基于BP算法的函数逼近步骤

TAIYUAN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY 基于BP算法函数逼近步骤

姓名 : 刘浩

学号 : S201503645

班级 : 研1507

基于BP算法函数逼近步骤

一、BP神经网络算法：

BP（Back Propagation）网络是是一种按误差逆向传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小。BP神经网络模型拓扑结构包括输入层、隐含层和输出层。输入层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传递给中间层各神经元；中间层是内部信息处理层，负责信息变换，根据信息变化能力的需求，中间层可以设计为单隐含层或者多隐含层结构；最后一个隐含层传递到输出层各神经元的信息，经进一步处理后，完成一次学习的正向传播处理过程，由输出层向外界输出信息处理结果。当实际输出与期望输出不符时，进入误差的反向传播阶段。误差通过输出层，按误差梯度下降的方式修正各层权值，向隐含层、输入层逐层反传。周而复始的信息正向传播和误差反向传播过程，是各层权值不断调整的过程，也是神经网络学习训练的过程，此过程一直进行到网络输出的误差减少到可以接受的程度，或者预先设定的学习次数为止。

二、BP学习算法的计算步骤概述

BP算法的基本原理是梯度最速下降法，它的中心思想是调整权值使网络总误差最小。运行BP学习算法时，包含正向和反向传播两个阶

段。

（1）正向传播

输入信息从输入层经隐含层逐层处理，并传向输出层，每层神经元的状态只影响下一层神经元的状态。 （2）反向传播

将误差信号沿原来的连接通道返回，通过修改各层神经元的权值，使误差信号最小。

学习过程是一种误差边向后传播边修正权系数的过程。

三、BP 算法具体步骤

1. 前馈计算

设隐层的第j 个节点的输入和输出分别为：

)

(1

j j i

N

i ij j I f O O w I =?=∑=

其中)(j I f 为激励函数

j

I j e

I f -+=

11)(

由于隐层的输出就是输出层的输入，则输出层第k 个节点的总输入和输出分别为：

)

(1k k k N

j j

jk k I f O y O w I ==?=∑=

若网络输出与实际输出存在误差，则将误差信号反向传播，并不断地修正权值，直至误差达到要求为止。 2. 权值调整

设误差函数定义为：∑=-=M

k k k p y d E 1

2)(21

为了简便，以下计算都是针对每个节点而言，误差函数P E 记作E 。 1) 输出层权值的调整 权值修正公式为： jk

jk w E

w ??-=?η

jk k k w I I E ????-=η

定义反传误差信号k δ为k

k k k

k I O O E I E

????-

=??-=δ

式中 )

1()](1)[()()()

()(''k k k k k k k

k k

k

k k k

O O I f I f I f I f I I f I O O d O E

-=-==??=

??--=??

所以 )1()(k k k k k O O O d --=δ又j H

j j jk jk jk k O O w w w I =??=??∑=)(1

由此可得输出层的任意神经元权值的修正公式：

j k jk O w ηδ=?或 j k k k k jk O O d O O w ))(1(--=?η

2) 隐层权值的调整

i j

ij j j ij ij O I E

w I I E w E w ??-=????-=??-=?ηηη

式中i i N

i ij ij ij O O w w w E =???=??∑=)(1

由于误差函数E 与隐层输入j I 不存在直接的函数关系，因此不能直

接

求

得

，

所

以

)()()()()('11

1j j H j jk j M k k j j M

k j k k j j j j I f O w O I E I I f O I I E I O O E I E ??????-=???????-=????-=??-∑∑∑=== )()('1

j M

k jk k I f w ?=∑=δ

隐层的反传误差信号为jk M

k k j i w I f ∑=?=1

'

)(δδ由此可得，隐层权值的修

正公式为：

i M

k jk k j ij O w I f w ??=?∑=)()(1

'

