5.2圆的对称性(二)

5.2 圆的对称性（二）

教学目标

1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.

2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.

教学重点：垂径定理及其运用.

教学难点：灵活运用垂径定理.

教学过程

一、情境创设

（1你学过哪些图形是轴对称图形？它们有什么共同点？

（2）什么是轴对称图形？

（4）如何验证一个图形是轴对称图形？

二、新知教学

1.尝试（课本113页）

（1）在圆形纸片上任意画一条直径.

（2）沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来：

_______________________________________________________________.

2.探索

如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对折.

通过折叠活动，你发现了什么？

__________________________________________________________________. 请试一试证明！

3.总结

垂径定理：_________________________________________________________。

三、例题教学

例1.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.

AC与BD相等吗？为什么？

例2.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。

（1）求圆的半径；

（2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。

例3、如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.

四、课堂小结

五、达标反馈

1．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．

则有AM=_____， _____= ， ____= ．

2. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，

则OP 的长为 CM.

3. ⊙O 的弦AB 为6cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___

4.设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的

距离为_____________

5.如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？

为什么？

6.在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面

如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.

7.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米， 求：(1)桥拱半径,(2)若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，

求水面涨高了多少？

六、板书设计

七、教学后记

《圆的对称性》教学设计

3．2圆的对称性学案 学习目标： 1．理解圆的轴对称性； 2．理解垂径定理及逆定理的的推导过程，并能初步应用。 一、课前预习 自学课本P96，回答下列问题： 1.平面上，到的距离等于的所有点组成的图形叫做。 2.点与圆的位置关系有三种：点在、点在、点在。 3.连接圆上任意两点间的线段叫做__________,经过圆心的弦叫做_________。 4.圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 .如图，以A、B为端点的弧记作，读作“”或“”。 5.弧包括和，大于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为。半圆既不是，也不是。优弧一般用个大写字母来表示，劣弧一般用个大写字母来表示，如图，以A、D为端点的弧有两条，优弧ACD(记作 )劣弧ABD(记作 )。 二、合作探究 【自主学习】 1．圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2．你是用什么方法解决上述问题的? 3．右图还是轴对称图形吗？如果是你能找出它的对称轴吗？ 【小组讨论】 4．如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD, CD⊥AB,垂足为M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系吗？说一说你的理由。 垂径定理：。 用几何语言表达：∵∴ 在下列图形中，哪些符合垂径定理的条件？ 三、典型例题

E O B A E O B A E O B A E O B A D O B A 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，（即图中 CD，点O是CD的圆心），其中CD =600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m。求这段弯路的半径。 四．练习： 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。 （1）题（2）题（3）题（4）题（5）题 4.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E， 且AB=8cm,AC=6cm,那么的⊙O的半径OA长为。 5.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为 _____ 6．已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 五．小结感悟 学了本节课你有哪些收获？ 六．作业《分层作业B本》第21-22面，17题选做

27.1 圆的认识 第二课时 圆的对称性(一)

课题：27.1圆的认识 第二课时圆的对称性（一） ＆.教学目标： 1、理解并掌握圆的对称性，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦心距之间的关系。 2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学方法。 ＆.教学重点、难点： 重点：由实验得到在同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系。 难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系解决问题。 ＆.教学过程： 一、情景导入 1、我们中国的建筑最讲究的是对称美，能举出我们所学过的轴对称、中心对称和旋转对称的例子吗？ 2、轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形是怎样定义的？ 3、圆是否为对称图形？是哪种对称图形，又有哪些性质呢？ 二、探究新知 §.探究圆的对称性 问题1：请同学们思考并解答下列各题： （1）圆是对称图形吗？它有哪些对称性？

