工程数学复习题及答案
试卷代号：1008
中央广播电视大学2005～2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题
2006年1月
一、单项选择题(每小题3分，共21分)
1. 设B A ,均为3阶可逆矩阵，且k>0，则下式（ ）成立． A. B A B A +=+
B. AB A B '=
C. 1
AB A B -=
D. kA k A =
2. 下列命题正确的是（ ）．
A ．n 个n 维向量组成的向量组一定线性相关；
B ．向量组s ααα,,,21 是线性相关的充分必要条件是以s ααα,,,21 为系数的齐次线性方程组
02211=+++s s k k k ααα 有解
C ．向量组 ,,21αα,s α,0的秩至多是s
D ．设A 是n m ?矩阵，且n m <，则A 的行向量线性相关 3．设1551A ??
=????
，则A 的特征值为（ ）。 A ．1，1
B ．5，5
C ．1，5
D ．-4，6
4．掷两颗均匀的股子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）。 A ．
1
36
B ．
118
C ．
112
D ．
111
5．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ）。 A ． P A B P A P B ()()()+=+ B ． ()1()P B P A =- C ． ()(|)P A P A B =
D ． P AB P A P B ()()()=
6．设1234,,,x x x x 是来自正态总体2
(,)N μσ的样本，其中μ已知，2
σ未知，则下列（ ）不是统计量．
A ．4
1
14i i x =∑
B ．142x x μ+-
C ．
4
2
2
1
1
()
i
i x x σ
=-∑；
D ．4
21
1()4i i x x =-∑
7. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，τ检验解决的问题是（ ）． A. 已知方差，检验均值 B. 未知方差，检验均值 C. 已知均值，检验方差 D. 未知均值，检验方差
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．已知矩阵A ，B ，C=()ij m n c ?满足AC = CB ，则A 与B 分别是__________________矩阵。
2．线性方程组12341234134
3
324623x x x x x x x x x x x +++=??
+++=??+-=?一般解的自由未知量的个数为__________________。
3．设A ，B 为两个事件，若P (AB)=P(A)P(B)，.则称A 与B__________________。 4. 设随机变量0
12~0.40.30.3X ???
?
??
，则E(X)= __________________。 5．矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为12345,,,,x x x x x (百分数)，设铜含量服从22(,),N μσσ未知，检验0μμ=，则区统计量__________________。
三、计算题(每小题10分，共60分)
1．设矩阵120111211421,020*********A B ????
????
---????==????---????-????
，求（1） A ；（2）()I A B -
2. 设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经过初等行变换，得
??
??
?
?????-→→000023200102 A
求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．
3．用配方法将二次型2
2
12313121323(,,)3226f x x x x x x x x x x x =----化为标准型，并求出所作的满秩变换。
4．假设B A ,是两个随机事件，已知()0.4,()0.5,()0.45P A P B P B A ===，求⑴()P AB ；⑵
()P A B +
5. 设随机变量X 的密度函数为2
12()0
kx x f x ?-≤≤=?
?其它
，求⑴k ；⑵E X D X (),()。
6. 某一批零件重量2~(,0.2)X N μ，随机抽取4个测得长度（单位：cm ）为
14.7, 15.1, 14.8, 15.2
可否认为这批零件的平均长度为15cm (.)α=005(已知96.1975.0=u )？
四、证明题（本题4分）
设n 阶矩阵A 满足O I A I A =+-))((，则A 为可逆矩阵
参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共21分) 1．B 2．C
3．D
4．B
5．A
6．C
7．D
二、填空题(每小题3分，共15分) 1． ,s s n n ?? 2．2 3．相互独立 4．0.9 5
．x τ=
三、计算题(每小题10分，共60分)
1．解：（1）13
01710204
1121
0211
34110204
1121021----=
----=A
=2513
171200
011317120
121
-=--=--
（2）因为 )(A I -=????
??? ??-------0341112041221020
所以 B A I )(-=??????? ??-------?03411120412
21020=
?????
?
? ??--21101211??????
?
??----09355245．
2．解： 因为 ????
??????-→??????????-000012/31002/101000023200102 得一般解： ??
