2012年北京高考理科数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理科）

本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-2

3

,3）D (3,+∞)

2．设不等式组?

?

?≤≤≤≤20,

20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标

原点的距离大于2的概率是 （A ）

4π （B ）22π- （C ）6

π （D ）44π-

3．设a ，b ∈R 。“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）

A. 2 B .4 C.8 D. 16

5.如图. ∠ACB=90o，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )

A．C E?CB=AD?DB B．C E?CB=AD?AB C．A D?AB=CD2D．C E?EB=CD2

6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24

B. 18

C. 12

D. 6

7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）

A. 28+65

B. 30+65

C. 56+ 125

D. 60+125

8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（）

A.5

B.7

C.9

D.11

第二部分(非选择题共110分)

二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.

9．直线t t y t x (12???--=+=为参数)与曲线ααα

(sin 3cos 3?

??==y x 为参数)的交点个数为______。

10．已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。若2

1

1=a ，32a S =，则2a =_______。 11．在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=4

1

-

，则b=_______。 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。若直线l 的倾斜角为60o.则△OAF 的面积为 13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，

DC DE ?的最大值为______。

14.已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x

x g ，若同时满足条件： ①R x ∈?，0)(

三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 已知函数x

x

x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=

。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间。

16．（本小题共14分）

如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2. (I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

(III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由

17．（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了

该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾

20

20

60

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中a ＞0，c b a ++=600。当数据c b a ,,的方差2

s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2

s 的值。 （注：])()()[(1

222212

x x x x x x n

s n -++-+-=Λ，其中x 为数据n x x x ,,,21Λ的平均数）

18．（本小题共13分）

已知函数()2

()10f x ax a =+>，3

()g x x bx =+.

（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(],1-∞-上的最大值.

19．（本小题共14分）

已知曲线()()()2

2

:528C m x m y m -+-=∈R .

（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；

（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与

曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.

20．（本小题共13分）

设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零. 记(),S m n 为所有这样的数表组成的集合. 对于(),A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1i

m 剟）

，()j c A 为A 的第j 列各数之和（1j n 剟）

；记()k A 为1()r A ，2()r A ，…，()m r A ，1()c A ，2()c A ，…，()n c A 中的最小值.

（1）对如下数表A ，求()k A 的值；

（2）设数表()2,3A S ∈形如

求()k A 的最大值；

（3）给定正整数t ，对于所有的()2,21A S t ∈+，求()k A 的最大值.

2012年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.

