菲根鲍姆常数的发现

菲根鲍姆常数的发现

1、优秀而没有成果的学生

在混沌理论的发展中，除了沙可夫斯基序和李天岩-约克的“乱七八糟”之外，菲根鲍姆常数是又一项惊人的发现。

菲根鲍姆（M．Feigenbaum）是美国康奈尔大学的物理学家，现年四十四岁，他是当今世界物理学界的佼佼者。在许多文字和许多演说中，菲根鲍姆都被人赞扬为青年学者的楷模。（纽约时报）星期周刊绘声绘色为他写了长篇报道。美国驻中国大使馆散发的中文杂志（交流）曾以他的巨幅照片作为彩色的封面。在青年学生心目中，说菲根鲍姆是一颗耀眼的新星，是恰如其分的。种种声名显赫的桂冠，连同丰厚的奖金，降落在他的头上。有志于科学的青少年，谁不羡慕菲根鲍姆的成就呢！

其实，菲根鲍姆的历程，并不是一帆风顺的。相反，在他学术生涯的头十年里，真是充满了挫折和不幸。比起所有其他科学家来，菲根鲍姆在学术黄金时代的经历是最坎坷不平的。命运之神并没有特别厚待他，反而曾经很不公平地粗暴地打击过他最早的重要发现和发明。

菲根鲍姆一九四四年十二月九日出生在美国费城。他父亲是当地海军船厂的药剂师，为太平洋船队服务。二次大战以后，他们一家迁回纽约的布鲁克林，父亲在纽约港务局工作，母亲到一所公立学校教书。在孩童时代，家里的收音机把宇宙的奥秘展现在菲根鲍姆面前。

菲根鲍姆像其他孩子一样，对一切都充满好奇。他回忆道：“每天早晨五点半或六点，收音机就响了。我知道是父亲打

开了收音机。问题是，什么也没有进入收音机，它为什么能奏出音乐来呢？这是多么奇怪啊，真是非常了不起。我那时候就知道留声机这种东西——当然是老式的。在我四、五岁的时候，奶奶就曾破例允许我放送每分钟七十八转的唱片。”

要读完高中和市立大学并出人头地。从某种程度说，就是要驶过精神世界和“他人世界”的曲折航道。“小时候最初我非常喜欢交朋友。可是有些人总想欺侮我，有时还拳脚交加。住在下层市民集中居住的布鲁克林，这是司空见惯的事。我总是设法让他们相信，应该做我的朋友。”

长大了做什么？起初，他挑选专业的标准是力求实用。菲根鲍姆回忆道：

“在十岁或十一岁的时候，我在布鲁克林就听说电气工程师是搞收音机的，还知道电气工程师不必担心找不到工作，收入也不少。真是了不起。后来上了大学我才明白，我渴望了解的收音机的知识，只不过是物理学的一小部分。”

就这样，菲根鲍姆在人生的道路上一脚迈入了物理学的大门。一九六四年在纽约市立大学毕业以后，他进了麻省理工学院研究生院。一九七Ｏ年，菲根鲍姆在麻省理工学院获得了基本粒子物理学的博士学位。

按照美国的教育制度，学生从一所大学毕业取得学士学位以后，多半要（申请）到另一所大学的研究生院攻读硕士或博士学位。麻省理工学院是一所世界水平的高等学府，位于美国东北部所谓新英格兰地区的马萨诸塞州的波士顿市。麻省理工学院又译作马萨诸塞理工学院，和另一所世界闻名的高等学府哈佛大学相距不过一英里。

研究生从一所大学取得博士学位以后，必须申请到别的地方工作，这同中国的毕业生分配制度很不相同。研究生毕业前夕，他们通常会自己写信向十几个甚至几十个单位申请位置，然后在同意安排的若干个单位中挑选一个，前往赴任。他们的去向，既有大学、中学、研究机构（包括军队和大公司的研究机构），又有工厂、企业和其它部门。如果是去大学或其他研究机构做带研究性质的工作，这个阶段就叫博士后研究阶段。