δη或i

M

k jk k j j ij O w O O w ??-=?∑=)()1(1

δη

四、程序代码

w10=[0.1 0.2;0.3 0.15;0.2 0.4]; w11=[0.2 0.1;0.25 0.2;0.3 0.35]; w20=[0.2;0.25;0.3]; w21=[0.15;0.2;0.4];

q0=[0.1 0.2 0.3]; q1=[0.2 0.15 0.25]; p0=0.2;p1=0.1; xj=[0.5;0.9]; k1=5;k2=1200; e0=0;e1=0;e2=0; for s=1:72

yp1=cos(2*3.14*k1*s/360); for k=1:k2 for i=1:3

x=w11(i,1)*xj(1,:)+w11(i,2)*xj(2,:); z=x+q1(:,i); o=[1-exp(-z)]/[1+exp(-z)]; m=1/[1+exp(-z)]; m1(i,:)=m; o1(i,:)=o; end for i=1:3 yb=0;

yb=yb+w21(i,:)*o1(i,:); end

yi=yb+p1; n=1/[1+exp(-yi)];

y=[1-exp(-yi)]/[1+exp(-yi)]; e0=e1; e1=e2; e2=[(yp1-y).^2]/2; xj1=e2-e1; xj2=e2-2*e1+e0;

xj=[xj1;xj2];

d2=n*(1-y)*(yp1-y);

bk=d2; for i=1:3

u=w21(i,:)*bk;

d1=[1-o1(i,:)]*u;

d0=m1(i,:)*d1;

qw=q1(:,i)-q0(:,i);

q2=q1(:,i)+0.8*d0+0.4*qw;

q3(:,i)=q2;

for j=1:2

dw=w11(i,j)-w10(i,j);

w12=w11(i,j)+0.8*d0*xj(j,:)+0.6*dw; w13(i,j)=w12;

end

end

w10=w11;

w11=w13;

q0=q1;

q1=q3;

for i=1:3

h=w21(i,:)-w20(i,:);

w22=w21(i,:)+0.4*d2*o1(i,:)+0.75*h;

w23(i,:)=w22;

end

w20=w21;

w21=w23;

ph=p1-p0;

p2=p1+0.9*d2+0.6*ph;

p0=p1;

p1=p2;

if e2<0.0001,break;

else k=k+1;

end

end

e(s)=e2;

ya(s)=yp1;

yo(s)=y;

s=s+1;

end

s1=s-1;

s=1:s1;

plot(s,ya,s,yo,'g.',s,e,'rx');

title('BP');

五、运行结果

1．此次逼近的函数为y=cosx，蓝色为真实的余弦曲线，绿色为逼近的余弦曲线，红色代表误差曲线，从图像上可以得出逼近结果与原曲线契合程度高，效果良好。

2．为了测试程序广泛适用性，对函数进行修改反复测试，效果良好，误差十分小。

3．BP算法能很有效的完成数据训练，是一个训练数据的好方法。

第6章 函数逼近与函数插值

第六章 函数逼近与函数插值 本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等. 6.1 函数逼近的基本概念 进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )?f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型. 6.1.1 函数空间 线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念. 在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域?，若讨论复数函数，则相应的是复数域?. 另外，与线性代数中讨论的向量空间?n 不同，连续函数空间是无限维的. 对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)： 1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| . 其几何意义如图6-1所示，即函数值绝 对值的最大值. 2) 1-范数 ‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a . 其几何意义如图6-2所示，即函数曲线 与横轴之间的面积总和. 3) 2-范数 ‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义 与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它 定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.

正弦函数余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．

神经网络作业(函数逼近)

智能控制理论及应用作业 1资料查询 BP 神经网络的主要应用： 人脸识别、风电功率预测、短时交通流混沌预测、高炉熔渣粘度预测、汇率预测、价格预测、函数逼近等 Rbf神经网络的主要应用： 函数逼近、短时交通流预测、模式识别、降水预测、民航客运量预测、遥感影像分析、声纹识别、语言识别、人脸识别、车牌识别、汇率预测 Hopfield网络应用： 车牌识别、图像识别、遥感影像分类、字母识别、交通标志识别、优化计算中的应用、联想记忆存储器的实现、 2 BP编程算法： 2.1 利用样本训练一个BP网络 注：此程序自李国勇书中学习而来 程序部分： function [ output_args ] = bp( input_args ) %UNTITLED Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here %此设计为两层BP神经网络，3输入，3隐含层节点，两个输出 %初始化部分： lr=0.05; %%需要给定学习速率 error_goal=0.001; %期望的误差 max_epoch=100000; %训练的最大步长 a=0.9; %惯性系数 Oi=0; Ok=0; %给两组输入，以及目标输出： X=[1 1 1;-1 -1 1;1 -1 1;]; %随便给一组输入输入，训练BP网络