1．（5分）（2012?北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）

A．（﹣∞，﹣1）B．

（﹣1，）C．

﹙，3﹚

D．（3，+∞）

考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．

专题：集合．

分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．

解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，

又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，

所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，

故选：D．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．

2．（5分）（2012?北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取

一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）

A．B．C．D．

考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．

专题：概率与统计．

分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．

解答：解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，

满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，

∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=

故选：D．

点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．

3．（5分）（2012?北京）设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．

解答：解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．

“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．

所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．

故选B．

点评：本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌握程度．

4．（5分）（2012?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A．2B．4C．8D．16

考点：循环结构．

专题：算法和程序框图．

分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．

解答：解：第1次判断后S=1，k=1，

第2次判断后S=2，k=2，

第3次判断后S=8，k=3，

第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．

故选C．

点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．

5．（5分）（2012?北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）

A．C E?CB=AD?DB B．C E?CB=AD?AB C．A D?AB=CD2D．C E?EB=CD2

考点：与圆有关的比例线段．

专题：直线与圆．

分析：连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出

CE?CB=AD?BD．

解答：解：连接DE，

∵以BD为直径的圆与BC交于点E，

∴DE⊥BE，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，

∴△ACD∽△CBD，

∴，

∴CD2=AD?BD．

∵CD2=CE?CB，

∴CE?CB=AD?BD，

故选A．

点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注

意三角形相似和切割线定理的灵活运用．

6．（5分）（2012?北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）

A．24 B．18 C．12 D．6

考点：计数原理的应用．

专题：算法和程序框图．

分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．

解答：解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；

从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；

2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；

故共有3=18种

故选B．

点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．

7．（5分）（2012?北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12

考点：由三视图求面积、体积．

专题：立体几何．

分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．

解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，

一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，

所以S底==10，

S后=，

S右==10，

S左==6．

几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．

故选：B．

点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．

8．（5分）（2012?北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）

A．5B．7C．9D．11

考点：函数的图象与图象变化；函数的表示方法．

专题：函数的性质及应用．

分析：由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．

解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点

则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率

由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大

即前9年的年平均产量最高，

故选C

点评：本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．

二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.

9．（5分）（2012?北京）直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为2．

考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．

专题：直线与圆．

分析：将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．

解答：

解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0

曲线（α为参数）化为普通方程为x2+y2=9

∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=

∴直线与圆有两个交点

故答案为：2

点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．10．（5分）（2012?北京）已知﹛a n﹜是等差数列，s n为其前n项和．若a1=，s2=a3，则a2=

1．

考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：

由﹛a n﹜是等差数列，a1=，S2=a3，知=，解得d=，由此能求出a2．

解答：

解：∵﹛a n﹜是等差数列，a1=，S2=a3，

∴=，

解得d=，

a2==1．

故答案为：1．

点评：本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．（5分）（2012?北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．

考点：解三角形．

专题：解三角形．

分析：

根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得

，即可求得b的值．

解答：

解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，

∴

∴b=4

故答案为：4

点评：本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基础题．

12．（5分）（2012?北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的倾斜角；抛物线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．

解答：解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）

∵直线l过F，倾斜角为60°

∴直线l的方程为：，即

代入抛物线方程，化简可得

∴y=2，或y=﹣

∵A在x轴上方

∴△OAF的面积为=

故答案为：

点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A的坐标是解题的关键．13．（5分）（2012?北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则

的值为1．

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：直接利用向量转化，求出数量积即可．

解答：

解：因为====1．

故答案为：1

点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．

14．（5分）（2012?北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：

①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；

②?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．

则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．

考点：全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题．

专题：简易逻辑．

分析：①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求

②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x

﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求

解答：解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，

又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0

∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立

则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则

∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0

又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0

∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立

∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，

（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，

（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，

（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．

综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．

故答案为：（﹣4，﹣2）．

点评： 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答

本题的关键．

三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）（2012?北京）已知函数f （x ）=

．

（1）求f （x ）的定义域及最小正周期； （2）求f （x ）的单调递增区间．

考点：

三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性． 专题：

三角函数的图像与性质． 分析： 通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．

（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 解答：

解：

=sin2x ﹣1﹣cos2x=sin （2x ﹣）﹣1 k ∈Z ，{x|x ≠k π，k ∈Z}

（1）原函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，最小正周期为π． （2）由，k ∈Z ，

解得

，k ∈Z ，又{x|x ≠k π，k ∈Z}，

原函数的单调递增区间为

，k ∈Z ，

，k ∈Z

点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力． 16．（14分）（2012?北京）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．

（1）求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．

考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．

专题：空间位置关系与距离．

分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；

（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量

，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM

与平面A1BE所成角的大小；

（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP

法向量为

假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．

解答：（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，

∴DE⊥平面A1CD，

又∵A1C?平面A1CD，∴A1C⊥DE

又A1C⊥CD，CD∩DE=D

∴A1C⊥平面BCDE

（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）

∴，

设平面A1BE法向量为

则∴∴

∴

又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）

∴

∴CM与平面A1BE所成角的大小45°

（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]

