复摆振动的研究
第3卷第1期2001年3月 辽宁师专学报Journal of Liaoning T eachers College V ol.3N o.1Mar.2001
文章编号:1008-5688(2001)01-0029-03
关于复摆实验研究
杨晓强
(锦州师专,锦州 121000)
摘 要:为使学生对教材中复摆(形状规则)实验理解的更加透彻,详细地讨论了复摆实验中
所涉及的T —h 图,并将通过实验绘制的T —d 图与T —h 图加以比较,进而通过复摆实验,使学生掌握一种测定重力加速度的方法.
关键词:复摆;回转半径;等值摆长中图分类号:O 4233 文献标识码:B
复摆是一个具有质量分布的刚体,它绕着一个固定的水平轴自由地转动和振荡.水平轴
刚性地固定在物体上
,而且不通过它的质心.如图1
c 为质心,P 为转轴,当摆角很小时,复摆振动的周期
T =2
πa 2+h 2
g h
(1)
其中:a 为通过重心且垂直摆的方向为轴的回转半径,h 为回转轴到重心c 的距离.如改变回转轴的位置,使h 变化时,摆动周期也将变化,从(1)式可以看出,h →0时,T →∞;h →∞时T →∞.因此,当h 从0变到∞时,T 当有极小
值,极小值的条件是d T
d h =0,即:
d T
d h =2π×12
a 2
+h
2
g h
-12
2g -a 2+h 2
g h 2
=0
(2)
(2)式的解是h =a.即h =a 时周期T 极小,T min =2π
2a
g
.以h 为横轴,T 为纵轴可作T —h 图.对一固定复摆,a 值一定.取点:
h =a , T min =2
π2a
g
h =
a
2 , T =2
π5a 2g
; h =2a , T =2π5a 2g
收稿日期:2000—10—20
作者简介:杨晓强(19542),男,辽宁锦州人,讲师,主要从事物理教学研究,发表论文4篇1
30辽宁师专学报2001年第1期
h=a
3 , T=2π10a
3g
; h=3a , T=2π10a
3g
h=a
4 , T=2π17a
4g
; h=4a , T=2π17a
4g
… …
h=a
n , T=2π
(n2+1)a
n g
; h=na , T=2π
(n2+1)a
n g
由上述各点描绘图线如图2,因P轴是任取的,所以对任意一复摆得出结论:Ⅰ.过重心C 作任一射线,以射线上任意点为回转轴,做得T—h图均相同;Ⅱ.对于以C为圆心,任意长h为半径的圆周上任意点为回转轴,测出周期T是相同的.在图2中看出当h
复摆实验的最终目的,在于量度周期后利用周期与加速度的关系式计算g值.我们已知
单摆周期T与摆长L之间的关系为T=2πL
g
令该单摆的周期与(1)式复摆周期相等则有
L=a2+h2
h
……(3).(3)式L为复摆的等值摆长.从图2中可看出对应复摆同一周期T的
h值有两个.两者之间应满足a2+h12
h1
=
a2+h22
h2
,即a2=h1h2……(4),将(4)式代入
(3)式有L=h1+h2……(5).这样,我们利用(4)、(5)式,依据T min=2π2a
g
和T=
2πh1+h2
g
即可算出g.
在复摆实验中,学生们实际测量的不是h而是d,即从复摆的一端到各悬挂点的距离,并要求绘制T—d图.为什么不直接绘制T—h图呢?笔者认为理由有:(1)要测出h首先要测出质心位置,给实验增添麻烦.即使是形状规则的复摆,也难免质心不在几何中心处;(2)实验要求测出从复摆一端到各悬挂点的距离d,容易操作,也很方便,误差小.那么T—d图与T—h图有什么关系?对所示的回转半径、等值摆长是否会有影响?答案是两图形状完全一样.具体分析如下:如图4所示.设质
杨晓强关于复摆实验研究31
心位置C,AC=l,∴d=l-h,将h=l-d代入(1)
式,得
T=2πa 2+(l-d)2
g(l-d)
(6)
当: d=l-a , T=2π2a
g
d=l-a
2 , T=2π5a
2g
; d=l-2a , T=2π5a
2g
d=l-a
3 , T=2π10a
3g
; d=l-3a , T=2π10a
3g
d=l-a
4 , T=2π
17a
4g
; d=l-4a , T=2π
17a
4g
… …
d=l-a
n T=2π
(n2+1)a
n g
d=l-na T=2π
(n2+1)a
n g
复摆倒过来时:d=l+a , T=2π2a
g
d=l+a
2
, T=2π5a
2g
; d=l+2a , T=2π5a
2g
d=l+a
3
, T=2π10a
3g
; d=l+3a , T=2π10a
3g
d=l+a
4
, T=2π17a
4g
; d=l+4a , T=2π17a
4g
… …
d=l+a
n
, T=2π
(n2+1)a
n g
; d=l+na , T=2π
(n2+1)a
n g
取上述各点做T—d图,得图5.将图5与图3比较,图线形状没有变化,只是纵坐标向左平移l.
参考文献:
[1]杨述武,等.普通物理实验[M].北京:高等教育出版社,1980.1012104.