??
?-=-=4
3231
23
21x x x x x （其中43,x x 是自由元）
令0,243==x x ，得[]'
-=02311X ；
令1,043==x x ，得[]'
-=10102X ．
所以，{}2
1,X X 是方程组的一个基础解系．
方程组的通解为：=X 2211X k X k +，其中21,k k 是任意常数．
3．解：
4．解：（1）)(AB P =)()(A P A B P =4.045.0?=18.0 （2） )(1)(B A P P +-=
)]()()([1AB P B P A P -+-=
28.0]18.05.04.0[1=-+-=
5．解：（1）因为 1=
?
∞
+∞
-x x f d )(=?-2
12d x kx =2
1
3
3
-x k
= 3 k
所以 k =
3
1
(2) E (X ) =?-?2
12
d 31x x x =
2
1
4121-x =
4
5 E (2
X ) =
?-?2
122d 31x x x =5
11 D (X ) = E (2
X ) - )(2X E =80
51
6．解：零假设H 015:μ=．由于已知σ2
，故选取样本函数
U x n
N =
-μ
σ~(,)01
0.1
=
经计算得14.9x =14.915
10.1-==
已知u 0975196
..=0.9751 1.96u =≤=
故接受零假设，即可以认为这批零件的平均长度为15cm ．
四、证明题（本题6分）
证明： 因为 0))((2
=-=+-I A I A I A ，即I A =2
所以，A 为可逆矩阵．
试卷代号：1080
中央广播电视大学2011～2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试题
2012年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下列（ ）成立． A ． A B A B +=+
B ．AB A B '=
C ． 1
AB A B -= D ．kA k A =
2． 设A 是n 阶方阵，当条件（ ）成立时，n 元线性方程组AX b =有惟一解．
3．设矩阵1111A -??
=?
?
-??
的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ ）。 A ．0，2 B ．0，6 C ．0，0
D ．2，6
4．若随机变量(0,1)X
N ，则随机变量32
Y X =- ( )．
5． 对正态总体方差的检验用( )．
二、填空题(每小题3分，共15分)
6． 设,A B 均为二阶可逆矩阵，则1
11
O
A B
O ---??
=????
．
8． 设 A ， B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =,则称A 与B ． 9．若随机变量[0,2]X
U ，则()D X = ．
10．若12,θθ都是θ的无偏估计，且满足 ______ ，则称1θ比2θ更有效。
三、计算题(每小题16分，共64分)
11． 设矩阵234123231A ????=??????，111111230B ????=??????
，那么A B -可逆吗？若可逆，求逆矩阵1()A B --． 12．在线性方程组
123121
232332351
x x x x x x x x λ
λ++=??
-+=-??++=? 中λ取何值时，此方程组有解。在有解的情况下，求出通解。 13. 设随机变量(8,4)X
N ,求(81)P X -<和(12)P X ≤。
(已知(0.5)0.6915Φ=，(1.0)0.8413Φ=，(2.0)0.9773Φ=)
14. 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为
0.15cm 。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）
10.4, 10.6, 10.1, 10.4
问：该机工作是否正常（0.9750.05, 1.96u α==）？ 四、证明题（本题6分）
15. 设n 阶矩阵A 满足2
,A I AA I '==,试证A 为对称矩阵。
参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、B
2、A
3、B
4、D
5、C
二、填空题(每小题3分，共15分)
三、计算题(每小题16分，共64分)
试卷代号：1008
中央广播电视大学2005～2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题
2006年7月
一、单项选择题(每小题3分，共21分)
1．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A ．1
1
()
AB BA
-=
B ．111()A B A B ---+=+
C ．111()AB A B ---=
D ．1111
A B A B ----+=+
2．方程组12123213
3x x a x x a x x a
-=??
+=??+=?相容的充分必要条件是（ ），其中0,(1,2,3)i a i ≠=
A ．1230a a a ++=
B ．1230a a a +-=
C ．1230a a a -+=
D ．1230a a a -++=
3．设矩阵1111A -??
=??
-??