∴，

设平面A1DP法向量为

则∴

∴

假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，

∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2

∵0≤a≤3

∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．

17．（13分）（2012?北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱

厨余垃圾400 100 100

可回收物30 240 30

其他垃圾20 20 60

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．

（求：S 2=[

++…+]，其中为数据x 1，x 2，…，

x n 的平均数）

考点：

模拟方法估计概率；极差、方差与标准差． 专题：

概率与统计． 分析： （1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率； （2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；

（3）计算方差可得

=，因

此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000． 解答：

解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；

（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为

；

（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a ，b ，c 的平均数为200 ∴

=

，

∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ≥a 2+b 2+c 2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000． 点评： 本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题． 18．（13分）（2012?北京）已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx

（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；

（2）当a 2=4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上

某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用． 分析： （1）根据曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，可

知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a 、b 的值；

（2）根据a 2=4b ，构建函数

，求导函

数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值． 解答： 解：（1）f （x ）=ax 2+1（a ＞0），则f'（x ）=2ax ，k 1=2a ，g （x ）=x 3+bx ，则g ′（x ）

=3x 2+b ，k 2=3+b ，

由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：．

（2）由题设a2=4b，设

则，令h'（x）=0，解得：，；

∵a＞0，∴，

x （﹣∞，﹣

﹣））

h′（x）+ ﹣+

h（x）极大值极小值

∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在单调递减，在）上单调递增

①若，即0＜a≤2时，最大值为；

②若＜﹣，即2＜a＜6时，最大值为

③若﹣1≥﹣时，即a≥6时，最大值为h（﹣）=1

综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；当a∈（2，+∞）时，最大值为．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．

19．（14分）（2012?北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）

（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．

专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；

（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3），解得：，设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：

，则，从而可得，=（x N，

kx N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．解答：

（1）解：原曲线方程可化简得：

由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：，解得：

（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）＞0，解得：

由韦达定理得：①，，②

设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：，则，

∴，=（x N，kx N+2），

欲证A，G，N三点共线，只需证，共线

即成立，化简得：（3k+k）x M x N=﹣6（x M+x N）

将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．

20．（13分）（2012?北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S （m，n），记r i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．

（1）如表A，求K（A）的值；

北京市高考数学试卷理科真题详细解析

2017年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题.（每小题5分） 1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．2 B．C．D． 4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（） A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数 6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“?＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．2 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（） （参考数据：lg3≈） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题（每小题5分）

9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= ． 10．（5分）若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1 =b 1 =﹣1，a 4 =b 4 =8，则= ． 11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标 为（1，0），则|AP|的最小值为． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ． 13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为． 14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． （1）记Q i 为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1 ，Q 2 ，Q 3 中最大的是． （2）记p i 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1 ，p 2 ，p 3 中最大 的是． 三、解答题 15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a． （1）求sinC的值； （2）若a=7，求△ABC的面积． 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 2 y= 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） （ （

4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） 1＞

6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为 作出可行域如图， （﹣ （﹣ ﹣

7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx ， = 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2=﹣1． ） 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ． =．由于向量，|，且+（ = ，满足||=1=+=（ 故答案为：

11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为y=±2x． ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ， ﹣， 故答案为：， 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．

2012年北京市高考数学理科试卷及答案解析

2012北京理科高考试卷及答案解析精校版 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合A={x ∈R ｜3x+2>0﹜，B={x ∈ R ｜(x+1)(x-3)>0﹜则A ∩B=( ) A ．（﹣∞，﹣1） B.｛21,3-- ｝ C. ﹙2 ,33 -﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组02 02x y ≤≤?? ≤≤? 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个 点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A.4π B.22π- C.6 π D. 44π- 3.设,a b R ∈.“0a =”是‘复数a bi +是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∟ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则（ ） A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. 2AD AB CD = D.2 CE EB CD = 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） A.28+ B. 30+ C.56+ D.60+ 8.某棵果树前n 前的总产量S 与看，前m