(责任编辑 王舜谦)
理论力学matlab编程
力系平衡问题 一、实验目的 1、进一步掌握力系平衡知识； 2、掌握利用理论力学知识解决复杂力系平衡问题的能力； 3、提高利用计算机进行辅助分析的能力。 二、实验内容 利用Matlab求解刚体系平衡问题。 三、实验原理 1、力系平衡方程； 2、代数方程求解命令solve。 四、实验工具 计算机以及Matlab软件 五、实验过程 1、力学模型建立、描述 组合梁由AC和CD铰接而成。已知：q=5KN/m,力偶矩M=，不计梁重。试求支座A，B，C，D处的约束力。 2、数学模型的建立 -Fay-FCy+FBy-q*4=0 Fax-FCx=0 FBy*2-FCy*4-q*4*2=0 -FD*cos(pi/6)+FCx=0 FD*sin(pi/6)+FCy=0 -M+FD*4*sin(pi/6)=0 3、数学模型求解仿真 编写Matlab命令文件如下： clear eq1='-q*4-FAy-FCy+FBy=0'; eq2='FAx-FCx=0'; eq3='FBy*2-FCy*4-q*4*2=0'; eq4='FCy+FD*sin(pi/6)=0'; eq5='FCx-FD*cos(pi/6)=0'; eq6='FD*4*sin(pi/6)-M=0'; s=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,'FAx','FAy','FBy','FCx','FCy','FD'); q=5;M=20;
%单位为KN FAx=subs FAy=subs FBy=subs FCx=subs FCy=subs FD=subs 六、实验结果 FAx = FAy =-5 FBy =10 FCx = FCy =-5 FD =10
实验4复摆振动的研究
实验四复摆振动的研究 复摆又称为物理摆，是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系——简谐振动。通过复摆物理模型的分析，可以用来测量重力加速度、测量物体的转动惯量以及验证平行轴定理等等。 【实验目的】 1．分析复摆的振动，研究振动周期与质心到支点距离的关系。 2．掌握用复摆来测量重力加速度和回转半径的方法。 3．了解用复摆物理模型来测量物体的转动惯量和验证平行轴定理的方法。 【实验仪器】 JD-2型复摆实验仪，光电门装置，J-25型周期测定仪，天平，米尺等 【实验原理】 刚体绕固定轴O在竖直平面内作左右摆动，C是该物体的质心，与轴O的距离为h ，θ为其摆动角度，如图4-1所示。 若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有 h mg =sin - Mθ 若θ很小时（θ在05以内）近似有 θ =（4-1） mgh M- 又据转动定律，该复摆又有 θ I M=（4-2）其中I为该物体转动惯量。由（4-1）和（4-2）可得
20θωθ=- （4-3） 其中2 0mgh I ω= 。此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆周期为 mgh I T π=2 （4-4） 设c I 为转轴过质心且与O 轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知 2mh I I c += （4-5） 代入(4-4)式得： mgh mh I T c 2 2+π = （4-6） 由此可见，周期T 是质心到回转轴距离h 的函数，且当0h →或h →∞时，T →∞。因此，对下面的情况分别进行讨论： （1）h 在零和无穷大之间必存在一个使复摆对该轴周期为最小的值，此时所对应h 值叫做复摆的回转半径，用R 表示。由（4-6）式和极小值条件 0dT dh =得： min c T T I R h m === （4-7） 代入公式（4-7）又得最小周期为 min 22R T g = （4-8） （2）在h R =两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。而把这样的一对回转轴称为共轭轴，假设某一对共轭轴分别到重心的距离为1h 、2h （12h h ≠），测其对应摆动周期为1T 、2T 。将此数据分别代入（4-6）式并利用12T T =得： 12c I mh h = （4-9） 12 2h h T g += （4-10） 把公式（4-10）与单摆的周期公式2l T g =复摆绕距的重心为1h （或其共轭轴2h ）的回转轴的摆动周期与所有质量集中于离该轴为12h h +点的单摆周期
混沌现象的通俗解释
混沌现象的通俗解释 非线性，俗称“蝴蝶效应”。 什么是蝴蝶效应？先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！ 这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！ 线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。 激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好象听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。 非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。 1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。有点不可思议，但是确实能够造成这样的恶果。一个明智的领导人一定要防微杜渐，看似一些极微小的事情却有可能造成集体内部的分崩离析，那时岂不是悔之晚矣？ 横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始。 莫以恶小而为之，莫以善小而不为。 千里之堤，毁于蚁穴。 混沌现象在自然界所经历的途径及是普遍存在的，近些年来，人们不仅从实验室观察到了许多混沌现象，而且认识到混沌产生的条件，其特征，在理论上发现了一些有关混沌产生的普遍规律，混沌理论的研究已经不仅仅局限于物理学方面，而且成为跨学科的十分活跃的研究方向，比如在生命，意识，社会发展变化上的研究。有人甚至认为混沌理论是继量子论，相对论以后的第三大革命。所以对混沌与牛顿定律的内在随机性的研究，不仅是在物理学上，