的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ ） A ．0，2
B ．0，6
C ．0，0
D ．2，6
4. 设A B ,是两个事件，则下列等式中（ ）是不正确的． A . ()()()P AB P A P B =，其中A ，B 相互独立 B . ()()()P AB P B P A B =，其中()0P B ≠ C . )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 D . ()()()P AB P A P B A =，其中()0P A ≠
5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）． A ．)(3)(2Y D X D - B ．)(3)(2Y D X D + C ．)(9)(4Y D X D -
D ．)(9)(4Y D X D +
6. 设123,,x x x 是来自正态总体2
2
,)(,(σμσμN 均未知），那么下列（ ）不是统计量．
A ．3
113i i x =∑； B ．3
1
i i x =∑；
C ．12323x x x +-；
D ．3
1
1()3i i x μ=-∑
7．对正态总体方差的检验用( ) A ．U 检验法
B ．t 检验法
C ．2
x 检验法
D ．F 检验法
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．设221
12
()1
12214
f x x x =-+，则f(x)=0的根是______________________。 2．若向量β可由向量组
12,,,n ααα线性表示，则表示方法惟一的充分必要条件是
12,,,n ααα______________________。
3．若事件A,B 满足A ?B ，则P(A-B)= ______________________。
4．设随机变量的概率密度函数为2,01()10,k
x f x x ?≤≤?
=+???其它，则常数k= ______________________。
5．设1021,,,x x x 是来自总体~(0,1)X N ，且1
1n
i i x x n ==∑，则~x _________ ．
三、计算题(每小题10分，共60分)
1．设矩阵231011001A -????=-??????，123112012B ????=??????，求：⑴AB ；⑵1
A -
2．求齐次线性方一程组12345123451
2353320
2695303320
x x x x x x x x x x x x x x ++++=??
++++=??--++=?的通解。
3．用配方法将二次型222
1231231223(,,)2424f x x x x x x x x x x =++++化为标准型，并求出所作的满秩
变换。
4．假设B A ,为两个随机事件，已知()0.5,()0.6,()0.2P A P B P AB ===，求：⑴P(AB)；⑵)(B A P +． 5．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已
知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．
6．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）
10.4 10.6 10.1 10.4
问该机工作是否正常（α=0.05，u 975.0 =1.96）？
四、证明题（本题6分）
设向量组321,,ααα线性无关，令1122233312,32,4βααβααβαα=+=+=-，证明向量组123
,,βββ线性无关。
参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共21分) 1．A 2．B
3．B
4．C
5．D
6．D
7．C
二、填空题(每小题3分，共15分) 1．1，-1，2，-2 2．线性无关 3．()()P A P B - 4．
4
π
5．1(0,)N n
三、计算题(每小题10分，共60分) 1．解：
2．解：
3．解：
4．解：⑴因为,AB B AB B AB =-? 所以，
()()()()
0.60.20.4
P AB P B AB P A P AB =-=-=-=
⑵()()()()P A B P A P B P AB +=+-
=0.5+0.6-0.4=0.7
5．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P
= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ） = 2（1－)2(Φ）＝0.045． （2）)44()(->-=>k X P k X P ＝1－)44(-≤-k X P
＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk )5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk 即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．
6．解：令假设0:10.5H μ=，由于已知0.15σ=，故选取样本函数
(0,1)
x U N =
经计算得
x ==
10.37510.5
1.67
0.075-==
由已知条件112
2
1.96, 1.67 1.96σ
σμ
μ-
-==<=
故接受令假设，即该机工作正常。
四、证明题（本题6分）
试卷代号：1008
中央广播电视大学2006～2007学年度第一学期“开放本科”期末考试
水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题
2007年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1.B A ,都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( ) ．
A ．
B A AB = B ．2222)(B AB A B A +-=-
C ．BA AB =
D ．若0=AB ，则0=A 或0=B
2．已知2维向量1234,,,αααα，则1234(,,,)r αααα至多是（ ）。 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.设AX =0是n 元线性方程组，其中A 是n 阶矩阵，若条件（ ）成立，则该方程组没有非0解． A. 秩n A <)( B. A 的行向量线性相关 C. 0=A
D. A 是行满秩矩阵
4.袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ ）．
A.