图 1 ′ 图 2 图 3 （2）能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢？ （3）圆的对称轴在哪里？对称中心和旋转中心在哪里？ 活动1：让学生画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 ＆.圆的对称性： 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，也是旋转对称图形。对称轴是过圆心的任意一条直线，对称中心和旋转中心都是圆心，旋转角度可以是任意角度。 思考：如何将圆两等分？四等分？八等分？还可以将圆多少等分？ §.探究：同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系（圆心角定理）. 问题2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？ 活动2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图2中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现 B O A AOB ''∠=∠，⌒ ⌒B A AB ''=，B A AB ''=.实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，

北师大版小学数学三年级下册教学设计 第二单元 图形的运动第2课时 轴对称(二)教案

北师大版小学数学三年级下册教学设计 第2课时 教学内容：轴对称(二)（教材第25、26页内容） 学习目标 1.结合操作活动，经历得到轴对称图形的过程，加深对轴对称图形特点的体会。 2.给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半，进一步体会轴对称图形的特点并发展空间想象能力。 教学重点：给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半。 教学难点：给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半。 教具准备：课件 教学过程 一、复习导学 轴对称图形的特征是什么？ 沿对称轴对折，左右或上下两边是一样的。 二、展示新知 1．拿出课前准备的一张正方形或长方形，按照下面的做法，做一做，你有什么发现。 思考：得到对称图案的关键是什么？ （1）：先把纸对折。 （2）：对折后只做出图形的一半就可以了。 2.下面是轴对称图形的一半，想一想，整个图形是什么？

明确：轴对称图形对折后，对称轴的左右两边应该完全重合，所以右边的半个图形应该和左边相同。 实际操作： 沿对称轴对折后，再沿给定图形的边线剪下、打开，验证。 3.将一张纸对折后剪去两个圆，展开后是哪一个？ 学生独立思考，然后和同伴交流自己的想法，充分地说一说自己是如何进行判断和选择的。 生：观察洞和对称轴间的距离。 三、精讲点拨： 下面的圆距离对称轴近，那么和它对称的那个圆也应该是靠近对称轴的一边的。反之则远。 四、巩固练习 1、完成课本练一练第1题。 2.完成课本练一练第3题。

五、课堂小结 这节课你学到了什么？ 六、布置作业 1.课堂作业：教材“练一练”的5题。 2.课后作业：练习册 七、板书设计 对称轴（二） 对称点到对称轴的距离是相等的。 教学反思：学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现的，因为这种发现理解最深，也是最容易掌握其中的规律、性质、和联系。

数学f1初中数学3.2 圆的对称性教案二

本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点(二) 1．圆的旋转不变性． 2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (二)能力训练要求 1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力． 2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (三)情感与价值观要求 培养学生积极探索数学问题的态度及方法． 教学重点 圆心角、弧、弦之间关系定理． 教学难点 “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 教学方法 指导探索法． 教具准备 投影片两张 第一张：做一做(记作§3．2．2A) 第二张：举反例图(记作§3．2．2B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？

[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心． [师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？ [生]大小一样． [师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？ [生]重合． [师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心． [师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2A) 按下面的步骤做一做： 1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下． 2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合时，OB与O＇B＇不能重合． 3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．

最新北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

课题：第三章第2节圆的对称性（1） 课型：新授课 教学目标： 1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点） 2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点) 教法与学法指导： 这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神. 课前准备：制作课件，学生预习学案. 教学过程： 一、情景导入明确目标 组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？ 学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心. [师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程. 学生演示： [师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质? [生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形. [师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？

[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴. [师]：同学们，这位同学回答的对吗？ [生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线. 教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1） 圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线. 设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设 计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习 合作探究： 探究活动一：圆的基本概念 （让学生注意观察动画课件） 学案(问题3)： （1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？ （2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？ 学情预设：可能出现的 情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如： 弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法. 以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论. 学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. C

苏教版九年级-圆的对称性-知识点及典型例题(附答案)

圆的对称性 主要内容： 1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 经过圆心的直线是对称轴。 圆心是它的对称中心。 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 如图，用几何语言表示如下：⊙O中， （1）∵∠AOB＝∠A'OB' （3）∵AB＝A'B' 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图：几何语言 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA ＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形， 利用勾股定理求解。 解：