受迫振动和共振的研究
受迫振动和共振的研究 振动科学是物理学的重要组成部分。其中受迫振动．．．．和共振．． 问题的研究，不但在理论上涉及经典和现代物理科学的发展；更在工程技术领域受到极大的重视并不断取得新的成果。例如：在建筑、机械等工程问题中，经常须避免“共振”现象的出现以保证工程质量；但目前新研发的很多仪器和装置的工作原理又是基于各种“共振”现象的产生；在微观科学研究领域中“共振”也已成为重要的研究手段。 本实验以音叉振动系统为研究对象，用电磁激振线圈的电磁力作为驱动力使音叉起振；并以另一电磁线圈作为检测振幅传感器，观测受迫振动系统的振幅与驱动力频率之间的关系，以研究“受迫振动”与“共振”现象及其规律。 一、 实验目的 （1） 研究音叉振动系统在周期性外力作用下振幅与外力频率的关系，测绘其关系曲线，并求出系统的共振频率和系统的振动锐度（和品质因素Q 值有关的参量）； （2） 通过改变音叉双臂同一位置处所加金属块的质量，研究系统的共振频率与系统质量的关系； （3） 通过测量音叉的共振频率，确定未知物体的质量，以了解音叉式传感器的工作原理； （4） 改变音叉阻尼状态，了解阻尼力对音叉系统的共振频率及其振动锐度的影响。 二、 实验原理 1． 简谐振动与阻尼振动 众所周知：弹簧振子、单摆、复摆、扭摆等振动系统在作小幅度振动，并且其所受各种阻尼力小到可以忽略的情况下，可视为简谐振动状态。此类振动满足下述简谐振动．．．． 方程： 02022=+x dt x d ω （1） 上式的解为： )cos(00?ω+=t A x （2） 以理想弹簧振子为例：其固有角频率m K =0ω，K 为弹簧的劲度系数，m 为振动系统的有效质量，振幅A 和初位相0?与振动系统的初始状态有关，系统的振动周期T =K m πωπ220=。即振动周期仅与系统的质量及弹簧的劲度系数有关；由此可知：理想弹簧振子的振动频率f=m K T π 211=。 但是，实际的振动系统存在各种阻尼因素。仍以弹簧振子为例：其振动幅度在摩擦力（空气阻力、内力等）的阻尼下会逐步减小直到零——即阻尼振动．．．． 状态。摩擦力的大小通常与振动速率有关，在多数情况下其大小与速率成正比而方向相反，可以dt dx b ?表述。由牛顿第二定律ma F =给出的阻尼运动方程可以表示为：22dt x d m dt dx b Kx =??。则相应的阻尼振动．．．．方程则为：
谈谈日常生活中的混沌现象
谈谈日常生活中的混沌现象 XX学院专业姓名 摘要：本文通过具体科学，解释日常生活中的混沌现象，以及以及如何通过物理问题解决日常生活中的问题。 关键字：物理，混沌现象，蝴蝶效应 一、混沌现象的定义 混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。 “ 混沌”是近代非常引人注目的热点研究，它掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。 二、混沌现象的相关例子 混沌理论证明，在世界上发生的具有如下特征的事件均属混沌事件，即混沌现象。 1.蝴蝶效应现象 蝴蝶效应现象，是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性.初始条件极小的偏差将会引起结果的巨大差异。在政治、经济、军事、自然、社会等诸多领域均有蝴蝶效应发生，而且这种现象对世界具有极大的影响效果。金融炒家索洛斯引发的东亚金融危机，和白宫实习生莱温斯基引发的克林顿绯闻案，就是两个最典型的例证。 （1）产生蝴蝶效应的内在机制 所谓复杂系统，是指非线性系统且在临界性条件下呈现混沌现象或混沌性行为的系统．非线性系统的动力学方程中含有非线性项，它是非线性系统内部多因素交叉耦合作用机制的数学描述．正是由于这种“诸多因素的交叉耦合作用机制”，才导致复杂系统的初值敏感性即蝴蝶效应，才导致复杂系统呈现混沌性行为． 目前，非线性学及混沌学的研究方兴未艾，这标志人类对自然与社会现象的认识正在向更为深入复杂的阶段过渡与进化．
单摆复摆的区别
单摆和复摆最本质的区别应该是摆动所绕的轴不一样（单摆是绕点），从而导致了一系列的差异，详述如下： 单摆 simplependulum 质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l 且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和l和当地的重力加速度g有关，即T=2π√(L/g)，而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。如果振动的角度大于5°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。伽利略第一个发现摆的振动的等时性，并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动。惠更斯制成了第一个摆钟。