A.5 B.7 C.9 D.11 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线21x t y t =+?? =--? (t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α=??=? (α为参数)的交点个数为 10.已知{}n a 等差数列n S 为其前n 项和，若11 2 a =，23S a =，则2a = ，n S = 11.在△ABC 中，若2a =，7b c +=，1 cos 4 B =-，则b = 12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60o.则OAF 的面积为 13.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.则DE CB 的值为 14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x R ?∈，有()0f x <或 ()0g x <；②(,4)x ?∈-∞-，使得()()0f x g x < 则m 的取值范围是 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -= 。（1）求f （x ）的定义域及最小正周期；（2） 求f （x ）的单调递增区间。 16. （本小题共14分） 如图1，在Rt △ABC 中，∟C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∠BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1C ⊥CD,如图2. （1）求证：A1C ⊥平面BCDE ； （2）若M 是A1D 的中点，求CM 与平面A1BE 所成角的大小； （3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A1DP 与平面A1BE 垂直？ 说明理由 17．（本小题共13分） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活 图2 图1 A C C B

2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

2014年北京高考数学（理科）试题 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）

.2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数2 11i i +?? = ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则 λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性，且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.

2018北京高考数学试卷(理科)

2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A ＝{x |x |<2}，，B ＝{-2，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{-1，0，1} C ．{-2，0，1，2} D ．{-1，0，1，2} （2）在复平面内，复数 i -11 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ． 2 1 B ． 6 5 C ． 6 7 D ． 12 7 （4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等与122。若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）

A ．f 32 B ．f 322 C ．f 1252 D ．f 1272 （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （6）设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |=|3a+b |”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 （7）在平面直角坐标系中，记d 为点p （cos θ，sin θ）到直线x -my -2=0的距离。当 θ，m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （8）设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax +y >4，x-ay≤2}，则（ ） A ．对任意实数a ，（2，1）∈A B ．对任意实数a ，（2，1）?A C ．当且仅当a <0时，（2，1）?A D ．当且仅当a ≤3 2 时，（2，1）?A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋5a ＝36，则{a n }的通项公式为______________. （10）在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a （a >0）与圆ρ＝2cosθ相切，则a ＝________. （11）设函数f (x )=cos (ωx - 6π)，若f (x )≤f (4 π)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______. （12）若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y -x 的最小值是__________.

(完整版)2017北京高考数学真题(理科)及答案

绝密★启封并使用完毕前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则A B= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 （A）(–∞，1) （B）(–∞，–1) （C）(1，+∞) （D）(–1，+∞) （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）2 （B）3 2 （C） 5 3 （D）8 5 （4）若x，y满足x≤3， x + y ≥2，则x + 2y的最大值为 y≤x， （A）1 （B）3 （C）5 （D）9

（5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? ，则(x)f （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则 下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若双曲线2 2 1y x m -=的离心率为3，则实数m =_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则 2 2 a b =__________.

2012年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）（2012?北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B= ）， } } 2．（5分）（2012?北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（） =，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标．= =1+3i ∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（ 3．（5分）（2012?北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）

B =4 4．（5分）（2012?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

5．（5分）（2012?北京）函数f（x）=的零点个数为（） （ 在定义域上为增函数， 在定义域上为增函数 ＞ 的零点个数为

，当且仅当 所以 ， ，∴ 7．（5分）（2012?北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（） 8+60+66+120+12 = ，

=10 =6 ． 8．（5分）（2012?北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）（2012?北京）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．

的距离为 2 故答案为： 10．（5分）（2012?北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2= 1，S n=． = +=1 = 11．（5分）（2012?北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为． =，可求得∠ b=，

