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线性代数模拟题

线性代数模拟题A

一．单选题.

1.下列（ A ）是4级偶排列．

（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果

133

232221

131211

==a a a a a a a a a D ，33

3131

23222121

131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，

那么=1D （ B ）．

（A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D) 24-． 3. 设A 与B 均为n n ?矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．

（A ）O A =或O B =；（B ）O B A =+；

（C ）0=A 或0=B ；（D ）0=+B A ．

4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*

kA 等于（ B ）．

（A ）*kA ；（B ）*1A k n -；（C ）*A k n ；（D ）*1A k -． 5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ）（A ）s ααα,....,,21中有一零向量

(B) s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例 (C) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合

6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2

)(2

121211ββααα-+

++k k ; (B) 2

)(2

121211ββααα++

-+k k

)(2

121211ββββα-+

++k k ; (D) 2

)(2

121211ββββα++

++k k

7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－

1的一个特征值是（ B ）

(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4

8. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=( B )

(a)0 (b)24 (c)60 (d)120

9. 若A 是（ A ），则A 必有A A ='．

（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确．（A ）()A A '='

22； (B) ()11

22--=A A ；

][]

1)()

(---''='A A ； (D) []

[]

=''---111

)()(A A ．

二．计算题或证明题

1. 设矩阵

???

??----=324122

3k k

A (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －

1AP 为对角矩阵

(2)求出P 及相应的对角矩阵。

参考答案：

2. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为λ，A *是A 的伴随矩阵，设|A|=d ，证明：d/λ是A *的一个特征值。参考答案：

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解有解时，求其解．

???

??=++=++=++2

321

3213211a ax x x a x ax x x x ax

参考答案：

. 当1,2a ≠-时有唯一解：2

12311(1),,222

a a x x x a a a ++=-==+++ 当1a =时，有无穷多解：112

213

21x k k x k x k

=++??

=??=?

当2a =-时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

??????

? ??-=??????? ??=??????? ??=??????? ??=??????? ??-=0211,6512,14703,2130,421154321ααααα

参考答案：

极大无关组为：124,,a a a ，且3123a a a =+，5124a a a a =--+ 5. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，试证：BA AB -是对称矩阵．参考答案：

线性代数模拟题B

一．单选题. 1. 若)

541()

1(l k N -55443211a a a a a l k 是五阶行列式ij a 的一项，则k 、l 的值及该项符号为

（ A ）．

（A ）2=k ，3=l ，符号为负； (B) 2=k ，3=l 符号为正； (C) 3=k ，2=l ，符号为负； (D) 1=k ，2=l ，符号为正． 2. 下列行列式（ A ）的值必为零．

(A) n 阶行列式中，零元素个数多于n n -2

个；

(B) n 阶行列式中，零元素个数小于n n -2个； (C) n 阶行列式中，零元素个数多于n 个； (D) n 阶行列式中，零元素的个数小于n 个．

3. 设A ，B 均为n 阶方阵，若()()2

B A B A B A -=-+，则必有（ D ）．

（A ）I A =； (B)O B =； (C)B A =； (D)BA AB =． 4. 设A 与B 均为n n ?矩阵，则必有（ C ）．（A ）B A B A +=+；（B ）BA AB =；（C ）BA AB =；（D ）()111

---+=+B A B A ．

5. 如果向量β可由向量组s ααα,....,,21线性表出，则（ D ）

(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立 (C) 对β的线性表示式不唯一 (D) 向量组s αααβ,....,,,21线性相关

6. 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是（ C ） (A)系数矩阵A 的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A 的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合

7. 设n 阶矩阵A 的一个特征值为λ，则(λA －

1)2＋I 必有特征值（ C ）

(a)λ2+1 (b)λ2-1 (c)2 (d)-2

8. 已知

???

??-=00000123a A 与对角矩阵相似，则a ＝（ A ）

(a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2

9. 设A ，B ，C 均为n 阶方阵，下面（ D ）不是运算律．

（A ）()A B C C B A ++=++)( ；（B ）BC AC C B A +=+)(；（C ）)()(BC A C AB =；（D ）B AC C AB )()(=． 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．

(A)????? ??001010100；（B ）????? ??010000001；（C ）????? ??100020001；（D ）????

? ??-100210001．二．计算题或证明题（

1. 已知矩阵A ，求A 10。其中???

??-=2101A 参考答案：

1010

101

0122A ??= ?-??

2. 设A 为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ-1是A -1的一个特征值。

参考答案：

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解有解时，求其解．

???

??-=++-=++-=++2

2332`

1321321ax x x x ax x a x x ax

参考答案：

当1,2a ≠-时有唯一解：123133

,,222

a x x x a a a ---=-

+++ 当1a =时，有无穷多解：112

213

22x k k x k x k

=---??

=??=?

当2a =-时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

??????

? ??-=??????? ??=??????? ??=??????? ??=2001,1211,1111,43214321αααα

参考答案：

极大无关组为：234,,a a a ，且1234a a a a =++

5. 若A 是对称矩阵，T 是正交矩阵，证明AT T 1

-是对称矩阵．

参考答案：

线性代数模拟题C

一．单选题.