单摆不仅是准确测定时间的仪器 也可用来测量重力加速度的变化。惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那，发现每天慢2.5分钟，经过校准，回巴黎时又快2.5分钟。惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱。I.牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的。直到20世纪中叶，摆依然是重力测量的主要仪器。 复摆 compoundpendulum 在重力作用下，能绕通过自身某固定水平轴摆动的刚体。又称物理摆。复摆的转轴与过刚体质心C并垂直于转轴的平面的交点O称为支点或悬挂点。摆动过程中，复摆只受重力和转轴的反作用力，而重力矩起着回复力矩的作用。设质量为m的刚体绕转轴的转动惯量为I，支点至质心的距离为s，则复摆微幅振动的周期T=2π√(I/mgs)，式中g为重力加速度。它相当于摆长l＝I／ms的单摆作微幅振动的周期。在OC的延长线上取O′点使OO′＝l（l称等价摆长）则此点称为复摆的摆动中心。支点和摆动中心可互换位置而不改变复摆的周期。知道T和l，就可由周期公式求出重力加速度g。当复摆受到一个冲量作用时，会在支点上引起碰撞反力。若转轴是刚体对支点的惯量主轴，外冲量垂直于支点和质心的连线OC且作用于摆动中心O′上，则支点上的碰撞反力为零。因此，复摆的摆动中心又称撞击中心。机器中有些必须经受碰撞的转动件，如离合器、冲击摆锤等，为防止巨大瞬时力对轴承的危害，应使碰撞冲击力通过撞击中心。 https://www.wendangku.net/doc/cf18477358.html, 转动惯量 momentofinertia 刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为I＝(求和符号)Δmiri^2或I＝(积分符号)ri^2dm，式中ri为组成刚体的质量微元Δmi（或dm）到转轴的垂直距离；求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
单自由度非线性系统的混沌振动
考虑由非线性弹簧和线性阻尼组成的质量-弹簧系统在简谐激振力作用下的受迫振动，动力学方程为： 30mx cx kx F cos t ++=ω 30mx cx kx F cos t '''++=ω 取参数值：m=1.0,c=0.05,k=1.0,F 0=7.5,ω=1.0,以及初始条件：()()11x 0 3.0,x 0 4.0== 求解：令()()()()12 u t x t u t x t =??'=?，则原方程变换为： ()()()()()()()()()121123022121212u t u t f t,u ,u F c k u t cos t-u t u t f t,u ,u m m m u 0 3.0u 0 4.0 '==???'=ω-=???=?=?? 根据Runge-Kutta 方法构造如下数值迭代计算公式： [][]1,i 11,i 111213142,i 12,i 21222324h u u k 2k 2k k 6h u u k 2k 2k k 6++?=++++????=++++?? 其中 ()() 111i 1,i 2,i 121i 1,i 112,i 21131i 1,i 122,i 22141i 1,i 132,i 23k f x ,u ,u h h h k f x ,u k ,u k 222h h h k f x ,u k ,u k 222k f x h,u hk ,u hk ?=????=+++ ???????? ?=+++ ?????=+++??
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混沌现象研究
实验二十九混沌现象研究 长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。【实验原理】 1、非线性电路与非线性动力学 实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。 C2 R0 R C1 L 图29-2 非线性元件伏安特性 图29-1 非线性电路原理图 V（R）
高中物理单摆模型
高中物理单摆模型 物理模型是实际物体的抽象和概括, 它反映了客观事物的主要因素与特征, 是连接理论和应用的桥梁. 我们把研究客观事物主要因素与特征进行抽象的方法称之为模型方法, 是物理学研究的重要方法之一. 中学物理习题都是依据一定的物理模型进行构思、设计而成的, 因此, 在解答物理习题时, 为使研究复杂物理问题方便起见, 往往通过抽象思维或形象思维, 构建起描述物理问题的模型, 使用物理模型方法, 寻找事物间的联系, 迅速巧妙地解决物理问题. 单摆就是实际摆的一种理想化物理模型，在处理问题时可以起到柳暗花明的功效，主要有以下应用。 【单摆模型简述】 在一条不可伸长的、忽略质量的细线下端栓一可视为质点的小球, 当不必考虑空气阻力的影响, 在摆角很小的情况下可看作简谐运动, 其振动周期公式可导出为 .2g l T π = 【视角一】合理联想, 挖掘相关物理量. 例1. 试用秒表、小石块、细线估算电线杆的直径. 分析与解: 要估算电线杆的直径, 题目中没有给刻度尺, 因此, 用什么来替代刻度尺是问题的关键. 秒表、小石块似乎对测量电线杆的直径没有直接关系；若是联想到小石块可以与细线组成单摆， 秒表可用来测量时间，本题便不难解决了。 用等于n 个电线杆圆周长的细线与小石块组成单摆，用秒表测出单摆m （30～50）次全振动所用时间t ，则单摆振动的周期 , 422 2ππg T l g l T =?