2014年高考理科数学新课标1卷解析版

2014年高考理科数学新课标1卷分析版 一、选择题（题型注释） 1．已知集合{} {}22|,032|2 <≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A I （ ） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[ 【答案】A 【分析】 试题分析：由已知得，{ 1A x x =≤-或}3x ≥，故{} 21A B x x =-≤≤-I ，选A ． 【考点定位】1、一元二次不等式解法；2、集合的运算． 2． =-+2 3 )1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D 【分析】 试题分析：由已知得 =-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1) 1(1)2i i i i i i i +++==----． 【考点定位】复数的运算． 3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C 【分析】 试题分析：设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ． 【考点定位】函数的奇偶性． 4．已知F 为双曲线C :)0(32 2 >=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A. 3 B. 3 C. m 3 D. m 3 【答案】A 【分析】 试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为22133 x y m -=．则2 33c m =+， 33c m =+

2012年北京高考数学真题及答案(文科)

绝密★使用完毕前 2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合{ A x =∈R|320} x+>，{ B x =∈R|(1)(3)0} x x +->，则A B= I （A）(,1) -∞-（B） 2 (1,) 3 --（C） 2 (,3) 3 -（D）(3,) +∞ （2）在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为 （A）(1,3)（B）(3,1)（C）(1,3) -（D）(3,1) - （3）设不等式组 2, 2 x y ? ? ? ≤≤ ≤≤ 表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于2的概率是 （A）π 4 （B） π2 2 - （C） π 6 （D） 4π 4 - （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 数学（文）（北京卷）第 1 页（共10 页）

数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 10 页） （5）函数()12 1()2 x f x x = -的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （6）已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是 （A ）13a a +≥22a （B ）2213a a +≥222a （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的 表面积是 （A ）28+ （B ）30+（C ）56+（D ）60+ （8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系 如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 4 2 3 4

2018北京高考数学(理科)word版

绝密★本科目考试启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题共40分) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合{} {}2,2,0,1,2A x x B ==-<,则A B ?= (A){}0,1(B){}1,0,1-(C){}2,0,1,2?-(D){}1,0,1,2- (2)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 (3)执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 (A) 12(B)56(C)7 6 (D)71225-67-

(4)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单 音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为∫,则第八个单音的频率为 (C)(D) (5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (6)设a,b 均为单位向量,则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 (7)在平面直角坐标系中,记d 为点(),P cos sin θθ到直线20x my --=的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (8)设集合(){},1,4,2A x y x y ax y x ay = -≥+>-≤,则 (A)对任意实数(),2,1a A ∈(B)对任意实数(),2,1a A ? (C)当且仅当0a <时,()2,1A ?(D)当且仅当3 2 a ≤时,()2,1A ?

2017年高考北京理科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.（2017北京卷理）若集合–21{|}A x x =<<，{|–1B x x =<或3}x >，则A B =（ ） A.1|}–2{x x <<- B.3|}–2{x x << C.1|}–1{x x << D.3|}1{x x << 【答案】：A 【解析】：{}21A B x x =-<<-，故选A ． 【考点】：集合的基本运算 【难度】：易 2.（2017北京卷理）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A.(),1-∞ B.(),1-∞- C.()1,+∞ D.()1,-+∞ 【答案】：B 【解析】：()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以10 10a a +? ，解得：1a <-，故选B ． 【考点】：复数代数形式的四则运算 【难度】：易 3.（2017北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A.2 B.32 C. 5 3 D.85 【答案】：C 【解析】：0k =时，03<成立，第一次进入循环11 1,21 k s +===，13 <成立，第二次进入循环,213 2,22 k s +===，23<成立，第三次进入循环 31 523,332 k s +===，33< 否，输出53s =，故选C ． 【考点】：程序框图 【难度】：易 4.（2017北京卷理）若x ，y 满足32x x y y x ≤?? +≥??≤?，，， 则2x y +的最大值为 （ ）

2012年高考数学理(北京卷)含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分) 选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( ) A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-?｝ C. ﹙﹣?，3﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A. B. C. D. 3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∠ACB=90o。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD 2 D.CE·EB=CD 2 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+6