菲根鲍姆首先去了康奈尔大学。在美国的大约二千所大学当中，学术水平之高低悬殊很大。历史上，美国东北部最早开发的地区形成了一个排他性的长青藤大学联盟（Ivy League Schools），其特点是私立贵族高等教育学府。这些学校按校名英文字母顺序包括以下八所学校：

布朗大学，哥伦比亚大学，康奈尔大学，德母大学，哈佛大学，普林斯顿大学，宾夕法尼亚大学，耶鲁大学。

一百多年过去了，美国大学的情况已经有了很大变化。一方面，别的大学赶上来了，例如同在这一地区的麻省理工学院，在大湖地区的芝加哥大学，在西海岸（太平洋沿岸）的斯坦福大学，伯克利加州大学，加州理工学院，等等。另一方面，这些长青藤大学本身也发生了很大变化。例如，过去只收白人学生，现在每年都给黑人学生保留一定的名额；过去只收男生，现在是男女同校。（有趣的是，有些长青藤大学招收女生是晚至20世纪60年代才开始的事。例如普林斯顿大学。是一九六九年才开始招收女生的。）到了二十世纪八十年代，长青藤大学差不多只剩下一个名字，联盟极其松散，除了体育比赛以外，简直看不出有别的“联盟”的内容。长青藤大学各种主要运动（以球类为主）一年一度都要

进行比赛，这种比赛仍然是排他性的，除了把西点军校（传统上也是一所贵族学校）拉进圈子以外，仍不和其他学校来往。由于这些大学根基雄厚，历史上人才辈出，所以尽管别的许多学校也赶了上来，长青藤大学各校在学术上仍然占有较高的地位。人们对长青藤大学，还是有一定的推崇心理。

在美国的一些大学中，原则上教授是终身的，但是讲师和助理教授（也有译作襄教授的）都不是终身的，助教的工作则由研究生兼任。如果一个青年学者取得博士学位以后到了一所大学，要是不能迅速晋升到教授或特别申明带终身合约的副教授，顶多六年七年就必须离去。这六、七年之间要从讲师晋升到助理教授，又要从助理教授晋升到副教授，或者再晋升到教授，时间其实是非常有限的。实行这样的制度的后果，一是激烈的竞争，二是频繁的流动。先说流动：在一个地方短期内晋升无望，就要想办法挪窝，决不呆到期满失聘。再说竞争：主要就着科研成果，看科研能力。工科的，看发明，看设计；理科的，看理论，看论文。竞争是激烈的，但惟有在这样的竞争之中，大学才能保持高水平。美国本世纪以来的科学进步，实在得益于这种博士后研究制度。

菲根鲍姆是在麻省理工学院这样的名牌大学取得基本粒子物理学博士学位的，康奈尔大学当然欢迎他。其实，他虽然是基本粒子物理学出身的，那时已经迷上了后来叫做混沌理论的一些问题。这些问题过去没有人深入地研究过。没有现成的理论，没有现成的方法，把握更是谈不上。但菲根鲍姆已经被迷上了。剧烈的竞争要求每一个人显示水平。对于搞理论研究的人来说，水平的外部表现，就是发表论文。有些人明白这个道理，他们先去研究一些容易出成果的小问题，不断发表一些一般水平的论文，这

样他们就站住脚了。地盘巩固了，再去研究大问题。有些人大小问题一起做，大问题虽然一年两年攻不下，小成果却还是不断，就这样以小养大，以短养长。但是菲根鲍姆似乎不懂这些，他是完全被现在称为混沌理论的那些问题迷住了。也许，这是新理论孕育时期的某种神奇力量驱使他这样做？不得而知。但是，那个阶段他的确没有论文发表。很快，他感到在康奈尔大学呆不下去了。

如果说当初去康奈尔大学是凭着麻省理工学院的博士学位的硬招牌，现在要到新的地方去，拿得出什么新的成绩呢？履历表，和两年前差不多。论文目录，则相当可怜。就这样，他到了弗吉尼亚专科学院。麻省理工学院和康奈尔大学都是美国第一流的学校，而弗吉尼亚专科学院不论从哪方面讲都只能算三流的学校。