=电线杆的圆周长 n l L =，电线杆的直径, πL d =有.43 2 2 πnm g l d = 【视角二】迁移与虚拟，活化模型方法. 例2. 一倾角α很小(α＜2°)的斜劈固定在水平地面, 高为h ［如图1(a)］.光滑小球从斜劈的顶点A 由静止开始下滑, 到达底端B 所用时间为t 1. 如果过A 、B 两点将斜劈剜成一个光滑圆弧面, 使圆弧面在B 点恰与底面相切, 该小球从A 由静止开始下滑到B 所用的时间为t 2. 求t 1与t 2的比值. 分析与解: 当小球在斜劈上做匀加 = αsin h .2sin 1sin 2 11 21 g h t t g ?=??αα 将斜劈剜成光滑圆弧面后. 虚拟并迁移单摆模型, 因2α ＜4°,小球在圆弧面运动时 受重力与指向圆心的弹力作 用, 这与单摆振动时的受力 ——重力与指向悬点的拉力 类似. 如图1(b)所示. 则小球 B (b) (a) 图1
复摆运动分析研究
姓名：桂馨班级：机械0803成绩: 复摆运动分析研究 一、实验目的 1、进一步掌握动力学基本理论，掌握复摆运动得规律； 2、掌握利用理论力学理论知识解决复杂力学问题的能力； 3、提高利用计算机进行辅助分析的能力 二、实验内容 工程中对于几何形状复杂的物体，常用实验得方法测定其转动惯量。欲求其对轴O的转动惯量，可将物体在轴O悬挂起来，并使其作微幅摆动，利用其摆动 周期得等时性计算出转动惯量。当摆动角度增大时，复摆是否还具有等时性呢？ 本实验对复摆得运动规律进行详细分析研究：建立复摆得运动微分方程，利用Manlab 对复摆进行仿真计算，研究复摆的摆角对运动周期得影响。 三、实验原理 1、动量矩定理或刚体定轴转动微分方程 2、运动微分方程得Matlab数值求解 在生产和科研中，所建立的微分方程往往很复杂，且大多得不出解析解。而在实际中一般是要求得到解在若干点上满足规定精确度的近似值。对于常微分方程 其数值解是指由初始点t0幵始的若干离散的t值处，即对t0 上面的调用格式中，各参数的具体含义如下： 参数“ odefun ”表示ODE函数的名称； 参数“ tspan ”，当tspan 便是二元向量［to,tn ］时，tspan 是用来定义求解数值解的时间区间的；当tspan表示多元向量［to,t1,t2 ……tn］时，命令将会在tspan 定义的时间序列进行数值求解，此时tspan 的元素必须按照单调次序排列； 参数y0 表示为微分方程的初始数值； 参数T是所求得的自变量数据列向量； 参数Y表示所求微分方程的因变量数据矩阵。 Solver 为命令ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb 之一。其中ode45,ode23,ode113 用于求解非刚性微分方程， ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb 用于求解刚性微分方程。ode45 是大部分场合的首选算法。 Matlab 中常微分方程的数值求解命令直接求解的是一阶常微分方程。而动力学微分方程一般是两阶的。利用数值方法求解动力学微分方程需要首先对其进行降阶增维处理。 四、实验过程 1 、力学模型建立、描述 所研究复摆如下图所示： 2、数学模型建立 根据上图列出复摆的运动微分方程，其中复摆质量为m,质心为C,质心到悬 挂点O的距离为a； 作如下代换： 于是上面复摆的运动微分方程改写为一阶方程组的形式如下： 复摆颚式破碎机动力学分析及改进研究 发表时间：2017-07-27T15:43:12.380Z 来源：《基层建设》2017年第10期作者：蔡昌伟 [导读] 摘要：当前在粉碎工程当中，最常用的一种破碎设备就是颚式破碎机，简单的结构、易制作、方便维修、能够稳定运行是颚式破碎机的特点。 韶关市韶瑞重工有限公司广东韶关 512000 摘要：当前在粉碎工程当中，最常用的一种破碎设备就是颚式破碎机，简单的结构、易制作、方便维修、能够稳定运行是颚式破碎机的特点。颚式破碎机发展至今，已经有了一百多年的历史。媒矿和矿山、冶金和水利等行业都对其进行了广泛地应用。一般情况下，颚式破碎机是在露天的矿产进行工作，为了确保在恶劣的条件下，其能稳定且长时间的工作，就要保证其有可靠的运动部件和传动部件。基于此，本文论述了复摆颚式破碎机动力学及改进。 关键词：复摆颚式破碎机；动力学分析；改进研究 机器在运转的时候，颚式破碎机的动颚和连杆会有较大的惯性力产生，而在机器运动副中其会引起动压力，而这样会使运动副中磨损会增加，从而对构件强度产生影响，使机械效率得以降低。另外，由于惯性力的方向和大小变化是呈周期性的，所以会使机器以及机械基础有振动发生，不能均匀的回转偏心轴。为了将这些问题消除，需要对颚式破碎机的惯性力和加速度的变化规律进行研究，并将问题解决。 1.复摆颚式破碎机的工作原理和结构 1.1复摆颚式破碎机的结构 复摆颚式破碎机主要由七个部分构成，包括活动颚板和偏心轴、调整座和肘板、动颚和固定颚板以及机架。请看图1。 1.2复摆颚式破碎机的工作原理 从某种角度来讲，可以把复摆颚式简化，使其简化成曲柄摇杆机构。电动机使带以及带轮驱动，借助偏心轴让动颚进行上下运动。假如动颚上升，那么动颚同肘板之间就会有很大的夹角，以固定颚板为方向，推动动颚能够压碎物料，或者把物料劈碎，从而实现破碎的目的；假如动颚下行，那么动颚同肘板就会有很小的夹角，在弹簧和拉杆的共同作用下，动颚板会慢慢脱离颚板，这时候，在破碎腔的下口就会排出破碎物料。 2、复摆颚式破碎机的仿真分析 2.1简化导入三维模型 针对工作机构，实行仿真分析的时候，可对用ADAMS软件进行利用。针对研究对象目的，能够使物理模型得以简化，简化成虚拟样机，而这种样机的零件数量很少，因此其不会影响到仿真的分析结果。