人教A版选修1-1教案——立体几何中的向量方法第5课时(含答案)

§3.2.5综合问题

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。

【教学目标】：

（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：

坐标法与向量法结合.

【教学难点】：

适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．

空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与

高中数学空间向量与立体几何测试题及答案

一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，

的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122 -，， Ｃ．51122 --，， Ｄ．51122 ，， 答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-， ，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412??- ???，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ 二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055?? - ??? ，，

空间向量和立体几何练习题及答案.

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，

(三)立体几何与空间向量

(三)立体几何与空间向量 1.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，M是PC上一点，且BM⊥PC. (1)求证：PC⊥平面MBD； (2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值. (1)证明连接AC，由P A⊥平面ABCD， BD?平面ABCD，得BD⊥P A， 又BD⊥AC，P A∩AC＝A， P A，AC?平面P AC， ∴BD⊥平面P AC，又PC?平面P AC，∴PC⊥BD. 又PC⊥BM，BD∩BM＝B， BD，BM?平面MBD， ∴PC⊥平面MBD. (2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD， 即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角. 不妨设P A＝1，则BC＝1，PC＝3，PB＝ 2. ∴PC2＝PB2＋BC2，∴PB⊥BC，又BM⊥PC， ∴sin∠PBM＝cos∠BPC＝PB PC＝2 3 ＝ 6 3， 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3. 方法二以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz(如图所示)，

不妨设P A ＝AB ＝1， 则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0). 由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC → ＝(1,1，－1)， 而PB → ＝(1,0，－1). ∴cos 〈PB →，PC → 〉＝(1，0，－1)·(1，1，－1)2×3＝63， 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为 63 . 2.如图，已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，AC ∥DF ，四边形BCDE 为直角梯形，且DE ∥BC ，BC ⊥CD ，点G 为△ABC 的重心，N 为AB 的中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点. (1)求证：GM ∥平面DFN ； (2)若二面角M －BC －D 的余弦值为 7 4 ，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ，连接ON ，OF . 因为点G 为△ABC 的重心， 所以AG AO ＝2 3，且O 为BC 的中点. 又由题意知，AM →＝23AF → ， 所以AG AO ＝AM AF ＝23， 所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点，

高中数学必背公式——立体几何与空间向量(供参考)

高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习： 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化： 线线平行 线面平行 面面平行，线线垂直 线面垂直 面面垂直。 4．求角：（1）异面直线所成的角： 可平移至同一平面；也可利用空间向量：cos |cos ,|a b θ=<>= 1212122 222 2 2 1 1 1 222 |||||| a b a b x y z x y z ?= ?++?++（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）。 （2）直线与平面所成的角： 在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线AB 与平面所成角sin |||| AB m AB m β?= (m 为平面α的法向量). （3）二面角： 方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法； 方法二：向量法：二面角l αβ--的平面角cos |||| m n arc m n θ?=或cos ||||m n arc m n π?- （m ，n 为平面α，β 的法向量）. 5. 求空间距离： （1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”； （2）两条异面直线的距离：|| || AB n d n ?= （n 同时垂直于两直线，A 、B 分别在两直线上）； （3）求点面距： || || AB n d n ?= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）； （3）线面距、面面距都转化为点面距。 题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积 例1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，

空间向量在立体几何中的应用教案

空间向量在立体几何中的应用 教学目标: （1）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程： 1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角 设是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设 分别为平面 的法向量，则θ与 互补或相等， 注意：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。 例1：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1 2AB ，N 为AB 上一点， AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （1）证明：CM ⊥SN ； （2）求SN 与平面CMN 所成角的大小. 分析：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标

系，如图。 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1 2,0) （1） 111(1,1,),(,,0), 222 11 00 22 1 (II)(,1,0), 2 (,,)CMN 022,(2,1,2) 1021 -1-22|cos |= 22 32 SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=? 因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o 45角为 例2：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥， 2AB EF =，90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 分析：本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解： ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 A E F B C D H G X Y Z

空间向量与立体几何知识点归纳总结52783

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1 ）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一 个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B

立体几何与空间向量

中档大题规范练2 立体几何与空间向量 1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点． (1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求B 点到平面PCD 的距离； (3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为 63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD . (2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1,0,1)，PD →＝(0,1，－ 1)． 则????? u · CP →＝－x ＋z ＝0，u · PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)， B 点到平面PDC 的距离d ＝|BP →·u ||u |＝33 . (3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD → (0<λ<1)， 因为PD →＝(0,1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)， 设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，

则????? m ·AC →＝0，m ·AQ →＝0，即????? a ＋ b ＝0， (λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0， 所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)， 平面CAD 的法向量n ＝(0,0,1)， 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为 63 ， 所以|m·n||m||n |＝63 ， 所以3λ2－10λ＋3＝0， 所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12 . 2．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE . (1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2)求二面角A —DF —C 的大小． (1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)． ∵E 为AB 的中点， ∴E 点坐标为(1,1,0)， ∵D 1F ＝2FE ， ∴D 1F →＝23D 1E →＝23 (1,1，－2) ＝(23，23，－43 )， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43 )

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求 两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距

立体几何与空间向量

10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 （一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理： 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿； 解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1） βαβα////a a ?????；（2）αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ （3）βαβα////??????⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ；两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下，求二面角往往是指定 的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可. ［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ???） 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a . ［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515 arccos ） 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E

利用空间向量立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

高中数学空间向量与立体几何的教学反思

空间向量与立体几何的教学反思 本部分是高三理科数学复习的一个重要部分，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。 利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系 一、现将原大纲目标与新课程目标进行简单的比较：

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的

过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。 新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。 二、教学要求 本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是： （1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）； （2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。

空间向量与立体几何知识总结(全国高考必备!)

y k i A(x,y,z) O j x z 辅导科目：数学 授课教师： 全国章 年级： 高二 上课时间： 教材版本：人教版 总课时： 已上课时： 课时 学生签名： 课 题 名 称 教 学 目 标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>

高中数学选修2-1教案 第三章 空间向量与立体几何 3.2立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法 第一课时 立体几何中的向量方法（1） 教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？ 2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ ⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b ??，可求两个向量的数量积或夹角 问题； ⑵利用性质a ⊥b ?a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题． 二、例题讲解 1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥． 证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ． ∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =． ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 2. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离． 解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥． 由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120， ∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD ) ＝22222cos120b a b b +++＝22a b +． ∴CD 3. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的 棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD +＝12 (2|'|CC ＋'CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝122|'|CC ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD ＞12 =，∴＜,'MN CD ＞＝60. 4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．

空间向量与立体几何知识点学生

用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos ,a b a b a b ?<>= ?， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π?? ? ??， 故实质上应有：cos cos ,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量；

立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)

立体几何 例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且 3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的 面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π 2.三视图 例2.某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．164+π B ．484π+ C ．4812π+ D ．4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式 例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上， 过球心且 ，是边 长为 等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥 体积的最大值为__________． 例5.如图，在几何体中，平面底面ABC ， 四边形是正方形，，Q 是 的中点，且 ， ． 求证：平面 ； 求二面角的余弦值．

例6.如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，， ，E ，F 为AB 的三等分点，且 将 和 分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合，记为点P ． 证明：平面平面PEF ； 若 ，求PD 与平面PFC 所成角的正弦值．