在弗吉尼亚，他仍然没有发表什么论文，所以日子还是不好过。其实，正是在康奈尔大学和在弗吉尼亚专科学院的这段时间里，他进行了一生最有意义的思考。因为他思考的是如此高深莫测的东西，没有人能够指点他，没有现成的方法可以利用，甚至没有人理解他的问题，没有人可以交谈，所以局面真是如坠烟雾，困难重重。这段时间，他的确一无所获，日子过得黯淡极了。一切都是如此松散杂乱，以至他几乎以为自己的一生事业已经就此完蛋。就这样，菲根鲍姆取得博士学位以后，在康奈尔大学和弗吉尼亚专科学院度过了博士后最初四年的“毫无成就”的时光。

慧眼识英才的人总还是有的。早在康奈尔大学那会儿，卡拉瑟斯（P．Carruthers）教授就注意到菲根鲍姆。那时的菲根鲍姆当然算不上英才，但卡拉瑟斯发现他是一个很有才华的青年，他的往往显得古怪的问题包含着深邃的思考。正好这时候，卡拉瑟斯

要到洛斯阿拉莫斯实验室工作，爱才的教授就以助手的名义把菲根鲍姆带到了洛斯阿拉莫斯。

2、在“科学地狱”的门口

美国加州大学一共有九个分校，如伯克利校，洛杉矶校，圣迭戈校。其实各“分校’之间在行政上是完全独立的，不比长青藤联盟诸校的松散关系更密切一点。其中有一个洛斯阿拉莫斯分校，却不设在加利福尼亚州，而是坐落在东邻的新墨西哥州。如果说洛斯阿拉莫斯加州大学不像其它加州大学那么有名气的话，它的实验室却是世界闻名的。大家知道，世界上第一颗原子弹就是在洛斯阿拉莫斯实验室里研制出来的，虽然行政上说，这个实验室是洛斯阿拉莫斯加州大学属下的一个机构。

前面说了，美国大学的教授都是终身的，但教授要开展研究工作，就要向国家的、军队的、大公司的基金会申请资助。如果一位教授已经连续好几年不出成果，那么尽管他过去名气很大，仍然很难得到资助。在一流的大学和研究机构里，申请不到资助的教授日子是不大好过的。首先是开展科学研究总要有经费，没有经费真是寸步难行。其次，申请不到资助的话，长工资的机会就比别人少得多。参加学术会议，要钱；发表学术论文，也要钱。虽然别人可以在一个系或一个研究室的范围里调剂一点给你，但不单数额极其有限，讨施舍的味道也很不好过。相反，如果在连年有研究成果的基础上，提出新的研究计划；得到有关基金会的资助，那就有经费开展科学研究，其中还可以雇用几名助手。得到资助的另一个好处是可以从经费中得到假期工资。大家知道，美国大学的假期是比较长的，暑假长达三四个月。

菲根鲍姆到了洛斯阿拉莫斯实验室，名为卡拉瑟斯的助手，但教授却放手让他自己做研究工作，愿意考虑什么问题就考虑什么问题，喜欢怎样研究就怎样研究，并且由于有了助手的名义，可以利用实验室的办公室，图书馆和计算机。

几年以来，菲根鲍姆在苦苦思索混沌现象，长期未有结果。要知道，他原来学的是基本粒子物理，而混沌现象——正如后来明确的那样——却属于理论物理的范畴。他实在是入迷了。光阴流逝，晋升无望，他都置之不顾，对科学的热爱自会把一切烦恼推开。正如马克思所说，在科学的门口就像在地狱的门口。没有甘愿为科学下地狱的精神，又怎能窥视科学的真谛。