ADAMS这种软件不会把零件识别成几何体，而会把实体识别成几何体。因此，对于物理模型当中的所有零件，不要都使其模型化。而可对这种软件当中的布尔进行利用，实施操作，通过一定方式，使其以实体的方法呈现，包括简化和合并等方法，这样能使各部件的质心位置以及质量得以保证。在不对仿真分析结果产生影响的基础上，越简单、越少的零部件越好，这样能够使计算仿真分析的工作量得以减少，从而使仿真分析的工作效率得以提高，以下就是颚式破碎机的三维模型，请看图2。 在运动的时候，由于颚式破碎机的活动颚板和很多部件是相对静止的，所以在仿真前，为了便于连接好一切静止的部件，可把其当作一个整体，并忽略那些无关于仿真分析的固定颚板部分和机架部分。使复式颚式破碎机简化之后，可以将其当作成曲柄摇杆的机构。 2.2分析动颚出料口的运动行程 当动颚的水平行程为s，动颚的垂直行程为h，那么动颚行程的特征值就是m，m=h/s，当破碎的时候，假如有越大的物料量，那么就 非线性电路中的混沌现象 学号：37073112 姓名：蔡正阳 日期：2009年3月24日 五：数据处理： 1．计算电感L 本实验采用相位测量。根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率 LC f π21= 时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示 波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。 测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得： mH C f L 50.21) 108.32(10095.114.341 412 39222=?????== -π 估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则： 3 2222106.7)()(4)(-?=+=C C u f f u L L u 即 mH L u 16.0)(= 最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+ 2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据： （2）数据处理： 根据R U I R R = 可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知： R R R R U U I I =-=11 由此可得对应的1R I 值。 对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得： 图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。故我们在 V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、 0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲 线。 使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程： ?? ? ??≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12- 20.02453093-0.002032U I 经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证 明在区间内I-V 线性符合得较好。 应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U 曲线。 一、复摆法测重力加速度 一．实验目的 1. 了解复摆的物理特性，用复摆测定重力加速度， 2. 学会用作图法研究问题及处理数据。 二．实验原理 复摆实验通常用于研究周期与摆轴位置的关系，并测定重力加速度。复摆是一刚体绕固定水平轴在重力作用下作微小摆动的动力运动体系。如图1,刚体绕固定轴O在竖直平面内作左右摆动，G是该物体的质心，与轴O的距离为h，θ为其摆动角度。若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，则有 θ M- =， (1) sin mgh 又据转动定律，该复摆又有 θ I M=，（2） (I为该物体转动惯量) 由（1）和（2）可得 θωθ sin 2-= ， （3） 其中I mgh = 2ω。若θ很小时（θ在5°以内）近似有 θωθ 2-= ， （4） 此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为 mgh I T π =2 ， （5） 设G I 为转轴过质心且与O 轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知 2mh I I G += ， （6） 代入上式得 mgh mh I T G 2 2+=π ， （7） 设（6）式中的2mk I G =，代入（7）式，得 gh h k mgh mh mk T 2 22222+=+=π π， （11） k 为复摆对G （质心）轴的回转半径,h 为质心到转轴的距离。对（11）式平方则有 2 2222 44h g k g h T ππ+=， （12） 设22,h x h T y ==，则（12）式改写成 x g k g y 2 2244ππ+=， （13） （13）式为直线方程，实验中(实验前摆锤A 和B 已经取下) 测出n 组(x,y) 值，用作图法求直线的截距A 和斜率B ，由于g B k g A 2 224,4ππ==，所以 ,4,42 2 B A Ag k B g == =ππ （14） 由（14）式可求得重力加速度g 和回转半径k 。 