T=[1 1 1 ;1 1 1]; %X=-1:0.1:1; %输入范围 %T=sin(pi*X); %X=[] q=3; %隐含层的节点数自己定义，在此给3个 %初始化 [M,N]=size(X); %输入节点个数为M,N为样本数 [L,N]=size(T); %输出节点个数为L wij=rand(q,M); %先给定加权系数一组随机值 wki=rand(L,q); wij0=zeros(size(wij)); %加权系数矩阵的初始值 wki0=zeros(size(wki)); for epoch=1:max_epoch %计算开始 NETi=wij*X; %各个隐含层的净输入 for j=1:N for i=1:q Oi(i,j)=2/(1+exp(-NETi(i,j)))-1; %再输入作用下，隐含层的输出 end end NETk=wki*Oi; %各个输出层的净输入 for i=1:N for k=1:L Ok(k,i)=2/(1+exp(-NETk(k,i)))-1; %在输入作用下，输出层的输出end end E=((T-Ok)'*(T-Ok))/2; %性能指标函数，就是误差 if(E

第六章 函数逼近

第六章函数逼近https://www.wendangku.net/doc/cd19008243.html,/shuzhifenxi/index.htm 第一节曲线拟合的最小二乘法 问题的背景 通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2,…,x n的函数值. 我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这n个插值结点;在n比较大的情况下, 插值多项式往往是高次多项式, 这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”. 于是, 我们采用数据拟合的方法. 定义1 数据拟合就是求一个简单的函数φ(x), 例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n个点，而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数,这时在每个已知点上就会有误差y k -φ(x k),(k=1,2,…,n),数据拟合就是从整体上使误差 y k -φ(x k),(k=1,2,…,n), 尽量的小一些. 如果要求: 达到最小,因误差y k -φ(x k)可正可负 本来很大的误差可能会正负抵消,这样的提法不合理,为防止正负抵消,可以要求:达到最小,但是由于绝对值函数不可以求导,分析起来不方便,求解也很难. 为了既能防止正负抵消，又能便于我们分析、求解，提出如下问题： 求一个低次多项式φ(x) ,使得: 达到最小,此问题便是一个数据拟合的最小二乘问题.

一、直线拟合(一次函数) 通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2,…,x n的函数值：y1 ,y2,…,y n ,即得到n组数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2),…,(x n ,y n ),如果这些数据在直角坐标系中近似地分布在一条直线上,我们可以用直线拟合的方法. 已知数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2),…,(x n ,y n ),求一次多项式φ(x)=a+bx(实际上，就是求a,b), 使得: （1） 达到最小. 注意到Q(a,b)中,x k ,y k均是已知的,而a,b是未知量,Q(a,b)是未知 量a,b的二元函数,利用高等数学求二元函数极 小值(最小值)的方法，上述问题转化为求解下 列方程组: 的解.

神经网络作业(函数逼近)

神经网络作业(函数逼近)

智能控制理论及应用作业 1资料查询 BP 神经网络的主要应用： 人脸识别、风电功率预测、短时交通流混沌预测、高炉熔渣粘度预测、汇率预测、价格预测、函数逼近等 Rbf神经网络的主要应用： 函数逼近、短时交通流预测、模式识别、降水预测、民航客运量预测、遥感影像分析、声纹识别、语言识别、人脸识别、车牌识别、汇率预测 Hopfield网络应用： 车牌识别、图像识别、遥感影像分类、字母识别、交通标志识别、优化计算中的应用、联想记忆存储器的实现、 2 BP编程算法：

T=[1 1 1 ;1 1 1]; %X=-1:0.1:1; %输入范围 %T=sin(pi*X); %X=[] q=3; %隐含层的节点数自己定义，在此给3个 %初始化 [M,N]=size(X); %输入节点个数为M,N为样本数 [L,N]=size(T); %输出节点个数为L wij=rand(q,M); %先给定加权系数一组随机值 wki=rand(L,q); wij0=zeros(size(wij)); %加权系数矩阵的初始值 wki0=zeros(size(wki)); for epoch=1:max_epoch %计算开始 NETi=wij*X; %各个隐含层的净输入

for j=1:N for i=1:q Oi(i,j)=2/(1+exp(-NETi(i,j)))-1; %再输入作用下，隐含层的输出 end end NETk=wki*Oi; %各个输出层的净输入 for i=1:N for k=1:L Ok(k,i)=2/(1+exp(-NETk(k,i)))-1; %在输入作用下，输出层的输出 end end E=((T-Ok)'*(T-Ok))/2; %性能指标函数，就是误差 if(E

正弦函数余弦函数的图像(附)

正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？

答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线． 根据诱导公式sin ????x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)． 要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，????π2，0，(π，－1)，????3 2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象． 思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？ 答案