康奈尔大学和弗吉尼亚专科学院的四年虽然未出成果，但辛勤的思索总是会有收获的。到了洛斯阿拉莫斯实验室以后，工作条件好了，不用为应付上课而分心，他可以整天泡在办公室里，图书馆里，可以整天和计算机打交道。混沌现象难道没有任何规律吗？他不相信。没有现成的理论工具，他就从“最笨”的函数叠代做起。几年时间里，他手不离微型计算机机和自己那台可编简单程序的小型计算器，他一次一次地进行径代计算，这样那样地拼凑组合，看看有什么规律可循。

在他刚到洛斯阿拉莫斯实验室理论部工作的头几个月，理论部的物理学家们发现，菲根鲍姆这位他们的新同事每天都可以工作十六个小时！他的工作简直没有什么回程表，也不知道按时去学术厅喝咖啡。有时候，他独自在淡淡的夜雾中，良久徘徊在星光笼罩的小径上，甚至当地的警察也曾对他的行为感到恼火。他真是一个古怪的人物，好久才发表过一篇很平常的论文，而悉心钻研的却是混沌现象这样一个前景黯淡的题目。那时候，许多同

事怀疑他能否有所建树。他们对他非常友好，很愿意帮助他。可是菲根鲍姆头脑里的问题常常是令人感到玄之又玄。比如他问“什么是时间”，周围的物理学家也不知道怎么回答才好。

我们讲过，生物学家认为，确定性的模式能产生古怪的结果这一点十分重要。但是菲根鲍姆却更进一步，他认为确定性的模式不仅能产生古怪的结果，而且一定存在着一些人们可以探索并且必须认真对待的重要规律。生物学家和数学家已经揭示出了简单叠代时发生的周期倍增现象，先是二周期的，再是四周期的，接下去是八周期的，十六周期的，直到发生紊乱。菲根鲍姆猜想，这个周期倍增，究竟还有别的更要紧的规律没有？差不多经历了六年苦思冥想，灵感终于来到。菲根鲍姆感到头脑里出现了一张图画，画面上有两个小波浪图形，一个大波浪图形，再没有别的东西。一个，两个；一个，变成两个……。菲根鲍姆一次一次地进行叠代，记录数据，把这些数据拼凑来拼凑去，组合来组合去，最终，他得到了本世纪的重大发现之一：对截然不同的函数进行叠代，在叠代过程转向混沌时，它们竟遵循着同样的规律，它们都受到同一个数字的支配，这个数字就是4.6692！

在浩如烟海的数字世界里，显露出4.6692这个神奇的数字，真是激动人心的事情。菲根鲍姆发现这个数字以后，干了任何数学家所必然会干的事情：对这个数字进行非常精确的计算，并且用它和圆周率π、自然对数的底ｅ等常见的常数比较，看看4.6692这个数能不能用已知的π、ｅ这样的常数组合出来。经过许许多多的乘除运算，实在看不出4.6692这个新的常数和π、ｅ等已知常数有什么联系。这时候菲根鲍姆真是又惊喜，又害怕。喜什么？喜的是自己可能发现了一个新的常数。怕什么？怕的是自己考虑

不周，把一个可以由旧常数组合出来的数误认为是新的常数。能不能用旧常数把新的数组合出来。就是全部问题的关键。打个比方：圆周率π是人类认识史上的一项重大发现。设想一下，古代的学者在第一次发现圆周与直径之比总是3.14这个数时，会是多么激动！假如现在有一个人，突然发现圆周和半径的比总是6.28，高兴得不得了，以为发现了一个和圆周率π不同的新常数。但是人们会告诉他，你的6.28只不过是早已发现的圆周率的２倍，这是一点儿也算不上新发现的。

菲根鲍姆发现4.6692以后，就这样又惊又怕地验算了好几个月。这几个月里，他一起疑虑重重，生怕自己仍然没有抓住关键要害。他仿佛觉得命运之神已经把一颗珍珠送到他怀里，而他却不知所措，无所适从。

在那之后有一天，菲根鲍姆正在吃午饭，那个模糊的波浪状图形重新浮现在他的脑海里。图形也许只不过是思维过程这座巨大的冰山露在水面上的山尖，而这个过程本身理应是在意识这条水线之下酝酿和进行的。菲根鲍姆突然想到，必须使用按尺度大小排列的方法，剔除许多无用的信息，显露事物的本质的特性。菲根鲍姆终于证实了4.6692这个新的常数的诞生。