三．实验所用仪器 复摆运动的初步分析及混沌现象 Ozprince 1.概述：复摆是指，在重力作用下绕通过自身某固定水平轴摆 动的刚体。即复摆是一刚体绕固定的水平轴在中立的作用下作微小的摆动的动力运动体系，又称物理摆。而在教学中通常只考虑其简谐振动即“微小摆动”的情形，内容比较单一，实际上，我们可以将其定义推广至任意角度汉周期驱动力与阻尼力矩的情形。 2.运动方程：对如图所示的物理白，其质量为m，对转轴o的 转动惯量为J，质心C到转轴的距离为h，如果复摆振动时受到的阻尼力矩是；周期性驱动力的力矩为,重力矩为,则复摆的运动方程可以写为： 经化简后方程可以表示为: 其中 3.相图法： 将指点的位置（或角位置）作为横坐标，将速度（或角速 度）作为纵坐标，所构成的直角坐标系平面，称为相平面。 所谓“相”是只某种运动状态，指点在某一时刻的运动状态 可用它在该时刻的位置和速度来描述。因此质点的一个运动状态，对应于相平面上的一个质点，称为相点。当质点的运动状态发生变化时，相点就在相平面内运动，相点的运动轨迹称为相迹或者相图。 4.复摆运动方程的解的讨论及运动过程模拟： i)无阻尼（a=0），无驱动（d=0）的情形,这时方程化为： ○1位移较小的情形： 当角位移<<1时，略去泰勒展开式中的高次项sin=，即： 其中b是由系统自身的性质决定的，上式的解为： （*） 这时我们常见的简谐振动的形式，式中的A为振幅。由（*）式可知它的相迹是椭圆，其大小取决于振幅A，频率b。 运动模拟方面我们可以采用Oringin等软件绘制图形。所有参数均取有意义的简单值，并不给出。 图1. ○2任意大小的角位移，方程近似为： 生活中的混沌现象 环境设计 郭书楠 20130313101022最近全国许多地方不是闹旱灾就是发大水，貌似老天爷有点变化无常了。不过话说回来，这位老天爷好像爱你个从来都是变化无常的。记得小学时候学过一篇课文叫《看云识天气》，学完后将信将疑的，回去试了一下，发现根据那些云来预测天气好多都不准。从此心中就有一个结——我们到底能不能知道明天到底是什么天气呢？ 在气象学出现之前人们只能根据经验来预测天气，但这种经验性的方法误差很大，往往不能精确预报。我想那时候的人们一定会像，要是能精确预报天气该多好啊！那时的人们大多靠天吃饭，而且天气与人们的声场生活密切相关。 幸运的是现在我们有了计算机，有了卫星云图，精确预报明天甚至后天的天气情况是没多大问题的。更进一步，气象学家已经建立了大气环流模型。模型的思想是用网格划分全球，确定每个格点上某些气象数据（气压、温度、密度等）的值，然后在计算机上模拟这些数据的时间演化。初始数据（即某个时刻气象参数的值）由卫星、探空和地面观测搜集获得。然后计算机用这些数据、已知的山脉位置及其他许多资料，算出之后某个时刻的气象数值，当然这些预测面临着现实的检验。这么说只要知道初始值，我们就应该能够预测将来任意时刻的天气了，这是多么激动人心啊！但是结果让所有人失望了，大约 一周后计算机模拟的与实际的天气情况的误差已经大得不可接受了。问题到底出在哪呢？难道是计算机出错了？当然计算机是很忠诚的，它并没有出错。究其原因，是因为任何测量都会有误差，无论过去、现在、还是未来，误差都将于我们同在，只要有测量，就一定有误差，无论将来的测量技术有多发达，这都是一个真理，因为任何测量都是有一定精度的。明白了这个事实，那么我们对于初始值的测量就变得不是那么准确了，虽然可能只有十分微小的误差。或许有人会不服：“不就是一点微小的误差嘛！至于造成这么大的影响吗？”为了证明初始值的微笑误差会造成气象上的巨大变化，我们只需将初始值做十分微小的变动然后再输入计算机进行模拟就可以了。模拟结果不出所料，这么点小小的误差（就像一股小小的风）却造成了巨大的气象灾难。发现这种现象的美国科学家爱德华·洛伦茨形象地称之为“蝴蝶效应”。 洛伦茨发现了“蝴蝶效应”之后并没有停留在这表面的现象上，若停留在可预料性被单纯的随机性战胜这一图像上，那他不过是带来了一条非常坏的消息而已。洛伦茨看到的不仅仅是随机性潜伏在他的气象模型中，他还看到一种精致的几何结构，这是一种伪装成随机性的规律性，这就是混沌！ “天气是不可长期准确预料”这一事实对于经典的决定论是绝对不能容忍的。按照牛顿力学，如果知道了一个系统初始时刻的状态我们就能知道它在其他任何时刻的状态。天体运动是牛顿力学的第一块试金石，根据牛顿力学预言的众多天文现象如海王星的位置一再证明 一、复摆法测重力加速度 一.实验目得 1、了解复摆得物理特性,用复摆测定重力加速度, 2、学会用作图法研究问题及处理数据。 二.实验原理 复摆实验通常用于研究周期与摆轴位置得关系,并测定重力加速度。复摆就是一刚体绕固定水平轴在重力作用下作微小摆动得动力运动体系。如图1,刚体绕固定轴Ｏ在竖直平面内作左右摆动，Ｇ就是该物体得质心,与轴Ｏ得距离为，为其摆动角度。若规定右转角为正,此时刚体所受力矩与角位移方向相反,则有 , （1) 又据转动定律，该复摆又有 , (2) （为该物体转动惯量) 由（1）与（2）可得， (3） 其中。若很小时（在5°以内)近似有 , (4) 此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为 , (5） 设为转轴过质心且与O轴平行时得转动惯量，那么根据平行轴定律可知 , (6) 代入上式得 ， (７） 设（６）式中得,代入（7）式，得 , （1１） ｋ为复摆对G(质心)轴得回转半径,h为质心到转轴得距离。