25
6
B.
10
3 C.
20
3 D.
25
9 5.设123,,x x x 是来自正态总体2
~(,)X N μσ的样本，则（ ）是μ无偏估计． A .
32151
5151x x x ++ B . 321x x x ++ C . 3215
3
5151x x x ++
D .
3215
2
5252x x x ++
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．设B A ,是3阶矩阵，其中13
6,3,()_________A B A B -'=-=-=．
2．设A 为n 阶方阵，若存放在数λ和非零n 维向量x ，使得Ax x λ=，则称λ为A 的 。 3．若()0.8,()0.2P A P BA ==，则=-)(B A P ． 4．设离散随机变量0
12~0.20.5X a ???
???
，则a = ．
5. 若参数θ的估计量?θ满足?()E θ
θ=，则称?θ为θ的 ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
1．设矩阵????
?
?????-=??????????--------=031052,843722310B A ，I 是3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．
2．求解线性方程组
1234234
123412343234329523810
x x x x x x x x x x x x x x x +++=??--=-??
-+--=-??-++=?
的全部解。
3. 设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<
9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）
4．某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm ，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平α=005.，t 00582306.().=）？
四、证明题（本题6分） 设321,,ααα是线性无关的，证明,
313221,,αααααα+++也线性无关。
参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1．A 2．B 3．D 4．B 5．C 二、填空题(每小题3分，共15分)
1．8
2．特征值
3．0.6
4．0.3
5．无偏估计
三、计算题(每小题16分，共64分)
1．解：
2．解：
此时其次线性方程组化为：
3．解：⑴)32
3
1()23923235(
)95(<-<=-<-<-=< 3723( )7(->-=>X P X P 33( 2)1(2) 22 1(2)10.97720.0228 X X P P --=>=-≤=-Φ=-= 考试题及参考解答(参考) 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . （A ）T e A S S S =+； （B ） 22 (1)A S r χσ -； 河北科技大学成人高等教育2016年第1学期 《工程数学》考试试卷 教学单位 云南函授站 班级 姓名 学号 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 ？ C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤? ??-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤???=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) ！ 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A – 2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概 率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <>? ??=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。 二、填空题（每空3分，共15分） 2015下工程数学复习资料一（选择题等做完大题目再来做） 1方程组?????=+=+=-331232121a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是（ B ），其中 )3,2,1(,0=≠i a i A 0321=++a a a B 0321=-+a a a C 0321=+-a a a D 0321=++-a a a 2设A 、B 是两个事件，则下列等式中 （ C ） 是不正确的。 A P （A B ）=P （A ）P （B ），其中A,B 相互独立 B P （AB ）=P （B ）P （A|B ），其中P （B ）≠ 0 C P （AB ）=P （A ）P （B ），其中A,B 互不相容 D P （AB ）=P （A ）P （B|A ），其中P （A ）≠ 0 3设321,,x x x 是来自正态总体N （μ，σ2 ）的样本，μ未知，则下列 （ D ）不是统计量。 A ∑=3 131 i i x B ∑=31i i x C 32132x x x -+ D )(313 1μ-∑=i i x 4设 A 、B 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（A ）。 A |AB|=|A| |B| B 2222)(B AB A B A +-=- C AB=BA D 若AB=0，则A=0或B=0 5已知2维 向量组α1，α2， α3，α4，则 r （α1，α2， α3，α4 ） 至多是 （B ） A 1 B 2 C 3 D 4 6设AX=0 是n 元线性方程组，其中A 是n 阶矩阵，若条件（ D ）成立，则该方程组没有非零解。 A 、r （A ）< n B 、A 的行向量线性相关 C 、|A| =0 D 、A 是行满秩矩阵 7袋中有3个红球2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（B ） A 6 / 25 B 3 / 10 C 3/ 20 D 9 / 25 8设 A 、B 为n 阶矩阵（n>1），则下列等式成立的是（ D ）。 A AB=BA B （AB ）′=A ′B ′ C （AB ）′=AB D （A+B ）′=A ′+B ′ 9 向量组??????? ??0001，??????? ??0021，??????? ??0321，??????? ??0321，?????? ? ??0111的秩是（B ） A 2 B 3 C 4 D 5 10线性方程组???=+=+0 13221x x x x 解的情况是（ D ）。 A 只有零解 B 有唯一非零解 C 无解 D 有无穷多解 11下列事件运算关系正确的是（ A ）。 A BA A B B += B A B BA B += C BA A B A += D B B -=1 12设321,,x x x 是来自正态总体N （μ，σ2）的样本，其中μ，σ2 是未知参数，则（B ）是统计 量。 A μσ+2x B 33 21x x x ++ C σμ -1x D 1x μ 2018年1月 得分 评卷人 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , 一、单项选择题（每小题3分，共15分）在 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求 }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f < 高等工程数学试题 ( 工程硕士研究生及进修生用 2007年1月 ) 注意：1. 答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 本试题可能用到的常数: ,,1448.2)14(1604 .2)13(975.0975.0==t t 0.900.900.95(11)39.9(12)8.53 1.645F F u === , , ,, . 