石子归并
石子归并问题
1：任意版
有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为将的一堆石子的数量。设计一个算法，将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
此类问题比较简单，就是哈夫曼编码的变形，用贪心算法即可求得最优解。即每次选两堆最少的，合并成新的一堆，直到只剩一堆为止。证明过程可以参考哈夫曼的证明过程。
2.链式归并
问题描述
设有N堆沙子排成一排，其编号为1,2,3,…,N(N<=100)。每堆沙子有一定的数量。现要将N堆沙子并成为一堆。归并的过程只能每次将相邻的两堆沙子堆成一堆，这样经过N-1次归并后成为一堆。找出一种合理的归并方法，使总的代价最小。
例如：有3堆沙子，数量分别为13,7,8，有两种合并方案，第一种方案：先合并1,2号堆，合并后的新堆沙子数量为20，本次合并代价为20，再拿新堆与第3堆沙子合并，合并后的沙子数量为28，本次合并代价为28，将3堆沙子合并到一起的总代价为第一次合并代价20加上第二次合并代价28，即48；第二种方案：先合并2,3号堆，合并后的新堆沙子数量为15，本次合并代价为15，再拿新堆与第1堆沙子合并，合并后的沙子数量为28，本次合并代价为28，将3堆沙子合并到一起的总代价为第一次合并代价15加上第二次合并代价28，即43；采用第二种方案可取得最小总代价，值为43。
【输入格式】
输入由若干行组成，第一行有一个整数，n（1≤n≤100）；表示沙子堆数。第2至m+1行是每堆沙子的数量。
【输出格式】
一个整数，归并的最小代价。
【输入样例】
输入文件名：shizi.in
7
13
7
8
16
21
4
18
【输出样例】
输出文件名：shizi.out
239
矩阵连乘与这类问题非常相似。矩阵连乘每次也是合并相邻两个矩阵（只是计算方式不同）。那么石子合并问题可用矩阵连乘的方法来解决。
那么最优子结构是什么呢？如果有N堆，第一次操作肯定是从n-1个对中选取一对进行合并，第二次从n-2对中选取一对进行合并，以此类推……
求出w的前缀和s,s[0]设为0,s[i]表示w[1]+w[2]+...+w[i],这样的话
w[i]+w[i+1]+...+w[j]就是s[j]-s[i-1].
f[i][j]表示从第i堆合并到第j堆的最小代价,则f[i][j] =
min(f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1])(i<=k INT_MAX. 三层循环,最外层枚举一串合并的长度len,最小是2堆石子合并,最大是n堆. 然后枚举i,那么j就是i+len-1,在i和j之间枚举破点k,比较. DP 过程： 阶段：以归并石子的长度为阶段，一共有n-1个阶段。 状态：每个阶段有多少堆石子要归并，当归并长度为2时，有n-1个状态； 当归并长度为3时，有n-2个状态； 当归并长度为n时，有1个状态。 决策：当归并长度为2时，有1个决策；当归并长度为3时，有2个决策；当归并长度为n时，有n-1个决策。 #include using namespace std; #define M 101 #define INF 1000000000 int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M]; int main() { int i,j,k,t; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&stone[i]); for(i=1;i<=n;i++) { f[i][i]=0; sum[i][i]=stone[i]; for(j=i+1;j<=n;j++) sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j]; } for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度 { for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点 { j=i+len-1; //由于len,表示有len个石子进行归并,从i开始，由于只有相邻的石子才能合并,所以结束位置j=i+len-1 f[i][j]=INF; //初始值都置为无穷大 for(k=i;k<=j-1;k++) //中间断开位置，查找在[i,j]什么位置设置断点k，f[i][j]取最优值 { if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]) f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]; } } } printf("%d/n",f[1][n]); return 0; } 三：圆形版 如果石子是排成圆形，其余条件不变，那么最优值又是什么呢？ 在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆. 规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为 该次合并的得分。试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小 得分和最大得分. 数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分 别表示每堆石子的个数. 输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分 4 4 4 5 9 43 54 hzoi 因为圆形是首尾相接的，初一想，似乎与直线排列完全成了两个不同的问题。因为每次合并后我们都要考虑最后一个与第一个的合并关系。直线版的最优子结构不见了。