第8题 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的 长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成 立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 第5题 第11题

【北师大版教材适用】九年级数学下册《圆的对称性》教案

北师大版九年级数学下册精编教学设计系列

圆的对称性 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学任务分析 知识与技能 通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣． （2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．

教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业. 数学活动一：认识圆的对称性 提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？ 提问二：圆是对称图形吗？ （1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠 （2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? 现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将

初中数学知识点精讲精析 圆的对称性

3·2圆的对称性 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．Array如右图。以A、B为端点的弧记作AB， 渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是 ⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： ①弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的 弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作 AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半 圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． ②直径是弦，但弦不一定是直径． 4.圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 5.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 证明此定理： 如图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM．∴点A和点墨关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合. 可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分 弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧． 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 如图3—7，在⊙O中，

初中数学知识点精讲精析 圆的对称性

第二节圆的对称性 要点精讲 一、圆的对称性： 1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形. 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例. 经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴. 2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的） 1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线） 2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧. 3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量. 相关链接 像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 典型分析 1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）

《圆的对称》教学设计

2.2圆的对称性（1） 一.教学内容分析： 《2.2圆的对称性（1）》是“苏科版九年级数学（上）第2章第二节”的内容。本课时内容是在小学学过的一些圆的知识以及本册第2章第一节圆的有关概念的基础上，进一步探索和研究圆有关的性质（圆心角、弧、弦之间的关系定理）。圆心角、弧、弦之间的关系定理是同圆中证明弧相等、角相等、线段相等的主要依据，同时也为进行圆的计算和应用提供了方法和依据。因此，本课时内容是本章的重点也是全章的基础，更是学好本章的关键。 二.学情分析： 学生在初二已经学习过中心对称与中心对称图形，对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解，了解中心对称的概念以及相关的性质。所以对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性很容易理解。但对弦、弧以及圆心角之间的关系，并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面，学生缺乏亲身体验和总结。 三．教学目标： 1.知识与能力： （1）知道圆是中心对称图形，理解圆的旋转不变性。 （2）知道弧的度数概念。 （2）知道圆心角、弧、弦之间的关系和圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，并能应用它们解决一些问题。 2.过程与方法： （1）通过探究圆心角、弧、弦之间的关系，培养学生的推理总结能力，发展学生逻辑思维能力。 （2）通过相关的证明或计算题目的训练，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。 3.情感态度与价值观： 通过圆的旋转变换的实验、操作、观察、归纳、逻辑思维推理等过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力。 四．教学重点、难点 教学重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理。 教学难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解以及定理的应用。 五.设计思路 本节课通过“复习中心对称的概念创设情境，并指出旋转变换是研究中心对称图形的常用方法”引出圆是中心对称图形，同时具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度后都能与原来的图形重合。圆的这个特征是研究圆心角、弧、弦之间的相等关系的基础。本节课通过操作、观察、思考、交流、探索得出圆心角、

初中数学圆的对称性教案 圆的对称性教案

第23章《圆》 第2课时 圆的对称性 初三（ ）班 学号： 姓名： 年 月 日 学习目标：掌握圆的对称性及垂径定理。 学习过程： 一、温故而知新 1. 圆是一个 对称图形，也是 对称图形，对称中心即为 ，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。 二、新课学习 试一试 将图23.1.3中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？ 如图23.1.4，扇形AOB 旋转到扇形A ′OB ′的位置.我们可以发现，在旋转过 程中，∠AOB ＝ ，AB ︵ ＝ ，AB ＝ . 由于圆心角∠AOB （或孤AB ，或弦AB ）确定了扇形AOB 的大小，所以，在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧________，所对的弦_________. 同样，也可以得到： 在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角 ，所对的弦________. 在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角_______，圆心角所对的弧______. 例1图23.1.5，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵ ，∠1＝45°， 求∠2的度数.什么是什么 解 因为 AC ︵＝BD ︵ （已知） AC ︵－BC ︵ ＝ ， 图 23.1.4 图 23.1.5