一 填空题(每空3分,共30分) 1. )(P 2t 中的多项式132)(2 +-=t t t p 在基)}2)(1(11 {---t t t , ,下的坐标向量为 . 2. 设0α是欧氏空间n V 中固定的非零向量,记0{ |0}n W V ξαξξ? =<>=∈,, ，则 )dim(=W . 3. 设111121i A i +?? =? ?-?? ，则|||| A ∞=. 4．设? ?? ? ????=c c c A 2000001，则当且仅当实数c 满足条件 时，有O A k k =+∞→lim ． 5. 设??? ?????=111001A 的奇异值分解为H V ΣU A =，则 =Σ． 6. 设)(21X X ,是来自)0(~2 ,σN X 的样本，则当常数 =k 时有 10.0)()()(2 212212 21=? ?????>-+++k X X X X X X P ． 7. 对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度的平均值 )s /m (0.425=x ，样本标准差2.8=s .根据长期经验，可以认为最大飞行速度X 服从正 态分布) (2 σN , μ，则 μ的置信度为95%的置信区间是 ) ( , . 8. 设总体 X 的概率密度函数为 )0( . 0,0,0,)(>?????≤>=-λλλx x e x f x ,,21X X …n X ,是来自总体X 的样本, 则未知参数λ的矩估计 ?=λ. 9. 为了检验某颗骰子是否均匀，将其掷了60次，得到结果如下： 11 10137811 6 54321 数频出现点数 则2χ拟合优度检验中的检验统计量=2 χ______________ . 学院（部） 学号（编号） 姓名 修读类别（学位/进修） （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） …………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………… 经济应用数学习题 第一章 极限和连续 填空题 1. sin lim x x x →∞=0 ； 2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = 2 5. 2lim(1)x x x →∞-=2-e 选择题 1.02lim 5arcsin x x x →= （ C ） （A ） 0 （B ）不存在 （C ）25 （D ）1 2.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 计算题 1. 求极限 2 0cos 1lim 2x x x →- 解：20cos 1lim 2x x x →-＝414sin lim 0-=-→x x x 2. x x x 10)41(lim -→＝41)41(40)4 1(lim ---→=-e x x x 3. 201lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x 导数和微分 填空题 1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2'')] ([)()()()(x v x v x u x v x u - 2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h h x f h x f h )3()2(lim 000--+→用A 的 代数式表示为 A 5 ； 32)(x e x f =，则x f x f x )1()21(lim 0--→= 4e - 。 20(12)(1)'()2,lim 2'(1)4x x f x f f x xe f e x →--==-=-解 选择题 1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000()()lim x x f x f x x x →--不存在 （C ） 00()()lim x x f x f x x →+-存在 （D ） 00()()lim x f x f x x ?→-?不存在 2. 设)(x f 在0x 处可导，且0001lim (2)()4 x x f x x f x →=--，则0()f x '等于（ D ） （A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ） （A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f x x → 等于（ B ） （A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1(0)2f ' 5. 函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ） （A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f （C ） 2)()]('[x f e x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 6函数 x x x f )1()(-=的导数为（ D ） （A ）x x x )1(- （B ） 1)1(--x x （C ）x x x ln （D ） )]1ln(1[ )1(-+--x x x x x （一） 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 设四阶行列式b c c a d c d b b c a d d c b a D = ，则=+++41312111A A A A （ ）. A.abcd B.0 C.2 )(abcd D.4 )(abcd 2. 设(),0ij m n A a Ax ?==仅有零解，则 （ ） (A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关; 3. 设8.0) (=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（ ）. A.事件A 与B 互不相容； B.B A ?； C.事件A 与B 互相独立； D.)()()(B P A P B A P += Y 4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ ）. A.552548C C B.52 48 C.5 54855C D.555548 5. 复数)5sin 5(cos 5π πi z --=的三角表示式为（ ） A ．)54sin 54(cos 5ππi +- B ．)54sin 54(cos 5π πi - C ．)54sin 54(cos 5ππi + D ．)5 4sin 54(cos 5π πi -- 6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分 ?+-c n i z dz 1)(等于（ ） A ．1； B ．2πi ； C ．0； D ．i π21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2|| ==B A ，则=-|2|1BA . 2. 设向量组()()() 1231,1,1,1,2,1,2,3,T T T t α=α=α=则当t = 时, 123,,ααα线性相关. 3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为 4. 已知()1,()3E X D X =-=，则2 3(2)E X ??-=??______. 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统 正常工作的概率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <>?? ?=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。 