BP函数逼近

BP网络实现分类问题 一，问题的提出 根据感知器的的相关理论易知感知器善于解决线性可分问题，而不能解决XOR问题，所以引进了BP网络，并通过相关知识来解决分类问题。 反向传播网络（Back-Propagation Network,简称BP网络）是将W-H学习规则一般化，对非线性可微分函数进行权值训练的多层网络。BP网络主要用于函数逼近，模式识别，分类，数据压缩。在人工神经网络的实际应用中，80%~90%的人工神经网络模型是采用BP网络或它的变化形式，也是前行网络的核心部分，体现了人工神经网络最精华的部分。 一个具有r个输入和一个隐含层的神经网络模型结构如图所示 下图所示是S型激活函数的图型，可以看到f ()是一个连续可微的函数，一阶导数存在。对于多层网络，这种激活函数所划分的区域不再是线性划分，而是有一个非线性的超平面组成的区域。它还可以严格利用梯度算法进行推算，他的权值修正的解析式十分明确，其算法被称为误差反向传播法，简称SP算法。

BP算法是有两部分组成：信息的正向传递与误差的反向传播。在正向传播过程中，输入信息从输入经隐含层逐层计算传向输出层，每一层神经元的状态值影响下一层神经元的状态。如果在输出层没有得到期望的输出，则计算输出层的误差变化值，然后转向反向传播，通过网络将误差信号沿原来的连接通路反传回来修改各层神经元的权值直至达到期望的目标。 BP网络分类问题

原程序： function main() InDim=2; % 样本输入维数OutDim=3; % 样本输出维数 % figure % colordef(gcf,'white') % echo off % clc % axis([-2,2,-2,2]) % axis on % grid % xlabel('Input x');

正弦函数余弦函数的性质

正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．

解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题．

函数逼近与曲线拟合

函数逼近与曲线拟合 3.１函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近与函数空间 在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的 简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函 数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识． 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构 成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间． 定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得

， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关． 若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有 则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间． 下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为 ， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差 （为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使

正弦函数和余弦函数的图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；

函数逼近的理论与方法综述

课程作业 题目：函数逼近理论与方法 学院：数学与统计学院 专业：计算数学 研究方向：数字图像处理 学生姓名：安静 学号：2013201134 教师：张贵仓

函数逼近的理论与方法综述 函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g,使它是已知函数在一定意义下的近似表示，并求出用g 近似表示而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中，用来逼近已知函数的函数类可以有不同的选择，即使函数类选定了，在该函数中用作的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样；g 对函数近似表达时产生的误差也有各种不同的含义。所以，函数逼近问题的提法具有多种多样的形式，其内容十分丰富。 一、 几种常用的插值函数 1.拉格朗日（Lagrange ）插值 设y =()f x 是实变量x 的点值函数, 且已知()f x 在给定的1n +各互异点01,,,n x x x 处 得值01,, ,n y y y 即(),0, ,i i y f x i n ==差值的基本问题是, 寻求多项式()p x , 使得 (),0, ,i i p x y i n == (1-1) 设()p x 是一个m 次多项式()p x =2 012m m a a x a x a x ++++, 0m a ≠ 则差值问题是, 如何确定()p x 中的系数01,,,m a a a , 使得(1-1)式满足, 所以该问题等 价于求解下述的线性方程组 2 0102000 21112111 2012m m m m m m m m m n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=??? ?++++= ? (1-2) 上述的线性方程组的系数矩阵为 2 00 02 11121 11 m m m n n m x x x x x x A x x x ????? ? =???????? 他是一个()()11n m +?+的矩阵. 当m A >时, A 的列数大于行数, 不难证明矩阵A 的秩数为1n +. 因为A 的前1n +列所组成的行列式为

函数逼近的几种算法和应用

函数逼近的几种算法及其应用

摘要 在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题.近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力．本课设中共有两章，第一章介绍了函数逼近的产生及研究意义，基础知识，最佳平方逼近法，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近的算法的几种函数比较方式.第二章从函数逼近的应用角度，详细介绍了有理函数逼近在数值优化中的应用和泰勒级数判定迭代法的收敛速度，以及几种函数逼近的计算实例. 关键词最佳平方逼近法；曲线拟合的最小二乘法；有理逼近；三角多项式逼近； 帕徳逼近

