第九章习题详解
习题9
9.1选择题
(1) 正方形的两对角线处各放置电荷Q ，另两对角线各放置电荷q ，若Q 所受到合力为零，则Q 与q 的关
系为：（）
（A ）Q=-23/2q(B)Q=23/2q(C)Q=-2q(D)Q=2q
[答案：A]
(2) 下面说法正确的是：（）
（A ）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷； （B ）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C ）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D ）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。
[答案：A]
(3) 一半径为R 的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R 处的电场强度（） （A ）σ/ε0（B ）σ/2ε0（C ）σ/4ε0（D ）σ/8ε0
[答案：C]
(4) 在电场中的导体内部的（）
（A ）电场和电势均为零；（B ）电场不为零，电势均为零；
（C ）电势和表面电势相等；（D ）电势低于表面电势。
[答案：C]
9.2填空题
(1) 在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。
[答案：零]
(2) 一个点电荷q 放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中心向外移动至无限远，则总通量将。
[答案：q/6ε0,将为零]
(3) 电介质在电容器中作用（a ）——（b ）——。
[答案：(a)提高电容器的容量;(b)延长电容器的使用寿命]
(4) 电量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，则球内球外的静电能之比。
[答案：1：5]
9.3电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解:如题9.3图示
(1)以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷
解得q q 3
3-
=' (2)与三角形边长无关．
题9.3图题9.4图
9.4两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题9.4图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．
解:如题9.4图示
解得θπεθtan 4sin 20mg l q
=
9.5根据点电荷场强公式2
04r
q E πε=，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物
理意义的，对此应如何理解?
解:02
0π4r r q E ?
?
ε=
仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实
际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 9.6在真空中有
A ，
B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有
相互作用力f ，有人说f =2
02
4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 0
2
ε．试问这两种说法对吗?为什么?
f 到底应等于多少?
解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S
q
E 0ε=
看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S
q E 02ε=
，另一板受
它的作用力S
q S q
q f 02
022εε=
=，这是两板间相互作用的电场力． 9.7长l =15.0cm
的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C/m 的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上
与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．
解：如题9.7图所示
(1) 在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为
2
0)
(d π41d x a x
E P -=
λε 2
22
)
(d π4d x a x
E E l l P P -=
=?
?-ελ
题9.7图 用15=l
cm ，9100.5-?=λ1m C -?,5.12=a cm 代入得
21074.6?=P E 1C N -?方向水平向右
(2)同理
22
20d d π41d +=
x x
E Q λε方向如题9.7图所示
由于对称性
?=l
Qx
E
0d ，即Q E ?
只有y 分量，
∵22
2
222
20d
d d d π41d ++=
x x x E Qy
λε
以9
10
0.5-?=λ1cm C -?,15=l cm ,5d 2=cm 代入得
21096.14?==Qy Q E E 1C N -?，方向沿y 轴正向
9.8一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解:如9.8图在圆上取?Rd dl
=
题9.8图
?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为 2
0π4d d R R E ε?λ=
方向沿半径向外
则??ελ
?d sin π4sin d d 0R
E E x =
=
积分R R E x 000
π2d sin π4ελ
??ελπ
==
?
∴R
E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向．
9.9均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r
>>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．
解:如9.9图示，正方形一条边上电荷
4
q
在P 点产生物强P E ?d 方向如图，大小为 ∵2
2cos 2
21l r l +
=
θ
∴2
4
π4d 2
22
20l r l l r E P
+
+
=
ελ
P E ?
d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥
∴4
2
4
π4d 2
22
22
20l r r
l r l r l
E +
+
+
=
⊥
ελ
题9.9图
由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为 ∵l
q 4=
λ
∴2
)4(π42
22
20l r l r qr
E P
++
=
ε方向沿OP
9.10(1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?
解:(1)由高斯定理0
d εq
S E s
?=???
立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴各面电通量0
6εq
e =
Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量0
6εq e =
Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则0
24εq
e =
Φ， 如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．
如题9.10图所示．题9.10图
9.11均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×5
10
-C/m 3
求距球心5cm ，8cm,12cm 各点的场强．
解:高斯定理
d ε∑?
=?q S E s
??,0
2
π4ε∑=q r E
当5=r cm 时，0=∑q ,0=E ?
8=r cm 时，∑q 3
π4p
=3(r )3
内r -
∴()2023π43π4r r r E ερ
内-=
()
2
02
3π43π4r
r r E ερ内
-=41048.3?≈1C N -?，方向沿半径向外． 12=r cm 时,3
π4∑=ρ
q -3(外r ）内3
r ∴()
42
03
31010.4π43π4?≈-=
r
r r E ερ
内
外1C N -?沿半径向外. 9.12半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜
1R ；(2)1R ＜r ＜2R ；(3)r ＞2R 处各点的场强．
解:高斯定理0
d ε∑?=?q
S E s
??
取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S
π2=
则rl E S E S
π2d =???
?
对(1)1R r <0,0==∑E q
(2)2
1
R r R <<λl q =∑
∴r
E 0π2ελ=
沿径向向外
(3)2
R r >0
=∑q
∴0=E
题9.13图
9.13两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．
解:如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，
两面间，n E ?
?)(21210σσε-= 1σ面外，n E ?
?)(21210σσε+-= 2σ面外，n E ?
?)(21210
σσε+= n ?
：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．
9.14半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题9.14图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解:将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题9.14图(a)． (1)ρ+
球在O 点产生电场010=E ?
，
ρ- 球在O 点产生电场'd
π4π3430320OO r E ερ=? ∴O 点电场'd
33
030OO r E ερ
=?； (2)ρ+在O '产生电场'd π4d 343
0301OO E ερπ=
'? ρ-球在O '产生电场002='E ?
∴O '点电场0
03ερ
=
'E ?