11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明： 二、填空题（每空3分，共15分） 三、计算题（每小题10分，共50分） 《高等工程数学》试题 注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u === 一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ?的基： 1001000000001001??????????=??????????? ?????????，，，B 及线性变换Tx Px =，其中22 011 0P x R ???=∈???? ，.则T 在基B 下的矩阵为 A =. 2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3 V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示） ． 3．设211113 01021i 0A x ???? ????==????+???? ，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞?=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116 k k k c k c ∞ =?? ??-?? ∑收敛. 5．对称阵321220103A ?? ??=????的Cholesky 分解为 A =. 6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，， ，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4 21 10 2 5()() i i i i i i X Y c X Y ==-? -∑∑服从F 分布． 7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次 记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为? N =. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不 超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥. 学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号） （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） ……………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………… 《工程数学》期末综合练习题 工程数学（本）课程考核说明 （修改稿） I. 相关说明与实施要求 本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。 工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。 工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。 期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。 考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。 试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。 试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。 期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。 II. 考核内容和考核要求 考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。 南京理工大学 工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3） （一）矩阵分析 一．（6分）设,021320012???? ? ??-=A 求21,,A A A ∞值。 二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t At t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ?? --- ? =--- ? ?---? ? ， 求矩阵.A 。 三．（10分）已知矩阵82225 42 4 5 --=A ，()??? ? ? ??=099t t e e t b （1）求At e ； （2）求解微分方程()()()()()?? ? ??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。 四．（10分）给定3 R 的两个基 ()T x 1,0,11= ()T x 0,1,22= ()T x 1,1,13= ()T y 1,2,11-= ()T y 1,2,22-= ()T y 1,1,23--= 定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i （1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵； （2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵； （3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。 五．（8分）给定(){} R a a A R ij ij ∈==??222 2（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘 构成的线性空间）的子集 {}022112 2=+∈=?a a R A V （1）证明V 是2 2?R 的线性子空间； 工程数学》期末综合练习题 工程数学（本）课程考核说明 （修改稿） I. 相关说明与实施要求本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100 分，60 分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。 工程数学（本）课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。 工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。因此，考试应具有较高的信度、效度和一定 的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。 期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。 考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5 。 试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。 试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。 期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90 分钟。 II. 考核内容和考核要求 考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。 仲恺农业工程学院 试题答案与评分标准《工程数学Ⅰ》2008至2009 学年度第 2 学期期末(A)卷 一、单项选择题(3* 8分) 二.填空题(３*7分) 1. 5 . 2.1 11 . 3. 0、7 . 4. 0、7 . 5. 1 . 6. 0、1915 . 7. 3 μ. 三.计算题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分) 1.