艰苦研究六年，收获的季节应该来临了。菲根鲍姆把自己的重大发现和论证写成两篇论文，送去发表。第一篇论文是一九七六年十一月投稿的，但是被退了回来。第二篇论文是在一九七七年四月向另外一个杂志投稿的，到一九七七年十月又被退了回来。菲根鲍姆真是不知如何是好。

看来，命运之神并不那么爽快，她还要捉弄这位青年学子。然而，混沌理论的建立毕竟是科学发展的大势所趋。幸运的数学

家和生物学家已经走在前头。众多的物理学家已在呼唤新的理论。这个刊物退回来，就投到另一个刊物去。终于，菲根鲍姆的第二篇论文在改投到美国《统计物理学杂志》后，于一九七八年在第十九卷上发表出来了。文章的发表，引起学术界广泛注意。这时，菲根鲍姆又把头一篇论文拿回来，经过认真修改补充，于一九七九年五月投寄《统计物理学杂志》。这一次，情况好得多了。不出半年，菲根鲍姆的头一篇论文就在投稿同年出版的《统计物理学杂志》的第二十一卷上与读者见面。

4.6692这个数，后来被称为菲根鲍姆常数。由于论文的发表，学术界很快了解了菲根鲍姆的开创性工作和它的深远意义。理论物理学界一度出现了菲根鲍姆热潮，康奈尔大学全力聘请菲根鲍姆回到物理系当教授。

从“地狱”，到“天堂”，一条曲折的路。

2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版

2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版 教学目标： 1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义； 2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转 化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解； 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入 在前面我们解决的问题： 1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是，求时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数和中，当()无限趋近于0时，()都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称在处可导，并称A 为在处的导数，记作或， 上述两个问题中：（1），（2） 三、几何意义：我们上述过程可以看出 在处的导数就是在处的切线斜率。 四、例题选讲 例1、求下列函数在相应位置的导数 （1）， （2）， （3）， 例2、函数满足，则当x 无限趋近于0时， （1） （2）

变式:设f(x)在x=x0处可导， 1.无限趋近于1，则=___________ （4）无限趋近于1，则=________________ （5）当△x无限趋近于0， x x x f x x f ? ?- - ? +) 2 ( ) 2 ( 0所对应的常数与的关系。 总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。 例3、若，求和 注意分析两者之间的区别。 例4：已知函数，求在处的切线。 导函数的概念涉及：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作。 五、小结与作业

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

高中数学函数与导数综合复习

高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理： 1．基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则： 常用函数导数公式：='x ； =')(2 x ；=')(3 x ；=')1 (x ； 初等函数导数公式：='c ； =')(n x ；=')(sin x ；=')(cos x ； =')(x a ； =')(x e ；=')(log x a ；=')(ln x ； 导数运算法则：（1）/ [()()]f x g x ±= ；（2）)]'()([x g x f ?= ； （3）/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2．导数的几何意义：______________________________________________________________________； 曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为________________________________________． 3．用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）__________________________________; （2）________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二．巩固练习： 1．一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时 速度是 （ ） A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中，x ?不可能 （ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6x ?＋2(x ?)2 D ．6 4. 设)(x f y =存在导函数，且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ，则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2