目录 引言 (1) 第一章函数逼近 (2) §1.1 函数逼近的产生背景及研究意义 (2) §1.2 基础知识 (3) §1.2.1 函数逼近与函数空间 (3) §1.2.2 数与赋空间 (4) §1.3 最佳平方逼近 (5) §1.3.1 最佳平方逼近及其计算 (5) §1.3.2 用正交函数组作最佳平方逼近 (6) §1.4 有理逼近 (8) §1.4.1 有理逼近的定义及构造 (8) §1.4.2 有理插值函数的存在性 (9) §1.4.3 有理插值函数的唯一性 (10) §1.4.4 几种常见的有理逼近 (11) §1.5 三角多项式逼近与多项式逼近 (12) §1.5.1 三角多项式逼近 (12) §1.5.2 傅里叶级数的一致收敛性 (12) §1.5.3 以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近 (13) §1.5.4 [0,π]上连续函数的三角多项式逼近 (14) §1.5.5 闭区间上连续函数的三角多项式逼近 (14) §1.5.6 闭区间上连续函数的多项式逼近 (15) §1.6 其他函数逼近 (15) §1.6.1 曲线拟合的最小二乘法 (15) §1.6.2 泰勒级数 (16) 第二章函数逼近应用 (18) §2.1 有理逼近在数值优化中的应用 (18) §2.1.1 直线搜索方法 (18) §2.1.2 计算方法 (19) §2.1.3 计算实例 (19) §2.2 各种泰勒级数判定迭代法的收敛速度 (20) §2.3 各种函数逼近的计算实例 (21) §2.3.1 最佳平方逼近多项式计算实例 (21) §2.3.2 曲线拟合的最小二乘法计算实例 (22) §2.3.3 帕德逼近的计算实例 (23) 参考文献 (24)

数值分析 函数逼近与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0) ! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，1 1()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

1.2范数与逼近 一、线性空间及赋范线性空间 要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构 成线性空间.例如将所有实 n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线 性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线 性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间. 在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间. 定义1 设 X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数g ，即对于任意 ,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件 (1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =； (2) 齐次性：x x αα=； 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

逼近论第一第二章

第一章 预 备 知 识 §1 函数逼近论简介 一、 函数逼近论（approximation of funcyions ） 函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下面问题： 在选定的一类函数中寻找某个函数g ，使它是已知函数f 在一定意义下的近似表示，并求出用g 近似表示 f 而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中，用来逼近已知函数f 的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作f 的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样的；g 对f 的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。 二、逼近函数类 给定函数()f x ，用来逼近()f x 的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。逼近函数类可以有多种选择。n 次代数多项式，亦即一切形如公式0n k k k a x =∑（其 中0, ,n a a 是实数，0,1,,k n =）的函数的集合；n 阶三角多项式，亦即一切形如公式 01(cos sin )n k k k a a kx b kx =++∑(其中0, ,n a a ,0,,n b b 是实数，0,1,,k n =）的函数的集合，这些 是最常用的逼近函数类。其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。 三、逼近方法 给定f 并且选定了逼近函数类之后,如何在逼近函数类中确定作为f 的近似表示函数g 的方法是多种多样的。例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。所谓插值就是要在逼近函数类中找一个()g x ，使它在一些预先指定的点上和()f x 有相同的值，或者更一般地要求()g x 和()f x 在这些指定点上某阶导数都有相同的值。利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史。微积分中著名的Taylor 多项式便是一种插值多项式。此外，在各种逼近问题中，线性算子也是广泛应用的一大类逼近工具。所谓线性算子是指某种逼近

切比雪夫最佳函数逼近理论应用(1)

{}m in m ax ()()f x p x -型问题 ——切比雪夫最佳函数逼近理论应用 一、知识点 设函数()f x 在[],a b 上有二阶导数，且()f x ''在[],a b 上不变号(即恒为正或负)，则存在()f x 在[],a b 上的线性最佳一致逼近多项式()1p x 。 （其中1()p x 指1次最佳逼近，简称为一次函数、一次多项式） ①理论证明与计算：略②几何意义计算：直线()1y p x =与弦MN 平行,且过线段MQ 的中点D ，其方程为 221( )()()() ()22f a f x a x f b f a p x x b a ++-?? =+?- ?-?? 说明：根据理论，Q 为()()1f x p x -的极值点，且仅有1个。 ∴212()()0f x p x ''-=，而12()MN p x k '=，所以2()MN f x k '=∴Q 点的几何特征是：过点Q 的直线l MN 且l 与()y f x =相切 此时： {}1min max ()()max ()() a x b a x b f x p x f x p x <<<<-=-