设方阵A= 211 210 111 - ?? ? ? ? - ?? , 113 432 B - ?? = ? ?? ,解矩阵方程XA B =、 解: 1 101 1 232 3 330 A- ?? ? =-- ? ? - ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分1 221 82 5 33 X BA- - ?? ? == ? -- ? ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分 2.某人对同一目标进行5次独立射击,若每次击中目标的概率就是2 3 ,求 (1)至少一次击中目标的概率; (2)恰有3次击中目标的概率。 解:(1) 5124213243??-= ??? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 3分 (2) 323 5 218033243C ????= ? ?????、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 5分 四.计算题(本大题共2小题,每小题6分,满分12分) 1.计算2 51237 1459 2746 12D ---=--. 解:25 12152237 14021659 270113461 20120D -----==----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、3分 152 21522011 3011390216003001 200033--===----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6分 2.某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0、05,第二车间的次品率为0、03,第三车间的次品率为0、01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件,出厂时三个车间的产品完全混合,现从中任取一件产品,求该产品就是次品的概率。 解:设B ＝{取到次品},i A ＝{取到第i 个车间的产品},i ＝1,2,3,则123,,A A A 构成一完备事件组。……………… ……… …… …………… ………2分 利用全概率公式得, ∑=++==3 1332211)()()()()()()()()(i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P 《高等工程数学》训练题 I 、矩阵论部分 1、 在线性空间V=R 2 ×2 中，??? ? ??=???? ??=???? ??=???? ? ?=1111,0111,0011,00 014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α?? ?=∈ ??? ，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为???? ?? ? ??---d d c c b b a 。 2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1, α2, α3)，V 2=L(β1, β2)， (1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。 解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换 ?? ? ?? ? ? ??-→??????? ??--→??????? ??--→???? ?? ? ??--→??????? ? ?---==00000 010******* 11321 010000200010110113215155052550101 1011321'202 2 0525 505155 011 32 1311413011126027111321)(21321T T T T T A ββααα ∴r(A)=3 ∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3 可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基 (2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2 ∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。 3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明 （1）dimT(V)+dimker(T)=n 。（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则 rankT=dimT(V)=r(A)。 证：令t=dimker(T) 取12,,,t αααL 是ker(T)的一个基，扩充得121,,,,,t t n ααααα+L L 是V 的一个基。 下证1t n T T αα+L 是T(V)的一个基 （略） 第6章 常微分方程数值解法 讨论一阶常微分方程初值问题 (,),, ()dy f x y a x b dx y a η ?=≤≤????=?? (6.1.1) 的数值解法. 数值解法可区分为两大类： (1) 单步法：此类方法在计算1n x + 上的近似值1y n + 时只用到了前一点n x 上的信息.如 Euler 法， Runge-Kutta 法，Taylor 级数法就是这类方法的典型代表. (2) 多步法：此类方法在计算 1y n +时，除了需要n x 点的信息外，还需要12,,n n x x -- ，等前面若干 个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表. 离散化方法 1. Taylor(台劳)展开方法 2. 化导数为差商的方法 3. 数值积分方法 一、线性多步法 基本思想：是利用前面若干个节点上()y x 及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上()y x 的值. 1．一般公式的形式 10 1 ',,1,, p p n i n i i n i i i y a y h b y n p p +--==-= +=+∑∑ 其中 i a ,i b 为待定常数，p 为非负整数. 说明： (1)在某些特殊情形中允许任何i a 或i b 为零，但恒假设p a 和p b 不能同时全为零，此时称为1p +步法，它 需要 1p +个初始值01,,,.p y y y 当0p =时，定义了一类1步法，即称单步法. (2) 若1 0b -=，此时公式的右端都是已知的，能够直接计算出1n y +，故此时称为显式方法；若10b -≠， 则公式的右端含有未知项111'(,),n n n y f x y +++=此时称其为隐式方法. 2．逼近准则 准确成立： 10 1 ()()'(),,1,. p p n i n i i n i i i y x a y x h b y x n p p +--==-= +=+∑∑ 工程数学试题B 一、单项选择题（每小题3分，本题共21分） 1.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． (A) BA AB = (B) T T T )(B A AB = (C) T T T )(B A B A +=+ (D) AB AB =T )( 2.设? ? ??? ???? ???=4321 43214321 4321A ，则=)(A r （ ）． (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4 3.设B A ,为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向量，则结论（ ）成立． < (A) λ是B A +的特征值 (B) λ是B A -的特征值 (C) x 是B A +的特征向量 (D) λ是AB 的特征值 4.