单摆的复杂运动

单摆的复杂运动 摘要：采用相图方法和庞加莱截面法描述单摆的复杂运动，研究单摆运动中的分岔，混沌等非线性特征。 关键词：单摆；混沌；相图；庞加莱映射 正文： 物理学家伽利略观察比萨大教堂吊灯的摆动，发现了单摆定律：摆动的周期与摆幅无关。 惠更斯利用摆的“等时性”发现了钟表，直至电子表出现前，摆始终是计时装置的心脏，均匀韵律的象征。在高中，大学的物理教材中没有不讲单摆定律的，在物理实验中，没有不做单摆实验的。 单摆是物理学中最简单的模型之一，传统力学教材一般只讨论单摆在摆幅很小的条件下作简谐振动，阻尼振动和受迫振动的特征。事实上，如果不限制其摆幅，单摆在周期性策动力的作用下，其运动将有意想不到的复杂性，本文将从单摆的动力学方程出发，采用相图，牌庞加莱截面等描述方法研究单摆的复杂运动。 1.单摆模型的动力学方程 我们把传统的单摆模型一般化：单摆的摆线换成质量可忽略不计的刚性杆，摆角θ的取值范围不受限制，设摆长为L ，摆球的质量为m ，沿切向受阻力yl θ? -(y 为阻尼系数)，重力的分力sin mg θ-以及周期策动力cos F t ω作用，由牛顿第二定律得此单摆所满足的动力学方程为 sin cos ml rl mg F t θθθω????=--+ （1） 为使（1）式各物理量无量纲化，作如下标度变换： 令20/g l ω=，wt τ=，0/ωωΩ=，02Y m βω=，20F F f ml mg ω==，则（1）式变为： 222sin cos d d f d d θθβθπττ=--+Ω （2） 引入新变量ω，?，将（2）式化成自治方程形式 ： 2sin cos f θω θβωθ?? ?==--+ （3） 这是一个反映单摆运动所遵循的动力学规律的不显含时间的微分方程组。（3）式中有3个可调参量；β，f 和Ω，每个变量的改变都会引起解的变化。可以通过控制Ω，β，f 参量的变化，从而得出反映系统运动特征的信息。 2 单摆运动的相图及庞加莱截面描述方法 由于（3）式含有非线性项。一般而言，不能用解析法求解，对于这类微分方程，法国数学家庞加莱在十九世纪末创建了一种微分方程的定性理论，发明了相图和拓扑学方法，在不求出解的情况下，通过直接考察微分方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质。相

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

混沌理论

混沌理论 混沌理论是当今世界最伟大的理论之一。 它是社会科学与自然科学最完美结合的理论.它研究如何把复杂的非稳定事件控制到稳定状态的方法，它研究世界如何在不稳定的环境中稳定发展的问题。.混沌方法对于处理复杂多变、动荡不定的重大事件有特殊功效混沌世界是纷繁复杂多变的世界。 “相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程 的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。” 一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了，那是你撞上了。 第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道他是云彩，看见 一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。这是混沌理论两个基本的概念。 混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则，一个是事物的发展总是向他阻力最 小的方向运动。第二个原则当事物改变方向的时候，他存在一些结构。 一混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨 动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数 据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。 二混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。 三近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的「蝴蝶效应」，亦即某地下大雪，经追根究底却发现是受到几个月前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产生气流所造成的。一九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的行径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。 四混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓「差之毫厘，失之千里」正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。

(完整word版)导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞

奇怪吸引子与分形

奇怪吸引子与分形 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和非线性离散映射系统中（原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作——时间平移不变性，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 +t方向和沿 -t 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发）。对应于混沌运动的物理过程的一个抽象数学概念，也称为奇怪吸引子，由法国物理学家D.吕埃尔和F.泰肯在1970年左右引入。所有的运动系统，不管是混沌的还是非混沌的，都以吸引子为基础，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。吸引子可以区分为平庸吸引子和奇异吸引子两类。平庸吸引子具有不动点、极限环和整数维的环面三种模式，分别对应于非混沌系统中的平衡、周期运动和概周期运动三种有序稳态运动形态。例如，一个孤立的单摆运动，将因摩擦而不断损失能量，最后停止在一个点上，可认为这个系统受一个“不动点吸引子”的控制。一切不属于平庸的吸引子都称为奇异吸引子，对应于混沌系统中非周期的、貌似无规律的无序稳态运动形态。例如,气候就是天气系统的奇异吸引子,由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使，导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。科学家在研究混沌时常常通过编制程序和在计算机上解出基本方程而由机器把奇异吸引子画出来，并且将其物化为颜色多样和形状奇异的模式。科学家们通过对奇异吸引子的探索想搞清楚，在一个混沌系统中，什么样的状态可以存在，什么样的状态不能存在。 奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。奇异吸引子的一个著名例子是洛伦茨吸引子，它是在研究天气预报中大气对流问题的洛伦茨模型中得到的。洛伦茨吸引子由“浑然一体”的左右两簇