对(11)式平方则有 ， (1２） 设,则（12)式改写成 , (1３) （13）式为直线方程,实验中（实验前摆锤A与B已经取下）测出n组（x,y)值，用作图法求直线得截距A与斜率B,由于,所以 (1４） 由（14)式可求得重力加速度ｇ与回转半径k。 三.实验所用仪器 复摆装置、秒表。 四．实验内容 1.将复摆悬挂于支架刀口上，调节复摆底座得两个旋钮，使复摆与立柱对正 且平行，以使圆孔上沿能与支架上得刀口密合。 2.轻轻启动复摆，测摆30个周期得时间、共测六个悬挂点，依次就是：6 ｃm ８cm 10cm 1２cm 14cm １6cｍ处。每个点连测两次,再测时 不需重启复摆。 3.启动复摆测量时，摆角不能过大(＜),摆幅约为立柱得宽度。复摆每次改 变高度悬挂时，圆孔必须套在刀口得相同位置上. 基于Matlab的复摆颚式破碎机运动分析 建立复摆颚式破碎机工作机构四连杆数学模型，利用Matlab编程运算并运动仿真，得到破碎机工作面运动参数，为复摆颚式破碎机的设计、优化提供依据。 标签：复摆颚式破碎机；四连杆机构；MATLAB；运动仿真 引言 复摆颚式破碎机是中等粒度矿石破碎中最常用的破碎设备之一。复摆鄂式破碎机具有结构简单、价格低廉、操作简单、坚固耐用、维护容易等优点，是我国生产最多、使用最广的破碎设备。 众所周知，复摆颚式破碎机可以简化成一个铰链四连杆机构，其连杆即动颚。动颚齿面各点即四连杆机构连杆上的对应各点。破碎机的性能主要取决于动颚齿面的轨迹性能值，而轨迹性能值又取决于齿面点在连杆上的位置以及机构尺寸，所谓机构尺寸参数，是指该铰链四连杆机构的各杆长度，机架位置和连杆上动点位置等尺寸参数，因此破碎机的机构尺寸参数的设计，是决定机器性能优劣的关键因素之一。 MATLAB是Mathworks公司推出的交互式计算分析软件，具有强大的运算分析功能，具有集科学计算、程序设计和可视化于一体的高度集成化软件环境，是目前国际上公认的最优秀的计算分析软件之一，被广泛应用于自动控制、信号处理、机械设计、流体力学和数理统计等工程领域。通过运算分析，MATLAB 可以从众多的设计方案中寻找最佳途径，获取最优结果，大大提高了设计水平和质量。四连杆机构的解析法同样可以用MATLAB的计算工具来求值，并结合MATLAB的可视化手段，把各点的计算值拟合成曲线，得到四连杆机构的运动仿真轨迹，本文将通过Matlab软件对复摆颚式破碎机四连杆机构进行分析，实现机构的优化设计。 1 四连杆运动分析 1.1 机构的数学模型 图1为复摆颚式破碎机四连杆机构简图，其中L1为曲柄，L2为连杆，L3为摆杆（肘板），L4为机架，以各杆矢量组成一个封闭矢量多边形，即ABCDA。其个矢量之和必等于零。即： 1.2 機构运动方程 1.2.1 角位移方程 将上式矢量关系写成坐标投影方程： 实验四 复摆振动的研究 复摆又称为物理摆，是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系——简谐振动。通过复摆物理模型的分析，可以用来测量重力加速度、测量物体的转动惯量以及验证平行轴定理等等。 【实验目的】 1．分析复摆的振动，研究振动周期与质心到支点距离的关系。 2．掌握用复摆来测量重力加速度和回转半径的方法。 3．了解用复摆物理模型来测量物体的转动惯量和验证平行轴定理的方法。 【实验仪器】 JD-2型复摆实验仪，光电门装置，J-25型周期测定仪，天平，米尺等 【实验原理】 刚体绕固定轴O 在竖直平面内作左右摆动，C 是该物体的质心，与轴O 的距离为h ，θ为其摆动角度，如图4-1所示。 若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有 h mg M θ-=sin 若θ很小时（θ在05以内）近似有 θmgh M -= （4-1） 又据转动定律，该复摆又有 θ I M = （4-2） 其中I 为该物体转动惯量。由（4-1）和（4-2）可得 图4-1 刚体复摆运动 20 θωθ=- （4-3） 其中2 0mgh I ω= 。此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆周期为 mgh I T π =2 （4-4） 设c I 为转轴过质心且与O 轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知 2mh I I c += （4-5） 代入(4-4)式得： mgh mh I T c 2 2+π = （4-6） 由此可见，周期T 是质心到回转轴距离h 的函数，且当0h →或h →∞时，T →∞。因此，对下面的情况分别进行讨论： （1）h 在零和无穷大之间必存在一个使复摆对该轴周期为最小的值，此时所对应h 值叫做复摆的回转半径，用R 表示。由（4-6）式和极小值条件 0dT dh =得： min T T R h === （4-7） 代入公式（4-7）又得最小周期为 min 2T = （4-8） （2）在h R =两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。而把这样的一对回转轴称为共轭轴，假设某一对共轭轴分别到重心的距离为1h 、2h （12h h ≠），测其对应摆动周期为1T 、2T 。将此数据分别代入（4-6）式并利用12 T T =得： 12c I mh h = （4-9） 2T = （4-10） 把公式（4-10）与单摆的周期公式2T =复摆绕距的重心为1h （或其共轭轴2h ）的回转轴的摆动周期与所有质量集中于离该轴为12h h +点的单摆周期复摆颚式破碎机动力学分析及改进研究
非线性电路中的混沌现象
单摆、复摆法测重力加速度大学物理实验
复摆运动的初步分析及混沌现象
生活中的混沌现象
单摆、复摆法测重力加速度 大学物理实验
基于Matlab的复摆颚式破碎机运动分析
复摆振动的研究