所以 AB ︵ ＝ 根据在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，可得 ∠ ＝∠ ＝ °. 我们还知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称 轴，由此我们可以如图23.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分. 图 23.1.6 试一试 如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB AC ︵与CB ︵ ，你能发现什么结论？ 你的结论是：AP PB ，AC ︵ CB ︵ 即：垂直于弦的直径平分弦（当弦与直径垂直时，弦与直径互相垂直平分）。 中考链接 下列语句中正确的是（ ） （1） 相等的圆心角所对的弧相等（2）平分弦的直径垂直与弦 （3）长度相等的两条弧是等弧 （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 分析：（1）在不等的两个圆中，相等的圆心角所对的弧 。（“相等”或“不等”）故（1） 。（正确或不正确） （2）平分弦的直径一定垂直与弦吗？ ，故（2） 。

27.1.2圆的对称性(教学设计)

第27章圆 27.1.2．圆的对称性 一、学情分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。 学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。 二、教学任务分析 知识与技能： 1．理解圆的旋转不变性； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生积极探索数学问题的态度与方法。 教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件． 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。

第一环节 课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。 第二环节 创设情境，引入新课 活动内容： 问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它们的定义是什么？ 活动目的：为了引出圆的轴对称和旋转不变性。 第三环节 合作探究 感受新知 活动内容： （一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性； 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答： 它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ? 归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。 （二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 做一做 按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。

圆的对称性(第一课时)教案

§4.2.1 圆的对称性 设计理念 数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人. 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时. 教材分析 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 教学目标 1.知识与技能 理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明． 2.过程与方法 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力． 3.情感、态度与价值观 通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 教学重点 垂径定理及其推论的探索． 教学难点

初三培优专题18 圆的对称性

专题18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧? AB ，?D C ，?EF ．如果?AB +?D C =?EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D

圆的对称性教学设计

课时教学设计首页 课题圆的对称性课型新授第几 课时 2课时 知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题。 过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 情感态度价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重点与难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题． 教学 方法 与 手段 自主探究和合作探究相结合． 使 用 教 材 的 构 想 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.

育才中学课时教学流程 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 今天我们继续来探究圆的对称性． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 生：如果一个图形沿着 某一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那 么这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴 生：折叠． ． 动手操作：同学们通过 折叠自己准备好的圆形纸 片的方法可以得到以下结 论： 1、圆是轴对称图形 2、它的对称轴是经过圆心 的一条折痕，这样的折痕有 无数条，所以圆的对称轴也 有无数条． 学生可能只会找 到1条、2条、3 条……让学生自 己得出结论：无 数条，对称轴是 任意一条过圆心 的直线.师出示 课题.

初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.2 圆的对称性A卷

初中数学北师大版九年级下学期第三章 3.2 圆的对称性A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共5题；共10分) 1. （2分）在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，?则下列结论中不正确的是（） A . AB⊥CD B . ∠AOB=4∠ACD C . 弧AD=弧BD D . PO=PD 2. （2分）(2019·山西模拟) 如图，在正方形ABCD中，分别取AD、BC的中点E、F，并连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H，则的值为（） A . C． D． 3. （2分） (2017九上·邯郸月考) 如图，∠AOB＝110°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（）

A . 55° B . 70°或125° C . 125° D . 55°或125° 4. （2分） (2018九上·康巴什期中) 下列语句中错误的有（） ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧 A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 4个 5. （2分） (2020九上·北仑期末) 下列四个结论，不正确的是（） ①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等 ③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等 A . ②③ B . ①③④ C . ①②④ D . ①②③④ 二、填空题 (共3题；共3分)