高中数学导数概念的引入

一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即 000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数 二．导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3. 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

1.2.1常数函数与幂函数的导数

1.2.1常数函数与幂函数的导数 预习案 一、自学教材，思考下列问题 1.导数的概念 2.导数的几何意义 二、一试身手 利用导数的定义求下列函数的导数： （1）f（x）=2 （2）f（x）=x （3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2 导学案 一、学习目标 （1）知识与技能 能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数 （2）过程与方法 在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力 （3）情感态度价值观 提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神 二、学习过程 （1）课内探究 问题1：常数函数的导数是什么？ 问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数

（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x =（5）y 问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？ 问题4：幂函数a y x =的导数是什么？ （2） 典型例题 例1 求 (1)(x 3)′ (2)( 2 1x )′ (3)(x )′ 例2质点运动方程是5 1t s = , 求质点在2=t 时的速度． （3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角

为（） Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数 3 2 1 (1) y2 1 (2)y (3)y x x =+== 2 1 36 3 2 ' )1(x x y= ? =- 解： 3 3 1 2 2 2 2 2 ) (2 )' ( )' 1 ( ' : )2( x x x x x y- = - = - = = =- - - - 解 x x x x x y 2 ) ( 2 1 )' ( )' ( ' )3(2 1 2 1 = = = =- 解： 52 5 2 5 3 53 5 3 ) ( 5 3 )' ( )' ( ' )4( x x x x y= = = =- 解： （4）课堂小结 本节课学习了常数函数与幂函数的导数. 拓展案 一、选择题 1．() f x与() g x是定义在R上的两个可导函数，若()() f x g x ，满足()() f x g x '' =，则() f x与() g x满足（） Ａ．()() f x g x =Ｂ．()() f x g x -为常数 Ｃ．()()0 f x g x ==Ｄ．()() f x g x +为常数 二、填空题 2．设32 ()391 f x x x x =--+，则不等式()0 f x '<的解集是． 3．曲线 1 y x =和2 y x =在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题 4．求过曲线cos y x =上点 π1 32 P ?? ? ?? ，且与过这点的切线垂直的直线方程．

01导数与导函数的概念

导数与导函数的概念 教学目标： 1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义； 2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义， 培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解； 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入 在前面我们解决的问题： 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时， t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('， 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 三、几何意义： 我们上述过程可以看出

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．

12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

费根堡姆

Quality is the total composite of product and service characteristics of Marketing, engineering, manufacturing, and maintenance through which the product or service in use will meet or exceed the expectations of the customer. —Armand Vallin Feigenbaum 质量是产品本身和售后服务，以及市场销售、工程控 制、上游制造、产品维护等等方面的一个复合体，在 顾客使用该产品和享受它的服务的时候，这个质量要 达到或者超过顾客的预期期望。 —阿曼德费根堡姆至理名言：质量并非意味着最佳，而是客户使用和售价的最佳。 阿曼德?费根堡姆（Armand Vallin Feigenbaum）——全面质量控制之父、质量大师、《全面质量控制》的作者。 费根堡姆生平： 1920年,阿曼德?费根堡姆出生于纽约市。他先后就读于联合学院和麻省理工学院 （ MIT ）； 1951年，毕业于麻省理工学院，获工程博士学位。 1942—1968 年在通用电气公司工作。 1958—1968 年任通用电气公司全球生产运作和质量控制主管。 1992年费根堡姆入选美国国家工程学院，他发展了'全面质量控制' 观点。 1988年费根堡姆被美国商务部长任命为美国马尔康姆?鲍德里奇国家质量奖项目的首届理事会成员。 历史地位：全面质量控制之父 费根堡姆是全面质量控制的创始人。他主张用系统或者说全面的方法管理质量，在质量过程中要求所有职能部门参与，而不局限于生产部门。这一观点要求在产品形成的早期就建立质量，而不是在既成事实后再做质量的检验和控制。 闪光智慧：全面质量控制

