x be a =-+0<,4(4)(213)0f a e =+>, ∴函数()f x 在区间[0,4]上的值域是[(1),(4)]f f ,即4[(2),(213)]a e a e -++] 又24()(14)x g x a e +=+在区间[0,4]上是增函数, 且它在区间[0,4]上的值域是2428[(14),(14)]a e a e ++. ∵24(14)a e +-4(213)a e +=24(21)a a e -+=24(1)0a e -≥, ∴存在]4,0[,21∈λλ使得1|)()(|21<-λλf f 成立只须 24(14)a e +-4(213)a e +<124241(1)1(1)a e a e ?--< .22 1111a e e ?-<<+. 13. (2010山东,两边分求,最小值与最大值) 已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a ∈R . ⑴当1 2 a ≤ 时,讨论()f x 的单调性; ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1 4 a = 时,若对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,求实数b 取值范围. 解:本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出()f x 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出()g x 在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数. ⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->,222l 11 ()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+-> ①当0a =时,()1(0)h x x x =-+>,当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减;当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>,函数()f x 单调递增. ②当0a ≠时,由()0f x '=,即210ax x a -+-=,解得121 1,1x x a ==-. 当1 2a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 单调递减; 当102a <<时,1 110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><,函数()f x 单调递减; 1 (1,1)x a ∈-时,()0,()0h x f x '<>,函数()f x 单调递增; 1 (1,)x a ∈-+∞时,()0,()0h x f x '><,函数()f x 单调递减. 当0a <时1 10a -<,当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减; 当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>,函数()f x 单调递增. 综上所述:当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)单调递减,(1,)+∞单调递增; 当1 2a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 在(0,)+∞单调递减; 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1 (1,)a -+∞递减. ⑵当1 4 a =时,()f x 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意1(0,2)x ∈, 有11 ()(1)2 f x f =-≥, 又已知存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,所以21 ()2 g x -≥,[]21,2x ∈,(※) 又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈ 当1b <时,min ()(1)520g x g b ==->与(※)矛盾; 当[]1,2b ∈时,2 min ()(1)40g x g b ==-≥也与(※)矛盾; 当2b >时,min 117()(2)84,28 g x g b b ==-≤-≥. 综上,实数b 的取值范围是17 [ ,)8+∞. 14. 设函数11ln )(--+-=x a ax x x f . (Ⅰ)当1=a 时,过原点的直线与函数)(x f 的图象相切于点P ,求点P 的坐标; (Ⅱ)当21 0< (Ⅲ)当31=a 时,设函数12 5 2)(2--=bx x x g ,若对于e x ,01(∈ ?],∈?2x [0,1] 使)(1x f ≥)(2x g 成立,求实数b 的取值范围.(e 是自然对数的底,13+ 解:函数)(x f 的定义域为)0(∞+,,211)(x a a x x f ---=' (Ⅰ)设点)0)(,(000>x y x P ,当1=a 时,1ln )(--=x x x f ,则1ln 000--=x x y , 11 )(-='x x f ,∴000001ln 11)(x x x x x f --= -=' 解得20e x =,故点P 的坐标为)1(22 e e -, (Ⅱ)221)(x a ax ax x f -++-='2 2 )1)(1() 1)(1(x a a x x a x a ax x -- --=+---= ∵210<--a a ∴当10< a x -<<11时,0)(>'x f 故当2