6. （1分）由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE=DE；②∠EBD=∠EDB；③DE∥AB；④BD2=2AD?FC其中正确的结论有________．（把你认为正确结论的序号全部填上） 7. （1分）(2016·湘西) 如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=________． 8. （1分）如图，点A、B把⊙O分成两条弧，则∠AOB=________． 三、解答题 (共2题；共10分) 9. （5分）如图，是⊙D的圆周，点C在上运动，求∠BCD的取值范围． 10. （5分） (2018九上·硚口月考) 如图，⊙O的弦AB和弦CD相交于点E，AB＝CD，

初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

课题：第三章第2节圆的对称性（1） 课型：新授课 教学目标： 1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点） 2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点) 教法与学法指导： 这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神. 课前准备：制作课件，学生预习学案. 教学过程： 一、情景导入明确目标 组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？ 学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心. [师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程. 学生演示： [师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质? [生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形. [师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？ [生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴. [师]：同学们，这位同学回答的对吗？ [生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，

或者是过圆心的直线

. 教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1） 圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线. 设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设计 一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习 合作探究： 探究活动一：圆的基本概念 （让学生注意观察动画课件） 学案(问题3)： （1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？ （2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？ 学情预设：可能出现的 情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦 是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法. 以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论. 学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. [生1]： (1)连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫 C

初中九年级数学华师大版圆教学设计 3.2 圆的对称性教案一

圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理． 3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明． (二)能力训练要求 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 垂径定理及其逆定理． 垂径定理及其逆定理的证明． 指导探索和自主探索相结合． 投影片两张： 第一张：做一做(记作§3．2．1A) 第二张：想一想(记作§3．2．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？ [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能

找到多少条对称轴？ [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴． [师]很好． 教师板书： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)． 如下图，以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A) 按下面的步骤做一做：

圆的对称性教学设计 圆的对称性

圆的对称性教学设计 圆的对称性 （第二课时） 一、教学背景分析 教学内容分析：本节圆的对称性（第二课时）主要内容是圆心角、弧、弦之间的关系，它由圆的旋转不变性引出，是圆的轴对称性学习之后圆的又一重要性质，圆心角、弧、弦之间的相等关系在以后的证明和计算中有着重要的作用。 学生情况分析：学生在第二学段已经学习过中心对称与中心对称图形，对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解，了解中心对称的概念以及相关的性质。前一节已经学习过弦、弧等圆的有关概念和垂径定理的内容，利用垂径定理及推论解决了与直径、弦、弧等有关的问题，对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性容易理解。但对弦、弧以及要学到的圆心角、弦心距等之间的关系，并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面，学生缺乏亲身体验和总结。 教学方式及教学准备： 教学方式：任务驱动问题教学小组合作探究 教学准备：学生课前准备圆形纸片（两个等圆）；教师制作几何画板课件；辅助教学的CAI软件 二、教学目标 知识目标：理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论，会用这三者之间的关系进行简单的证明。 能力目标：通过本节课的学习培养学生观察、实验、探究、归纳和概括能力。 情感态度与价值观：结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育；渗透圆的内在美。并使得学生在小组合作中尝试交流，在“做数学”中体会数学的严谨性。 三、教学重点、难点 重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论 难点：对定理中“在同圆或等圆中”前提条件的理解，以及从感性到理性的认识，发现归纳能力的培养。 四、教学过程设计 教学 进程 教学内容学生活动设计意图 创设情境直观感知知识链接： 问题1：什么是中心对称图形？中心对 称图形有什么性质？ 问题2：说出你所了解的中心对称图 形。 情境引入：课件展示（我来转一转） 如图是一个转盘，转盘分成六个相同 的扇形，颜色分为红、绿两种颜色， 指针的位置固定。 口答交流问题提出后，有些同学在列举 时会举出圆是中心对称图形， 但是对于圆具有旋转不变性缺 乏感性认识。中心对称图形的 复习目的是引起学生对图形对 称性的关注，那就是“重 合”——“相等”，为圆旋转以后 与原来图形重合从而得到弧、 弦等相等关系作好认知上的准 备