1. 设五阶行列式ij a m =，依下列次序对ij a 进行变换后，其结果是（ C ）．交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．

（A ）m 8； (B)m 3-； (C)m 8-； (D)

m 4

． 2. 如果方程组??

??=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则（ D ）．（A ）0=k 或1=k ；（B ）1=k 或2=k ；（C ）1-=k 或1=k ；（D ）1-=k 或3-=k ．

3. 设A ，B ，C ，I 为同阶矩阵，若I ABC =，则下列各式中总是成立的有（ A ）．（A ） I BCA =； (B) I ACB =； (C) I BAC =； (D) I CBA =．

4. 设A ，B ，C 为同阶矩阵，且A 可逆，下式（ A ）必成立．（A ）若AC AB =，则C B =； (B) 若CB AB =，则C A =； (C) 若BC AC =，则B A =； (D) 若O BC =，则O B =．

5. 若向量组s ααα,....,,21的秩为r ，则（ D ）（A ）必定r

(B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r 个向量线性无关

(D)向量组中任意个1+r 向量必定线性相关

6. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ C ）

(A) 133221,,αααααα+++ ; (B) 123211,,αααααα+++ ; (C) 133221,,αααααα--- ; (D) 1332213,2,αααααα+++ . 7. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，I 为n 阶单位矩阵，则（ B ） (a)λI-A ＝λI-B (b)A 与B 有相同的特征值和特征向量

(c)A 与B 都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A 与kI-B 相似（k 是常数）

8. 当（ C ）时，A 为正交矩阵，其中 ???

??=c b a A 0 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ C ） (A) 14433221,,,αααααααα++++线性无关;

(B) 14433221,,,αααααααα----线性无关; (C) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关; (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关. 10. 当=A （ B ）时，有

A ????

??---=????? ??32

321

332

132

321

321333c c c b b b c a c a c a c c c b b b a a a ．（A ）????? ??-103010001；（B ）????? ??-100010301；（C ）????? ??-101010300；（D ）????

??-130010001．

二．计算题或证明题

1. 设A ～B,试证明

(1)A m ～B m (m 为正整数)（2）如A 可逆，则B 也可逆，且A －1～B －

1 参考答案：

2. 如n 阶矩阵A 满足A 2=A ，证明：A 的特征值只能为0或-1。参考答案：

3. 当a 、b 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解有解时，求其解．

????

???=++-=+-+=--=+-+b

x x x x a x x x x x x x x x x x 4321432143243215311

222

参考答案：

当a=0, b = －2时有解12

212

3142

11x k x k k x k x k =--??=++??=??=?

4. 判断向量β能否被321,,ααα线性表出，若能写出它的一种表示法．

??????? ??----=10738β，??????

??---=??????? ??--=???????

??-=1365,2053,3172321ααα 参考答案：

β不能被123,,ααα线性表示。

5. 若方阵A 可逆，则A 的伴随矩阵*

A 也可逆，并求出*

A 的逆矩阵．参考答案：证明，

11(*)||

A A A -=

离散数学试卷（参考答案）

一、选择题

1、设}}8,7,6{},5,4{},3,2,1{{=A ，下列选项正确的是：

（3）（1）A ∈1 （2）A ?}3,2,1{ （3）A ?}}5,4{{ （4）A ∈? 2、对任意集合C B A ,,，下述论断正确的是：（1）

（1）若C B B A ?∈,，则C A ∈ （2）若C B B A ?∈,，则C A ? （3）若C B B A ∈?,，则C A ∈ （4）若C B B A ∈?,，则C A ? 3、假设},,{c b a A =上的关系如下，具有传递性的关系是：（4）（1）},,,,,{>><><><><><><><

4、非空集合A 上的空关系R 不具备下列哪个性质：（1）

（1）自反性（2）反自反性（3）对称性（4）传递性 5、假设},,{c b a A =，}2,1{=B ，令：B A f →:，则不同的函数个数为：（2）（1）2+3个（2）32个（3）32?个（4）2

3个 6、假设},,{c b a A =，}2,1{=B ，下列哪个关系是A 到B 的函数：（3）（1）}2,1,2,1,2,1,{>><><><><><<=c c b b a a f （2）},,,,,,{>><><><><><<=c c a c b b a b b a a a f （3）}1,2,1,{>><><<=c b a f （4）},1,2,1{>><><<=c b a f

7、一个无向简单图G 有m 条边，n 个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）（1）2

m （2）2

n （3）m 2 （4）n 2 8、一个图是欧拉图是指：（1）

（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；（4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。 9、下面哪一种图不一定是树：（3）

（1）无回路的连通图（2）有n 个顶点1-n 条边的连通图（3）每一对顶点之间都有通路（4）连通但删去一条边则不连通的图. 10、完全m 叉树中有l 片叶，i 个分支点，则有它们之间的关系表达式是：（2）（1）1-=l i （2）l i m =+-1)1( （3）l i m =-)1( （4）1)1(-=-i l m

二、填空题

1、假设},30|{2

整数∈<=x x x A ，}20|{<=x x x B 是素数，，}5,3,1{=C

（1）=C B A Y I )({1，2，3，5}；