2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题

2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->

导数的概念、几何意义及导数公式

导数的概念、几何意义 及导数公式 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数的概念、几何意义及导数公式 ? [学习目标] 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。通过函数图象直观地理解导数的几何意义。理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数的导数。了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 ? [考点分析] 1. 的平均变化率：已知函数在点及其附近有定义，令 ， 则当时，比值叫做函数在到之间的平均变化率。 2. 瞬时变化率：设函数在点附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应地改变，如果当趋近于0 时，平均变化率趋近于一个常数L，则数L称为函数在点的瞬时变化率。 记作：当时， 还可以说，当时，函数平均变化率的极限等于函数在的瞬时变化率 L. 记作：=L 3. 导数的定义：函数在的瞬时变化率，通常就定义为在处的导 数，记作或，即。 注（1）变速运动在的瞬时速度就是路程函数在的导数 （2）在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成 。

（3）若极限不存在，则称函数在点处不可导。 4. 函数在开区间内的导函数（导数）： 如果函数在开区间内可导，那么对于开区间的每一个确定的值都对应着一个确定的导数，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做函数在开区间内的导函数（简称导 数），记或；即： 函数在处的导数就是函数在开区间 上的导数在处的函数值，即＝。 注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系 是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。 5.求函数的导数的一般方法： （1）求函数的改变量。 （2）求平均变化率。 （3）取极限，得导数＝。 6. 与连续的关系：如果函数y=f（x）在点x0处可导，那么函数y=f（x）在点x0处连续，反之不成立。数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。 7. 数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点 处的切线的斜率。 由此，可以利用导数求曲线的切线方程。体求法分两步： （1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率； （2）由切点坐标和切线斜率，得切线方程为： 。 特别地，如果曲线在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在， 根据切线定义，可得切线方程为： 8. 常见函数的导数： （1）常函数的导数为0，即， （2）幂函数的导数为，与此有关的如下：

高中数学_3.2.1 常数与幂函数的导数教学设计学情分析教材分析课后反思

《常数函数与幂函数的导数》教学设计 一、教学目标 1、知识与技能 能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数公式，并会利用它们解决简单的问题。 2、过程与方法 在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力，培养学生逻辑推理和数学运算等核心素养。 3、情感、态度与价值观 教学的核心问题是让学生通过定义求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数，通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神。 二、教学重点和难点 教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究。 教学难点：用从特殊到一般的规律来探究公式。 三、教材分析 教材的地位与作用 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》人教版B版选修1-1第三章《导数及其应用》第二节《导数的运算》第一课时，其主要内容是常数函数与幂函数的导数公式的推导、应用。 在前面，学生们已经学会利用导数的定义能够求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本初等函数的导数呢？这就是本节要研究的问题。

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简单的求导数的方法，本节我们求几个常用的函数的导数。 教学重点和难点 教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究。 教学难点：用从特殊到一般的规律来探究公式。 四、学情分析 本节课授课对象是我校高二年级普通班的学生，数学基础比较薄弱，但是平常一直注重对他们的思想引领，所以对数学还是充满着强烈的求知欲，能够积极参与。 学生还是具备一定的观察、分析能力，具备一些从特殊到一般的归纳能力，而且学生已有导数的定义和导数的几何意义等知识储备。 本节重要是介绍求导数的方法。根据导数定义求导数是最基本的方法。但是，由于最终会归结为求极限，而本章并没有介绍极限知识，因此，教材只是采用这种方法计算y c =、y x =、2y x =、3y x =、 1 y x = 、 y =单函数的导数即可。 五、教学方法 以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认知规律出发，进行启发、诱导、探索，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。 六、教学过程

导数的概念及导数的几何意义

§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率