'OO 题9.14图(a)题9.14图(b)
(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r ?
'，相对O 点位矢为r ?
(如题8-13(b)图)
则0
3ερr
E PO ??=，
3ερr E O P '
-='??,
∴0
003'3)(3ερερερd OO r r E E E O P PO P ?
?????=
='-=+=' ∴腔内场强是均匀的．
9.15一电偶极子由q =1.0×10-6
C
的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm ，把这电偶极子放在1.0×
105
N/C 的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
解:∵电偶极子p ?
在外场E ?中受力矩
∴qlE pE M ==max 代入数字
9.16两点电荷1q =1.5×10-8
C ，2q =3.0×10-8
C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少
功?
解:??
==?=
222
1
0212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε??)11(21
r r -
外力需作的功6
10
55.6-?-=-='A A J
题9.17图
9.17如题9.17图所示，在
A ，
B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试
验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．
解:如题9.17图示 ∴R
q
q U U q A o C O 00π6)(ε=
-=
9.18如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于
R ．试求环中心O 点处的场强和电势．
解:(1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E ?
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
题9.18图
R 0π4ελ=
［)2sin(π-2
sin π
-］
(2)AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
同理CD 产生2ln π40
2ελ
=
U 半圆环产生0
034π4πελ
ελ==
R R U
∴0
032142ln π2ελελ+=
++=U U U U O
9.19一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104
m/s 的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31
kg ，电子电量e =1.60×10-19
C)
解:设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强 电子受力大小r
e eE F e 0π2ελ
=
=
∴r
v m r e 20π2=ελ 得132
0105.12π2-?==
e
mv ελ1m C -? 9.20空气可以承受的场强的最大值为E =30kV/cm ，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d =0.5cm ，求此电容器可承受的最高电压．
解:平行板电容器内部近似为均匀电场
9.21证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．
证:如题9.21图所示，设两导体
A 、
B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ
题9.21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时，有
∴+2σ03=σ
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 又∵+2σ03=σ ∴1σ4σ=
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
9.22三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2
，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0mm ．B ，C 都接
地，如题9.22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7
C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?
以地的电势为零，则
A 板的电势是多少?
解:如题9.22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ
题9.22图
(1)∵AB AC U U =，即 ∴AB AB AC AC E E d d =
∴
2d d 21===AC
AB
AB AC E E σσ 且1σ+2σS
q A
=
得,32S q A =σS
q A 321=σ 而711023
2
-?-=-=-=A C
q S q σC
C 10172-?-=-=S q B σ(2)30
1
103.2d d ?==
=AC AC AC A E U εσV
9.23两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．
解:(1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势
??
∞∞
==?=2
2
02
0π4π4d d R R R q
r
r q r E U εε?? 题9.23图
(2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：
(3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q '(电荷守恒)，此时
内球壳电势为零，且 得q R R q 2
1
=
' 外球壳上电势
9.24半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试
求：金属球上的感应电荷的电量．
解:如题9.24图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U
题9.24图
由电势叠加原理有： 得-
='q 3
q 9.25有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F ．试求： (1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
解:由题意知2
02
0π4r q F ε=
(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
2
q q =
', 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
∴此时小球1与小球2间相互作用力
(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为
3
2q .
∴小球1、2间的作用力0029
4π432322F r q q F ==ε 9.26在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求：
(1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
解:利用有介质时的高斯定理∑?=?q S D S
?
?d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r
r
Q E r r Q D r εε????==内; 介质外)(2R r <场强 (2)介质外)(2R r >电势 介质内)(21
R r R <<电势
(3)金属球的电势
9.27如题9.27图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．
解:如题9.27图所示，充满电介质部分场强为2E ?，真空部分场强为1E ?
，自由电荷面密度分别为2σ与1σ
由∑?
=
?0
d q
S D ?
?得
11σ=D ，22σ=D
而101E D ε=,202E D r εε=
∴
r r E E εεεεσσ==1
02
012 题9.27图题9.28图
9.28两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时，求：
(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；
(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解:取半径为r 的同轴圆柱面)(S
则rlD S D S π2d )
(=???
?
当)(21R r R <<时，Q q =∑
∴rl
Q
D
π2=
(1)电场能量密度2222
2π82l r Q D w εε==
薄壳中rl
r
Q rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222===
(2)电介质中总电场能量
(3)电容：∵C
Q W 22
=
∴)
/ln(π22122R R l W Q C ε=
= 题9.29图
9.29如题9.29图所示，1C =0.25μF ，2C =0.15μF ，3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ． 解:电容1C 上电量
电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q = ∴35
50
25231123232?===
C U C C Q U 9.301C 和2C 两电容器分别标明“200pF 、500V ”和“300pF 、900V ”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000V
的电压，是否会击穿?
解:(1)1C 与2C 串联后电容 (2)串联后电压比
2
3
1221==C C U U ，而100021=+U U ∴600
1=U V ,4002=U V
即电容1C 电压超过耐压值会击穿，然后2C 也击穿．
9.31半径为1R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 和3R =5.0cm ，当内球带电荷Q =3.0×10-8
C 时，求：
(1)整个电场储存的能量；
(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．
解:如图，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -，外表面带电Q
题9.31图
(1)在1R r <和32R r R <<区域
在21R r R <<时3
01π4r
r
Q E ε??
= 3R r >时3
02π4r
r
Q E ε??
=
∴在21
R r R <<区域
在3R r >区域
∴总能量)1
11(π83
210221R R R Q W W W +-=+=ε
(2)导体壳接地时，只有21R r R <<时
3
0π4r
r
Q E ε?
?=,02=W ∴42
10211001.1)1
1(π8-?=-==R R Q W W εJ
(3)电容器电容)1
1/(π42210
2
R R Q W C -==
ε