其中的一个核心要素：会求Q 的横坐标 方法1：结合几何特征，利用()2MN f x k '=方法2：结合特殊图像，可以得出的一些结论 ①若()f x 的图像是平口单峰函数，显然易知此时图像特征为（示意图为张口朝上） ：（ⅰ）0MN k =，Q 就为()f x 极值点； （ⅱ）()()f a f b =； （ⅲ）直线l 处于正中间；（ⅳ）{}()()2min max ()()a x b f a f x f x p x <<--=②若()f x 的图像不是平口单峰函数，构造为平口单峰函数

正弦函数和余弦函数的计算公式

关于正弦函数和余弦函数的计算公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα

1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 使用说明：认真阅读课本13~15页，并完成下列预习案内容。 【学习目标】 1. 借助单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的概念； 2.熟练记忆正弦、余弦函数值在各象限的符号。 【重点难点】 重点：任意角的正弦函数、余弦函数的定义及函数值在各象限的符号； 难点：正弦函数、余弦函数的定义理解。 一、知识链接 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别写出∠A 的三角函数关系式：sinA ＝_____，cosA=_____，sinB ＝_____，cosB=_____， 二、教材助读 1.在直角坐标中，以_____为圆心，以_______为半径的圆叫做单位圆。 2.正弦函数、余弦函数定义：一般地，在直角坐标系中，对任意角α，使角α的顶点与原 点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P （u ，v ），那么点P 的纵坐标v ，叫作角α的正弦函数，记作v ＝αsin 。点P 的纵坐标u ，叫作角α的余弦函数，记作u ＝αcos . 通常,我们用x ，y 分别表示自变量与因变量，将正、余弦函数分别表示为y ＝sinx ，y ＝cosx. 定义域：_________________， 值域：___________________. 3.在直角坐标系中，设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y),那么: ⑴ 正弦 αsin = __________。 ⑵ 余弦αcos = __________ 。 4.当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号： 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 αsin α cos 三、预习自测 1．在直角坐标系的单位圆中，α=4 -π （1）画出角α； （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； （3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值； 2．确定下列各三角函数值的符号： ⑴ cos250°; ⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π; 3.已知角α的终边经过点P(-2,-3)，求角α的正弦、余弦值. 预习案

正弦函数和余弦函数的计算公式

正弦函数和余弦函数的 计算公式 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

关于正弦函数和余弦函数的计算公式同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα

高一数学正弦函数余弦函数的图像

正弦函数余弦函数的图像（说课） 各位评委，各位老师大家好! 很高兴能在这里以这种方式向大家学习和交流。我叫何秦，来自高县中学。今天我说课的课题是《正弦函数余弦函数的图像》内容取自人教版高中数学教科书高一下册第四章第八节。我对本课的设计分为五大部分 一：教材分析 二：教法分析 三：学法分析 四：教学过程 五：说明反思 一．教材分析 （1）教材的地位和作用 三角函数这一章学习是在函数的第一阶段学习的基础上，进行第二阶段函数的学习。内容是三角函数的概念、图象与性质,以及函数模型的简单应用。研究的方法主要是代数变形和图象分析。三角函数是重要的数学模型之一，是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具，三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（如：物理、天文学）联系紧密。 高考大纲的要求是“理解正余弦函数的图像和性质，会用五点法画出正余弦函数的图像”大纲的要求是课的方向标，也是课的重要性的体现本课是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究函数的性质、正弦型函数)sin(?+=wx A y 的图象的知识基础和方法准备。同时本课是数形结合的思想方法的良好题材。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用 （2）课时安排 本课三角函数图像和性质的第一课时，主要是介绍用几何法画正余弦函数图象、用五点法画正余弦函数图象简图并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换。 二. 教法分析 （一）学情分析 学生已经学习了因为在已有函数基础知识和诱导公式、三角函数线知识的基础上来研究图像，进一步体现数形结合和化归思想在高中数学中的运用。同时，学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但还有部分学生学习函数有畏难情绪，在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。意图：从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。 （二）教学方法 1.现代教学论指出：“教学是师生的多边活动，在教师的‘反馈——控制’的同时，每个学生也都在进行着微观的‘反馈——控制’。” 任何教学都必须通过学生自身的学习建构活动才有成效。 2.建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。 （三）具体措施 （1）教学的思想决定着教学的方法，课的方向：本课我以学生为主体让学生体会知识的形成过成。所以我依托实验法，讨论法让学生全员参与。 （2）教学的宗旨教会学生的学习，本课属于本源性知识，我采用讲解讨论相结合，交流