f(i, j)表示i—>j合并的最优值似乎并不可行，因为我们可以得到的最优值第一步就是第一个与最后一个合并，那么f(i, j)并不能表示这种关系。 修改一下，f(i, j)表示从第i个开始，合并后面j个得到的最优值。sum(i, j)表示从第i个开始直到i+j个的数量和。那么这个问题就得到解决了。注意要把其看成环形，即在有限域内的合并。 递推公式如下： (点小图查看大图) #include #include #include #include using namespace std; #define MAXN 100 int sum[MAXN]; int mins[MAXN][MAXN], maxs[MAXN][MAXN]; int INT_MAX=999999999; int n, stone[MAXN]; int sums(int i, int j) { if(i + j >= n) { return sums(i, n - i - 1) + sums(0, (i + j) % n); } else { return sum[i + j] - (i > 0 ? sum[i - 1] : 0); } } void getBest(int& minnum, int& maxnum) { //初始化，没有合并，花费为0 for(int i = 0; i < n; ++i) { mins[i][0] = maxs[i][0] = 0; } //还需进行合并次数 for(int j = 1; j < n; ++j) { for(int i = 0; i < n; ++i) { mins[i][j] = INT_MAX; maxs[i][j] = 0; for(int k = 0; k < j; ++k) { mins[i][j] = min(mins[i][k] + mins[(i + k + 1)%n][j - k - 1] + sums(i, j), mins[i][j]); maxs[i][j] = max(maxs[i][k] + maxs[(i + k + 1)%n][j - k - 1] + sums(i, j), maxs[i][j]); } } } minnum = mins[0][n - 1]; maxnum = maxs[0][n - 1]; for(int i = 0; i < n; ++i) { minnum = min(minnum, mins[i][n - 1]); maxnum = max(maxnum, maxs[i][n - 1]); } } int main() { scanf("%d", &n); for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &stone[i]); sum[0] = stone[0]; for(int i = 1; i < n; ++i) { sum[i] = sum[i - 1] + stone[i]; } int minnum, maxnum; getBest(minnum, maxnum); printf("%d/n%d/n", minnum, maxnum); return 0; } 环形DP解题思路2： 对于线性的合并石子问题，dp模型类似于“加括号”那类型的dp题目，设f(i, j)为将第i项到第j项合并得到的最优解 关键是，这题目是环形的。环形结构，经常采用双倍长度线性化手段，也就是说，把环形结构看成是长度为环的两倍的线性结构来处理。 环的长度是N，所以题目相当于有一排石子1....N+1....N，然后就可以用线性的石子合并问题的方法做了。 有个要注意的地方，f(i, j) 总是与f(N +ｉ, N +j) 相等的，所以可以减少一些不必要的计算。 此题的关键在于化环为线性结构，与N个数围成一圈，连续多少个数的最大和，异曲同工。 将N结构的线性表，转换为双倍长度的2N结构的线性表，然后在2N长度的表中，截取我们需要的长度为N的部分就可以了。 #include #include #include #include #include using namespace std; int dpx[1100][110],p[1100][1100],s[1100],dp[1100][1100]; int anx,any; int main() { int n; while(cin>>n) { memset(p,0,sizeof(p)); for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>s[i]; s[n+i]=s[i]; for(int i=1;i<=2*n;i++) { p[i][i]=s[i]; for(int j=i+1;j<=2*n;j++) p[i][j]=p[i][j-1]+s[j]; } memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int r=1;r { for(int i=1;i<=2*n-r;i++) //i表示合并石子，起始位置 { int j=r+i; //j表示要合并r个石子，合并序列结束的位置 dpx[i][j]=INT_MAX; //初始化 for(int k=i;k { dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i][j]); dpx[i][j]=min(dpx[i][j],dpx[i][k]+dpx[k+1][j]+p[i][j]); } } } anx=0; any=INT_MAX; for(int i=1;i<=n;i++) //2N堆中，求解所有长度为N的连续序列合并最大，最小值 { anx=max(anx,dp[i][n+i-1]); any=min(any,dpx[i][n+i-1]); printf("%d\n",any); printf("%d\n",anx); } return 0; }