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）． (A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=- 5.随机事件A B ,相互独立的充分必要条件是（ ）． (A) )()()(B P A P AB P = (B) )()(A P B A P = (C) 0)(=AB P (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 6.设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意 b a <，有=≤<)(b X a P （ ）． (A) ?b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( % (C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F - 7. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,， 《高等工程数学》试题 一、 设总体X 具有分布律 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 令EX X =，得5 ?6 θ=. （2）最大似然估计： 得5?6 θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L ），标准差为（mg/L ），问该工厂 生产是否正常（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====） 解： （1）检验假设H 0：σ2 =1，H 1：σ2 ≠1； 取统计量：20 2 2 )1(σχs n -= ； 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=-- n =或χ2≥2 025.022 )1(χχα=-n =， 经计算：96.121 2.19)1(22 2 2 =?=-= σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010 ≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10 /10S X t -=~ )9(2 αt ； 拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210 /2.1108.10=-=t Θ< ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显着水平0.05α=下对因素A 是否显着做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显着的. 四、 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显着性检验（0.05α=）. 解：（1）125.5218?84.39750.3024 xy xx l l β=== 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 拒绝原假设，故回归效果显着. （06春-12春）复习资料总结 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1. 若0 3 5 1 021011=---x ，则=x （A ）． A. 3 B. 2 C. 3- D. 2- 2. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）． A 1 B 2 C 3 D 4 3. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）A.BA AB = B. B A AB ''=')( C. B A B A '+'='+)( D. AB AB =')( 4. 若 A B ,满足（B ），则 A 与 B 是相互独立． A. )()() (A B P A P B P = B. )()()(B P A P AB P = C. )()()(B P A P B A P -=- D. )()()(B A P B P A P = 5. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（ D ）成立． A. )]([)(X E X E X D -= B. 22)]([)()(X E X E X D += C. )()(2X E X D = D. 22)]([)()(X E X E X D -= 6．若A 是对称矩阵，则等式（ B ）成立． A. I AA =-1 B. A A =' C. 1-='A A D. A A =-1 7．=?? ? ???-1 5473（D ）． A. ?? ?? ??--3547 B. 7453-???? -?? C. 7543-????-?? D. 7543-????-?? 8．若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解． A. r A n ()= B. A O ≠ C. r A n ()< D. A 的行向量线性相关 4. 若条件（ C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件． A. ?=AB 或A B U += B. 0)(=AB P 或()1P A B += C. ?=AB 且A B U += D. 0)(=AB P 且1)(=+B A P 9．对来自正态总体 X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记∑==3 1 3 1i i X X ，则下列各式中（C ）不是 统计量． A. X B. ∑=3 1 i i X C. ∑ =-3 1 2 )(3 1 i i X μ D. ∑=-3 1 2)(3 1 i i X X 10．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( A )． A ．A B A B = B ．222()2A B A AB B -=-+ C ． AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O = 11．向量组???? ? ?????-?????????????????? ??-??????????732,320,011,001的秩是（ B ）． A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 12．n 元线性方程组 AX b =有解的充分必要条件是（ A ）． A. )()(b A r A r M = B. A 不是行满秩矩阵 C. r A n ()< D. r A n ()= 13. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）． A. 256 B. 103 C. 203 D. 25 9 14．设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（C ）是μ无偏估计． A. 3215 1 5151x x x ++ B. 321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D. 321525252x x x ++ 15．设 B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ A ）． A ．BA A B = B ．B A B A +=+ C ．111)(---+=+B A B A D ．111)(---=B A AB 16．方程组?????=+=+=-3 312321 21a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是( B )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
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