B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系 如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年 平均产量最高。m值为（） A.5 B.7 C.9 D.11 第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线(t为参数)与曲线(“为多α数)的交点个数为 10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则= 11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b= 12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A 在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为 13.己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则.的值为 14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=-2，若同时满足条件： ①x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0 ②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0 则m的取值范围是 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 已知函数。 求f（x）的定义域及最小正周期； 求f（x）的单调递增区间。 16. （本小题共14分） 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥

2017年高考理科数学真题及答案全国卷1

绝密★启用前 2017年全国卷1理科数学真题及答案 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为

2012高考北京理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(北京卷) 本试卷共150分．考试时长120分钟． 第一部分(选择题共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝() A．(－∞，－1) B．{－1， 2 3 -} C．( 2 3 -，3) D．(3，＋∞) 2．在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为() A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为() A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则() A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为() A．24 B．18 C．12 D．6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()

A ．28+ B ．30+ C ．56+ D ．60+8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．直线2,1x t y t =+??=--?(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α =??=?(α为参数)的交点个数为________． 10．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若11 2 a =，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________． 11．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，1 cos 4 B =- ，则b ＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线 y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________． 13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ?的值为________， DE DC ?的最大值为________． 14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件： ①x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0． 则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数(sin cos )sin2()sin x x x f x x -= ． (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 16．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．

2017年北京高考理科数学真题及答案

2017年北京高考理科数学真题及答案 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合{} 21A x x =-<<，{} 13B x x x =<->或，则A B I =（ ）。 （A ）{} 21x x -<<- （B ）{}23x x -<< （C ）{}11x x -<< （D ）{} 13x x << 【答案】A 【难度】容易 【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （2）若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）。 （A ）(),1-∞i （B ）(),1-∞-（C ）()1,+∞（D ）(1,)-+∞ 【答案】B 【难度】容易 【点评】本题在高二数学（理）下学期课程讲座 第四章《复数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）。

（A）2 （B）3 2 （C）5 3 （D）8 5 【答案】C 【难度】容易 【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （4）若,x y满足 3, 2, , x x y y x ≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? 则2 x y +的最大值为（）。 （A）1（B）3（C）5（D）9 【答案】D 【难度】容易

2014年北京市高考试题集锦理科数学

2014年北京高考数学(理科)试题 一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知集合2 {|20},{0,1,2}A x x x B =-==,则A B =I ( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+??=+?(θ为参数)的对称中心( ) .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的( ) .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4,则k 的值为( )

.2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,()0,2,0C ,(D ,若 1S ,2S ,3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积,则( ) (A)123S S S == (B)12S S =且 31S S ≠ (C)13S S =且 32S S ≠ (D)23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学,且至少有一科成绩比B 高,则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.复数2 11i i +??= ?-?? ________. 10.已知向量a r 、b r 满足1a =r ,()2,1b =r ,且()0a b R λλ+=∈r r ,则λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2,且与2 214 y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________; 渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13.把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有_______种. 14.设函数)sin()(?ω+=x x f ,0,0>>ωA ,若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性,且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ,则)(x f 的最小正周期为________. 三.解答题(共6题,满分80分) 15.(本小题13分)如图,在ABC ?中,8,3 == ∠AB B π ,点D 在BC 边上,且 7 1 cos ,2= ∠=ADC CD

(完整版)2019年北京卷理科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 第一部分（选择题 共40分） 一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1) （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4t ìí ? （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是 （A ） 15

（B）2 5 （C）4 5 （D）6 5 （4）已知椭圆 2 x 2 a + 2 y 2 b =1（a>b>0）的离心率为 1 2 ，则 （A）a2=2b2. （B）3a2=4b2. （C）a=2b （D）3a=4b （5）若x,y满足的最大值为 （A）-7 （B）1 （C）5 （D）7 （6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 m 2-m 1 = 5 2 lg E 1 E 2 ，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）。已知太阳的星等为-26.7， 天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A）1010.1（B）10.1 （C）lg10.1（D）10-10.1 （7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。给出下列三个结论：